TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) रेखा $Ax+By+C=0$ पर मूल बिंदु से खींचे गए अभिलंब की ढाल $m = \frac{B}{A}$ होती है।
रेखा $x+y+\sqrt{2}=0$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $x-y=0$ है,इसलिए इसकी ढाल $1$ है। अतः,$\tan \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{5 \pi}{4}$।
रेखा $x-\sqrt{3}y-2=0$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $\sqrt{3}x+y=0$ है,इसलिए इसकी ढाल $-\sqrt{3}$ है। अतः,$\tan \beta = -\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{5 \pi}{3}$।
योग $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4} + \frac{5 \pi}{3} = \frac{15 \pi + 20 \pi}{12} = \frac{35 \pi}{12}$।

(C) $(1, -2)$ और $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
रेखा $x + 2y - 7 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) रेखाएँ $x+2ay+a=0$,$x+3by+b=0$ और $x+4cy+c=0$ संगामी हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य है:
$\left|\begin{array}{lll}1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$
$-ab - bc + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह $a, b, c$ के हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में होने की शर्त है।

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है।
चूंकि रेखा $x+y+1=0$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए समद्विभाजक और दी गई रेखा $2x+3y-4=0$ के बीच का कोण,समद्विभाजक और अभीष्ट रेखा के बीच के कोण के बराबर होगा।
समद्विभाजक की ढाल $m_1 = -1$ है। दी गई रेखा की ढाल $m_2 = -2/3$ है।
समद्विभाजक और दी गई रेखा के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{-2/3 - (-1)}{1 + (-2/3)(-1)} \right| = \frac{1}{5}$।
अब,अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ लेते हुए,$\tan \theta = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$।
दोनों को बराबर करने पर: $\left| \frac{m+1}{1-m} \right| = \frac{1}{5}$।
हल करने पर $m = -3/2$ प्राप्त होता है।
$x+y+1=0$ और $2x+3y-4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-7, 6)$ है।
ढाल $m = -3/2$ और बिंदु $(-7, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 6 = -\frac{3}{2}(x + 7) \implies 3x + 2y + 9 = 0$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 7)$,$B(-5, -1)$ और $C(-1, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण जो $(1, 7)$ और $(-5, -1)$ से गुजरती है:
$y - 7 = \frac{-1 - 7}{-5 - 1}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{-8}{-6}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 21 = 4x - 4 \Rightarrow 4x - 3y + 17 = 0$.
रेखा $BC$ का समीकरण जो $(-5, -1)$ और $(-1, 2)$ से गुजरती है:
$y + 1 = \frac{2 - (-1)}{-1 - (-5)}(x + 5) \Rightarrow y + 1 = \frac{3}{4}(x + 5)$
$4y + 4 = 3x + 15 \Rightarrow 3x - 4y + 11 = 0$.
$\angle ABC$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण:
$\frac{4x - 3y + 17}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 11}{5}$
स्थिति $1$: $4x - 3y + 17 = 3x - 4y + 11 \Rightarrow x + y + 6 = 0$.
स्थिति $2$: $4x - 3y + 17 = -(3x - 4y + 11)$ $\Rightarrow 4x - 3y + 17 = -3x + 4y - 11$ $\Rightarrow 7x - 7y + 28 = 0$ $\Rightarrow x - y + 4 = 0$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x - y + 4 = 0$ सही समीकरण है।

(B) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएँ $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। बिंदु $(x, y)$ है।
बिंदु $(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|x| + |y| = 3$.
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ और $(0, -3)$ हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई $(3, 0)$ और $(0, 3)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) माना चर बिंदु के निर्देशांक $P(h, k)$ हैं।
दिया गया है कि $A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ हैं और $|PA-PB|=3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$2h - 2k - 9 = 6\sqrt{(h-2)^2+(k-1)^2}$.
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2h-2k-9)^2 = 36((h-2)^2+(k-1)^2)$.
सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$32h^2+32k^2+8hk-108h-108k+99=0$.
अतः,$P$ का बिंदुपथ $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+99=0$ है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $P$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$h = \frac{x_1 + 1}{2}$ और $k = \frac{y_1 + 0}{2}$
इससे $x_1 = 2h - 1$ और $y_1 = 2k$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $Q(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित है,इसलिए $x_1$ और $y_1$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(2h - 1)^2 + (2k)^2 = 1$
$4h^2 - 4h + 1 + 4k^2 = 1$
$4h^2 + 4k^2 - 4h = 0$
$4$ से भाग देने पर,$h^2 + k^2 - h = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ है।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= 1$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ का उपयोग करने पर।
बिंदुओं $P(x, y), A(-1, 2), B(1, -2)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |x(2 - (-2)) + (-1)(-2 - y) + 1(y - 2)| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2 + y + y - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2y| = 1$
$|2x + y| = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2x + y)^2 = 1^2$
$4x^2 + 4xy + y^2 = 1$.

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $y = m_1x$ और $y = m_2x$ हैं। ये रेखाएँ रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,जिसका ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
चूँकि त्रिभुज समबाहु है,प्रत्येक रेखा और दी गई रेखा के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_i}{1 + m \cdot m_i} \right|$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{3} = \left| \frac{-\frac{3}{4} - m_i}{1 + (-\frac{3}{4})m_i} \right| = \left| \frac{-3 - 4m_i}{4 - 3m_i} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{(3 + 4m_i)^2}{(4 - 3m_i)^2} \Rightarrow 11m_i^2 - 96m_i + 39 = 0$.
अतः,रेखाओं के युग्म का समीकरण $11y^2 - 96xy + 39x^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई सरल रेखाओं का युग्म बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है।
मान लीजिए रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \theta$ और $m_2 = \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ है।
रेखाओं के समीकरण $(y-1) = \tan \theta(x-1)$ और $(y-1) = \cot \theta(x-1)$ हैं।
संयुक्त समीकरण $[(y-1) - \tan \theta(x-1)][(y-1) - \cot \theta(x-1)] = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(y-1)^2 - (x-1)(y-1)(\tan \theta + \cot \theta) + (x-1)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - (\tan \theta + \cot \theta)xy + (\tan \theta + \cot \theta - 2)x + (\tan \theta + \cot \theta - 2)y + (2 - (\tan \theta + \cot \theta)) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $x^2 - (a+2)xy + y^2 + a(x+y-1) = 0$ के साथ तुलना करने पर,$xy$ का गुणांक:
$\tan \theta + \cot \theta = a+2$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{2}{\sin 2\theta} = a+2$,जिसका अर्थ है $\sin 2\theta = \frac{2}{a+2}$.
अतः,$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{a+2}\right)$।

(B) दी गई रेखा $x+y-1=0$ है,जिसे $y = -x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। चूंकि ये रेखाएं दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,हम सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = -1$ रखने पर:
$1 = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}| = |\frac{m+1}{1-m}|$.
यह दो स्थितियां देता है:
स्थिति $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1$ $\Rightarrow m+1 = 1-m$ $\Rightarrow 2m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m=0$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = 0(x-1) \Rightarrow y-1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1$ $\Rightarrow m+1 = -1+m$ $\Rightarrow 1 = -1$,जो असंभव है। यह इंगित करता है कि दूसरी रेखा ऊर्ध्वाधर है (ढाल अपरिभाषित है)।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x-1 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(y-1)(x-1) = 0$ है,जो सरल होकर $xy - x - y + 1 = 0$ हो जाता है।

(D) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण $\frac{x+y}{-2}=1$ का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
मान रखने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2 - 2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$4x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-8xy-6y^2 + x^2+2xy+y^2 = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
यह रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है,जहाँ $a=3, h=-1, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{-1}$
$-x^2+y^2 = 4xy$
$x^2+4xy-y^2 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) नई स्थिति में रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक उनकी पुरानी स्थिति के बीच के कोण के समद्विभाजकों के समान ही रहते हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण है:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-h}$
$\Rightarrow hx^2-hy^2 = -2xy$
$\Rightarrow hx^2-hy^2+2xy = 0$

(A) रेखाओं का दिया गया युग्म $6x^2+xy-y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
अतः,रेखाएं $3x-y=0$ और $2x+y=0$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $3x-y=0$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $y=3x$.
$y=3x$ को $3x^2-axy-y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x^2-ax(3x)-(3x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2-3ax^2-9x^2=0$ $\Rightarrow -3ax^2=6x^2$ $\Rightarrow a=-2$.
चूंकि $a>0$ है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: यदि $2x+y=0$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $y=-2x$.
$y=-2x$ को $3x^2-axy-y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x^2-ax(-2x)-(-2x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+2ax^2-4x^2=0$ $\Rightarrow 2ax^2=x^2$ $\Rightarrow 2a=1$ $\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
अतः,$a=\frac{1}{2}$.

