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Question

(D) दिया गया है $|a|=1$ और $\arg (a)=	heta$,अतः $a = \cos 	heta + i \sin 	heta = e^{i	heta}$ है।समीकरण $\left(\frac{1+i z}{1-i z}ight)^4 = e^{i\

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$	an \left(\frac{2 k \pi+	heta}{8}ight), k=0,1,2,3$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $|a|=1$ और $\arg (a)=	heta$,अतः $a = \cos 	heta + i \sin 	heta = e^{i	heta}$ है।समीकरण $\left(\frac{1+i z}{1-i z}ight)^4 = e^{i	heta}$ है।चौथा मूल लेने पर,$\frac{1+i z}{1-i z} = e^{i\left(\frac{2k\pi+	heta}{4}ight)} = \cos \phi + i \sin \phi$,जहाँ $\phi = \frac{2k\pi+	heta}{4}$ और $k=0,1,2,3$ है।माना $\omega = \frac{2k\pi+	heta}{8}$ है। अतः $\phi = 2\omega$ है।$\frac{1+iz}{1-iz} = \cos 2\omega + i \sin 2\omega$ पर योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:$\frac{1}{iz} = \frac{\cos 2\omega + i \sin 2\omega + 1}{\cos 2\omega + i \sin 2\omega - 1} = \frac{2\cos^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega}{-2\sin^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega} = \frac{2\cos \omega (\cos \omega + i \sin \omega)}{2i \sin \omega (\cos \omega + i \sin \omega)} = \frac{\cos \omega}{i \sin \omega} = \frac{1}{i 	an \omega}$ है।अतः,$z = 	an \omega = 	an \left(\frac{2k\pi+	heta}{8}ight)$ जहाँ $k=0,1,2,3$ है।

यदि सम्मिश्र संख्या $a$ इस प्रकार है कि $|a|=1$ और $\arg (a)=\theta$,तो समीकरण $\left(\frac{1+i z}{1-i z}\right)^4=a$ के मूल $z=$ हैं।

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