TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) कुल बिंदु = $10$। संरेख बिंदु = $4$। असंरेख बिंदु = $6$।
कम से कम एक शीर्ष $4$ संरेख बिंदुओं में से होने वाले त्रिभुजों के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु।
त्रिभुजों की संख्या = $^4C_1 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$।
स्थिति $2$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु।
त्रिभुजों की संख्या = $^4C_2 \times ^6C_1 = 6 \times 6 = 36$।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $60 + 36 = 96$।

(A) दिया गया है $x = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
दिया गया है $y = \sum_{n=0}^{\infty} \sin^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{y}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमारे पास $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ है,जिसका अर्थ है $x + y = xy$.
दिया गया है $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \theta} = \frac{1}{1 - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = \frac{xy}{xy - 1}$.
$xy - 1 = \frac{xy}{z}$ से,हमें $xy - 1 = \frac{x+y}{z}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $xy = x+y$).
अतः,$z(xy - 1) = x + y \implies xyz - z = x + y$.
चूंकि $x+y = xy$,हम लिख सकते हैं $xyz - z = xy$,या $xyz = xy + z$.
वैकल्पिक रूप से,$xy = x+y$ का उपयोग करते हुए,हमें $z(x+y) = xy + z$ प्राप्त होता है,जो $xz + yz = xy + z$ में सरल हो जाता है।

(B) दी गई व्यंजक $\left(x^{-\frac{3}{4}}+a x^{\frac{5}{4}}\right)^n$ है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^n C_r \left(x^{-\frac{3}{4}}\right)^{n-r} \left(a x^{\frac{5}{4}}\right)^r = {}^n C_r a^r x^{-\frac{3n}{4} + 2r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घात शून्य होनी चाहिए: $-\frac{3n}{4} + 2r = 0 \Rightarrow r = \frac{3n}{8}$.
द्विपद गुणांकों का योग $2^n$ है।
$200 < 2^n < 400$ होने के कारण,$n=8$ प्राप्त होता है $(2^8 = 256)$.
$x$ से स्वतंत्र पद ${}^8 C_3 a^3 = 448$ है।
$56 a^3 = 448$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.

(A) $(ax^2+\frac{1}{bx})^{13}$ के विस्तार में,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax^2)^{13-r} (\frac{1}{bx})^r = {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{26-3r}$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,$26-3r = 5$ रखने पर,$3r = 21$,अतः $r = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7}$ है।
$(ax-\frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार में,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = (-1)^r {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -5$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक $(-1)^6 {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$।
चूंकि ${}^{13}C_7 = {}^{13}C_6$,इसलिए $\frac{a^6}{b^7} = \frac{a^7}{b^6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a^6$ से भाग देने और $b^7$ से गुणा करने पर,$1 = ab$ प्राप्त होता है।

(B) $(2x - 3y)^{12}$ में $x = 3$ और $y = 2$ रखने पर,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x)^{12-r} (-3y)^r$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (6)^{12-r} (-6)^r = {}^{12}C_r 6^{12} (-1)^r$।
अतः,$|T_{r+1}| = {}^{12}C_r 6^{12}$।
यह मान तब अधिकतम होता है जब ${}^{12}C_r$ अधिकतम हो,जो $r = 6$ पर होता है।
अतः,सबसे बड़ा पद ${}^{12}C_6 6^{12}$ है।

(C) $(1+x)^{15}$ के विस्तार में,$x^{10}$ का गुणांक ${}^{15}C_{10}$ है।
$(1-x)^{-n}$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}x^r + \dots$ है।
अतः,$(1-x)^{-n}$ में $x^5$ का गुणांक $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} = {}^{15}C_{10}$ है।
हम जानते हैं कि ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ है।
अतः,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 5! \times {}^{15}C_{5} = 120 \times 3003 = 360360$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2018}$ के विस्तार के लिए,$k$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{k-1}$ है।
अतः,$(2\alpha+4)$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{2\alpha+3}$ है और $(\alpha-2)$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{\alpha-3}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं,इसलिए ${}^{2018}C_{2\alpha+3} = {}^{2018}C_{\alpha-3}$।
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x=y$ या $x+y=n$ का उपयोग करते हुए:
स्थिति $1$: $2\alpha+3 = \alpha-3 \implies \alpha = -6$ (संभव नहीं)।
स्थिति $2$: $(2\alpha+3) + (\alpha-3) = 2019$ (यदि घात $2019$ हो) $\implies 3\alpha = 2019 \implies \alpha = 673$।

(A) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
अंशों की तुलना करने पर: $3x+2 = A(2x^2+3) + (x+1)(Bx+C)$
$3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx + Bx + C$
$3x+2 = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2A+B = 0$ $(i)$
$B+C = 3$ (ii)
$3A+C = 2$ (iii)
$(i)$ से,$B = -2A$.
(ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $-2A+C = 3$ (iv)
(iii) में से (iv) घटाने पर: $(3A+C) - (-2A+C) = 2 - 3 \implies 5A = -1 \implies A = -\frac{1}{5}$
तब $B = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
और $C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
अंत में,$A-B+C = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $r$-वें,$(r+1)$-वें और $(r+2)$-वें पदों के गुणांक क्रमशः $^nC_{r-1}$,$^nC_r$ और $^nC_{r+1}$ हैं।
यह दिया गया है कि,
$^nC_{r-1} : ^nC_r : ^nC_{r+1} = 2 : 4 : 5$.
पहले अनुपात से:
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2r = n-r+1$
$\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$
दूसरे अनुपात से:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow 5r+5 = 4n-4r$
$\Rightarrow 4n = 9r+5$ (ii)
$n = 3r-1$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(3r-1) = 9r+5$
$12r-4 = 9r+5$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$.
$r=3$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n = 3(3)-1 = 8$.
अतः,$(r, n) = (3, 8)$.

(B) माना श्रेणी $S = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ है।
पदों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S = \frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 7}{5^2 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{5^3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots$
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ के साथ तुलना करने पर,
श्रेणी का योग $\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।
योग $S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ द्वारा दिया जाता है।
$S_n = 3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r + 5 \sum_{r=0}^n (-1)^r r { }^n C_r$।
$n > 1$ के लिए,पहला भाग $3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r = 3(1 - 1)^n = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$r { }^n C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $5n \sum_{r=1}^n (-1)^r { }^{n-1} C_{r-1} = 5n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k+1} { }^{n-1} C_k = -5n (1 - 1)^{n-1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = 0 + 0 = 0$।

(D) हम द्विपद विस्तार $(1+y)^{-n} = 1 - ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 - \ldots \infty$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right) + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \ldots \infty$.
दोनों पक्षों को $\left(\frac{2}{5}\right)^2$ से गुणा करने पर,$\frac{4}{25}x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right)^3 + \ldots \infty$.
दोनों पक्षों में $1 - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)$ जोड़ने पर,श्रेणी $(1 + \frac{2}{5})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\frac{4x}{25} + 1 - \frac{4}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}} \implies \frac{4x}{25} + \frac{11}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$.
सही उत्तर $3^3 \cdot 5^8$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^{-2}$ का श्रेणी विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots$
अतः,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1-2x+3x^2-4x^3+\ldots)^{-n} = [(1+x)^{-2}]^{-n} = (1+x)^{2n}$
अब,द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{(2n)}C_r x^r$
$x^6$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $r = 6$ रखते हैं:
$T_{6+1} = ^{(2n)}C_6 x^6$
अतः,$x^6$ का गुणांक $^{(2n)}C_6$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin 9 \theta}{\cos 27 \theta}+\frac{\sin 3 \theta}{\cos 9 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos 3 \theta}=k(\tan 27 \theta-\tan \theta)$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 9(\frac{\pi}{3})}{\cos 27(\frac{\pi}{3})} + \frac{\sin 3(\frac{\pi}{3})}{\cos 9(\frac{\pi}{3})} + \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos 3(\frac{\pi}{3})} = k(\tan 27(\frac{\pi}{3}) - \tan(\frac{\pi}{3}))$.
चूंकि $\sin(3\pi) = 0$,$\sin(\pi) = 0$,और $\cos(9\pi) = -1$,$\cos(3\pi) = -1$,$\cos(\pi) = -1$:
$0 + 0 + \frac{\sqrt{3}/2}{-1} = k(0 - \sqrt{3})$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2} = -k\sqrt{3}$.
अतः,$k = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $A(n) = \sin^n \alpha + \cos^n \alpha$.
$A(1) A(4) + A(2) A(5) = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^5 \alpha + \cos^5 \alpha)$.
चूँकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,यह $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + (\sin^5 \alpha + \cos^5 \alpha)$ हो जाता है।
अब $A(1) A(6) + A(2) A(3)$ पर विचार करने पर,सरल करने पर यह $A(1) A(4) + A(2) A(5)$ के बराबर प्राप्त होता है।
अतः,$A(1) A(4) + A(2) A(5) = A(1) A(6) + A(2) A(3)$.

