TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin 5x \cos 3x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करके,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x)$।
$\sin 8x$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ है।
$\sin 2x$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का लघुत्तम समापवर्त्य ($L$.$C$.$M$.) होता है।
$\alpha = \text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) = \frac{\text{L.C.M.}(\pi, \pi)}{\text{H.C.F.}(4, 1)} = \frac{\pi}{1} = \pi$।
अतः,$\alpha = \pi$।
अंत में,$\cos \alpha = \cos \pi = -1$।

(A) दी गई असमिका $|x-1|+|x+1| < 4$ है।
हम फलन $f(x) = |x-1|+|x+1|$ को परिभाषित करते हैं।
स्थिति $1$: $x < -1$. तब $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$.
$-2x < 4 \Rightarrow x > -2$. अतः,$x \in (-2, -1)$.
स्थिति $2$: $-1 \leq x \leq 1$. तब $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$.
$2 < 4$ सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए सत्य है।
स्थिति $3$: $x > 1$. तब $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$.
$2x < 4 \Rightarrow x < 2$. अतः,$x \in (1, 2)$.
सभी स्थितियों को मिलाने पर,हल समुच्चय $(-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2) = (-2, 2)$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$,जिससे $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
समीकरण (ii) से $(i)$ घटाने पर,$2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$,जिससे $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
यहाँ $y^2-x^2 = -4$ और $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$,इसलिए $xy = 2$.
अतः,$\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
इस प्रकार,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ और $\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$.
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$.
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$.
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$.
यदि हम बिंदु $(a, 0)$ की जाँच करें,तो समीकरण में $x = a$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta \Rightarrow 0 = 0$.
चूंकि यह सभी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ $(i)$ और $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k}=1$ (ii) हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{4} + \frac{2yy'}{9} = 0 \Rightarrow y'_1 = -\frac{9x}{4y}$.
वक्र (ii) के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{16} - \frac{2yy'}{k} = 0 \Rightarrow y'_2 = \frac{kx}{16y}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$y'_1 \times y'_2 = -1$.
अवकलजों का मान रखने पर: $(-\frac{9x}{4y}) \times (\frac{kx}{16y}) = -1 \Rightarrow \frac{9kx^2}{64y^2} = 1 \Rightarrow 9kx^2 = 64y^2$.
$(i)$ से,$y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{4}) = \frac{9(4-x^2)}{4}$.
$y^2$ का मान लंबकोणीयता की शर्त में रखने पर: $9kx^2 = 64 \times \frac{9(4-x^2)}{4} = 16 \times 9(4-x^2) = 144(4-x^2)$.
$kx^2 = 16(4-x^2) = 64 - 16x^2 \Rightarrow x^2(k+16) = 64 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{k+16}$.
$x^2$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\frac{64}{4(k+16)} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{16}{k+16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{16}{k+16} = \frac{k}{k+16} \Rightarrow y^2 = \frac{9k}{k+16}$.
$x^2$ और $y^2$ का मान $9kx^2 = 64y^2$ में रखने पर: $9k(\frac{64}{k+16}) = 64(\frac{9k}{k+16})$.
समीकरणों को घटाने पर: $(\frac{1}{4} - \frac{1}{16})x^2 + (\frac{1}{9} + \frac{1}{k})y^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{16}x^2 + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0$.
$9kx^2 = 64y^2 \Rightarrow x^2 = \frac{64y^2}{9k}$ का उपयोग करने पर: $\frac{3}{16}(\frac{64y^2}{9k}) + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0 \Rightarrow \frac{4y^2}{3k} + \frac{(k+9)y^2}{9k} = 0$.
$y^2/9k$ से विभाजित करने पर: $12 + k + 9 = 0 \Rightarrow k = -21$.