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x_0 = \frac{-6+10}{4-3} = 4$ और $y_0 = \frac{-5+4}{1} = -1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ और $(4, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x-2y-6=0$ है।
ढाल $m_2 = -\frac{1}{3}$ और $(4, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x+3y-1=0$ है।
संयुक्त समीकरण $(x-2y-6)(x+3y-1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2+xy-6y^2-7x-16y+6=0$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाओं के युग्म $S = 3x^2+8xy-3y^2 = 0$ और $S' = 3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P = L_1 \cap L_3$ और $Q = L_2 \cap L_4$ हैं।
रेखाओं के दोनों युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा $L$,$S' - S = 0$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1) - (3x^2+8xy-3y^2) = 0$।
यह $2x - 4y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा $L$ के अंतःखंड $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जाते हैं।
$y=0$ के लिए,$2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$। बिंदु $(\frac{1}{2}, 0)$ है।
$x=0$ के लिए,$-4y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}$। बिंदु $(0, -\frac{1}{4})$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |\frac{1}{2}| \times |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $x+y-1=0$,$2x-y-c=0$ और $bx+2by-c=0$ हैं। चूँकि इन रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु है,इसलिए ये संगामी हैं। संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -c \\ b & 2b & -c \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(c + 2bc) - 1(-2c + bc) - 1(4b + b) = 0$
$c + 2bc + 2c - bc - 5b = 0$
$3c + bc - 5b = 0$
$c(b+3) = 5b$
$c = \frac{5b}{b+3}$
$c < 1$ के लिए:
$\frac{5b}{b+3} < 1 \Rightarrow \frac{5b}{b+3} - 1 < 0$
$\frac{5b - b - 3}{b+3} < 0 \Rightarrow \frac{4b - 3}{b+3} < 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $b \in \left(-3, \frac{3}{4}\right)$ के लिए सत्य है।

(A) वृत्त $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(7, -1/2)$ की ध्रुवीय रेखा $T=0$ द्वारा दी जाती है:
$7x - (1/2)y - 2(x+7) + 3(y - 1/2) - 12 = 0$
$7x - 0.5y - 2x - 14 + 3y - 1.5 - 12 = 0$
$5x + 2.5y - 27.5 = 0$
$2/5$ से गुणा करने पर,$2x + y - 11 = 0$,अर्थात $2x + y = 11$।
चूंकि वृत्त के अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से गुजरते हैं,केंद्र $(h, k)$ दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$x + 2y = 7$ $(i)$
$2x + y = 11$ (ii)
$(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 14$।
इसमें से (ii) घटाने पर: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$।
$(i)$ में $y=1$ रखने पर: $x + 2(1) = 7 \Rightarrow x = 5$।
अतः,केंद्र $(5, 1)$ है।
त्रिज्या $r$,$(5, 1)$ से $P(1, 3)$ तक की दूरी है:
$r^2 = (5-1)^2 + (1-3)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$।
वृत्त का समीकरण $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 20$ है।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 6 = 0$।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-14 x+6 y+33=0$ $(i)$
$x^2+y^2+30 x-2 y+1=0$ $(ii)$
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $O_1(7, -3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49+9-33} = \sqrt{25} = 5$ है।
वृत्त $(ii)$ के लिए,केंद्र $O_2(-15, 1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-15)^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{225+1-1} = \sqrt{225} = 15$ है।
समानता के केंद्र $C_1$ और $C_2$ केंद्रों $O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाली रेखा को उनकी त्रिज्याओं के अनुपात $r_1 : r_2 = 5 : 15 = 1 : 3$ में आंतरिक और बाह्य रूप से विभाजित करते हैं।
आंतरिक विभाजन बिंदु $C_1 = \left( \frac{1(-15) + 3(7)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(-3)}{1+3} \right) = \left( \frac{-15+21}{4}, \frac{1-9}{4} \right) = \left( \frac{6}{4}, \frac{-8}{4} \right) = \left( \frac{3}{2}, -2 \right)$।
बाह्य विभाजन बिंदु $C_2 = \left( \frac{1(-15) - 3(7)}{1-3}, \frac{1(1) - 3(-3)}{1-3} \right) = \left( \frac{-15-21}{-2}, \frac{1+9}{-2} \right) = \left( \frac{-36}{-2}, \frac{10}{-2} \right) = (18, -5)$।
$C_1 C_2$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$(x - \frac{3}{2})(x - 18) + (y + 2)(y + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$(2x - 3)(x - 18) + 2(y^2 + 7y + 10) = 0$ प्राप्त होता है।
$2x^2 - 36x - 3x + 54 + 2y^2 + 14y + 20 = 0$।
$2x^2 + 2y^2 - 39x + 14y + 74 = 0$।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+ky-4=0$ और $L_2: x+y-5=0$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2+(y-1)^2=3$ है,जिसे $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $g=-1, f=-1, c=-1$ है।
संयुग्मी रेखाओं के प्रतिबंध का उपयोग करने पर,$k=1$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $I$: वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ के लिए,$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{f^2-c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = -2$ और $c = 1$ है। अतः,अंतःखंड $2\sqrt{(-2)^2-1} = 2\sqrt{4-1} = 2\sqrt{3}$ है। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त $x^2+y^2-4x-2y+6=0$ के लिए,$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g = -2$ और $c = 6$ है। अतः,अंतःखंड $2\sqrt{(-2)^2-6} = 2\sqrt{4-6} = 2\sqrt{-2}$ है। वर्गमूल के भीतर मान ऋणात्मक होने के कारण,वृत्त $X$-अक्ष को नहीं काटता है। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
कथन $III$: रेखा $y=2x+1$ या $2x-y+1=0$,वृत्त $x^2+y^2=9$ को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $p$,त्रिज्या $r=3$ से कम हो। यहाँ,$p = \frac{|2(0)-(0)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है। चूँकि $p = \frac{1}{\sqrt{5}} < 3$,रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है। इसलिए,कथन $III$ सत्य है।
अतः,$I$ सत्य,$II$ असत्य और $III$ सत्य है। सही विकल्प $(c)$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ है। $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1, f=2, c=-20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (-1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1^2+2^2-(-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(-1, -2)$ से रेखा $3x+4y-6=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(-1)+4(-2)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-3-8-6|}{5} = \frac{17}{5}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{17}{5})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{289}{25}} = 2\sqrt{\frac{625-289}{25}} = 2\sqrt{\frac{336}{25}} = 2 \times \frac{\sqrt{16 \times 21}}{5} = 2 \times \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{21}$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ है।
चूंकि बिंदु $(a, 4)$ वृत्त पर स्थित है,हम $y=4$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x^2+4^2-6x-2(4)+1=0$
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(3, 4)$ है,इसलिए $a=3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c'=0$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c'=0$ होता है।
यहाँ,$g=-3, f=-1, c'=1$ और $(x_1, y_1)=(3, 4)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x(3)+y(4)-3(x+3)-1(y+4)+1=0$
$3x+4y-3x-9-y-4+1=0$
$3y-12=0 \Rightarrow y-4=0$.
इसे $y+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac = 3 \times (-4) = -12$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
केंद्र $A(1, 2)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
बिंदु $B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y=7$ है।
बिंदु $D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x-4y=20$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(16, 7)$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ दो समकोण त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ से बना है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 15 = 37.5$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 37.5 = 75$.

(C) अभिलंबों का समीकरण $x^2-3xy-3x+9y=0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,जिसका अर्थ है $(x-3y)(x-3)=0$।
अतः,दो अभिलंब $x-3y=0$ और $x=3$ हैं।
वृत्त का केंद्र इन दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $x=3$ और $x=3y$,जिससे $y=1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(3,1)$ है।
दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ है।
इसका केंद्र $(3,-3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = \sqrt{9+9-17} = \sqrt{1} = 1$ है।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $r_1+r_2 = \sqrt{(3-3)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{0^2+4^2} = 4$।
$r_1=1$ रखने पर,$1+r_2=4$,जिससे $r_2=3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3,1)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2-6x+9+y^2-2y+1=9$,जो सरल होकर $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ हो जाता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$ है। इसका केंद्र $C(3, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha$ मानिए। $\tan(2\alpha) = \frac{24}{7}$ होने पर,$\tan\alpha = 3/4$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAC$ में,$\sin\alpha = \frac{r}{CP} = \frac{3}{CP} = 3/5$,जिससे $CP = 5$ मिलता है।
बिंदु $P(h, k)$ के लिए $(h-3)^2 + (k-2)^2 = 25$ होगा।
रेखा $4h - 3k = 6$ से $h = \frac{6 + 3k}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$k^2 - 4k - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $k = 6$ या $k = -2$ हैं।
अतः $P$ के निर्देशांक $(6, 6)$ या $(0, -2)$ हैं।

