$f(x)=ax^2-bx-a$ એક દ્વિઘાત પદાવલી છે. જો $K$ એ એવી ન્યૂનતમ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય કે જેથી $f(x) \leq K, \forall x \in R$ થાય,તો

$k$ ના કયા ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય માટે સમીકરણ $x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ ના બંને બીજ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને ઓછામાં ઓછા $4$ હોય?

ધારો કે $f(x) = (1 + b^2)x^2 + 2bx + 1$ અને $m(b)$ એ $f(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે. જો $b$ કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે,તો $m(b)$ નો વિસ્તાર શું છે?

વિધાન-$I$: જો સમીકરણ $x^2 + 2(a - 3)x + 9 = 0$,$a \in R$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે $\alpha < 6 < \beta$ હોય,તો $a < -3/4$ થાય.
વિધાન-$II$: જો $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$ હોય,તો $f(6) < 0 \implies a < -3/4$.

જો દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+5x-2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $M$ હોય અને તે $x=a$ આગળ મળે,તો $\frac{M}{a}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો $5 + 4x - 4x^2$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?