જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ હોય અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{5}$ હોય તેવું ઉપવલય કયું છે?

જો $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ માંથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળના સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના લંબપાદ હોય,તો $(S_1 F_1) (S_2 F_2)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતા $E_1$ જેવી જ હોય,અને $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય $(i \geq 1)$. જો $A_i$ એ ઉપવલય $E_i$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના બિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે વક્રો $4(x^{2}+y^{2}) = 9$ અને $y^{2} = 4x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત એક ઉપવલય છે,જેના અર્ધ-લઘુ અક્ષ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $OQ$ અને $6$ છે. જો $e$ અને $l$ એ આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય,તો $\frac{l}{e^{2}}$ ની કિંમત શોધો.