(B) रेखा $L \equiv -mx+y-1=0$,वृत्त $S \equiv x^2+y^2-1=0$ की एक जीवा है और यह वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-4x+1=0$ को स्पर्श करती है।
$S_1$ का केंद्र $(2, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+0^2-1} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(2, 0)$ से रेखा $L$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{3}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-m(2) + 0 - 1|}{\sqrt{(-m)^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$
$\frac{|-2m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(2m+1)^2}{m^2+1} = 3$
$4m^2 + 4m + 1 = 3m^2 + 3$
$m^2 + 4m - 2 = 0$
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.
$m$ का मान $L$ में रखने पर: $y - (-2 \pm \sqrt{6})x - 1 = 0$,जो सरल होकर $y + (2 \mp \sqrt{6})x - 1 = 0$ हो जाता है।
$S \equiv x^2+y^2-1=0$ के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $hx + ky - 1 = 0$ है।
$hx + ky - 1 = 0$ की तुलना $(2 \mp \sqrt{6})x + y - 1 = 0$ से करने पर,हमें $h = 2 \mp \sqrt{6}$ और $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2 \pm \sqrt{6}, 1)$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0$ है।
चूंकि यह दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,हम शर्त $2 g g_1 + 2 f f_1 = c + c_1$ का उपयोग करते हैं।
$S_1: x^2 + y^2 - 2 x + 6 y = 0$ के लिए,$-2 g + 6 f = c$ प्राप्त होता है।
$S_2: x^2 + y^2 - 4 x - 2 y + 6 = 0$ के लिए,$-4 g - 2 f = c + 6$ प्राप्त होता है।
$S_3: x^2 + y^2 - 12 x + 2 y + 3 = 0$ के लिए,$-12 g + 2 f = c + 3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = 0$,$f = -3/4$,और $c = -9/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3/2 y - 9/2 = 0$ है।
बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$g = 0$,$f = -3/4$,और $c = -9/2$ रखने पर:
$x(0) + y(3) + 0(x + 0) - 3/4(y + 3) - 9/2 = 0$.
$3 y - 3/4 y - 9/4 - 18/4 = 0$.
$9/4 y = 27/4$.
$y = 3$.

(D) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,जिससे $2g+c=-1$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
वृत्त $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ के लंबकोणीय है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ का उपयोग करने पर $-2g+4f=c+1$ (समीकरण $2$)।
वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ के भी लंबकोणीय है। इससे $6g-2f=c+1$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ से समीकरण $2$ घटाने पर $8g-6f=0$ प्राप्त होता है,अर्थात $f = \frac{4}{3}g$।
इन मानों को हल करने पर $g=0, f=0, c=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0,0)$ है।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=16$ की त्रिज्या $r_1=4$ और केंद्र $O_1(0,0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई छोटे वृत्त का व्यास होती है,जो $2r_1 = 8$ इकाई है। यह जीवा $C_1$ के केंद्र $O_1(0,0)$ से गुजरनी चाहिए।
$(0,0)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y = \frac{3}{4}x$ या $3x - 4y = 0$ है।
माना वृत्त $C_2$ का केंद्र $O_2(h, k)$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $C_1$ का व्यास है,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $O_1O_2$ उभयनिष्ठ जीवा पर लंब होती है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए रेखा $O_1O_2$ का ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
अतः,$O_2$ के निर्देशांक $(3a, -4a)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
$O_1(0,0)$ से जीवा की दूरी $0$ है। $O_2(3a, -4a)$ से जीवा $3x - 4y = 0$ की दूरी $d = \frac{|3(3a) - 4(-4a)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9a + 16a|}{5} = 5|a|$ है।
$C_2$ की त्रिज्या $(R_2=5)$,दूरी $d$,और जीवा की आधी लंबाई $(4)$ से बने समकोण त्रिभुज में,$R_2^2 = d^2 + 4^2$,इसलिए $25 = d^2 + 16$,जिससे $d^2 = 9$ प्राप्त होता है,यानी $d = 3$।
अतः,$5|a| = 3 \Rightarrow |a| = \frac{3}{5}$।
यदि $a = \frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$।
यदि $a = -\frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$।
विकल्पों की तुलना करने पर,$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ विकल्प $A$ है।

(A) माना कि $(h, k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है।
दोनों वृत्तों $x^2+y^2=12$ और $x^2+y^2-5x+3y-2=0$ के समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-5x+3y-2) - (x^2+y^2-12) = 0$
$-5x+3y+10=0$,जिसे $5x-3y-10=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(h, k)$ के सापेक्ष वृत्त $x^2+y^2=12$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $hx+ky=12$ या $hx+ky-12=0$ है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
$k$ के लिए अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{k}{-3} = \frac{6}{5} \Rightarrow k = -\frac{18}{5}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि $-\frac{18}{5}$ है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-a^2=0$ हैं।
दो वृत्तों की $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होने के लिए,उन्हें अलग होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d > r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49 + 9 - 33} = \sqrt{25} = 5$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = a$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ है।
शर्त: $r_1 + r_2 < d \Rightarrow 5 + a < \sqrt{58}$।
चूंकि $\sqrt{58} \approx 7.61$,इसलिए $5 + a < 7.61$,जिसका अर्थ है $a < 2.61$।
चूंकि $a \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),$a$ के लिए संभावित मान $1$ और $2$ हैं।
अतः,$2$ संभावित वृत्त हैं।

(B) प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 - 0} = 2$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(1)^2 + 0^2 - 0} = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$,इसलिए $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है (दो सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं और एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा)।

(B) माना वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x-8y+7=0$ है। इसका केंद्र $O_1(2, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13}$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+4x+6y=0$ है। इसका केंद्र $O_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{13}$ है।
चूँकि त्रिज्याएँ समान हैं,बिंदु $B$ केंद्रों $O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
$B = \left(\frac{2-2}{2}, \frac{4-3}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$.
अब $A(-1, 2)$ और $B(0, 1/2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $AB$ के त्रि-भाजन बिंदु ज्ञात करते हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु:
$x = \frac{2(0) + 1(-1)}{2+1} = -\frac{1}{3}$,$y = \frac{2(1/2) + 1(2)}{2+1} = \frac{1+2}{3} = 1$.
अतः,$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ एक त्रि-भाजन बिंदु है।

(A) उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+\alpha x+3y+2) = 0$
$(2-\alpha)x - y - 1 = 0$.
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $(-1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से उभयनिष्ठ जीवा $(2-\alpha)x - y - 1 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(2-\alpha)(-1) - (-1) - 1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2 + (-1)^2}} = \frac{|\alpha-2+1-1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2+1}} = \frac{|\alpha-2|}{\sqrt{\alpha^2-4\alpha+5}}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-p^2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,$\sqrt{r^2-p^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow r^2-p^2 = \frac{1}{5}$.
चूंकि $r=1$,हमें $1 - p^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow p^2 = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
$\frac{(\alpha-2)^2}{\alpha^2-4\alpha+5} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5(\alpha^2-4\alpha+4) = 4(\alpha^2-4\alpha+5)$.
$5\alpha^2-20\alpha+20 = 4\alpha^2-16\alpha+20$.
$\alpha^2 - 4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha-4) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $\alpha = 4$ है।

(A) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-6x-4y+13-c^2=0$
$S_2: x^2+y^2-4x-6y+13-c^2=0$
केंद्र $C_1(3,2)$ और $C_2(2,3)$ हैं और त्रिज्या $r_1=r_2=c$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-6x-4y+13-c^2)-(x^2+y^2-4x-6y+13-c^2)=0$
$-2x+2y=0 \Rightarrow x-y=0$.
मान लीजिए $M$ उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। $C_1M$,$C_1(3,2)$ से रेखा $x-y=0$ की लंबवत दूरी है:
$C_1M = \frac{|3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\triangle AC_1M$ में,$AM^2 = AC_1^2 - C_1M^2 = c^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = c^2 - \frac{1}{2}$.
$AM = \sqrt{c^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2AM = 2 \times \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2} = \sqrt{4c^2-2}$.