(D) दिया गया है $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमारे पास $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \theta = \cos^4 \theta$,जिसका अर्थ है $1 - \cos^2 \theta = \cos^4 \theta$,या $\cos^4 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\cos^4 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$।
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(\cos^4 \theta)^3 + 3(\cos^4 \theta)^2(\cos^2 \theta) + 3(\cos^4 \theta)(\cos^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^3 = 1$।
$\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta = 1$।
$\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta - 1 = 0$।
इसे $\cos^{12} \theta + a \cos^{10} \theta + b \cos^8 \theta + c \cos^6 \theta + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3, b = 3, c = 1, d = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$ac + bd = (3)(1) + (3)(-1) = 3 - 3 = 0$।

(A) हम जानते हैं कि $\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2 \theta}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta} = 2 \cot 2 \theta$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\cot \theta - \tan \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta = 2 \cot 2 \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta$.
अब,$2(\cot 2 \theta - \tan 2 \theta) = 2(2 \cot 4 \theta) = 4 \cot 4 \theta$.
इस मान को पुनः रखने पर:
$4 \cot 4 \theta - 4 \tan 4 \theta = 4(\cot 4 \theta - \tan 4 \theta) = 4(2 \cot 8 \theta) = 8 \cot 8 \theta$.

(B) दिया गया है $\sinh x = \frac{3}{4}$।
सूत्र $\sinh^{-1} z = \log(z + \sqrt{z^2 + 1})$ का उपयोग करते हुए:
$x = \log(\frac{3}{4} + \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1}) = \log(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}) = \log(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) = \log(2)$।
दिया गया है $\cosh y = \frac{5}{3}$।
सूत्र $\cosh^{-1} z = \log(z + \sqrt{z^2 - 1})$ का उपयोग करते हुए:
$y = \log(\frac{5}{3} + \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1}) = \log(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}) = \log(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}) = \log(3)$।
अतः,$x + y = \log 2 + \log 3 = \log(2 \times 3) = \log 6$।

(B) दिया है: $A+B+C=2S$,जिसका अर्थ है $S-C = \frac{A+B}{2}$ और $C = 2S-(A+B)$.
व्यंजक पर विचार करें: $\sin(S-A)+\sin(S-B)-\sin C$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= 2 \sin \left(\frac{2S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \sin C$
$= 2 \sin \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$= 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \frac{C}{2} \right]$
$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= 4 \sin \frac{S-A}{2} \sin \frac{S-B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(A) माना $P = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)$ है।
$2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \frac{\sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
पुनः अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
चूंकि $\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right) = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$:
$P = \frac{-\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = -\frac{1}{8}$.

(A) दिया गया है,$\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{5 \pi}{15} \cos \frac{7 \pi}{15} \cos \frac{30 \pi}{15} = x$.
चूँकि $\cos \frac{5 \pi}{15} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{30 \pi}{15} = \cos 2 \pi = 1$,हमारे पास है:
$\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{7 \pi}{15} \cdot 1 = x$
$\Rightarrow \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{7 \pi}{15} = 2x$.
ध्यान दें कि $\cos \frac{7 \pi}{15} = \cos (\pi - \frac{8 \pi}{15}) = -\cos \frac{8 \pi}{15}$।
अतः,$-\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} = 2x$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 4 \theta \cos 8 \theta = \frac{\sin 16 \theta}{16 \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{15}$:
$- \frac{\sin (16 \pi / 15)}{16 \sin (\pi / 15)} = 2x$.
चूँकि $\sin \frac{16 \pi}{15} = \sin (\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin \frac{\pi}{15}$,हमें प्राप्त होता है:
$- \frac{-\sin (\pi / 15)}{16 \sin (\pi / 15)} = 2x$ $\Rightarrow \frac{1}{16} = 2x$ $\Rightarrow x = \frac{1}{32}$.
अतः,$\frac{1}{8x} = \frac{1}{8(1/32)} = \frac{32}{8} = 4$.

(D) हमारे पास है,
$\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} = \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \left(\frac{1}{2}\right) \cos 80^{\circ}$
$= \frac{1}{2} (\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ})$
सूत्र $\cos A \cos 2A \cos 4A \dots \cos 2^{n-1}A = \frac{\sin(2^n A)}{2^n \sin A}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 20^{\circ}$ और $n = 3$:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2^3 \times 20^{\circ})}{2^3 \sin 20^{\circ}} \right]$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 160^{\circ}}{8 \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{1}{16} \cdot \frac{\sin(180^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
चूँकि $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ है।
$= \frac{1}{16} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{16}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + 3 \sin 3x + \sin 5x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$(\sin 5x + \sin x) + 3 \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2x + 3 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{3}{2}$
चूंकि $\cos 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos 2x = -\frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$x = \frac{n\pi}{3}$।
$x = \frac{n\pi}{3}$ के लिए,$\cos x$ के संभावित मान $\cos(0) = 1$,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,$\cos(\pi) = -1$ हैं।
इसलिए,$\cos y$ के सभी मानों का समुच्चय $\{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ है।

(B) दिया गया है $\cosh x = \frac{\sqrt{14}}{3}$.
सर्वसमिका $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$\sinh^2 x = \left(\frac{\sqrt{14}}{3}\right)^2 - 1 = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9}$.
चूंकि $\sinh x = \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
अब,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \pm \frac{2}{3}$.
दिया गया है कि $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में $\sin \theta$ धनात्मक होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{2}{3}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$
$\sin 2x(2 \cos x - 1) = 2 \cos x(\cos x - 1)$
$\cos x = 0$ के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(0, \pi)$ में हलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया है: $\cosh \beta = \sec \alpha \cos \theta$ और $\sinh \beta = \operatorname{cosec} \alpha \sin \theta$.
दूसरे समीकरण से,$\sin \theta = \sinh \beta \sin \alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \theta = \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 \beta - \sinh^2 \beta = 1$,इसलिए $\cosh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\cosh \beta = \sec \alpha \cos \theta$ को सर्वसमिका में रखने पर:
$\sec^2 \alpha \cos^2 \theta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha (1 - \sin^2 \theta) = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sin^2 \theta = \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha$ रखने पर:
$\sec^2 \alpha (1 - \sinh^2 \beta \sin^2 \alpha) = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha - \sec^2 \alpha \sin^2 \alpha \sinh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
चूंकि $\sec^2 \alpha \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha$:
$\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha \sinh^2 \beta = 1 + \sinh^2 \beta$.
$\sec^2 \alpha - 1 = \sinh^2 \beta (1 + \tan^2 \alpha)$.
$\tan^2 \alpha = \sinh^2 \beta \sec^2 \alpha$.
$\sinh^2 \beta = \frac{\tan^2 \alpha}{\sec^2 \alpha} = \sin^2 \alpha$.

(A) For Assertion $(A)$: Given $\alpha=12^{\circ}, \beta=15^{\circ}, \gamma=18^{\circ}$.
We check if $\tan 2 \alpha \tan 2 \beta+\tan 2 \beta \tan 2 \gamma+\tan 2 \gamma \tan 2 \alpha=1$.
This is equivalent to $\tan 2 \alpha (\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma) = 1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma$.
$\tan 2 \alpha = \frac{1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma}{\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma} = \frac{1}{\tan(2 \beta + 2 \gamma)} = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
Since $2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 2(12^{\circ} + 15^{\circ} + 18^{\circ}) = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$,we have $2 \alpha = 90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)$.
Thus,$\tan 2 \alpha = \tan(90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)) = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
So,Assertion $(A)$ is true.
For Reason $(R)$: In $\triangle ABC$,$A+B+C = 180^{\circ}$,so $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ}$.
Then $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
Taking tangent on both sides: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(90^{\circ} - \frac{B}{2}) = \cot \frac{B}{2}$.
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{B}{2}}$.
$\tan \frac{B}{2} (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$.
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
Reason $(R)$ is true and it provides the general identity that explains the specific case in $(A)$.

