WBJEE 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ और रैखिक संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$ हैं।
दी गई गतिज ऊर्जाएँ $K_1$ और $K_2$ हैं,जहाँ $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$ है।
उनके रैखिक संवेगों का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m_1 K_1}{2m_2 K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{K_1}{K_2}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m} \times \frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{1}{4} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,उनके रैखिक संवेगों का अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$ है। दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में $20 \%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए $K_f = 1.20 K_i$ है।
चूंकि $K \propto p^2$,हम लिख सकते हैं कि $\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$।
मान रखने पर,$1.20 = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_f}{p_i} = \sqrt{1.20} \approx 1.0954$।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{p_f - p_i}{p_i} \times 100 = (1.0954 - 1) \times 100 = 9.54 \%$ है।
चूंकि $9.54 \%$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम गैस नियतांक $R$ को $R = \frac{PV}{nT}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$P$ दाब $(N m^{-2})$,$V$ आयतन $(m^3)$,$n$ पदार्थ की मात्रा $(mol)$ और $T$ तापमान $(K)$ है।
$PV$ का मात्रक $(N m^{-2}) \times (m^3) = N m = J$ (जूल) है।
अतः,$R$ का मात्रक $\frac{J}{mol \times K} = J K^{-1} mol^{-1}$ है।

(C) जब $K_1$ और $K_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणी क्रम (एक सिरे से दूसरा सिरा) में जोड़ा जाता है,तो कुल विस्तार $x$,व्यक्तिगत विस्तार $x_1$ और $x_2$ के योग के बराबर होता है।
निकाय पर लगाए गए बल $F$ के लिए,$x_1 = F/K_1$ और $x_2 = F/K_2$ होता है।
कुल विस्तार $x = x_1 + x_2 = F/K_1 + F/K_2$ है।
यदि $K$ तुल्य बल नियतांक है,तो $x = F/K$ लिखा जा सकता है।
अतः,$F/K = F/K_1 + F/K_2$,जिसे सरल करने पर $1/K = 1/K_1 + 1/K_2$ प्राप्त होता है।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{\ell}$ या $k \ell = \text{स्थिरांक}$.
जब $\ell$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए भाग की लंबाई $\ell' = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
मान लीजिए कि प्रत्येक नए भाग का बल नियतांक $k'$ है।
संबंध $k \ell = k' \ell'$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k \ell = k' \left( \frac{\ell}{2} \right)$
$k = \frac{k'}{2}$
$k' = 2k$.
अतः,प्रत्येक आधे भाग का बल नियतांक $2k$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $\sigma$ घनत्व वाले गोले का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में सीमांत वेग $v_T = \frac{2r^2(\sigma - \rho)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,$m = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma$,जिसका अर्थ है $\sigma \propto \frac{1}{r^3}$.
सीमांत वेग के सूत्र में $\sigma = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_T = \frac{2r^2}{9\eta} \left( \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3} - \rho \right)g = \frac{2g}{9\eta} \left( \frac{3m}{4\pi r} - r^2\rho \right)$.
जब गोले का घनत्व द्रव के घनत्व से बहुत अधिक हो $(\sigma \gg \rho)$,तो $v_T \propto r^2 \sigma$ होता है।
चूंकि $r^3 \sigma = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\sigma \propto r^{-3}$ है।
अतः,$v_T \propto r^2 \cdot r^{-3} = r^{-1} = \frac{1}{r}$.
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$.

(D) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{dD/D}{dL/L}$.
दिया गया है $\sigma = 0.5$,इसलिए $0.5 = -\frac{dD/D}{dL/L}$,जिसका अर्थ है $\frac{dD}{D} = -0.5 \frac{dL}{L}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,$\frac{dA}{A} = 2 \frac{dD}{D}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dD}{D}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{A} = 2 (-0.5 \frac{dL}{L}) = -\frac{dL}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल में $4 \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{dA}{A} = -0.04$ है।
अतः,$-0.04 = -\frac{dL}{L}$,जिसका अर्थ है $\frac{dL}{L} = 0.04$ या $4 \%$।
इस प्रकार,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $4 \%$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण कार्य नहीं करता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $u_x = u \cos(60^{\circ})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,इसलिए क्षैतिज घटक $u_x = u \times (1/2) = u/2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,लेकिन क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई पर वेग का क्षैतिज घटक $u/2$ है।

(C) कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और कण का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $v_x = v \cos \theta$ है।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उच्चतम बिंदु पर वेग $v_x = v \cos 60^{\circ} = \frac{v}{2}$ होगा।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K'$ का मान $K' = \frac{1}{2} m (v_x)^2$ है।
$v_x$ का मान रखने पर,हमें $K' = \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m v^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K = \frac{1}{2} m v^2$ है,इसलिए $K' = \frac{K}{4}$ होगा।