(C) वृत्त $x^2+y^2+2kx-4y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-k, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{k^2+3}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-8x-12y+43=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 6)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_1 \pm r_2|$ होती है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4+k)^2 + 4^2} = \sqrt{k^2+8k+32}$ है।
$d = r_1 + r_2$ लेने पर,$\sqrt{k^2+8k+32} = \sqrt{k^2+3} + 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2+8k+32 = k^2+3 + 9 + 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 8k+20 = 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 4k+10 = 3\sqrt{k^2+3}$.
पुनः वर्ग करने पर,$16k^2+80k+100 = 9k^2+27 \Rightarrow 7k^2+80k+73 = 0$.
हल करने पर $k = -1$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $T=0$ होता है,जो $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ के लिए,$g=2, f=-4, c=-5$ है।
$(k, k+1)$ का ध्रुवीय:
$kx + (k+1)y + 2(x+k) - 4(y+k+1) - 5 = 0$
$kx + ky + y + 2x + 2k - 4y - 4k - 4 - 5 = 0$
$(k+2)x + (k-3)y - 2k - 9 = 0$
$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए यह समीकरण सत्य होने हेतु:
$k(x+y-2) + (2x-3y-9) = 0$
अतः,$x+y-2 = 0$ और $2x-3y-9 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर,$x=3$ और $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु $(3, -1)$ है।

(B) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-36=0$ है।
मान लीजिए कि दूसरे वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेडिकल अक्ष $x-4=0$ है,इसलिए दूसरे वृत्त को $x^2+y^2-36+k(x-4)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $x^2+y^2+kx-4k-36=0$ में सरल हो जाता है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ और $g_2=k/2, f_2=0, c_2=-4k-36$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $2(0)(k/2) + 2(0)(0) = -36 + (-4k-36)$.
$0 = -72 - 4k$ $\Rightarrow 4k = -72$ $\Rightarrow k = -18$.
$k=-18$ को दूसरे वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2-18x-4(-18)-36=0$.
$x^2+y^2-18x+72-36=0 \Rightarrow x^2+y^2-18x+36=0$.

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$C$ और $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ की मूलाक्ष $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - a^2) = 0$ है,जो $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ में सरल हो जाती है।
दी गई मूलाक्ष $2x = a$ या $x - a/2 = 0$ है।
तुलना करने पर,$f = 0$ और वृत्त $C$,$x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ है।
वृत्तों के परिवार की विधि का उपयोग करने पर,समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x - a/2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(2a, 0)$ से गुजरने पर,$\lambda = -2a$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ है,जिसका केंद्र $(a, 0)$ है और यह $(0, 0)$ और $(a, a)$ से होकर गुजरता है।

(D) मान लीजिए $R(\alpha, \beta)$ अभीष्ट बिंदु है,$Q(x_0, y_0)$ वृत्त पर एक बिंदु है और $P(h, k)$ एक स्थिर बिंदु है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$R$ के निर्देशांक हैं:
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{p x_0 + q h}{p+q}, \frac{p y_0 + q k}{p+q}\right)$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$x_0 = \frac{(p+q)\alpha - qh}{p}$ और $y_0 = \frac{(p+q)\beta - qk}{p}$
चूंकि $Q(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित है,हम $x_0$ और $y_0$ का मान रखते हैं:
$\left(\frac{(p+q)\alpha - qh}{p}\right)^2 + \left(\frac{(p+q)\beta - qk}{p}\right)^2 = a^2$
$\frac{(p+q)^2}{p^2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\left(\alpha - \frac{qh}{p+q}\right)^2 + \left(\beta - \frac{qk}{p+q}\right)^2 = \frac{p^2 a^2}{(p+q)^2}$
अतः,$R(x, y)$ का बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(\frac{qh}{p+q}, \frac{qk}{p+q}\right)$ है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$,$A(1, 0)$,और $B(x_1, y_1)$ हैं। हमारे पास $AP=3AB$ है।
चूंकि $P$,$AB$ के विस्तार पर स्थित है,इसलिए $B$,$A$ और $P$ के बीच स्थित है।
अतः,$AP = AB + BP = 3AB$,जिसका अर्थ है $BP = 2AB$।
इसलिए,$B$,$AP$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B(x_1, y_1)$ के निर्देशांक हैं:
$x_1 = \frac{h+2}{3}$
$y_1 = \frac{k}{3}$
चूंकि $B(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ पर स्थित है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{h+2}{3})^2 + (\frac{k}{3})^2 - 2(\frac{h+2}{3}) + 2(\frac{k}{3}) + 1 = 0$
$9$ से गुणा करने पर:
$(h+2)^2 + k^2 - 6(h+2) + 6k + 9 = 0$
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6h - 12 + 6k + 9 = 0$
$h^2 + k^2 - 2h + 6k + 1 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-2x+6y+1=0$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $l$ है। चूँकि एक शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है और त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए अन्य दो शीर्ष $A\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ और $B\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, -\frac{l}{2}\right)$ हैं।
चूँकि शीर्ष $A$ परवलय $y^2=16ax$ पर स्थित है,हम इसके निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 16a\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)$
$\frac{l^2}{4} = 8\sqrt{3}al$
चूँकि $l \neq 0$,इसलिए $l = 32\sqrt{3}a$ है।
अब,शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0)$,$A(48a, 16\sqrt{3}a)$ और $B(48a, -16\sqrt{3}a)$ हैं।
केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+48a+48a}{3}, \frac{0+16\sqrt{3}a-16\sqrt{3}a}{3}\right) = \left(\frac{96a}{3}, 0\right) = (32a, 0)$.

(A-(IV), B-(VI), C-(I), D-(II)) . परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
$y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है। $(2, \sqrt{8})$ पर,स्पर्श रेखा $y(\sqrt{8}) = 2(1)(x + 2) \Rightarrow \sqrt{8}y = 2x + 4 \Rightarrow 2\sqrt{2}y = 2x + 4 \Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$ है। अतः,$A \rightarrow (iv)$।
$B$. $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
$y^2 = 16x$ के लिए,$4a = 16 \Rightarrow a = 4$ है। अभिलंब अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ या $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
$m = 1$ के लिए,$y = 1(x) - 2(4)(1) - 4(1)^3 = x - 8 - 4 = x - 12 \Rightarrow x - y - 12 = 0$ है। अतः,$B \rightarrow (vi)$।
$C$. $y^2 = 12x$ के लिए,$4a = 12 \Rightarrow a = 3$ है। परवलय पर बिंदु $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
जीवा एक नाभिलंब जीवा होती है यदि $t_1 t_2 = -1$ हो।
अतः $y_1 y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1 t_2) = 4(3)^2(-1) = 36(-1) = -36$ है। अतः,$C \rightarrow (i)$।
$D$. समीकरण $y^2 - kx + 16 = 0$ को $y^2 = k(x - 16/k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,$4A = k \Rightarrow A = k/4$ है।
नियता $X = -A \Rightarrow x - 16/k = -k/4 \Rightarrow x = 16/k - k/4$ है।
दी गई नियता $x = 3$ है,इसलिए $16/k - k/4 = 3 \Rightarrow 64 - k^2 = 12k \Rightarrow k^2 + 12k - 64 = 0$ है।
$(k + 16)(k - 4) = 0 \Rightarrow k = 4$ या $k = -16$ है। अतः,$D \rightarrow (ii)$।

(A) नाभि $S$ का मान $(-1, -1)$ है और नियता $x+y+4=0$ है।
शीर्ष,नाभि और परवलय के अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु का मध्य-बिंदु होता है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है और नाभि से होकर गुजरता है। नियता की ढाल $-1$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $1$ होगी और यह $(-1, -1)$ से गुजरता है।
अक्ष का समीकरण $y - (-1) = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x$ है।
अक्ष $y=x$ और नियता $x+y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x+x+4=0$ $\Rightarrow 2x = -4$ $\Rightarrow x = -2$ है। अतः,$y = -2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $Z(-2, -2)$ है।
शीर्ष,$S(-1, -1)$ और $Z(-2, -2)$ का मध्य-बिंदु है।
शीर्ष $= \left(\frac{-1-2}{2}, \frac{-1-2}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

(A) माना जीवा का रेखा $y=ax$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\alpha, a\alpha)$ है। चूँकि $M$ जीवा का मध्य बिंदु है,जिसका एक सिरा $A(4,4)$ और दूसरा सिरा $Q(x_1, y_1)$ है:
$\alpha = \frac{4+x_1}{2} \Rightarrow x_1 = 2\alpha - 4$
$a\alpha = \frac{4+y_1}{2} \Rightarrow y_1 = 2a\alpha - 4$
चूँकि $Q(x_1, y_1)$ परवलय $y^2=4x$ पर स्थित है:
$(2a\alpha - 4)^2 = 4(2\alpha - 4)$
$4a^2\alpha^2 - 16a\alpha + 16 = 8\alpha - 16$
$4a^2\alpha^2 - (16a+8)\alpha + 32 = 0$
दो भिन्न जीवाओं के लिए,द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए,इसलिए विविक्तकर $D > 0$:
$D = (16a+8)^2 - 4(4a^2)(32) > 0$
$64(2a+1)^2 - 512a^2 > 0$
$64(4a^2 + 4a + 1) - 512a^2 > 0$
$-256a^2 + 256a + 64 > 0$
$4a^2 - 4a - 1 < 0$
$4a^2 - 4a - 1 = 0$ को हल करने पर $a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ है,जो $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ होता है।
बिंदु $P(2,4)$ के लिए,स्पर्श रेखा $4y = 4(x+2) \Rightarrow y = x+2$ $(i)$ है।
बिंदु $Q(18,-12)$ के लिए,स्पर्श रेखा $-12y = 4(x+18) \Rightarrow -3y = x+18$ $(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ से $x = y-2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-3y = (y-2) + 18$ $\Rightarrow -3y = y + 16$ $\Rightarrow 4y = -16$ $\Rightarrow y = -4$.
$y = -4$ को $(i)$ में रखने पर,$x = -4-2 = -6$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-6, -4)$ है।
$(-6, -4)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-6))$ $\Rightarrow y+4 = \frac{1}{2}(x+6)$ $\Rightarrow 2y+8 = x+6$ $\Rightarrow x-2y = 2$.

