જો અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $P\ (3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. $A$ અને $B$ ના યામ શોધો.

$X$-અક્ષને લંબ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને $A$ માં અને ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ને $B$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $A$ અને $B$ એક જ ચરણમાં હોય. જો $A$ અને $B$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો સૌથી મોટો લઘુકોણ $\theta$ હોય,તો $\tan \theta=$

$C$ એ $(0, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $P$ એ પરવલય $y = ax^2$ છે. $a$ ના જે મૂલ્યો માટે તેઓ ઉગમબિંદુ સિવાયના બિંદુએ મળે છે,તે ગણ છે

પરવલય $y^2 = 4ax$ ના શિરોબિંદુ $O$ માંથી બે જીવાઓ $OP$ અને $OQ$ દોરવામાં આવે છે,અને $OP$ તથા $OQ$ ને વ્યાસ ગણીને દોરેલા વર્તુળો $R$ માં છેદે છે. જો $\theta_1, \theta_2$ અને $\phi$ એ પરવલય પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો અને $OR$ દ્વારા અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા હોય,તો $\cot \theta_1 + \cot \theta_2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$,જ્યાં $y_1 < 0$ અને $y_2 < 0$,એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ છે. નાભિલંબ $PQ$ ધરાવતા પરવલયોના સમીકરણો કયા છે?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$