वक्रों y=2x^2,y=max {x-[x], x+|x|} और रेखाओं | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।चूंकि $x-[x] = \{x\}$,इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।$x \in [0, 2]$ के लिए,$x+|x| = 2x$

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$2$

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(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।चूंकि $x-[x] = \{x\}$,इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।$x \in [0, 2]$ के लिए,$x+|x| = 2x$ और $\{x\} \in [0, 1)$ होता है।सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ होने के कारण,फलन $y=2x$ में सरल हो जाता है।हमें $x=0$ और $x=2$ के बीच $y=2x^2$ और $y=2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है।वक्र $2x^2 = 2x$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिससे $x^2-x=0$ मिलता है,अतः $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।$x \in [0, 1]$ के लिए,$2x \geq 2x^2$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$2x^2 \geq 2x$ है।आवश्यक क्षेत्रफल $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ है।$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

वक्रों $y=2x^2$,$y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ और रेखाओं $x=0, x=2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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