(C) चरण $1$: $-20^{\circ} C$ की $5 \ g$ बर्फ को $0^{\circ} C$ तक लाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta T = 5 \times 0.5 \times 20 = 50 \ cal$.
चरण $2$: $0^{\circ} C$ पर $5 \ g$ बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = m \cdot L_f = 5 \times 80 = 400 \ cal$.
बर्फ को $0^{\circ} C$ के जल में बदलने के लिए कुल आवश्यक ऊष्मा $Q_{total} = 50 + 400 = 450 \ cal$.
चरण $3$: $30^{\circ} C$ के $19 \ g$ जल द्वारा $0^{\circ} C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा: $Q_{released} = 19 \times 1 \times 30 = 570 \ cal$.
चूंकि $Q_{released} > Q_{total}$,बर्फ पूरी तरह पिघल जाएगी और अंतिम तापमान $T_f > 0^{\circ} C$ होगा।
चरण $4$: कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार: खोई गई ऊष्मा = प्राप्त ऊष्मा।
$19 \times 1 \times (30 - T_f) = 450 + 5 \times 1 \times (T_f - 0)$.
$570 - 19 T_f = 450 + 5 T_f$.
$120 = 24 T_f$.
$T_f = 5^{\circ} C$.

(C) झरने के शीर्ष पर पानी की स्थितिज ऊर्जा तल पर ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $mgh = J \cdot ms \Delta t$,जहाँ $J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक है ($J = 4186 \ J/kg^{\circ}C$ लेते हुए)।
यहाँ,$s$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,$s = 4186 \ J/kg^{\circ}C$।
$\Delta t$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta t = \frac{gh}{s}$।
मान रखने पर: $\Delta t = \frac{9.8 \times 50}{4186} \approx 0.117^{\circ} C$।

(A) समान लंबाई $\ell$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ वाली दो छड़ों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
$R_{eq} = R_1 + R_2$
चूंकि $R = \frac{\ell}{KA}$,इसलिए:
$\frac{2\ell}{K_{eff} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$
दोनों पक्षों से $\frac{\ell}{A}$ को हटाने पर:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
यहाँ $K_1 = 3$ और $K_2 = 4$ दिया गया है:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$
$K_{eff} = \frac{24}{7} \approx 3.43$ इकाई।

(C) अधिक ऊंचाई पर वायुमंडलीय दबाव समुद्र तल की तुलना में काफी कम होता है।
चूंकि किसी तरल का क्वथनांक बाहरी दबाव पर निर्भर करता है,इसलिए वायुमंडलीय दबाव में कमी आने से पानी का क्वथनांक भी कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,अधिक ऊंचाई पर पानी $100 \, ^\circ\text{C}$ से कम तापमान पर उबलने लगता है।
क्योंकि पानी कम तापमान पर उबलता है,इसलिए यह चावल को ठीक से पकाने के लिए पर्याप्त ऊष्मा प्रदान नहीं कर पाता है,जिससे खाना पकाने की प्रक्रिया कठिन हो जाती है।

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
पहले $1$ मीटर में किया गया कार्य ज्ञात करने के लिए, हम $x = 0$ और $x = 1$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं।
त्रिभुज का आधार $1 \,m$ है और ऊँचाई $5 \,N$ है।
$\text{किया गया कार्य} = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$\text{किया गया कार्य} = \frac{1}{2} \times 1 \,m \times 5 \,N = 2.5 \,J$.

(C) नमन कोण $\theta$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
दिया गया है कि क्षैतिज घटक $B_H$,ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ का $\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना है,अर्थात $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए नमन कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है: $I_{rms} = 10 \, A$ और $R = 12 \, \Omega$।
शिखर धारा $I_0$ का मान $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ संबंध द्वारा प्राप्त होता है।
$I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \, A$।
ओम के नियम के अनुसार प्रतिरोधक पर अधिकतम विभवांतर $V_0 = I_0 \times R$ होता है।
$V_0 = 14.14 \times 12 = 169.68 \, V$।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $n_i = 2$ से $n_f = 1$ में जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
अतः,$\lambda = \frac{4}{3R}$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ है,जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
माना प्रारंभिक आवेश $q_i = q$ है और अंतिम आवेश $q_f = q + 2$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ है और अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $U_f = U_i + 0.21 U_i = 1.21 U_i$.
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर: $\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर,हमें $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $q + 2 = 1.1 q$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1.1 q - q = 2$,जिससे $0.1 q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब $4$ संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_1$ का मान $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ होता है,जिसका अर्थ है $C_1 = \frac{C}{4}$।
जब $4$ संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_2$ का मान $C_2 = C + C + C + C = 4C$ होता है।
अब,अनुपात $\frac{C_1}{C_2}$ की गणना $\frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ के रूप में की जाती है।

