WBJEE 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ અને રેખીય વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
આપેલ દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$ છે.
આપેલ ગતિઊર્જા $K_1$ અને $K_2$ છે જેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$.
તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m_1 K_1}{2m_2 K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{K_1}{K_2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m} \times \frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{1}{4} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ છે. આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં $20 \%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી $K_f = 1.20 K_i$.
ચલે $K \propto p^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1.20 = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_f}{p_i} = \sqrt{1.20} \approx 1.0954$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{p_f - p_i}{p_i} \times 100 = (1.0954 - 1) \times 100 = 9.54 \%$.
આમ,$9.54 \%$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે વાયુ અચળાંક $R$ ને $R = \frac{PV}{nT}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અહીં,$P$ એ દબાણ $(N m^{-2})$,$V$ એ કદ $(m^3)$,$n$ એ પદાર્થનો જથ્થો $(mol)$ અને $T$ એ તાપમાન $(K)$ છે.
$PV$ નો એકમ $(N m^{-2}) \times (m^3) = N m = J$ (જૂલ) છે.
તેથી,$R$ નો એકમ $\frac{J}{mol \times K} = J K^{-1} mol^{-1}$ થાય છે.

(C) જ્યારે $K_1$ અને $K_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં (એકબીજાના છેડે) જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિસ્તરણ $x$ એ વ્યક્તિગત વિસ્તરણ $x_1$ અને $x_2$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તંત્ર પર લાગતા બળ $F$ માટે,$x_1 = F/K_1$ અને $x_2 = F/K_2$ થાય.
કુલ વિસ્તરણ $x = x_1 + x_2 = F/K_1 + F/K_2$ છે.
જો $K$ એ સમતુલ્ય બળ અચળાંક હોય,તો $x = F/K$ લખી શકાય.
તેથી,$F/K = F/K_1 + F/K_2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1/K = 1/K_1 + 1/K_2$ મળે છે.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{\ell}$ અથવા $k \ell = \text{અચળ}$.
જ્યારે $\ell$ લંબાઈ અને $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા ભાગની લંબાઈ $\ell' = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
ધારો કે દરેક નવા ભાગનો બળ અચળાંક $k'$ છે.
સંબંધ $k \ell = k' \ell'$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$k \ell = k' \left( \frac{\ell}{2} \right)$
$k = \frac{k'}{2}$
$k' = 2k$.
તેથી,દરેક અડધા ભાગનો બળ અચળાંક $2k$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_T = \frac{2r^2(\sigma - \rho)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ સમાન હોવાથી,$m = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma \propto \frac{1}{r^3}$.
ટર્મિનલ વેગના સૂત્રમાં $\sigma = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ મૂકતા:
$v_T = \frac{2r^2}{9\eta} \left( \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3} - \rho \right)g = \frac{2g}{9\eta} \left( \frac{3m}{4\pi r} - r^2\rho \right)$.
જ્યારે ગોળાની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઘણી વધારે હોય $(\sigma \gg \rho)$,ત્યારે $v_T \propto r^2 \sigma$ થાય.
$r^3 \sigma = \text{અચળ}$ હોવાથી,$\sigma \propto r^{-3}$ મળે.
તેથી,$v_T \propto r^2 \cdot r^{-3} = r^{-1} = \frac{1}{r}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$.

(D) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{dD/D}{dL/L}$.
આપેલ છે કે $\sigma = 0.5$,તેથી $0.5 = -\frac{dD/D}{dL/L}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{dD}{D} = -0.5 \frac{dL}{L}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{dA}{A} = 2 \frac{dD}{D}$ મળે.
$\frac{dD}{D}$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{dA}{A} = 2 (-0.5 \frac{dL}{L}) = -\frac{dL}{L}$ મળે.
ક્ષેત્રફળમાં $4 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{dA}{A} = -0.04$.
આથી,$-0.04 = -\frac{dL}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{L} = 0.04$ અથવા $4 \%$.
આમ,લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $4 \%$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ કાર્ય કરતું ન હોવાથી સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $u_x = u \cos(60^{\circ})$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,તેથી સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \times (1/2) = u/2$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u/2$ છે.

(C) કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને કણનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે,જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $v_x = v \cos 60^{\circ} = \frac{v}{2}$ થશે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{1}{2} m (v_x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$v_x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $K' = \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m v^2)$ મળે છે.
આમ,$K = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,$K' = \frac{K}{4}$ થાય.