(C) दिया गया वक्र $y^2 = x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप का परवलय है जहाँ $a = \frac{1}{4}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
$a = \frac{1}{4}$ रखने पर,$y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब $(c, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = mc - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ है।
यह $m(c - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$m = 0$ ($X$-अक्ष) या $m^2 = 4c - 2$ है।
अन्य दो अभिलंबों की ढाल $m_1 = \sqrt{4c - 2}$ और $m_2 = -\sqrt{4c - 2}$ हैं।
चूंकि ये दो अभिलंब लंबवत हैं,इसलिए उनका गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$ है।
इसलिए,$-(\sqrt{4c - 2})^2 = -1$,जिसका अर्थ है $4c - 2 = 1$ है।
$c$ के लिए हल करने पर,$4c = 3$,अतः $c = \frac{3}{4}$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है। मूल बिंदु $O(0,0)$ परवलय का शीर्ष है।
रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ को अभिलंब समीकरण $\frac{y + tx}{2at + at^3} = 1$ का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
चूंकि $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
अभिलंब जीवा के लिए $t \neq 0$ है,इसलिए $t^2 = 2$,अर्थात $t = \pm \sqrt{2}$।
अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। इस अभिलंब की ढाल $m = -t$ है।
अतः,ढाल $m = \mp \sqrt{2}$,जो $\pm \sqrt{2}$ के बराबर है।

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x$.
हम जानते हैं कि $1-\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ और $1+\sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$.
अतः,$\sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} = \left| \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right| = |\tan(\frac{\pi}{4} - x)|$.
चूंकि $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ के लिए $\tan(\frac{\pi}{4} - x) \ge 0$ और $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\tan(\frac{\pi}{4} - x) < 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi / 4} \tan(\frac{\pi}{4} - x) dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} -\tan(\frac{\pi}{4} - x) dx$.
$\int \tan(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \log|\cos(ax+b)| + C$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = [\log|\cos(\frac{\pi}{4} - x)|]_0^{\pi / 4} - [\log|\cos(\frac{\pi}{4} - x)|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$.
$I = (\log 1 - \log \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1) = \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = \log 2$.
अतः,मूल व्यंजक $e^I = e^{\log 2} = 2$ है।

(C) दिया गया है,$I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+3 \sin x}=\lambda \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
प्रतिस्थापन $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{dx}{5 + 3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{5 + 5\tan^2(x/2) + 6\tan(x/2)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{5\tan^2(x/2) + 6\tan(x/2) + 5}$.
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,अतः $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
जब $x=0, t=0$; जब $x=\pi/2, t=1$.
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{5t^2 + 6t + 5} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{t^2 + \frac{6}{5}t + 1} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t + 3/5)^2 + 1 - 9/25} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t + 3/5)^2 + (4/5)^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{t + 3/5}{4/5} \right) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{5t+3}{4} \right) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3/4) \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{2 - 3/4}{1 + 2(3/4)} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{5/4}{1 + 3/2} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{5/4}{5/2} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$.
$\lambda \tan^{-1}(1/2)$ से तुलना करने पर,हमें $\lambda = 1/2$ प्राप्त होता है।

(B) $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^3 x}{\cos x+\sin x} dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} dx$
सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab)$ का उपयोग करने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x+\cos x)(\sin^2 x+\cos^2 x - \sin x \cos x)}{\sin x+\cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x \cos x) dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx$
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} [-\frac{\cos(2x)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} [\cos(\pi) - \cos(0)]$
$2I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} [-1 - 1] = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{4} = \frac{\pi-1}{2}$
$I = \frac{\pi-1}{4}$

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan(\pi / 2 - x))^{\sqrt{2018}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\cot x)^{\sqrt{2018}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\frac{1}{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} + \frac{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} \right) dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) हमारे पास $f(x) = \frac{|\log x|}{x^2} = \begin{cases} -\frac{\log x}{x^2}, & \frac{1}{e} \le x < 1 \\ \frac{\log x}{x^2}, & 1 \le x \le e \end{cases}$ है।
हम समाकलन को $x = 1$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_{1/e}^e f(x) dx = \int_{1/e}^1 -\frac{\log x}{x^2} dx + \int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx$.
$\int \frac{\log x}{x^2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = x^{-2} dx$ लेने पर,हमें $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int -\frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{1/e}^1 -\frac{\log x}{x^2} dx = -\left[ -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} \right]_{1/e}^1 = \left[ \frac{\log x + 1}{x} \right]_{1/e}^1 = (\frac{0+1}{1}) - (\frac{\log(1/e) + 1}{1/e}) = 1 - ((-1+1) \cdot e) = 1$.
$\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\log x + 1}{x} \right]_1^e = (-\frac{\log e + 1}{e}) - (-\frac{\log 1 + 1}{1}) = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}$.
दोनों भागों का योग करने पर: $1 + (1 - \frac{2}{e}) = 2 - \frac{2}{e} = 2(1 - \frac{1}{e})$.

(C) माना $I = \int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
चूंकि $|\sin(4\pi x)|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$ है,हम निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं।
$I = 2 \int_0^{1/4} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
अंतराल $[0, 1/4]$ में,$\sin(4\pi x) \ge 0$ है,इसलिए $|\sin(4\pi x)| = \sin(4\pi x)$.
$I = 2 \int_0^{1/4} \sin(4\pi x) \, dx$.
$I = 2 \left[ -\frac{\cos(4\pi x)}{4\pi} \right]_0^{1/4}$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [-1 - 1] = -\frac{1}{2\pi} (-2) = \frac{1}{\pi}$.

(A) हमारे पास है,$f(x) = \int_1^x \frac{1}{2+t^4} dt$।
अतः,$f(2) = \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt$।
अंतराल $t \in [1, 2]$ के लिए,फलन $g(t) = \frac{1}{2+t^4}$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,न्यूनतम मान $t = 2$ पर और अधिकतम मान $t = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2+2^4} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{2+1^4}$।
$\frac{1}{18} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{3}$।
$1$ से $2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_1^2 \frac{1}{18} dt < \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt < \int_1^2 \frac{1}{3} dt$।
$\frac{1}{18}(2-1) < f(2) < \frac{1}{3}(2-1)$।
$\frac{1}{18} < f(2) < \frac{1}{3}$।

(C) माना $f(x) = 2+x^2$ है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\frac{r}{n}\right)$
यहाँ,$\int_0^3 (2+x^2) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \left(2 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \sum_{r=1}^{3n} 2 + \sum_{r=1}^{3n} \frac{r^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 2(3n) + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$.

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$.
हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $x = \frac{r}{n}$ और $dx = \frac{1}{n}$ है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$,योग $0$ से $1$ तक के समाकल में बदल जाता है:
$p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$.
मान लीजिए $t = 1+x^4$,तो $dt = 4x^3 dx$ होगा।
जब $x=0$,तो $t=1$ है। जब $x=1$,तो $t=2$ है।
अतः,$p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
इसलिए,$e^p = e^{\ln 2} = 2$.