(A) $E$ emf और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो समान सेल जब समानांतर में जुड़े होते हैं,तो तुल्य emf $E_{eq} = E$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r / 2$ होता है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2} = \frac{2E}{2R + r}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ पर विकसित शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{2E}{2R + r} \right)^2 R$ है।
शक्ति को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dP}{dR} = 0$ रखते हैं,जो $R = r_{eq}$ की स्थिति देता है।
$r_{eq} = r / 2$ रखने पर,हमें $R = r / 2$ प्राप्त होता है।

(D) फैक्ट्री को दी गई शक्ति $P_{out} = 10 \text{ kW} = 10000 \text{ W}$ है और वोल्टेज $V = 200 \text{ V}$ है।
केबल से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{10000}{200} = 50 \text{ A}$ है।
केबल के प्रतिरोध $R = 0.2 \Omega$ के कारण होने वाली शक्ति हानि $P_{loss} = I^2 R = (50)^2 \times 0.2 = 2500 \times 0.2 = 500 \text{ W}$ है।
स्रोत पर उत्पन्न कुल शक्ति $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 10000 + 500 = 10500 \text{ W}$ है।
संचरण की दक्षता $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100 = \frac{10000}{10500} \times 100 \approx 95.24 \%$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $95 \%$ है।

(C) तांबे के तार का द्रव्यमान स्थिर रहता है। द्रव्यमान $= \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times \ell) \times \sigma$,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\ell$ लंबाई है और $\sigma$ घनत्व है।
समान द्रव्यमान के दो तारों के लिए: $\pi r_1^2 \ell_1 \sigma = \pi r_2^2 \ell_2 \sigma \implies \frac{\ell_1}{\ell_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
दिए गए व्यास $d_1 = 1 \ mm$ और $d_2 = 2 \ mm$ हैं,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1} = 2$ है। अतः,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = (2)^2 = 4$.
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ है।
इसलिए,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = 4 \times (2)^2 = 4 \times 4 = 16$.
अतः,अनुपात $16: 1$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$,सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर उसका आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{\ell}$ होगा।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,हमें $R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \ell^2$ होगा।
दी गई नई लंबाई $\ell_2 = 3 \ell_1$ है,इसलिए नए प्रतिरोध $R_2$ और मूल प्रतिरोध $R_1$ के बीच का संबंध $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{R_2}{5 \Omega} = (3)^2 = 9$।
अतः,$R_2 = 5 \Omega \times 9 = 45 \Omega$ होगा।

(B) आवेश के क्वांटीकरण के सिद्धांत के अनुसार,कुल आवेश $Q = ne$ होता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ मूल आवेश $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ है।
यहाँ $Q = 2 \ C$ दिया गया है।
सूत्र को $n$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{Q}{e}$।
मान रखने पर: $n = \frac{2}{1.6 \times 10^{-19}} \ C$।
$n = 1.25 \times 10^{19}$ इलेक्ट्रॉन।

(A) धारा $I$ और आवेश $Q$ के बीच का संबंध $I = \frac{dQ}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $Q = \int I \ dt$।
चूँकि $I = 3t^2 + 2t + 5$ दिया गया है,हम $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक समय के सापेक्ष इसका समाकलन करेंगे:
$Q = \int_{0}^{2} (3t^2 + 2t + 5) \ dt$
$Q = [t^3 + t^2 + 5t]_{0}^{2}$
$Q = (2^3 + 2^2 + 5(2)) - (0^3 + 0^2 + 5(0))$
$Q = (8 + 4 + 10) - 0$
$Q = 22 \ C$.

(D) स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,किसी संरक्षी बल द्वारा किसी आवेश को किसी बंद पथ पर ले जाने में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
चूंकि आवेश $Q$ को एक वृत्त के चारों ओर एक बार घुमाया जाता है,जो एक बंद पथ है,इसलिए कुल किया गया कार्य $0$ है।