(C) પગલું $1$: $-20^{\circ} C$ તાપમાનના $5 \ g$ બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાન સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta T = 5 \times 0.5 \times 20 = 50 \ cal$.
પગલું $2$: $0^{\circ} C$ તાપમાનના $5 \ g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_f = 5 \times 80 = 400 \ cal$.
બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q_{total} = 50 + 400 = 450 \ cal$.
પગલું $3$: $30^{\circ} C$ તાપમાનના $19 \ g$ પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{released} = 19 \times 1 \times 30 = 570 \ cal$.
અહીં $Q_{released} > Q_{total}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને અંતિમ તાપમાન $T_f > 0^{\circ} C$ હશે.
પગલું $4$: કેલરીમીટરીના સિદ્ધાંત મુજબ: ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા.
$19 \times 1 \times (30 - T_f) = 450 + 5 \times 1 \times (T_f - 0)$.
$570 - 19 T_f = 450 + 5 T_f$.
$120 = 24 T_f$.
$T_f = 5^{\circ} C$.

(C) ધોધના ઉપરના ભાગમાં રહેલી પાણીની સ્થિતિ ઊર્જા નીચેના ભાગમાં ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $mgh = J \cdot ms \Delta t$,જ્યાં $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે ($J = 4186 \ J/kg^{\circ}C$ તરીકે લેતા).
અહીં,$s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,$s = 4186 \ J/kg^{\circ}C$.
$\Delta t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta t = \frac{gh}{s}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{9.8 \times 50}{4186} \approx 0.117^{\circ} C$.

(A) સમાન લંબાઈ $\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા બે સળિયાઓને શ્રેણીમાં જોડતા,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$R = \frac{\ell}{KA}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2\ell}{K_{eff} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$
બંને બાજુથી $\frac{\ell}{A}$ દૂર કરતા:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
અહીં $K_1 = 3$ અને $K_2 = 4$ આપેલ છે:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$
$K_{eff} = \frac{24}{7} \approx 3.43$ એકમ.

(C) વધારે ઊંચાઈએ વાતાવરણીય દબાણ સમુદ્ર સપાટી કરતા ઘણું ઓછું હોય છે.
પ્રવાહીનું ઉત્કલનબિંદુ બાહ્ય દબાણ પર આધારિત હોવાથી,વાતાવરણીય દબાણમાં ઘટાડો થવાથી પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ પણ ઘટે છે.
પરિણામે,ઊંચાઈવાળા સ્થળોએ પાણી $100 \, ^\circ\text{C}$ કરતા ઓછા તાપમાને ઉકળે છે.
પાણી નીચા તાપમાને ઉકળતું હોવાથી,તે ચોખાને યોગ્ય રીતે રાંધવા માટે પૂરતી ગરમી આપી શકતું નથી,જેના કારણે રાંધવાની પ્રક્રિયા મુશ્કેલ બને છે.

(D) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રથમ $1$ મીટરમાં થયેલું કાર્ય શોધવા માટે, આપણે $x = 0$ અને $x = 1$ ની વચ્ચે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
ત્રિકોણનો પાયો $1 \,m$ છે અને ઊંચાઈ $5 \,N$ છે.
$\text{થયેલું કાર્ય} = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{થયેલું કાર્ય} = \frac{1}{2} \times 1 \,m \times 5 \,N = 2.5 \,J$.

(C) ડીપનો ખૂણો $\theta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
અહીં આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ ના $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ગણો છે,એટલે કે $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી ડીપનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $I_{rms} = 10 \, A$ અને $R = 12 \, \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ એ $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ સંબંધ દ્વારા મળે છે.
$I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \, A$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ અવરોધ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = I_0 \times R$ છે.
$V_0 = 14.14 \times 12 = 169.68 \, V$.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન $n_i = 2$ થી $n_f = 1$ માં જાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3R}$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વીજભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વીજભાર $q_i = q$ છે અને અંતિમ વીજભાર $q_f = q + 2$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ અને અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_f = U_i + 0.21 U_i = 1.21 U_i$.
ઉર્જાના પદો મૂકતા: $\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ દૂર કરતા,આપણને $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $q + 2 = 1.1 q$.
પદોને ગોઠવતા: $1.1 q - q = 2$,જેનું સાદું રૂપ $0.1 q = 2$ થાય છે.
તેથી,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C$ છે.
જ્યારે $4$ કેપેસીટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C_1 = \frac{C}{4}$.
જ્યારે $4$ કેપેસીટરોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ એ $C_2 = C + C + C + C = 4C$ દ્વારા મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2}$ ની ગણતરી $\frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(A) $E$ emf અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે સમાન કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય emf $E_{eq} = E$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r / 2$ થાય છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2} = \frac{2E}{2R + r}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ પર ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = I^2 R = \left( \frac{2E}{2R + r} \right)^2 R$ છે.
પાવર મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dP}{dR} = 0$ લઈએ છીએ,જે $R = r_{eq}$ ની શરત આપે છે.
$r_{eq} = r / 2$ મૂકતા,આપણને $R = r / 2$ મળે છે.