(A) माना $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.
इसे हम $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{n^n} (n+1)(n+2) \ldots (2n) \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r}{n}\right)$.
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$\log A = \int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.
माना $u = 1+x$,तो $du = dx$। जब $x=0, u=1$; जब $x=1, u=2$।
$\log A = \int_{1}^{2} \log u du = [u \log u - u]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = \log 4 - 1$.
चूंकि $1 = \log e$,इसलिए $\log A = \log 4 - \log e = \log \left(\frac{4}{e}\right)$.
अतः,$A = \frac{4}{e}$।

(C) प्रत्येक विकल्प के लिए अवकल समीकरण ज्ञात करने हेतु,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और स्वेच्छ अचर को हटाते हैं।
$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. अवकलन करने पर,$2x+2y\frac{dy}{dx}+2g+4\frac{dy}{dx}=0$. यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण देता है।
$(b)$ $x^2=a^2(1+y^2)$. अवकलन करने पर,$2x=a^2(2y\frac{dy}{dx})$. $a^2$ का मान वापस रखने पर,हमें प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण मिलता है।
$(c)$ $y^2=2c(x+\sqrt{c})$. अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx}=2c$,अतः $c=y\frac{dy}{dx}$. $c$ का मान मूल समीकरण में रखने पर: $y^2=2(y\frac{dy}{dx})(x+\sqrt{y\frac{dy}{dx}})$. पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2-2xy\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\sqrt{y\frac{dy}{dx}}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^2-2xy\frac{dy}{dx})^2 = 4y^2(\frac{dy}{dx})^2(y\frac{dy}{dx}) = 4y^3(\frac{dy}{dx})^3$. इस समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।
$(d)$ $y^2=4ax$. अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx}=4a$. $a$ का मान रखने पर $y^2=2xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जो प्रथम कोटि और प्रथम घात का है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(C) $D_1: y=4 \frac{dy}{dx}+3x \frac{dx}{dy}$ के लिए। $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,हमें $y \frac{dy}{dx}=4(\frac{dy}{dx})^2+3x$ प्राप्त होता है। उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
$D_2: \frac{d^2y}{dx^2}=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{4}{3}}$ के लिए। दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(\frac{d^2y}{dx^2})^3=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^4$ प्राप्त होता है। उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
$D_3: [1+(\frac{dy}{dx})]^2=(\frac{dy}{dx})^2$ के लिए। विस्तार करने पर,$1+(\frac{dy}{dx})^2+2\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{dx})^2$,जो सरल होकर $1+2\frac{dy}{dx}=0$ हो जाता है। उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
कोटि का योग $= 1+2+1 = 4$.
घात का योग $= 2+3+1 = 6$.
अभीष्ट अनुपात $= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - xy = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$.
मान लीजिए $t = -\frac{x^2}{2}$,तो $dt = -x dx$,इसलिए $x dx = -dt$.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$.
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
अतः,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$.
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर,हमें $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ या $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ प्राप्त होता है।

(D) $X$-अक्ष पर $(a, 0)$ केंद्र वाले और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$।
इससे $a = x + y\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$a$ के इस मान को समीकरण $x^2 + y^2 = 2ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2x(x + y\frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $a$ है। तब वृत्त का केंद्र $(a, a)$ है। अतः,वृत्त का समीकरण है:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ --- $(i)$
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a - 2a \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} - a(1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
$a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
यहाँ $(x-a) = x - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
और $(y-a) = y - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}}$
इन मानों को $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ में रखने पर:
$(\frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 + (\frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
$(x-y)^2 (\frac{dy}{dx})^2 + (x-y)^2 = (x + y \frac{dy}{dx})^2$
$(x-y)^2 [1 + (\frac{dy}{dx})^2] = (x + y \frac{dy}{dx})^2$

(A) दिया गया वक्रों का परिवार: $y = a + b e^{2x} + c e^{-3x}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = 2b e^{2x} - 3c e^{-3x}$ (ii)
पुनः अवकलन करने पर:
$y_2 = 4b e^{2x} + 9c e^{-3x}$ (iii)
तीसरी बार अवकलन करने पर:
$y_3 = 8b e^{2x} - 27c e^{-3x}$ (iv)
अचर $a, b, c$ को विलुप्त करने के लिए,हम $y_3 + k_1 y_2 + k_2 y_1 = 0$ के रैखिक संयोजन पर विचार करते हैं।
$e^{2x}$ और $e^{-3x}$ पदों के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $(m-2)(m+3)m = 0$ है,जो $m^3 + m^2 - 6m = 0$ है।
अतः,संगत अवकल समीकरण $y_3 + y_2 - 6y_1 = 0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$.
माना $v = x+y+1$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 1 = \frac{1+v}{v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = dx$.
$\left(\frac{1+v-1}{1+v}\right) dv = dx \Rightarrow \left(1 - \frac{1}{1+v}\right) dv = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int dx$.
$v - \log|1+v| = x + c$.
$v = x+y+1$ रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$.
$y + 1 - \log|x+y+2| = c$.
$y = \log|x+y+2| + c - 1$.
माना $c - 1 = \log k$,तब $y = \log|x+y+2| - \log k = \log\left(\frac{x+y+2}{k}\right)$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$
दाहिनी ओर का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y)$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$
इससे प्राप्त होता है: $\log(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + c$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $1 + y = e^{x + \frac{x^2}{2} + c}$
$1 + y = e^c \cdot e^{x + \frac{x^2}{2}}$
माना $k = e^c$,तब $1 + y = k e^{x + \frac{x^2}{2}}$
अतः,व्यापक हल है: $y = k e^{x + \frac{x^2}{2}} - 1$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+xy)y'=y^2$.
$(x^2+xy)$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y=vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2+x(vx)} = \frac{v^2x^2}{x^2(1+v)} = \frac{v^2}{1+v}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{1+v} - v = \frac{v^2 - v - v^2}{1+v} = \frac{-v}{1+v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+v}{v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{v} + 1) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|v| + v = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| - \ln|x| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| + \frac{y}{x} = C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{\ln|y| + \frac{y}{x}} = e^C$.
$y \cdot e^{\frac{y}{x}} = K$ (जहाँ $K = e^C$).
व्यवस्थित करने पर $e^{-\frac{y}{x}} = cy$ प्राप्त होता है (जहाँ $c = 1/K$).

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-3xy^2)dx = (y^3-3x^2y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^3-3xy^2}{y^3-3x^2y}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^3-3x(vx)^2}{(vx)^3-3x^2(vx)} = \frac{x^3(1-3v^2)}{x^3(v^3-3v)} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v} - v = \frac{1-3v^2-v^4+3v^2}{v^3-3v} = \frac{1-v^4}{v^3-3v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{v^3-3v}{1-v^4} dv = \int \frac{dx}{x}$
$\int \frac{v^3}{1-v^4} dv - 3\int \frac{v}{1-v^4} dv = \ln|x| + C$
माना $1-v^4 = t \Rightarrow -4v^3 dv = dt \Rightarrow v^3 dv = -\frac{dt}{4}$।
माना $v^2 = m \Rightarrow 2v dv = dm \Rightarrow v dv = \frac{dm}{2}$।
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{2}\int \frac{dm}{1-m^2} = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+v^2}{1-v^2}| = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$-\frac{1}{4}\ln|1-\frac{y^4}{x^4}| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+y^2/x^2}{1-y^2/x^2}| = \ln|x| + C$
सरल करने पर हल प्राप्त होता है: $c^2(x^2+y^2)^2 = (y^2-x^2)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$
माना $x+y = v$ है। तब,$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{dv}{dy} \implies \frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy} - 1$
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dy} - 1 = \cos v$
$\frac{dv}{dy} = 1 + \cos v$
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{1 + \cos v} = \int dy$
सर्वसमिका $1 + \cos v = 2 \cos^2 \frac{v}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{dv}{2 \cos^2 \frac{v}{2}} = \int dy$
$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{v}{2} dv = \int dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan \frac{v}{2} = y + c$
$v = x+y$ वापस रखने पर: $\tan \frac{x+y}{2} = y + c$
अतः,$y = \tan \frac{x+y}{2} + c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} = \frac{v}{1 + v^3}$।
अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} = \frac{-v^4}{1 + v^3}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v^3}{v^4} dv = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-4} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
इससे $-\frac{1}{3v^3} + \log |v| = -\log |x| + c$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{3(y/x)^3} + \log |\frac{y}{x}| = -\log |x| + c$।
$-\frac{x^3}{3y^3} + \log |y| - \log |x| = -\log |x| + c$।
अतः,$\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = ( an^{-1} y - x) dy$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t = e^t(t-1)$.
$t = \tan^{-1} y$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण है: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$
$\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2}{1+x^3} y=\frac{x^2}{1+x^3}$
यह $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{3 x^2}{1+x^3}$ और $Q=\frac{x^2}{1+x^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P d x} = e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x} = e^{\log(1+x^3)} = 1+x^3$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) d x + c$ है।
मान रखने पर: $y(1+x^3) = \int \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)(1+x^3) d x + c$.
$y(1+x^3) = \int x^2 d x + c$.
$y(1+x^3) = \frac{x^3}{3} + c$.
$3$ से गुणा करने पर: $3y(1+x^3) = x^3 + 3c$.
$3y + 3yx^3 - x^3 = 3c$.
$(3y-1)x^3 + 3y = C$ (जहाँ $C = 3c$).

(D) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$
पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1+y^2} x = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ है:
$IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$
व्यापक हल इस प्रकार दिया जाता है:
$x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + k$
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$:
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + k$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर ($\int u dv = uv - \int v du$ जहाँ $u=t, dv=e^t dt$):
$x e^{\tan^{-1} y} = t e^t - e^t + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + k$
$e^{\tan^{-1} y}$ से विभाजित करने पर:
$x = (\tan^{-1} y - 1) + k e^{-\tan^{-1} y}$

(C) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u_1} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{u_2} = \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{u_1}$ और $\vec{u_2}$ का रैखिक संयोजन होना चाहिए।
अतः,$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}) = \lambda \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + \mu \hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $a = \lambda$,$c = \mu$ और $b = \lambda + \mu$ प्राप्त होता है। $\lambda$ और $\mu$ का मान रखने पर,$b = a + c$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{v}$,$2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{v} = k(2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$।
विकल्प $C$ के लिए,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ में $a = 1, b = -1, c = -2$ है।
शर्त $b = a + c$ की जाँच करने पर: $1 + (-2) = -1$,जो $b$ के बराबर है।
अतः,सदिश $\hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ सही उत्तर है।

(B) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-14(-12 + 21) - 6(-9 - 3\lambda + 6) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108$
$\lambda = 6$.