(C) बायो-सावर्ट के नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $I \vec{dl}$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d \vec{B}$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \vec{r})}{r^3}$
चूंकि $\vec{r} = r \hat{r}$,हम इसे $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \hat{r})}{r^2}$ के रूप में भी लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही सदिश रूप का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) $r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
e.m.u. (इलेक्ट्रोमैग्नेटिक यूनिट) प्रणाली में,मुक्त स्थान की पारगम्यता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $\frac{\mu_0}{4\pi} = 1$ हो।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ से $B = \mu_0 H$ के माध्यम से संबंधित है,जिसका अर्थ है $H = \frac{B}{\mu_0}$।
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ को $H$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $H = \frac{\mu_0 I / 2r}{\mu_0} = \frac{I}{2r}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,e.m.u. प्रणाली में,धारा $I$ को एबएम्पियर में मापा जाता है और वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र $H = \frac{2\pi I}{r}$ ओर्स्टेड होता है।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में,समीकरण के दोनों पक्षों में कुल परमाणु क्रमांक $(Z)$ और कुल द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण होना चाहिए।
दी गई अभिक्रिया: ${ }_4^9 Be + { }_2^4 He \rightarrow { }_6^{12} C + x$
मान लीजिए कि कण $x$ को ${ }_Z^A X$ द्वारा दर्शाया गया है।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण: $9 + 4 = 12 + A \Rightarrow 13 = 12 + A \Rightarrow A = 1$.
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: $4 + 2 = 6 + Z \Rightarrow 6 = 6 + Z \Rightarrow Z = 0$.
द्रव्यमान संख्या $1$ और परमाणु क्रमांक $0$ वाला कण एक न्यूट्रॉन है,जिसे ${ }_0^1 n$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) एक अपसारी (अवतल) लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ को ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $f_{lens} = -f$ (जहाँ $f > 0$ है)।
दिया गया है कि वस्तु की दूरी $u = -mf$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-mf} = \frac{1}{-f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f} \left(1 + \frac{1}{m}\right) = -\frac{1}{f} \left(\frac{m+1}{m}\right)$.
अतः,$v = -f \left(\frac{m}{m+1}\right)$.
रैखिक आवर्धन $M = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$M = \frac{-f \left(\frac{m}{m+1}\right)}{-mf} = \frac{1}{m+1}$.

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 2.0 \,cm$,वस्तु दूरी $u = -15 \,cm$,फोकस दूरी $f = -10 \,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$.
अतः,$v = -30 \,cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = -2 \times 2.0 = -4.0 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है। प्रतिबिंब का आकार $4.0 \,cm$ है।

(D) किसी माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात (या हवा) में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
$\lambda_0 = 4200 Å$
$n = 4/3$
मान रखने पर:
$\lambda_m = \frac{4200}{4/3} = 4200 \times \frac{3}{4} = 1050 \times 3 = 3150 Å$.
अतः,पानी में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $3150 Å$ होगी।

(B) दिए गए परिपथ में,डायोड का $p$-सिरा उच्च विभव $(5 \text{ V})$ से और $n$-सिरा निम्न विभव $(0 \text{ V})$ से जुड़ा है।
अतः,डायोड फॉरवर्ड बायस में है।
डायोड का फॉरवर्ड बायस प्रतिरोध $R_d = 25 \Omega$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_d + R = 25 \Omega + 10 \Omega = 35 \Omega$ होगा।
परिपथ में विभवांतर $V = 5 \text{ V} - 0 \text{ V} = 5 \text{ V}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{35 \Omega} = \frac{1}{7} \text{ A}$ प्राप्त होती है।

(B) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$37 \div 2 = 18$ शेषफल $1$
$18 \div 2 = 9$ शेषफल $0$
$9 \div 2 = 4$ शेषफल $1$
$4 \div 2 = 2$ शेषफल $0$
$2 \div 2 = 1$ शेषफल $0$
$1 \div 2 = 0$ शेषफल $1$
शेषफल को नीचे से ऊपर की ओर पढ़ने पर,$37$ का बाइनरी निरूपण $(100101)_2$ प्राप्त होता है।
$(100101)_2$ में अंकों की गणना करने पर,हमें $6$ अंक मिलते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) विद्युत चालकता आवेश परिवहन के लिए उपलब्ध मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करती है। दिए गए विकल्पों में से,$Copper$ $(Cu)$ एक संक्रमण धातु है जिसमें मुक्त इलेक्ट्रॉनों का घनत्व बहुत अधिक होता है और प्रतिरोधकता कम होती है,जो इसे बिजली का एक उत्कृष्ट सुचालक बनाती है। हालांकि $Gold$ और $Platinum$ भी अच्छे सुचालक हैं,लेकिन $Copper$ का उपयोग इसकी बेहतर चालकता-से-लागत अनुपात के कारण विद्युत तारों में व्यापक रूप से किया जाता है। $Silicon$ एक अर्धचालक है,सुचालक नहीं।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग की तीव्रता $I_0$ है।
जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$
चूंकि तरंगें समान हैं,इसलिए $I_1 = I_2 = I_0$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \delta$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \delta$
$I = 2I_0 (1 + \cos \delta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \delta = 2 \cos^2(\delta / 2)$ का उपयोग करने पर:
$I = 2I_0 (2 \cos^2(\delta / 2))$
$I = 4I_0 \cos^2(\delta / 2)$
अतः,परिणामी तीव्रता $\cos^2(\delta / 2)$ के समानुपाती है।