(D) ફેક્ટરીને મળતો પાવર $P_{out} = 10 \text{ kW} = 10000 \text{ W}$ છે અને વોલ્ટેજ $V = 200 \text{ V}$ છે.
કેબલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{10000}{200} = 50 \text{ A}$ છે.
કેબલના અવરોધ $R = 0.2 \Omega$ ને કારણે થતો પાવર વ્યય $P_{loss} = I^2 R = (50)^2 \times 0.2 = 2500 \times 0.2 = 500 \text{ W}$ છે.
સ્ત્રોત પર ઉત્પન્ન થતો કુલ પાવર $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 10000 + 500 = 10500 \text{ W}$ છે.
ટ્રાન્સમિશનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100 = \frac{10000}{10500} \times 100 \approx 95.24 \%$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $95 \%$ છે.

(C) તાંબાના તારનું દળ અચળ રહે છે. દળ $= \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times \ell) \times \sigma$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $\sigma$ એ ઘનતા છે.
સમાન દળના બે તાર માટે: $\pi r_1^2 \ell_1 \sigma = \pi r_2^2 \ell_2 \sigma \implies \frac{\ell_1}{\ell_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
આપેલ વ્યાસ $d_1 = 1 \ mm$ અને $d_2 = 2 \ mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1} = 2$ થાય. આમ,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = (2)^2 = 4$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = 4 \times (2)^2 = 4 \times 4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેનું કદ $V = A \ell$ અચળ રહે છે,તેથી $A = \frac{V}{\ell}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \ell^2$ થાય.
નવી લંબાઈ $\ell_2 = 3 \ell_1$ આપેલ છે,તેથી નવા અવરોધ $R_2$ અને મૂળ અવરોધ $R_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{5 \Omega} = (3)^2 = 9$.
તેથી,$R_2 = 5 \Omega \times 9 = 45 \Omega$ થાય.

(B) વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = ne$ થાય,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે.
અહીં $Q = 2 \ C$ આપેલ છે.
સૂત્રને $n$ માટે ગોઠવતા: $n = \frac{Q}{e}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{2}{1.6 \times 10^{-19}} \ C$.
$n = 1.25 \times 10^{19}$ ઇલેક્ટ્રોન.

(A) પ્રવાહ $I$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{dQ}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $Q = \int I \ dt$.
અહીં $I = 3t^2 + 2t + 5$ આપેલ છે,તેથી આપણે $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધી સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$Q = \int_{0}^{2} (3t^2 + 2t + 5) \ dt$
$Q = [t^3 + t^2 + 5t]_{0}^{2}$
$Q = (2^3 + 2^2 + 5(2)) - (0^3 + 0^2 + 5(0))$
$Q = (8 + 4 + 10) - 0$
$Q = 22 \ C$.