(A-(IV), B-(III), C-(II), D-(I)) दिया गया है: $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$।
$A$. $a-b = (2-1)\hat{i} + (3-(-3))\hat{j} + (1-(-5))\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$।
$a-b$ की विपरीत दिशा का सदिश $-(a-b) = -\hat{i} - 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36+36} = \sqrt{73}$ है।
इकाई सदिश $\frac{-\hat{i}-6\hat{j}-6\hat{k}}{\sqrt{73}} = -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{k}}{\sqrt{73}}$ है। जो $(iv)$ से मेल खाता है।
$B$. $\triangle ABC$ में,$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$।
अतः,$\vec{CA} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(a+b) = -(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} + \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -(3\hat{i}-4\hat{k}) = -3\hat{i}+4\hat{k}$। जो $(iii)$ से मेल खाता है।
$C$. केंद्रक $G = \frac{a+b+c}{3} = \frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (3\hat{i}-4\hat{k})}{3} = \frac{6\hat{i} + 0\hat{j} - 8\hat{k}}{3} = 2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{k}$। जो $(ii)$ से मेल खाता है।
$D$. $d$,$a$ के समानांतर है,इसलिए $d = k a = k(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})$।
परिमाण $|d| = |k|\sqrt{2^2+3^2+1^2} = |k|\sqrt{14}$।
दिया गया है $|d| = 2\sqrt{14}$,इसलिए $|k|=2$। $k=2$ लेने पर,$d = 4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$।
अतः $b+d = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}) = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$। जो $(i)$ से मेल खाता है।

(D) माना $P, Q, R, S, A, B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं।
दिया गया है कि $A$,$SR$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $\vec{a} = \frac{3\vec{s} + 1\vec{r}}{1+3} = \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}$ है।
चूंकि $B$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{b} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है।
दिया गया समीकरण $3\vec{SR} - \vec{QR} - 3\vec{PS} - \vec{PQ} = k\vec{AB}$ है।
सदिशों का मान रखने पर:
$3(\vec{r} - \vec{s}) - (\vec{r} - \vec{q}) - 3(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{q} - \vec{p}) = k(\vec{b} - \vec{a})$
$3\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r} + \vec{q} - 3\vec{s} + 3\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = k\left(\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} - \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}\right)$
बाईं ओर के समान पदों को संयोजित करने पर:
$(3\vec{r} - \vec{r}) + (-3\vec{s} - 3\vec{s}) + (3\vec{p} + \vec{p}) + (\vec{q} - \vec{q}) = k\left(\frac{2\vec{p} + 2\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r}}{4}\right)$
$2\vec{r} - 6\vec{s} + 4\vec{p} = k\left(\frac{2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s}}{4}\right)$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k(2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s})$
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k\vec{r} - 3k\vec{s} + 2k\vec{p}$
दोनों पक्षों में $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $k = 8$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(1, 3, x)$,$B(3, 5, 8)$,और $C(y, -1, -6)$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (y-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-6-x)\hat{k} = (y-1)\hat{i} - 4\hat{j} - (6+x)\hat{k}$
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,इसलिए किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{AB} = \lambda \vec{AC}$ होगा।
घटकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4}$ से,$y-1 = -4$,अतः $y = -3$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$ से,$-\frac{1}{2} = \frac{8-x}{-6-x}$ प्राप्त होता है।
$6+x = 2(8-x) \Rightarrow 6+x = 16-2x \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$।
अतः,$(x, y) = \left(\frac{10}{3}, -3\right)$।

(D) दिया गया है: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
परिमाण समीकरण का वर्ग करने पर: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
गुणधर्म $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(D) दिया गया है $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 2$.
समीकरण $a \times (a \times c) = -b$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times (a \times c) = (a \cdot c)a - (a \cdot a)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot c)a - |a|^2 c = -b$.
चूंकि $|a| = 1$,हमें $(a \cdot c)a - c = -b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(a \cdot c)(a \cdot a) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow (a \cdot c) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow b \cdot a = 0$.
अब,$(a \cdot c)a - c = -b$ का वर्ग करने पर:
$|(a \cdot c)a - c|^2 = |-b|^2$.
$(a \cdot c)^2 |a|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot c)(a \cdot c) = |b|^2$.
$(a \cdot c)^2 - 2(a \cdot c)^2 + |c|^2 = |b|^2$.
$- (a \cdot c)^2 + 4 = 1 \Rightarrow (a \cdot c)^2 = 3$.
चूंकि $a \cdot c = |a||c| \cos \theta = 2 \cos \theta$,इसलिए $(2 \cos \theta)^2 = 3$.
$4 \cos^2 \theta = 3 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ ज्ञात करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(6+3) + \hat{k}(-4-1) = -3 \hat{i} - 9 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $c \times d$ ज्ञात करें:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+4) + \hat{k}(-1-1) = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल करें:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -9 & -5 \\ 6 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(18-10) - \hat{j}(6+30) + \hat{k}(6+54) = 8 \hat{i} - 36 \hat{j} + 60 \hat{k}$.

(B) दिया गया है $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.
आसन्न भुजाओं $u$ और $v$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|u \times v|$ होता है।
$1$. प्रथम समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{i}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i}| = |-\cos^2 x \hat{k} + \hat{j}| = \sqrt{\cos^4 x + 1}$.
अतः,$|a \times \hat{i}|^2 = \cos^4 x + 1$.
$2$. द्वितीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{j}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j}| = |\sin^2 x \hat{k} - \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + 1}$.
अतः,$|a \times \hat{j}|^2 = \sin^4 x + 1$.
$3$. तृतीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{k}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{k}| = |-\sin^2 x \hat{j} + \cos^2 x \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}$.
अतः,$|a \times \hat{k}|^2 = \sin^4 x + \cos^4 x$.
क्षेत्रफलों के वर्गों का योग $A = |a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (\cos^4 x + 1) + (\sin^4 x + 1) + (\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 + 2(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 2 + 2(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 4 - \sin^2(2x)$.
चूँकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए $3 \leq 4 - \sin^2(2x) \leq 4$.
अतः,$A \in [3, 4]$.

(C) बिंदुओं $P, Q, R$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$
$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$
$\vec{r} = c \hat{i} + a \hat{j} + b \hat{k}$
हमें $\angle QPR$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के बीच का कोण है।
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (b-a) \hat{i} + (c-b) \hat{j} + (a-c) \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (c-a) \hat{i} + (a-b) \hat{j} + (b-c) \hat{k}$
अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c)$
$= (bc - ab - ac + a^2) + (ac - bc - ab + b^2) + (ab - ac - bc + c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$
इनके परिमाण (magnitudes) इस प्रकार हैं:
$|\vec{PQ}|^2 = (b-a)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$|\vec{PR}|^2 = (c-a)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
अतः,$\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{1}{2}$
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है: $|a|=6, |b|=8, |c|=10$.
साथ ही, $a \cdot (b+c) = 0$, $b \cdot (c+a) = 0$, और $c \cdot (a+b) = 0$.
इनका विस्तार करने पर:
$a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$
$b \cdot c + b \cdot a = 0$ (ii)
$c \cdot a + c \cdot b = 0$ (iii)
$(i)$, (ii), और (iii) को जोड़ने पर:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
अब, $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
मान रखने पर:
$|a+b+c|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 + 2(0) = 36 + 64 + 100 = 200$.
अतः, $|a+b+c| = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.

