माना कि X = left{begin{bmatrix} a & b c & d | vedclass

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Question

(B) यहाँ $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} ight\}$ और $f(A) = \operatorname{det}(A) = ad - bc$ है

Vedclass · Accepted Answer

आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं

Vedclass · Answer

(B) यहाँ $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} ight\}$ और $f(A) = \operatorname{det}(A) = ad - bc$ है।फलन के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा आव्यूह $A \in X$ होना चाहिए कि $f(A) = y$ हो।आव्यूह $A = \begin{bmatrix} y & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। तब $\operatorname{det}(A) = y(1) - 0(0) = y$। चूँकि किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए ऐसा आव्यूह मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।फलन के एकैकी होने के लिए,$f(A_1) = f(A_2)$ का अर्थ $A_1 = A_2$ होना चाहिए।$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ और $f(A_2) = (2)(1) - (1)(1) = 1$।चूँकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 
eq A_2$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

माना कि $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ है। फलन $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(A) = \operatorname{det}(A), \forall A \in X$ द्वारा परिभाषित करें। तब,$f$ है

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$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2-2A=$

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