(D) સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સંરક્ષી બળ દ્વારા કોઈપણ બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ ને વર્તુળાકાર માર્ગે એક વાર ફેરવવામાં આવે છે,જે એક બંધ માર્ગ છે,તેથી કુલ કાર્ય $0$ થાય છે.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d \vec{B}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \vec{r})}{r^3}$
કારણ કે $\vec{r} = r \hat{r}$,આપણે તેને $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \hat{r})}{r^2}$ તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ સાચું સદિશ સ્વરૂપ દર્શાવે છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
e.m.u. (ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક યુનિટ) પદ્ધતિમાં,શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેથી $\frac{\mu_0}{4\pi} = 1$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $B = \mu_0 H$ સંબંધ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $H = \frac{B}{\mu_0}$.
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ ને $H$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $H = \frac{\mu_0 I / 2r}{\mu_0} = \frac{I}{2r}$ મળે છે.
જોકે,e.m.u. પદ્ધતિમાં,પ્રવાહ $I$ ને એબએમ્પિયરમાં માપવામાં આવે છે અને વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું સૂત્ર $H = \frac{2\pi I}{r}$ ઓર્સ્ટેડ થાય છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
આપેલ પ્રક્રિયા: ${ }_4^9 Be + { }_2^4 He \rightarrow { }_6^{12} C + x$
ધારો કે કણ $x$ એ ${ }_Z^A X$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ: $9 + 4 = 12 + A \Rightarrow 13 = 12 + A \Rightarrow A = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $4 + 2 = 6 + Z \Rightarrow 6 = 6 + Z \Rightarrow Z = 0$.
દળ ક્રમાંક $1$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_0^1 n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $f_{lens} = -f$ (જ્યાં $f > 0$).
આપેલ છે કે વસ્તુ અંતર $u = -mf$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-mf} = \frac{1}{-f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f} \left(1 + \frac{1}{m}\right) = -\frac{1}{f} \left(\frac{m+1}{m}\right)$.
તેથી,$v = -f \left(\frac{m}{m+1}\right)$.
રેખીય મોટવણી $M = \frac{v}{u}$ દ્વારા મળે છે.
$M = \frac{-f \left(\frac{m}{m+1}\right)}{-mf} = \frac{1}{m+1}$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 2.0 \,cm$,વસ્તુ અંતર $u = -15 \,cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$.
તેથી,$v = -30 \,cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -2 \times 2.0 = -4.0 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે. પ્રતિબિંબનું કદ $4.0 \,cm$ છે।

(D) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
$\lambda_0 = 4200 Å$
$n = 4/3$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_m = \frac{4200}{4/3} = 4200 \times \frac{3}{4} = 1050 \times 3 = 3150 Å$.
તેથી,પાણીમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $3150 Å$ થશે.

(B) આપેલ પરિપથમાં,ડાયોડનો $p$-છેડો ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ $(5 \text{ V})$ સાથે અને $n$-છેડો નીચા પોટેન્શિયલ $(0 \text{ V})$ સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
ડાયોડનો ફોરવર્ડ બાયસ અવરોધ $R_d = 25 \Omega$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_d + R = 25 \Omega + 10 \Omega = 35 \Omega$ થશે.
પરિપથમાં પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 5 \text{ V} - 0 \text{ V} = 5 \text{ V}$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{35 \Omega} = \frac{1}{7} \text{ A}$ મળે છે.

(B) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$37 \div 2 = 18$ અને શેષ $1$ મળે છે.
$18 \div 2 = 9$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$9 \div 2 = 4$ અને શેષ $1$ મળે છે.
$4 \div 2 = 2$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$2 \div 2 = 1$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$1 \div 2 = 0$ અને શેષ $1$ મળે છે.
શેષને નીચેથી ઉપર તરફ વાંચતા,$37$ નું બાઈનરી સ્વરૂપ $(100101)_2$ મળે છે.
$(100101)_2$ માં અંકોની ગણતરી કરતા,આપણને $6$ અંકો મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિદ્યુત વાહકતા એ ચાર્જ ટ્રાન્સપોર્ટ માટે ઉપલબ્ધ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Copper$ $(Cu)$ એ એક સંક્રાંતિ ધાતુ છે જેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા ખૂબ વધારે હોય છે અને અવરોધકતા ઓછી હોય છે,જે તેને વીજળીનો ઉત્તમ વાહક બનાવે છે. જોકે $Gold$ અને $Platinum$ પણ સારા વાહક છે,પરંતુ $Copper$ તેની શ્રેષ્ઠ વાહકતા અને કિંમતના ગુણોત્તરને કારણે વિદ્યુત વાયરિંગમાં વ્યાપકપણે વપરાય છે. $Silicon$ એ અર્ધવાહક છે,વાહક નથી.

(C) ધારો કે દરેક વ્યક્તિગત તરંગની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$
તરંગો સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I_0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \delta$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \delta$
$I = 2I_0 (1 + \cos \delta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \delta = 2 \cos^2(\delta / 2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2I_0 (2 \cos^2(\delta / 2))$
$I = 4I_0 \cos^2(\delta / 2)$
તેથી,પરિણામી તીવ્રતા $\cos^2(\delta / 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.