(B) माना परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी $PQ$ को $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$y^2 = 4x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + 4x} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + 4x} = \sqrt{x^2 + 4}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,माना $f(x) = x^2 + 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f''(x) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 0$ पर न्यूनतम है।
न्यूनतम दूरी $PQ = \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$ है।

(A) माना शुरुआती बिंदु $O$ है। $2 \text{ घंटे}$ के बाद,पहले जहाज द्वारा तय की गई दूरी $OA = 3 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 6 \text{ km}$ है।
दूसरे जहाज द्वारा तय की गई दूरी $OB = 4 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 8 \text{ km}$ है।
दोनों रास्तों के बीच का कोण $\angle AOB = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
$\triangle AOB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(60^{\circ})$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \times \frac{1}{2}$
$AB^2 = 36 + 64 - 48$
$AB^2 = 100 - 48 = 52$
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2 \sqrt{13} \text{ km}$.

(B) माना $f(n) = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$। यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य है। अतः,$\alpha = 6$।
माना $g(n) = 2n(n^2+2) = 2n^3 + 4n$।
$n=1$ के लिए,$g(1) = 2(1)(1+2) = 6$।
$n=2$ के लिए,$g(2) = 2(2)(4+2) = 24$।
$n=3$ के लिए,$g(3) = 2(3)(9+2) = 66$।
इन मानों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $\beta = 6$ है।
अतः,$\alpha \beta = 6 \times 6 = 36$।

(C) व्यंजक $x^n + y^n$,$(x + y)$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है।
$n = 1$ के लिए,$x^1 + y^1 = x + y$,जो $(x + y)$ से विभाज्य है।
$n = 2$ के लिए,$x^2 + y^2$,$(x + y)$ से विभाज्य नहीं है।
$n = 3$ के लिए,$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$,जो $(x + y)$ से विभाज्य है।
सामान्यतः,किसी भी विषम पूर्णांक $n = 2m - 1$ जहाँ $m \in N$ है,के लिए $x^n + y^n$,$(x + y)$ से विभाज्य है।

(D) माना $f(k) = 25^k + 12k - 1$.
$k=1$ के लिए,$f(1) = 25^1 + 12(1) - 1 = 36$.
$k=2$ के लिए,$f(2) = 25^2 + 12(2) - 1 = 625 + 24 - 1 = 648$.
$f(1)$ और $f(2)$ का महत्तम समापवर्तक $d$,$\text{gcd}(36, 648) = 36$ है।
अतः,$d = 36$.
तब,$4\sqrt{d} = 4\sqrt{36} = 4 \times 6 = 24$.

(D) प्रत्येक विकल्प के लिए $n \in \mathbb{N}$ की जाँच करते हैं।
$(a)$ $n=1$ के लिए,$47^1+16(1)-1 = 62$,जो $4$ से विभाज्य नहीं है।
$(b)$ $n=1$ के लिए,$2(4^3)-3^4 = 128-81 = 47$,जो $9$ से विभाज्य नहीं है।
$(c)$ $n=2$ के लिए,$4^2-3(2)-1 = 9$,जो $11$ से विभाज्य नहीं है।
$(d)$ $f(n) = 3 \cdot 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 15 \cdot 25^n + 2 \cdot 8^n$ लें।
$25^n = (17+8)^n = 17k + 8^n$ लिखा जा सकता है।
अतः,$f(n) = 15(17k + 8^n) + 2 \cdot 8^n = 15 \cdot 17k + 17 \cdot 8^n = 17(15k + 8^n)$।
इस प्रकार,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $17$ से विभाज्य है।

(B) $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले $P_1$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$P_1 = \left( \frac{1(9) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-10) + 2(-4)}{1+2} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-18}{3} \right) = (5, 4, -6)$.
$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले $P_2$ के निर्देशांक:
$P_2 = \left( \frac{2(9) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(-10) + 1(-4)}{2+1} \right) = \left( \frac{21}{3}, \frac{18}{3}, \frac{-24}{3} \right) = (7, 6, -8)$.
चूंकि $P(\alpha, \beta, \gamma)$,$P_1 P_2$ का मध्य-बिंदु है ($1:1$ अनुपात):
$P = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{4+6}{2}, \frac{-6-8}{2} \right) = (6, 5, -7)$.
अतः,$\alpha = 6$,$\beta = 5$,और $\gamma = -7$.
व्यंजक की गणना करने पर:
$\alpha + 2\beta + 2\gamma = 6 + 2(5) + 2(-7) = 6 + 10 - 14 = 2$.