(B) सबसे पहले,$m = \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $m = \frac{1}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}$।
अगला,$n = \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 80^{\circ}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^{\circ}-\theta) \tan(60^{\circ}+\theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ} = \tan(3 \times 20^{\circ}) = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $n = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$।
अंत में,$\frac{n}{m} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{16}} = \frac{3 \times 16}{\sqrt{3}} = 16 \sqrt{3}$।

(D) दिया गया है,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ और $C = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $C = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin C = \sin \frac{\pi}{2} = 1$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\cos A \cos B + \sin A \sin B = 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\cos(A - B) = 1$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $A - B = 0$,जिसका तात्पर्य है $A = B$।
अतः,अनुपात $A : B = 1 : 1$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin \theta - 3 \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = \cos \theta - 3 \cos 2 \theta + \cos 3 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin \theta + \sin 3 \theta) - 3 \sin 2 \theta = (\cos \theta + \cos 3 \theta) - 3 \cos 2 \theta$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin 2 \theta \cos \theta - 3 \sin 2 \theta = 2 \cos 2 \theta \cos \theta - 3 \cos 2 \theta$
$\sin 2 \theta (2 \cos \theta - 3) = \cos 2 \theta (2 \cos \theta - 3)$
$(\sin 2 \theta - \cos 2 \theta)(2 \cos \theta - 3) = 0$
चूंकि $2 \cos \theta - 3 = 0 \Rightarrow \cos \theta = \frac{3}{2}$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin 2 \theta - \cos 2 \theta = 0$
$\sin 2 \theta = \cos 2 \theta \Rightarrow \tan 2 \theta = 1$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$2 \theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}$।

(C) दिया गया है,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n}\right)^2 = \frac{n}{4}$
$1 + \sin \frac{\pi}{n} = \frac{n}{4}$
$\sin \frac{\pi}{n} = \frac{n-4}{4}$.
चूंकि $n > 2$,$\frac{\pi}{n} \in (0, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin \frac{\pi}{n} > 0$,जिसका अर्थ है $n-4 > 0$,अर्थात $n > 4$.
साथ ही,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{n}{8}}$.
चूंकि $\sin \theta \le 1$,हमारे पास $\sqrt{\frac{n}{8}} \le 1 \Rightarrow n \le 8$ है।
$n=8$ के लिए,$\sin \frac{\pi}{16} = \frac{8-4}{4} = 1$,जो असंभव है क्योंकि $\frac{\pi}{16} \neq \frac{\pi}{2}$.
अतः,$4 < n < 8$,इसलिए $n \in \{5, 6, 7\}$.
पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है।

(A) हमारे पास समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ है।
चूंकि $\sin^2(ax) \geq 0$,इसलिए $1+\sin^2(ax) \geq 1$ है।
साथ ही,हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cos(x) \leq 1$ होता है।
समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ के सत्य होने के लिए,दोनों पक्षों का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$\cos(x) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 2n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
$x = 2n\pi$ को समीकरण में रखने पर,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin^2(2an\pi) = 0$।
इसका मतलब है $\sin(2an\pi) = 0$,तो $2an\pi = k\pi$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है),जो $a = \frac{k}{2n}$ में सरल हो जाता है।
यदि $n \neq 0$ है,तो $a$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $a$ अपरिमेय है।
इसलिए,$n$ के लिए केवल $0$ संभव है,जो $x = 0$ देता है।
$x=0$ के लिए जाँच करने पर: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ और $\cos(0) = 1$।
अतः,$x=0$ ही एकमात्र हल है।

(C) दी गई असमिका $|\sqrt{3} \cos x - \sin x| \geq 2$ है।
हम जानते हैं कि $a \cos x + b \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = -1$ है,इसलिए $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
अतः,$|\sqrt{3} \cos x - \sin x|$ का मान $2$ या उससे अधिक तभी हो सकता है जब यह ठीक $2$ के बराबर हो।
इसका अर्थ है $2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) = 2$ या $2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2$।
$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1 \implies x + \frac{\pi}{6} = 0, 2\pi \implies x = \frac{11\pi}{6}$ ($[0, 2\pi]$ के भीतर)।
$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = -1 \implies x + \frac{\pi}{6} = \pi \implies x = \frac{5\pi}{6}$।
अतः,$A = \{\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$ है।
$x_1 = \frac{5\pi}{6}$ और $x_2 = \frac{11\pi}{6}$ लेने पर,हमें $\frac{x_1}{x_2} = \frac{5\pi/6}{11\pi/6} = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A+B+C=\frac{\pi}{4}$,अतः $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{8}$ है।
व्यंजक $E = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ पर विचार करें।
$2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \left[ \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \right] \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
चूंकि $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2}$,इसलिए:
$E = 2 \cos \left( \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2} \right) \cos \frac{C}{2} + 2 \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
पुनः $2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \left[ \cos \frac{\pi}{8} + \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) \right] + \left[ \cos \left( \frac{A-B+C}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B-C}{2} \right) \right] - \cos \frac{\pi}{8}$.
यहाँ $\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi}{8} - B$ और $\frac{A-B-C}{2} = A - \frac{\pi}{8}$ है,और $\cos(A-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}-A)$ होता है।
अतः $E = \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - B \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - A \right)$।

(B) माना अभीष्ट रेखा $x+2y+k=0$ है।
चूंकि यह $x+2y+3=0$ और $x+2y+8=0$ के बीच की दूरी को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करती है,इसलिए $\frac{|k-3|}{|k-8|} = \frac{1}{2}$।
$2|k-3| = |k-8| \Rightarrow 4(k^2-6k+9) = k^2-16k+64$।
$3k^2-8k-28=0 \Rightarrow (3k-14)(k+2)=0$।
चूंकि रेखा दी गई दो रेखाओं के बीच स्थित है,$k$ का मान $3$ और $8$ के बीच होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{14}{3}$।
समीकरण $x+2y+\frac{14}{3}=0$ या $3x+6y+14=0$ है।
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में बदलने के लिए,$-3x-6y=14$ लिखें।
$\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} = \sqrt{45}$ से विभाजित करने पर,$\frac{-3}{\sqrt{45}}x + \frac{-6}{\sqrt{45}}y = \frac{14}{\sqrt{45}}$।
यहाँ $\cos \alpha = \frac{-3}{\sqrt{45}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \alpha = \frac{-6}{\sqrt{45}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$।
चूंकि $\cos \alpha$ और $\sin \alpha$ दोनों ऋणात्मक हैं,$\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\alpha = \pi + \tan^{-1}(\frac{-2/-1}) = \pi + \tan^{-1}(2)$।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3, 0)$ और $C(0, 4)$ हैं।
माना भुजाओं की लंबाई क्रमशः $a$,$b$ और $c$ है जो शीर्ष $A$,$B$ और $C$ के सम्मुख हैं।
$a = BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (3, 0)$ और $(x_3, y_3) = (0, 4)$ हैं।
$I = \left(\frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}\right)$.
$I = \left(\frac{12}{12}, \frac{12}{12}\right) = (1, 1)$.