(D) दिए गए समीकरण $r \times a = b \times a$ और $r \times b = a \times b$ हैं।
पहले समीकरण से,$r \times a - b \times a = 0$,जिसका अर्थ है $(r - b) \times a = 0$।
दूसरे समीकरण से,$r \times b - a \times b = 0$,जिसका अर्थ है $(r - a) \times b = 0$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$।
चूंकि $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए $r \times (a + b) = 0$।
यह दर्शाता है कि $r$,$(a + b)$ के समानांतर है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $r = k(a + b)$।
$r = a + b$ को मूल समीकरणों में रखने पर:
$(a + b) \times a = a \times a + b \times a = 0 + b \times a = b \times a$ (संतुष्ट)।
$(a + b) \times b = a \times b + b \times b = a \times b + 0 = a \times b$ (संतुष्ट)।
इसलिए,$r = a + b = (\hat{i} + \hat{j}) + (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4 \hat{i} - \hat{j}$।

(B) मान लीजिए $d = d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}$ है।
चूंकि $d$ एक इकाई सदिश है,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 1$ $(i)$।
दिया गया है $a \cdot d = 0$,जहाँ $a = \hat{i} + \hat{j}$,अतः $(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}) = 0$,जिसका अर्थ है $d_1 + d_2 = 0$,अर्थात $d_2 = -d_1$ (ii)।
दिया गया है $b \cdot (c \times d) = 0$,जो अदिश त्रिक गुणनफल $[b, c, d] = 0$ है।
सारणिक की गणना करने पर:
$[b, c, d] = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0(0 - d_2) - 1(d_3 - d_1) + 1(d_2 - 0) = 0$।
$-d_3 + d_1 + d_2 = 0$।
इस समीकरण में $d_2 = -d_1$ रखने पर,हमें $-d_3 + d_1 - d_1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d_3 = 0$ (iii)।
समीकरण (ii) और (iii) को $(i)$ में रखने पर:
$d_1^2 + (-d_1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2d_1^2 = 1 \Rightarrow d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$d = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$।

(B) माना दिए गए शीर्ष $P(4, 5, 1)$,$Q(0, -1, 1)$,$R(3, 9, 4)$,और $S(-2, 4, 4)$ हैं।
शीर्ष $P$ से निकलने वाले किनारों को दर्शाने वाले सदिश:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = -4\hat{i} - 6\hat{j}$
$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OP} = -6\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}]|$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product):
$[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}] = \begin{vmatrix} -4 & -6 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \\ -6 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= -4(12 + 3) + 6(-3 + 18) = -4(15) + 6(15) = -60 + 90 = 30$.
अतः,चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} \times 30 = 5$ घन इकाई है।

(D) रेखा का समीकरण $r = a + t b$ है,जिसका अर्थ है कि रेखा सदिश $b$ के समांतर है।
समतल का समीकरण $r = c + l d + m e$ है,जिसका अर्थ है कि समतल सदिशों $d$ और $e$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $n = d \times e$ द्वारा दिया जाता है।
यदि रेखा समतल के समांतर है,तो रेखा का दिशा सदिश $b$ समतल के अभिलंब सदिश $n$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$b \cdot n = 0$,जिसका अर्थ है कि $b \cdot (d \times e) = 0$।
यह अदिश त्रिक गुणनफल $[b d e] = 0$ के बराबर है।

(D) हमें चार सदिश $a, b, c$ और $d$ दिए गए हैं जहाँ $a \cdot b = 0$,$|a \times c| = |a||c|$,और $|a \times d| = |a||d|$ है।
शर्तों $|a \times c| = |a||c|$ और $|a \times d| = |a||d|$ से,हम जानते हैं कि $a, c$ और $a, d$ के बीच के कोणों के लिए $\sin \theta = 1$ होता है।
इसका अर्थ है कि $a \perp c$ और $a \perp d$ है।
चूंकि $c$ और $d$ दोनों $a$ के लंबवत हैं,इसलिए सदिश $(c \times d)$ को $a$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,हम $c \times d = \lambda a$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश स्थिरांक है।
अब,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[b c d] = b \cdot (c \times d)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$c \times d = \lambda a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[b c d] = b \cdot (\lambda a) = \lambda (b \cdot a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \cdot b = 0$,इसलिए $b \cdot a = 0$ होता है।
अतः,$[b c d] = \lambda \times 0 = 0$।

(A) माना $\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) + (\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{p} \times \vec{q}) \times \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{q} \cdot \vec{r})\vec{p}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} - [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$
$2$. $(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} - [\vec{c} \vec{d} \vec{b}]\vec{a}$
$3$. $(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} - [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$
इनका योग करने पर:
$\vec{x} = ([\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d}) - ([\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{c}])\vec{a}$
चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,$[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] = [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]$ है।
अतः,$\vec{a}$ का गुणांक $-3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]$ है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,$[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{x} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} - 3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} = -2[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{x}$,$\vec{a}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए यह $\vec{a}$ के समांतर है।

(C) चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[a b c] \neq 0$ है।
मान लीजिए $V = [a b c]$। सदिश $b \times c, c \times a, a \times b$ अंतरिक्ष के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं।
किसी भी सदिश $d$ को $d = x(b \times c) + y(c \times a) + z(a \times b)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$a$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $a \cdot d = x(a \cdot (b \times c)) = x[a b c] \Rightarrow x = \frac{a \cdot d}{[a b c]}$।
इसी प्रकार,$y = \frac{b \cdot d}{[a b c]}$ और $z = \frac{c \cdot d}{[a b c]}$।
इन मानों को $d$ के समीकरण में रखने पर:
$d = \frac{(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)}{[a b c]}$।
अतः,$(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b) = d [a b c]$।
दोनों पक्षों का परिमाण (magnitude) लेने पर:
$|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = |d| |[a b c]|$।
चूंकि $d$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|d| = 1$।
अतः,व्यंजक का मान $|[a b c]|$ है।

(C) किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना लंबकेंद्र $O(-1, 3, 2)$ है और परिकेंद्र $C(5, 3, 2)$ है।
केंद्रक $G$,रेखाखंड $OC$ को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G$ के निर्देशांक हैं:
$G = \left( \frac{2(5) + 1(-1)}{2+1}, \frac{2(3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(2) + 1(2)}{2+1} \right)$
$G = \left( \frac{10-1}{3}, \frac{6+3}{3}, \frac{4+2}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right) = (3, 3, 2)$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ कहता है कि अनुपात $1: 2$ है,जो गलत है क्योंकि सही अनुपात $2: 1$ है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ असत्य है।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिक्-कोसाइन के लिए दिए गए समीकरण $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ और $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,हमारे पास $n = -\frac{a l + b m}{c}$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l m = 0$.
$-c$ से गुणा करने पर:
$m(a l + b m) + l(a l + b m) - c l m = 0$.
$a l^2 + b m^2 + a l m + b l m - c l m = 0$.
$a l^2 + (a + b - c) l m + b m^2 = 0$.
$m^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a \left( \frac{l}{m} \right)^2 + (a + b - c) \left( \frac{l}{m} \right) + b = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं। द्विघात समीकरण के मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं।
अतः,$\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{b}{a}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{b} = \frac{m_1 m_2}{a}$।
समरूपता से,$\frac{l_1 l_2}{1/a} = \frac{m_1 m_2}{1/b} = \frac{n_1 n_2}{1/c} = k$।
रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$।
मान रखने पर: $k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 0$।
चूंकि $k \neq 0$,शर्त $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ है।

(C) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$A = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$
$B = 2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$C = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AB}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+3) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0+1) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ है।
रेखा $AB$ से बिंदु $C$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ है।
$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{6}{11}}$.

(A) बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
चूंकि बिंदु $A$,$B$ से गुजरने वाली और $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ के समांतर रेखा पर स्थित है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{B A}$ को $\overrightarrow{B A} = t \vec{v} = t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $t$ एक अदिश है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{B A}| = 18$,इसलिए $|t| \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 18$.
$|t| \sqrt{4 + 1 + 4} = 18 \Rightarrow |t| \sqrt{9} = 18 \Rightarrow 3|t| = 18 \Rightarrow |t| = 6$.
अतः,$t = 6$ या $t = -6$.
$A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \vec{b} + \overrightarrow{B A} = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
$t = 6$ के लिए: $\vec{a} = (3 + 12) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (-1 + 12) \hat{k} = 15 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$.
$t = -6$ के लिए: $\vec{a} = (3 - 12) \hat{i} + (1 + 6) \hat{j} + (-1 - 12) \hat{k} = -9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति सदिश $-9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$ है।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0 \Rightarrow m=-(l+n) \quad (i)$
$2lm+2ln-mn=0 \quad (ii)$
$m=-(l+n)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(-(l+n)) + 2ln - (-(l+n))n = 0$
$-2l^2 - 2ln + 2ln + ln + n^2 = 0$
$-2l^2 + ln + n^2 = 0$
$2l^2 - ln - n^2 = 0$
$(2l+n)(l-n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l=n$. $(i)$ से,$m=-(n+n)=-2n$. अतः,$(l, m, n) = (n, -2n, n)$,जो दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ देता है।
स्थिति $2$: $2l=-n \Rightarrow l=-\frac{n}{2}$. $(i)$ से,$m=-(-\frac{n}{2}+n) = -\frac{n}{2}$. अतः,$(l, m, n) = (-\frac{n}{2}, -\frac{n}{2}, n)$,जो दिक्-अनुपात $(1, 1, -2)$ देता है।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -2, 1)$ और $\vec{b} = (1, 1, -2)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right| = \left| \frac{(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{1 - 2 - 2}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.