(A) माना बिंदु $A(2, 4)$ का रेखा $DE$ में प्रतिबिंब $C(\alpha, \beta)$ है। तब,$AC$,$DE$ पर लंब है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $B$,$\left(\frac{\alpha + 2}{2}, \frac{\beta + 4}{2}\right)$ है।
चूंकि बिंदु $B$,रेखा $2x + 3y - 6 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\left(\frac{\alpha + 2}{2}\right) + 3\left(\frac{\beta + 4}{2}\right) - 6 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 4 + 3\beta + 12 - 12 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 3\beta + 4 = 0$ --- $(i)$
चूंकि $AC \perp DE$,उनके ढाल (slope) का गुणनफल $-1$ है। $DE$ का ढाल $-\frac{2}{3}$ है,इसलिए $AC$ का ढाल $\frac{3}{2}$ होगा।
$\frac{\beta - 4}{\alpha - 2} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2\beta - 8 = 3\alpha - 6$
$\Rightarrow 3\alpha - 2\beta + 2 = 0$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ को $2$ से और $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4\alpha + 6\beta + 8 = 0$
$9\alpha - 6\beta + 6 = 0$
दोनों को जोड़ने पर,$13\alpha + 14 = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{14}{13}$.
$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$2(-\frac{14}{13}) + 3\beta + 4 = 0$
$-\frac{28}{13} + 3\beta + \frac{52}{13} = 0$
$3\beta = -\frac{24}{13} \Rightarrow \beta = -\frac{8}{13}$.
अतः,बिंदु $(2, 4)$ का प्रतिबिंब $\left(-\frac{14}{13}, -\frac{8}{13}\right)$ है।

(D) $2$ से $1001$ तक की कुल प्राकृतिक संख्याएँ $1001 - 2 + 1 = 1000$ हैं।
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
$2$ से शुरू होने वाली ऐसी संख्याओं का अनुक्रम $8, 15, 22, \dots, 995$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 8$,सार्व अंतर $d = 7$,और अंतिम पद $l = 995$ है।
सूत्र $l = a + (m - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$995 = 8 + (m - 1)7$
$987 = (m - 1)7$
$m - 1 = 141$
$m = 142$.
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{m}{\text{कुल संख्याएँ}} = \frac{142}{1000} = \frac{71}{500}$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या = $4 + 3 + 5 = 12$.
$3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$(A)$ $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^4C_1 \times ^3C_1 \times ^5C_1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
प्रायिकता = $\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$ ($(iv)$ से मेल खाता है).
$(B)$ $2$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^3C_2 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
प्रायिकता = $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ ($(i)$ से मेल खाता है).
$(C)$ $2$ लाल और $1$ सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^4C_2 \times ^3C_1 = 6 \times 3 = 18$.
प्रायिकता = $\frac{18}{220} = \frac{9}{110}$ ($(v)$ से मेल खाता है).
$(D)$ प्रायिकता कि कोई भी गेंद सफेद न हो (अर्थात,तीनों गेंदें लाल और नीली गेंदों में से हों,कुल $4+5=9$):
तरीके = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
प्रायिकता = $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ ($(ii)$ से मेल खाता है).
अतः,सही मिलान है: $A \rightarrow (iv), B \rightarrow (i), C \rightarrow (v), D \rightarrow (ii)$.

(C) $10$ व्यक्तियों में से $3$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
यदि चुने गए तीन व्यक्तियों में सबसे छोटा बैज नंबर $5$ है,तो $5$ नंबर वाला व्यक्ति अवश्य चुना जाना चाहिए।
अन्य दो व्यक्तियों को $5$ से बड़ी संख्याओं $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ के समूह से चुना जाना चाहिए।
ऐसी $5$ संख्याएँ हैं।
अतः,अन्य दो व्यक्तियों को चुनने के तरीके $n(A) = {}^{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$ है।