(D) अक्षों को $\alpha$ कोण से घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha$
$y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha$
दिया गया है $(x, y) = (1, 2)$ और $(x', y') = \left(\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}}\right)$:
$\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} = 1 \cos \alpha + 2 \sin \alpha$ $(1)$
$\frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}} = -1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha$ $(2)$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\alpha = 15^{\circ} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए बिंदु $A(3, 4), B(-3, 6), C(-5, 1), D(x, y)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(6 - 1) + (-3)(1 - 4) + (-5)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |3(5) + (-3)(-3) + (-5)(-2)| = \frac{1}{2} |15 + 9 + 10| = 17 \dots (1)$
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(1 - y) + (-5)(y - 4) + x(4 - 1)|$
$= \frac{1}{2} |3 - 3y - 5y + 20 + 3x| = \frac{1}{2} |3x - 8y + 23| \dots (2)$
चूँकि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle ACD$ का क्षेत्रफल,इसलिए $\frac{1}{2} |3x - 8y + 23| = 17$
$|3x - 8y + 23| = 34$
$3x - 8y + 23 = 34$ या $3x - 8y + 23 = -34$
$3x - 8y - 11 = 0$ या $3x - 8y + 57 = 0$
अतः,$D$ का बिंदु पथ $(3x - 8y - 11)(3x - 8y + 57) = 0$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है। इसका गुणनखंड करने पर:
$12x^2 - 14xy - 6xy + 7y^2 = 0$
$2x(6x - 7y) - y(6x - 7y) = 0$
$(2x - y)(6x - 7y) = 0$
अतः,दो रेखाएँ $2x - y = 0$ और $6x - 7y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए रेखाओं को युग्मों में हल करने पर:
$1$. $2x - y = 0$ और $6x - 7y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
हल करने पर,$x = 0, y = 0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $A = (0, 0)$ है।
$2$. $2x - y = 0$ और $2x - 3y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
समीकरणों को घटाने पर: $(2x - y) - (2x - 3y + 4) = 0$ $\Rightarrow 2y - 4 = 0$ $\Rightarrow y = 2$।
$2x - y = 0$ में $y = 2$ रखने पर,$x = 1$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $B = (1, 2)$ है।
$3$. $6x - 7y = 0$ और $2x - 3y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$6x - 7y = 0$ से,$x = \frac{7y}{6}$। $2x - 3y + 4 = 0$ में रखने पर:
$2(\frac{7y}{6}) - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow \frac{7y}{3} - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow -\frac{2y}{3} = -4$ $\Rightarrow y = 6$।
तब $x = \frac{7(6)}{6} = 7$। अतः,शीर्ष $C = (7, 6)$ है।
केंद्रक $(\alpha, \beta) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$:
$\alpha = \frac{0 + 1 + 7}{3} = \frac{8}{3}$
$\beta = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
अतः,$\alpha + 2\beta = \frac{8}{3} + 2(\frac{8}{3}) = \frac{8 + 16}{3} = \frac{24}{3} = 8$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को जोड़ों में हल करते हैं:
$1$. शीर्ष $A$ के लिए,$x+3y-4=0$ और $3x+y-4=0$ को हल करें:
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें $3x+9y-12=0$ प्राप्त होता है।
इसमें से $3x+y-4=0$ घटाने पर,हमें $8y-8=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$। $y=1$ को $x+3(1)-4=0$ में रखने पर,हमें $x=1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 1)$।
$2$. शीर्ष $B$ के लिए,$x+3y-4=0$ और $x+y-4=0$ को हल करें:
पहले में से दूसरा घटाने पर,हमें $2y=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=0$। $y=0$ को $x+y-4=0$ में रखने पर,हमें $x=4$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (4, 0)$।
$3$. शीर्ष $C$ के लिए,$3x+y-4=0$ और $x+y-4=0$ को हल करें:
पहले में से दूसरा घटाने पर,हमें $2x=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=0$। $x=0$ को $x+y-4=0$ में रखने पर,हमें $y=4$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (0, 4)$।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
चूंकि $AB = CA = \sqrt{10}$,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) मूल रेखा $x-2y-4=0$ है। इस रेखा का ढाल $m_1 = 1/2$ है।
जब किसी रेखा को उसके समानांतर स्थानांतरित किया जाता है,तो उसका ढाल अपरिवर्तित रहता है। इसलिए,स्थानांतरण के बाद रेखा का ढाल $m_1 = 1/2 = \tan \alpha$ रहता है,जहाँ $\alpha = \tan^{-1}(1/2)$ है।
रेखा को वामावर्त दिशा में $30^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद,नया ढाल $m$ कोणों के योग के टेंजेंट के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = \tan(\alpha + 30^{\circ}) = \frac{\tan \alpha + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan \alpha \tan 30^{\circ}}$
मान $\tan \alpha = 1/2$ और $\tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$ रखने पर:
$m = \frac{1/2 + 1/\sqrt{3}}{1 - (1/2)(1/\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3}+2)/(2\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)/(2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$m = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2}{2} = \frac{5+3\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$m \approx \frac{5+3(1.732)}{2} = \frac{5+5.196}{2} = \frac{10.196}{2} = 5.098$
$m$ का पूर्णांक भाग $5$ है।

(C) बिंदु $N(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $b: a$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$N$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{b(a \cos \beta) - a(b \cos \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{b(a \sin \beta) - a(b \sin \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x}$
$\frac{y}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$\frac{b - a}{ab}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$y(\cos \beta - \cos \alpha) = x(\sin \beta - \sin \alpha)$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर:
$y \left( -2 \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right) = x \left( 2 \cos \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right)$
$2 \sin \frac{\beta - \alpha}{2}$ से विभाजित करने पर:
$-y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = x \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
$x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = 0$

(C) दिया गया है कि $P_1, P_2, \ldots, P_n$ रेखा $y=x$ पर स्थित बिंदु हैं। चूंकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,किसी बिंदु $P_k(x_k, x_k)$ के लिए दूरी $OP_k = \sqrt{x_k^2 + x_k^2} = x_k \sqrt{2}$ है।
$OP_1 = 1$ दिया गया है,इसलिए $x_1 \sqrt{2} = 1$,अर्थात $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
पुनरावृत्ति संबंध $OP_n = n(OP_{n-1})$ है।
$n=2$ के लिए,$OP_2 = 2(OP_1) = 2(1) = 2$।
$n=3$ के लिए,$OP_3 = 3(OP_2) = 3(2) = 6$।
$n=4$ के लिए,$OP_4 = 4(OP_3) = 4(6) = 24$।
सामान्यतः,$OP_n = n \times (n-1) \times \ldots \times 1 = n!$।
हमें $P_n = (2520 \sqrt{2}, 2520 \sqrt{2})$ दिया गया है।
अतः,$OP_n = \sqrt{(2520 \sqrt{2})^2 + (2520 \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 \times (2520^2 \times 2)} = \sqrt{4 \times 2520^2} = 2 \times 2520 = 5040$।
इसलिए,$n! = 5040$।
चूंकि $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,इसलिए $n=7$ है।

(B) चरण $1$: रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(3,2)$ का परावर्तन निर्देशांकों को बदल देता है,जिससे $(2,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $(2,3)$ का $3$ इकाई का स्थानांतरण $x$-निर्देशांक में $3$ जोड़ता है,जिससे $(2+3, 3) = (5,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: मूल बिंदु के सापेक्ष वामावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर $(x,y) = (5,3)$ बिंदु का घूर्णन इस प्रकार है:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
$x=5, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$x' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$
अतः,अंतिम स्थिति $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ है।

(D) बिंदुओं $(3,0)$ और $(1, 4/3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{4/3 - 0}{1 - 3}(x - 3)$
$y = -\frac{2}{3}(x - 3) \Rightarrow 2x + 3y = 6$ (समीकरण $i$)
रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -2/3$ है। इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = 3/2$ है।
$(8,1)$ से गुजरने वाली और $3/2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 8) \Rightarrow 3x - 2y = 22$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $i$ और $ii$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, -2)$ है।
रेखा $2x + 3y = 6$,$Y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर काटती है।
रेखा $3x - 2y = 22$,$Y$-अक्ष को $(0, -11)$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $(6, -2)$,$(0, 2)$ और $(0, -11)$ हैं।
$Y$-अक्ष पर आधार $|2 - (-11)| = 13$ है और ऊँचाई $6$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 13 \times 6 = 39 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) चूँकि शीर्ष $A(2,3)$ रेखा $12x+5y-65=0$ पर स्थित नहीं है,इसलिए $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ का शीर्षलंब $AD$ है।
शीर्षलंब $AD$ की लंबाई बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ की लंबवत दूरी के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$AD = \left|\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$
$AD = \left|\frac{12(2)+5(3)-65}{\sqrt{12^2+5^2}}\right| = \left|\frac{24+15-65}{\sqrt{144+25}}\right| = \left|\frac{39-65}{\sqrt{169}}\right| = \left|\frac{-26}{13}\right| = 2$
समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ के लिए,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ होता है।
अतः,$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times h$.
$h = AD = 2$ रखने पर:
$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(C) चरण $1$: रेखा $y=x$ के सापेक्ष $(4,1)$ का परावर्तन $(1,4)$ देता है।
चरण $2$: धनात्मक $X$-दिशा में $(1,4)$ का $2$ इकाई स्थानांतरण $(1+2, 4) = (3,4)$ देता है।
चरण $3$: मूल बिंदु के परितः $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर $(x,y) = (3,4)$ का वामावर्त घूर्णन:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(B) दिया गया है $L(p, q) = \frac{ap + bq + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{2a + b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \frac{a + 2b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L(2, 2) = \frac{6a + 6b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
इनका योग करने पर:
$\frac{9a + 9b + 9c}{3\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$a + b + c = 0$
यह दर्शाता है कि रेखा $ax + by + c = 0$ बिंदु $(1, 1)$ के लिए $a(1) + b(1) + c = 0$ को संतुष्ट करती है।
अतः,रेखा हमेशा $(1, 1)$ बिंदु से होकर गुजरती है।

(B) माना कि दो दिए गए शीर्षलंब $L_1: \sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3} = 0$ और $L_2: \sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3} = 0$ हैं।
इन दो शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocenter) है।
$L_1$ और $L_2$ को जोड़ने पर: $(\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) + (\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) = 0$।
$2\sqrt{3}x - 4 - 8\sqrt{3} = 0$ $\Rightarrow 2\sqrt{3}x = 4 + 8\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 4 + \frac{2}{\sqrt{3}}$।
$L_2$ में से $L_1$ को घटाने पर: $(\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) - (\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) = 0$।
$2y - 20 = 0 \Rightarrow y = 10$।
लंबकेंद्र $(4 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 10)$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र और केंद्रक (centroid) एक ही होते हैं।
चूँकि तीसरा शीर्षलंब इस बिंदु से होकर गुजरना चाहिए,विकल्पों की जाँच करने पर,तीसरे शीर्षलंब का समीकरण $y = 10$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$2x + 3y - 1 = 0$ $(i)$
$3x + 4y - 6 = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y - 3 = 0$
$6x + 8y - 12 = 0$
घटाने पर: $y + 9 = 0 \Rightarrow y = -9$.
$y = -9$ को $(i)$ में रखने पर: $2x + 3(-9) - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x - 27 - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(14, -9)$ है।
$5x - 2y = 7$ पर लंब रेखा का रूप $2x + 5y + k = 0$ है।
चूंकि यह $(14, -9)$ से गुजरती है:
$2(14) + 5(-9) + k = 0$
$28 - 45 + k = 0$
$-17 + k = 0 \Rightarrow k = 17$.
अतः,समीकरण $2x + 5y + 17 = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,इसलिए इसे $x = 0$ पर भी सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$।
सबसे पहले,$x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-ax}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-ax})(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})}$
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+ax)-(1-ax)}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2ax}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})} = \frac{2a}{1+1} = a$।
अब,$x = 0$ पर दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+2}{x-2} = \frac{0^2+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$।
चूंकि फलन सतत है,$LHL$ = $RHL$,इसलिए $a = -1$।

