નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: જો $P_1, P_2, P_3$ એ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ બનવાની સંભાવનાઓ હોય,તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે.
કારણ $(R)$: કોઈપણ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે,$P(\text{માત્ર } A \text{ અથવા } B \text{ બને}) = P(\text{માત્ર } B \text{ અથવા } C \text{ બને}) = P(\text{માત્ર } C \text{ અથવા } A \text{ બને}) = \frac{1}{4}$ અને $P(\text{ત્રણેય ઘટનાઓ એકસાથે બને}) = \frac{1}{16}$ છે. તો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના કેટલી છે?

પાસા ફેંકવાની રમતમાં,યુગ્મ ક્રમના પ્રયત્નમાં $1$ મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક જહાજમાં ત્રણ એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ ફીટ કરેલા છે. એન્જિન એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અનુક્રમે $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{4}$ સંભાવના સાથે કાર્ય કરે છે. જહાજ કાર્યરત રહે તે માટે તેના ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોવા જોઈએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે જહાજ કાર્યરત છે અને $X_1, X_2$ અને $X_3$ એ ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે અનુક્રમે એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ કાર્યરત છે. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{બરાબર બે એન્જિન કાર્યરત છે} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

ધારો કે $7$ અવલોકનો $2, 4, 10, x, 12, 14, y$ (જ્યાં $x > y$) નો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $8$ અને $16$ છે. ગણ $\{1, 2, 3, x-4, y, 5\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ વારાફરતી પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. તો બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા $4$ કરતા ઓછી હોય તેની સંભાવના શોધો:

એક રમતમાં,જ્યારે એક નિષ્પક્ષ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે $4$ થી મોટી સંખ્યા મેળવવા પર વ્યક્તિ $5$ રૂપિયા જીતે છે અને અન્યથા $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે. એક માણસ રમતમાં ભાગ લે છે અને જેવો તેને $4$ થી મોટી સંખ્યા મળે કે તરત જ રમત છોડવાનું નક્કી કરે છે. જો તે મહત્તમ $3$ વાર પાસો ફેંકે,તો તે જે રકમ જીતે/ગુમાવે છે તેની અપેક્ષિત કિંમત (સરેરાશ કિંમત) કેટલી છે?