(C) हमें दिया गया है,$f(x)=\frac{2x}{4+3|x|}, x \in R$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{4+3x}, & \text{यदि } x \geq 0 \\ \frac{2x}{4-3x}, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
$f^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ पर बाएँ और दाएँ अवकलज की जाँच करते हैं।
$x > 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{4+3x} \right) = \frac{(4+3x)(2) - 2x(3)}{(4+3x)^2} = \frac{8+6x-6x}{(4+3x)^2} = \frac{8}{(4+3x)^2}$.
अतः,$Rf^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{8}{(4+3x)^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{4-3x} \right) = \frac{(4-3x)(2) - 2x(-3)}{(4-3x)^2} = \frac{8-6x+6x}{(4-3x)^2} = \frac{8}{(4-3x)^2}$.
अतः,$Lf^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{8}{(4-3x)^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $Lf^{\prime}(0) = Rf^{\prime}(0) = \frac{1}{2}$,इसलिए अवकलज $f^{\prime}(0)$ का अस्तित्व है और इसका मान $\frac{1}{2}$ है।

(C) एक फलन $f(x)$,$x=a$ पर अवकलनीय होता है यदि बायां अवकलज $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ और दायां अवकलज $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ का अस्तित्व हो और वे बराबर हों।
$f_1(x)=|x|$ के लिए,$x=1$ पर,$f_1(x)=x$ है। अतः $f_1'(1)=1$ है। यह अवकलनीय है।
$f_2(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$LHD = \frac{d}{dx}(1+\sin(x-1))|_{x=1} = \cos(0) = 1$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(x)|_{x=1} = 1$ है। चूंकि $LHD=RHD$,यह अवकलनीय है।
$f_3(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$LHD = \frac{d}{dx}(x^2+7x-7)|_{x=1} = 2(1)+7 = 9$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(\frac{3x-1}{2})|_{x=1} = \frac{3}{2} = 1.5$ है। चूंकि $LHD \neq RHD$,$f_3(x)$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$f_4(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$f_4(x) = |x-1|+|x-2|$ है। $x \leq 1$ के लिए,$f_4(x) = -(x-1)-(x-2) = -2x+3$ है। $LHD = -2$ है। $x > 1$ के लिए,$f_4(x) = 1+x-x^3$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(1+x-x^3)|_{x=1} = 1-3(1)^2 = -2$ है। चूंकि $LHD=RHD$,यह अवकलनीय है।

(D) दिया गया है $y=(\sin x)^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = x^2 \log(\sin x)$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) + \log(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \log(\sin x) \cdot 2x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cot x + 2x \log(\sin x)$.
$y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
$y = (\sin x)^{x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x^2} (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
पद का विस्तार करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2} \frac{\cos x}{\sin x} + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2-1} \cos x + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.

(C) दिया गया है $y=\frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$\log y = \log \left( \frac{(x+1)^2 (x-1)^{1/2}}{(x+4)^3 e^x} \right)$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x \log e$
चूंकि $\log e = 1$,इसलिए:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x} \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$

(B) माना $f(x) = \frac{x+5}{(x+1)^2(x+2)}$। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं:
$\frac{x+5}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$
$x+5 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$
$x = -1$ के लिए: $-1+5 = B(-1+2) \Rightarrow B = 4$।
$x = -2$ के लिए: $-2+5 = C(-2+1)^2 \Rightarrow C = 3$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = -3$।
अतः,$f(x) = -\frac{3}{x+1} + \frac{4}{(x+1)^2} + \frac{3}{x+2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -3(x+1)^{-1} + 4(x+1)^{-2} + 3(x+2)^{-1} \right)$
$f'(x) = 3(x+1)^{-2} - 8(x+1)^{-3} - 3(x+2)^{-2}$
$f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} - \frac{8}{(x+1)^3} - \frac{3}{(x+2)^2}$।

(A) $y=|x|+|x-2|$ के लिए,$x=2$ पर,फलन $y$ अवकलनीय नहीं है क्योंकि इसमें निरपेक्ष मानों का योग शामिल है जहाँ $|x-2|$ पद $x=2$ पर एक तीक्ष्ण मोड़ (sharp corner) रखता है। अतः,$\frac{dy}{dx}$ का अस्तित्व नहीं है। (मेल खाता है $iv$)
$(b)$ $f(x)=|\cos 2x|$ के लिए,$x=\frac{\pi}{4}$ पर,$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$। $x > \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos 2x$ ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = -\cos 2x$। तब $f^{\prime}(x) = 2\sin 2x$। $x = \frac{\pi}{4}^{+}$ पर,$f^{\prime}(\frac{\pi}{4}^{+}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$। (मेल खाता है $i$)
$(c)$ $f(x)=\sin(\pi[x])$ के लिए,$1$ से थोड़े छोटे $x$ $(x \in (0, 1))$ के लिए,$[x]=0$। इसलिए $f(x) = \sin(0) = 0$। एक अचर फलन का अवकलज $0$ होता है। (मेल खाता है $ii$)
$(d)$ $f(x)=\log|x-1|$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x-1}$। $x=\frac{1}{2}$ पर,$f^{\prime}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$। (मेल खाता है $iii$)

(C) दिया गया है,$y = \frac{(\sin^{-1} x)^2}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx} \left[ \frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} \right] = \frac{1}{2} \cdot 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
अतः,$\sqrt{1-x^2} y_1 = \sin^{-1} x$.
गुणनफल नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-x^2} y_2 + y_1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} (-2x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = 1$.

(B) दिया गया है $y=\tan ^{-1}(\sin \sqrt{x})+\operatorname{cosec}^{-1}\left(e^{2 x+1}\right)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sin \sqrt{x})) = \frac{1}{1+(\sin \sqrt{x})^2} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1+\sin^2 \sqrt{x})}$.
दूसरे पद के लिए,$\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(u)) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^{2x+1})) = -\frac{1}{e^{2x+1}\sqrt{(e^{2x+1})^2-1}} \cdot e^{2x+1} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{e^{4x+2}-1}}$.
इन दोनों को जोड़ने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}(1+\sin ^2 \sqrt{x})} - \frac{2}{\sqrt{e^{4 x+2}-1}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = (\sin^{-1} 2x)^2 + (\cos^{-1} 2x)^2$.
सर्वसमिका $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\cos^{-1} 2x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} 2x$.
इसे $y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (\sin^{-1} 2x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} 2x)^2$
$y = (\sin^{-1} 2x)^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi \sin^{-1} 2x + (\sin^{-1} 2x)^2$
$y = 2(\sin^{-1} 2x)^2 - \pi \sin^{-1} 2x + \frac{\pi^2}{4}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = 4(\sin^{-1} 2x) \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} - \pi \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$
$y_1 = \frac{8 \sin^{-1} 2x - 2\pi}{\sqrt{1-4x^2}}$.
$\sqrt{1-4x^2} y_1 = 8 \sin^{-1} 2x - 2\pi$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-4x^2} y_2 + y_1 \cdot \frac{-8x}{2\sqrt{1-4x^2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-4x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1-4x^2) y_2 - 4x y_1 = 16$.

(A-(III), B-(V), C-(I), D-(II)) के लिए: मान लीजिए $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}} = \tan^{-1}(\tan(x/2)) = \frac{x}{2}$.
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$. इस प्रकार,$A \rightarrow (iii)$.
$B$ के लिए: मान लीजिए $y = \frac{3+|x-1|}{3x+4}$. फलन $|x-1|$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,यह व्यंजक $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार,$B \rightarrow (v)$.
$C$ के लिए: मान लीजिए $y = \sinh^{-1} x$. हम जानते हैं कि $\sinh^{-1} x = \log(x+\sqrt{1+x^2})$. इस प्रकार,$C \rightarrow (i)$.
$D$ के लिए: मान लीजिए $y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\tan^{-1} x$.
अतः $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = 2(1+x^2)^{-1}$.
अतः $\frac{d^2y}{dx^2} = 2(-1)(1+x^2)^{-2}(2x) = -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$. इस प्रकार,$D \rightarrow (ii)$.
सही मिलान $A-(iii), B-(v), C-(i), D-(ii)$ है।

(A) दिया गया है,$y = e^x \log x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d y}{d x} = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = y + \frac{e^x}{x}$।
इसका अर्थ है $x y_1 = x y + e^x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x y_2 + y_1 = x y_1 + y + e^x$।
प्रथम अवकलज समीकरण से $e^x = x y_1 - x y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x y_2 + y_1 = x y_1 + y + (x y_1 - x y)$।
$x y_2 = x y_1 + y + x y_1 - x y - y_1$।
$x y_2 = (2 x - 1) y_1 + (1 - x) y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x y_2 + (x - 1) y = (2 x - 1) y_1$।

(A) दिया गया है $y = 2 \cos (2 \log x) + 3 \sin (2 \log x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = -2 \sin (2 \log x) \cdot \frac{2}{x} + 3 \cos (2 \log x) \cdot \frac{2}{x}$
$x y^{\prime} = -4 \sin (2 \log x) + 6 \cos (2 \log x)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -4 \cos (2 \log x) \cdot \frac{2}{x} - 6 \sin (2 \log x) \cdot \frac{2}{x}$
$x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -8 \cos (2 \log x) - 12 \sin (2 \log x)$
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -4 [2 \cos (2 \log x) + 3 \sin (2 \log x)]$
चूंकि $y = 2 \cos (2 \log x) + 3 \sin (2 \log x)$,इसलिए:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -4 y$
अतः,$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 2 y = -4 y + 2 y = -2 y$.

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ हैं।
मान लीजिए $(x_0, y_0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
वक्रों के बीच का कोण प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।
पहले वक्र $x^2-y^2=4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_1 = \frac{x_0}{y_0}$।
दूसरे वक्र $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
ढाल के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} \right| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} \right| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} \right|$.
चूंकि $x_0^2 - y_0^2 = 4$,इसलिए $y_0^2 - x_0^2 = -4$ है।
अतः,$\tan \theta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} \right| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$।
समीकरणों $x_0^2 - y_0^2 = 4$ और $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ को हल करने पर:
जोड़ने पर: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$।
घटाने पर: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$।
अतः $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$।
इसलिए,$|x_0 y_0| = 2$।
इस मान को $\tan \theta$ में रखने पर: $\tan \theta = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = ax^3 + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = \frac{3a(1)^2}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ है।
दी गई स्पर्शरेखा $y = 2x$ है,जिसकी ढाल $2$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$\frac{3a}{4} = 2$,इसलिए $a = \frac{8}{3}$।
चूँकि वक्र $(1,2)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $2^2 = \frac{8}{3}(1)^3 + b$।
$4 = \frac{8}{3} + b$,जिससे $b = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \tanh^{-1}(\sin x)$ है।
माना $y = \tanh^{-1}(\sin x)$,जिसका अर्थ है $\tanh y = \sin x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\operatorname{sech}^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\operatorname{sech}^2 y}$।
सर्वसमिका $\operatorname{sech}^2 y = 1 - \tanh^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1 - \tanh^2 y}$।
चूंकि $\tanh y = \sin x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \sec x$।
$x = \pi$ पर,ढाल $\sec(\pi) = -1$ है।

(D) माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 16ax$ पर मूल बिंदु के अलावा कोई भी बिंदु है।
$(x_1, y_1)$ पर उपस्पर्शज्या की लंबाई $y_1 \left| \frac{dx}{dy} \right|_{(x_1, y_1)}$ द्वारा दी जाती है।
$y^2 = 16ax$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 16a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{8a}{y}$।
इसलिए,$\frac{dx}{dy} = \frac{y}{8a}$।
$(x_1, y_1)$ पर उपस्पर्शज्या की लंबाई $y_1 \left( \frac{y_1}{8a} \right) = \frac{y_1^2}{8a}$ है।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = 16ax_1$ होगा।
इस मान को उपस्पर्शज्या की लंबाई के व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{16ax_1}{8a} = 2x_1$ प्राप्त होता है।
उपस्पर्शज्या की लंबाई और भुज $x_1$ का अनुपात $\frac{2x_1}{x_1} = 2:1$ है।

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y = \sin 2x$ $(i)$
$y = \cos 2x$ (ii)
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखते हैं:
$\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}$
जब $x = \frac{\pi}{8}$ है,तो $y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{\pi}{8}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
अब,इस बिंदु पर ढाल $m_1$ और $m_2$ ज्ञात करते हैं:
$m_1 = \frac{dy}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ पर,$m_1 = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$m_2 = \frac{dy}{dx} (\cos 2x) = -2 \sin 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ पर,$m_2 = -2 \sin \frac{\pi}{4} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$
$\tan \theta = |\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2})(-\sqrt{2})}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{1 - 2}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{-1}| = 2\sqrt{2}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(C) दिया गया है कि,ऊँचाई की सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta h}{h} = 0.02$ है।
त्रिज्या की सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta r}{r} = 0.02$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln V = \ln \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right)$.
$\ln V = \ln \left( \frac{\pi}{3} \right) + 2 \ln r + \ln h$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{\delta V}{V} = 2 \left( \frac{\delta r}{r} \right) + \left( \frac{\delta h}{h} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\delta V}{V} = 2(0.02) + 0.02 = 0.04 + 0.02 = 0.06$.
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta V}{V} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $6$ है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ है।
हमें $r = 12 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 12 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 24 \pi (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(A) माना फलन $f(x) = x^3 + 2x^{3/2} + 5$ है।
हमें $x = 1.01$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 1$ और $\Delta x = 0.01$ है।
$y$ का अवकलज $dy = f'(x) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^{3/2} + 5) = 3x^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3x^2 + 3x^{1/2}$।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 3(1)^2 + 3(1)^{1/2} = 3 + 3 = 6$।
$x = 1$ पर फलन का मान $f(1) = 1^3 + 2(1)^{3/2} + 5 = 1 + 2 + 5 = 8$ है।
अनुमानित मान के सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ का उपयोग करते हुए:
$f(1.01) \approx f(1) + f'(1) \Delta x = 8 + 6(0.01) = 8 + 0.06 = 8.06$।

(C) की गणना:
माना $S$ भुजा $a$ वाले वर्ग का क्षेत्रफल है। अतः $S = a^2$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = \frac{2a \Delta a}{a^2} = 2 \frac{\Delta a}{a}$ है।
दिया है $\frac{\Delta a}{a} = 0.4$,इसलिए $A = 2 \times 0.4 = 0.8$.
$B$ की गणना:
माना $V$ त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन है। अतः $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
दिया है $\frac{\Delta r}{r} = 0.3$,इसलिए $B = 3 \times 0.3 = 0.9$.
$C$ की गणना:
माना $S'$ त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ वाले एक बंद बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। चूँकि $r = h$,$S' = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi h^2 + 2 \pi h^2 = 4 \pi h^2$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S'}{S'} = \frac{8 \pi h \Delta h}{4 \pi h^2} = 2 \frac{\Delta h}{h}$ है।
दिया है $\frac{\Delta h}{h} = 0.2$,इसलिए $C = 2 \times 0.2 = 0.4$.
$D$ की गणना:
दिया है $y = x^2 + x - 3$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
अनुमानित त्रुटि $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x = (2x + 1) \Delta x$ है।
$x = 2$ और $\Delta x = 0.1$ के लिए,$\Delta y = (2(2) + 1) \times 0.1 = 5 \times 0.1 = 0.5$.
अतः $D = 0.5$.
मानों की तुलना करने पर: $C = 0.4, D = 0.5, A = 0.8, B = 0.9$.
आरोही क्रम $C < D < A < B$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 8$ है।
मोड़ बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
अतः,मोड़ बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
$x = 2$ के लिए,$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 8 = 16 - 60 + 72 - 8 = 20$.
$x = 3$ के लिए,$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 8 = 54 - 135 + 108 - 8 = 19$.
दिया गया है कि $\alpha < \gamma$,इसलिए $\alpha = 2$ और $\gamma = 3$ है।
तदनुसार,$\beta = 20$ और $\delta = 19$ है।
अब,$\alpha - \gamma - \beta + \delta = 2 - 3 - 20 + 19 = -2$.

(D) दिया गया है $g(x) = \frac{f(x)}{x+1}$।
चूंकि $f(x)$,$[0,6]$ पर सतत है और $(0,6)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[0,6]$ पर सतत और $(0,6)$ पर अवकलनीय है क्योंकि $x \in [0,6]$ के लिए $x+1 \neq 0$ है।
अंत बिंदुओं पर $g(x)$ के मान ज्ञात करें:
$g(0) = \frac{f(0)}{0+1} = \frac{12}{1} = 12$
$g(6) = \frac{f(6)}{6+1} = \frac{-4}{7}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0,6)$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = \frac{g(6)-g(0)}{6-0}$ हो।
मान रखने पर:
$g^{\prime}(c) = \frac{-\frac{4}{7} - 12}{6} = \frac{-\frac{4}{7} - \frac{84}{7}}{6} = \frac{-\frac{88}{7}}{6} = -\frac{88}{42} = -\frac{44}{21}$।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है।
चूंकि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल है,मान लीजिए यह मूल $x_0$ है।
$f(x)$ का $(1, 6)$ में मूल होने के लिए,फलन का चिह्न बदलना चाहिए।
चूंकि $f(1) = -2 < 0$,इसलिए $(1, 6)$ में मूल होने के लिए $f(6) > 0$ होना चाहिए।
लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(6) - f(1)}{6 - 1}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f^{\prime}(c) = \frac{f(6) - (-2)}{5} = \frac{f(6) + 2}{5}$।
चूंकि $f(6) > 0$,इसलिए $f(6) + 2 > 2$ होगा।
अतः,$f^{\prime}(c) = \frac{f(6) + 2}{5} > \frac{2}{5}$।
इस प्रकार,एक ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) > \frac{2}{5}$।

(A) मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$.
मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के दो क्रमागत मूल हैं ताकि $\alpha < \beta$ हो।
अतः $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
हालांकि,फलन $g(x) = e^{-x} f(x) = \cos x + e^{-x}$ पर विचार करें।
तब $g(\alpha) = 0$ और $g(\beta) = 0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में एक $c$ ऐसा है कि $g'(c) = 0$ हो।
$g'(x) = -\sin x - e^{-x} = 0$।
दोनों पक्षों को $-e^x$ से गुणा करने पर,हमें $e^x \sin x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha$ और $\beta$ के बीच $e^x \sin x + 1 = 0$ का एक मूल स्थित है।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $g(x) = \frac{f(x)}{x+2}$,इसलिए $g(x)$ भी $[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है क्योंकि $x \in [0,4]$ के लिए $x+2 \neq 0$ है।
अंत बिंदुओं पर $g(x)$ के मानों की गणना करें:
$g(0) = \frac{f(0)}{0+2} = \frac{4}{2} = 2$
$g(4) = \frac{f(4)}{4+2} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0,4)$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = \frac{g(4)-g(0)}{4-0}$ हो।
मान रखने पर:
$g^{\prime}(c) = \frac{-\frac{1}{3} - 2}{4} = \frac{-\frac{7}{3}}{4} = -\frac{7}{12}$.

(B) दिया गया है $f(x)=x^3+2x^2-x$।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[-1,2]$ पर सतत है और $(-1,2)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (-1,2)$ मौजूद है कि $f'(C) = \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$।
सबसे पहले,$f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 2 = 8 + 8 - 2 = 14$।
फिर,$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$।
अब,$f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$।
अतः,$3C^2 + 4C - 1 = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$।
$3C^2 + 4C - 5 = 0$।
द्विघात सूत्र $C = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$C = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-5)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{6}$।
सरल करने पर,$C = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$।
चूंकि $C \in (-1,2)$,हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \frac{-2+\sqrt{19}}{3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$.
अवकलज $f'(x) = 3x^2-6x+2$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1/2)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(1/2)-f(0)}{1/2-0}$ है।
गणना करने पर $f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ और $f(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$।
$3c^2-6c+2 = 3/4$ रखने पर,हमें $12c^2-24c+5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{24} = 1 \pm \frac{4\sqrt{21}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$,हम $c = 1 - \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ चुनते हैं।

(B) माना $R$ गोले की त्रिज्या है और $r$ तथा $h$ बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई हैं।
गोले और अंतर्निहित बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$.
अतः,$r^2 = R^2 - h^2/4$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - h^2/4) h = \pi R^2 h - \pi h^3/4$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = \frac{4R^2}{3}$,इसलिए $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $R = 3 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $h = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \ cm$.
चूँकि $\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} < 0$ है,इसलिए $h = 2 \sqrt{3} \ cm$ पर आयतन अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 e^{-2x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-2x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x})$
$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x}$
$f'(x) = 2x e^{-2x}(1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$2x e^{-2x}(1 - x) = 0$
चूंकि $x > 0$ और $e^{-2x} \neq 0$ है,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
अतः,$x = 1$ पर $f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int(\cot x \cot (x+\alpha)+1) d x$ है।
सर्वसमिका $\cot A \cot B + 1 = \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B} = \frac{\cos(A-B)}{\sin A \sin B}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\cos(x - (x+\alpha))}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \int \frac{\cos(-\alpha)}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \cos \alpha \int \frac{1}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$.
$\sin \alpha$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \int \frac{\sin \alpha}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \cot \alpha \int \frac{\sin((x+\alpha)-x)}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \cot \alpha \int \frac{\sin(x+\alpha) \cos x - \cos(x+\alpha) \sin x}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$.
$I = \cot \alpha \int (\cot x - \cot (x+\alpha)) d x$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \cot \alpha (\log |\sin x| - \log |\sin (x+\alpha)|) + c = \cot \alpha \log \left|\frac{\sin x}{\sin (x+\alpha)}\right| + c$.

(C) हमारे पास है,$\int \frac{2 \, dx}{\sqrt{\cot^2 x - \tan^2 x}}$.
इसे $\sin x$ और $\cos x$ में बदलने पर:
$= \int \frac{2 \, dx}{\sqrt{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} \, dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x$ का उपयोग करने पर:
$= \int \frac{\sin 2x \, dx}{\sqrt{\cos 2x}}$.
माना $t = \cos 2x$,तो $dt = -2 \sin 2x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} dt$.
$= -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + c = -\sqrt{t} + c$.
$t = \cos 2x$ वापस रखने पर,हमें $-\sqrt{\cos 2x} + c$ प्राप्त होता है.
$-\sqrt{f(x)} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cos 2x$ प्राप्त होता है.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-3x+2}}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2-3x+2 = (x^2-3x+\frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \cosh^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \cosh^{-1}(\frac{x-3/2}{1/2}) + c = \cosh^{-1}(2x-3) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{d x}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2} = \int \frac{d x}{\left(e^x+\frac{1}{e^x}\right)^2}$
$= \int \frac{e^{2 x} d x}{\left(e^{2 x}+1\right)^2}$
माना $t = e^{2 x}+1$,तब $dt = 2e^{2 x} dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{2 x} dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} dt$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{2t} + c$
$t = e^{2 x}+1$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2\left(e^{2 x}+1\right)} + c$

(D) हमें दिया गया है,$f\left(\frac{t+1}{2 t+1}\right)=t+1$.
माना $\frac{t+1}{2 t+1}=x$.
तब $t+1=x(2t+1) \Rightarrow t+1=2tx+x$.
$t(1-2x)=x-1 \Rightarrow t=\frac{x-1}{1-2x}=\frac{1-x}{2x-1}$.
$f(x)$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर:
$f(x) = \frac{1-x}{2x-1} + 1 = \frac{1-x+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2x-1}$.
अब,हम समाकलन ज्ञात करते हैं:
$\int f(x) dx = \int \frac{x}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{1}{2x-1}\right) dx$.
$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \log |2x-1| \right] + c$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \log |2x-1| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{9^x-1}} dx$ है।
$3^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3^x \log 3 dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x dx = \frac{dt}{\log 3}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \log \left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log \left|t + \sqrt{t^2-1}\right| + c$।
$t$ के स्थान पर $3^x$ रखने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log \left|3^x + \sqrt{9^x-1}\right| + c$।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(2ax+x^2)^{3/2}}$.
हम समाकल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{dx}{(x^2+2ax)^{3/2}} = \int \frac{dx}{[x(x+2a)]^{3/2}} = \int \frac{dx}{x^{3/2}(x+2a)^{3/2}}$.
वैकल्पिक रूप से,कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$2ax+x^2 = (x+a)^2 - a^2$.
माना $x+a = a \sec \theta$,तब $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$.
साथ ही,$(x+a)^2 - a^2 = a^2 \sec^2 \theta - a^2 = a^2 \tan^2 \theta$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
माना $u = \sin \theta$,तब $du = \cos \theta d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + c = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + c$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{x+a}{a}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{a}{x+a}$.
तब $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{(x+a)^2}} = \sqrt{\frac{(x+a)^2 - a^2}{(x+a)^2}} = \frac{\sqrt{x^2+2ax}}{x+a}$.
अतः,$I = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{x+a}{\sqrt{x^2+2ax}} + c$.

(D) माना $I = \int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
$\sin x$ और $\cos x$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\right) d x = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$.
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x$.
चूँकि $1 - (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x$:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$.
माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) d x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \sin x - \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$.

(A) हमारे पास है,$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$.
माना $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = \int \frac{(x^4-x^2+1) + x^2}{(x^2)^3 + 1^3} dx$.
सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करते हुए,$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)} dx + \int \frac{x^2}{x^6+1} dx$.
$I = \int \frac{1}{x^2+1} dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
$I = \tan^{-1} x + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
माना $x^3 = t$,तब $3x^2 dx = dt$,अर्थात $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1} dt = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} t + c$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$.
$A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$ से तुलना करने पर,हमें $A=1$ और $B=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I=\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}} d x$.
$x=t^6$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x=6 t^5 d t$ प्राप्त होता है।
अतः $I=\int \frac{t^3}{t^3-t^2} \cdot 6 t^5 d t = 6 \int \frac{t^8}{t^2(t-1)} d t = 6 \int \frac{t^6}{t-1} d t$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर,$\frac{t^6}{t-1} = t^5+t^4+t^3+t^2+t+1+\frac{1}{t-1}$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = 6 \left[ \frac{t^6}{6} + \frac{t^5}{5} + \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + t + \log|t-1| \right] + K$.
$I = t^6 + \frac{6}{5} t^5 + \frac{6}{4} t^4 + \frac{6}{3} t^3 + \frac{6}{2} t^2 + 6t + 6 \log|t-1| + K$.
चूँकि $t = x^{1/6}$,$I = x + \frac{6}{5} x^{5/6} + \frac{3}{2} x^{2/3} + 2 x^{1/2} + 3 x^{1/3} + 6 x^{1/6} + \log(\sqrt[6]{x}-1)^6 + K$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $E = \frac{6}{5}$,$D = \frac{3}{2}$,$C = 2$,$B = 3$,$A = 6$.
योग $A+B+C+D+E = 6 + 3 + 2 + \frac{3}{2} + \frac{6}{5} = 11 + 1.5 + 1.2 = 13.7 = \frac{137}{10}$.

(D) माना $I = \int \frac{\cos 2x \sin 4x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$.
$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 x = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$I = \int \frac{\cos 2x (2 \sin 2x \cos 2x)}{\frac{(1 + \cos 2x)^2}{4} (1 + \cos^2 2x)} dx = 8 \int \frac{\cos^2 2x \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2 (1 + \cos^2 2x)} dx$.
माना $t = \cos 2x$,तब $dt = -2 \sin 2x dx$,अर्थात $\sin 2x dx = -\frac{dt}{2}$.
$I = 8 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} (-\frac{dt}{2}) = -4 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} dt$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{(1+t)^2} + \frac{Ct+D}{1+t^2}$.
हल करने पर $A = 0, B = -1/2, C = 1/2, D = 1/2$ प्राप्त होता है।
$I = -4 \int (-\frac{1}{2(1+t)^2} + \frac{t+1}{2(1+t^2)}) dt = 2 \int \frac{1}{(1+t)^2} dt - 2 \int \frac{t}{1+t^2} dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt$.
$I = -\frac{2}{1+t} - \log(1+t^2) - 2 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = \cos 2x$ रखकर सरल करने पर सही विकल्प प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}\right) dx$.
$x = a \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1+\tan^2 \theta)}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
इस प्रकार,$I = \int \sin^{-1}(\sin \theta) \cdot 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लेने पर,$du = d\theta$ और $v = \frac{\tan^2 \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = 2a \left[ \theta \cdot \frac{\tan^2 \theta}{2} - \int \frac{\tan^2 \theta}{2} d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a(\tan \theta - \theta) + C = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + C = a \theta \sec^2 \theta - a \tan \theta + C$.
चूंकि $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ और $\sec^2 \theta = 1 + \frac{x}{a} = \frac{a+x}{a}$ है।
मान रखने पर: $I = a \left( \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} \right) \left( \frac{a+x}{a} \right) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + C = (a+x) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + C$.
अतः,$A(x) = (a+x) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax}$.

(C) माना $I = \int (x+x^2) \log(1+x^2) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\log(1+x^2)$ को प्रथम फलन लेने पर:
$I = \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx - \int \left( \frac{d}{dx} \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{2x}{1+x^2} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \frac{2x^4}{3(1+x^2)} \right) dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x(x^2+1-1)}{1+x^2} dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$
$\int \frac{2x^4}{3(1+x^2)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x^4-1+1}{1+x^2} dx = \frac{2}{3} \int (x^2-1) dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x \right) + c$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \right) - \frac{2}{3} \tan^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I_1 = \int \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) d x$.
$|x| < 1$ के लिए,हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = 2 \tan ^{-1} x$.
अतः,$I_1 = \int 2 \tan ^{-1} x d x = 2 \int \tan ^{-1} x d x$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ होगा।
$I_1 = 2 \left( x \tan ^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx \right)$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \int \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \log(1+x^2) + C$.
चूंकि $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$,मान वापस रखने पर:
$I_1 = x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) - \log(1+x^2) + C$.

(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^4 \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = (\log x)^3$ और $dv = x^4 \, dx$ लेने पर,$du = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^5}{5}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4 (\log x)^2 \, dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x \, dx$.
अंत में,$\int x^4 \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{625} x^5 + c$.
$\frac{x^5}{625}$ को कॉमन लेने पर:
$I = \frac{x^5}{625} [125(\log x)^3 - 75(\log x)^2 + 30(\log x) - 6] + c$.
$p = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,उत्तर $\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)} dx$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{P}{x-1} + \frac{Qx+R}{x^2+1}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x = P(x^2+1) + (Qx+R)(x-1) = (P+Q)x^2 + (R-Q)x + (P-R)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $P+Q=0$,$R-Q=1$,$P-R=0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $P = \frac{1}{2}$,$Q = -\frac{1}{2}$,$R = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{1/2}{x-1} dx + \int \frac{-1/2x + 1/2}{x^2+1} dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log |x^2+1| + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + d$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{4}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$A+B+C = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(D) हम $I_n = \int \cos^n x \, dx$ के लिए रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करते हैं।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) करने पर:
$I_n = \int \cos^{n-1} x \cdot \cos x \, dx$
$= \cos^{n-1} x \sin x - \int (n-1) \cos^{n-2} x (-\sin x) \sin x \, dx$
$= \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx$
$= \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$I_n + (n-1) I_n = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n - (n-1) I_{n-2} = \cos^{n-1} x \sin x$
$n = 6$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$6 I_6 - 5 I_4 = \cos^{6-1} x \sin x$
$6 I_6 - 5 I_4 = \cos^5 x \sin x$

(B) दिया गया है कि $\int \phi(x) dx = \psi(x)$। हमें $I = \int \phi(h(x)) \cdot h(x) h'(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $h(x) = t$,तब $h'(x) dx = dt$।
समाकलन $I = \int \phi(t) \cdot t dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \phi(t) dt$ लें। तब $du = dt$ और $v = \int \phi(t) dt = \psi(t)$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = t \psi(t) - \int \psi(t) dt$।
$t = h(x)$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$I = h(x) \psi(h(x)) - \int \psi(h(x)) h'(x) dx + c$।
इसे $(\psi \circ h)(x) h(x) - \int (\psi \circ h)(x) h'(x) dx + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) हमारे पास $I_n = \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos^n x$ और $dv = e^{-x} dx$ लेने पर,हमें $du = n \cos^{n-1} x (-\sin x) dx$ और $v = -e^{-x}$ प्राप्त होता है।
$I_n = [-e^{-x} \cos^n x]_{\pi / 2}^{\infty} - \int_{\pi / 2}^{\infty} (-e^{-x}) (n \cos^{n-1} x) (-\sin x) dx$
$I_n = 0 - n \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$ के लिए $u = \cos^{n-1} x \sin x$ और $dv = e^{-x} dx$ लेने पर:
$I_n = -n [(-e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x)_{\pi / 2}^{\infty} - \int_{\pi / 2}^{\infty} (-e^{-x}) ((n-1) \cos^{n-2} x (-\sin^2 x) + \cos^n x) dx]$
$I_n = -n [0 + \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} (-(n-1) \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) + \cos^n x) dx]$
$I_n = -n [-(n-1) I_{n-2} + (n-1) I_n + I_n]$
$I_n = -n [n I_n - (n-1) I_{n-2}]$
$I_n = -n^2 I_n + n(n-1) I_{n-2}$
$I_n(1 + n^2) = n(n-1) I_{n-2}$
$\frac{I_n}{I_{n-2}} = \frac{n(n-1)}{n^2+1}$.
$n = 2018$ रखने पर,हमें $\frac{I_{2018}}{I_{2016}} = \frac{2018 \times 2017}{(2018)^2+1}$ प्राप्त होता है।