TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है।
$y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8 \Rightarrow a=2$ प्राप्त होता है।
माना $P$ और $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
अतः,$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ है।
इसी प्रकार,$Q$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ है।
परवलय $y^2=8x$ के शीर्ष पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष है,अर्थात $x=0$।
$M$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ प्राप्त होता है। अतः,$M=(0, 2t_1)$।
$N$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(ii)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ प्राप्त होता है। अतः,$N=(0, 2t_2)$।
दिया गया है कि $MN=4$,इसलिए $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$।
स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ है।
अतः,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$।
इसका अर्थ है $t_1t_2 = h/2$ और $t_1+t_2 = k/2$।
हम जानते हैं कि $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$।
मान रखने पर,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2=8(x+2)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P = (3, 1)$ और $Q = (x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित एक बिंदु है।
माना $R(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$h = \frac{3 + x_1}{2} \implies x_1 = 2h - 3$
$k = \frac{1 + y_1}{2} \implies y_1 = 2k - 1$
चूंकि बिंदु $Q(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित है,इसलिए:
$(2k - 1)^2 = 8(2h - 3)$
$4k^2 - 4k + 1 = 16h - 24$
$4k^2 - 4k - 16h + 25 = 0$
अतः,$R(h, k)$ का बिंदुपथ $4y^2 - 4y - 16x + 25 = 0$ है।

(D) माना $Q(h, k)$ नाभि $F(a, 0)$ और परवलय $y^2=4ax$ पर एक चर बिंदु $P(x_0, y_0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु $Q$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$(h, k) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0+0}{2}\right) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0}{2}\right)$
इससे,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{x_0+a}{2} \Rightarrow x_0 = 2h - a$
$k = \frac{y_0}{2} \Rightarrow y_0 = 2k$
चूंकि $P(x_0, y_0)$ परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित है,हम $x_0$ और $y_0$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2k)^2 = 4a(2h - a)$
$4k^2 = 8ah - 4a^2$
$k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ है।
यह $Y^2 = 4AX$ के रूप का एक परवलय है,जहाँ $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,और $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$ है।
$Y^2 = 4AX$ के लिए नियता का समीकरण $X = -A$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$
$x = 0$

(A) दिया गया है,उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$,केंद्र $(0, 0)$ और नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = 4$ है।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\frac{a}{1/2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 2$ है।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ है।
मूल बिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त $S$ है $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$। इसके शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं। माना $A = (0, 3)$।
दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए,दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है,$a^2=9, b^2=4$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।
माना $F = (\sqrt{5}, 0)$। बिंदु $P$,$\overline{OF}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$P = \left(\frac{2(\sqrt{5})+1(0)}{2+1}, 0\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$।
$A(0, 3)$ और $P\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = \frac{0-3}{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}(x-0)$ है,जो सरल होकर $y = -\frac{9}{2\sqrt{5}}x + 3$ हो जाता है।
$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x$ को $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{(3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2}{4} + \frac{9(1 - \frac{3}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ $\Rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}x + \frac{9}{20}x^2 = 1$।
$\frac{5x^2 + 9x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow \frac{14x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow x = 0$ या $x = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{20}{14} = \frac{30}{7\sqrt{5}}$।
$x = \frac{30}{7\sqrt{5}}$ के लिए,$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}(\frac{30}{7\sqrt{5}}) = 3 - \frac{270}{70} = 3 - \frac{27}{7} = -\frac{6}{7}$।
जीवा की लंबाई $\sqrt{(\frac{30}{7\sqrt{5}} - 0)^2 + (-\frac{6}{7} - 3)^2} = \sqrt{\frac{900}{49 \times 5} + (-\frac{27}{7})^2} = \sqrt{\frac{180}{49} + \frac{729}{49}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{7}$।
अतः,$k=7$।

(A) दिया गया है कि दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $X$-अक्ष पर है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 > b^2$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $(i)$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है,इसलिए $e^2 = \frac{2}{5}$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2(1 - \frac{2}{5}) = a^2(\frac{3}{5})$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{3a^2}{5}$ (ii).
(ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{9}{a^2} + \frac{5}{3a^2} = 1$.
$3a^2$ से गुणा करने पर: $27 + 5 = 3a^2$,इसलिए $3a^2 = 32$,जिससे $a^2 = \frac{32}{3}$ प्राप्त होता है।
तब $b^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ है,जो सरल होकर $3x^2 + 5y^2 = 32$ बनता है।

(D) दिया गया समीकरण: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$
मानक रूप: $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$
यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 4$ है,अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be) = (1, -1 \pm \sqrt{3})$ हैं।
नियता का समीकरण $y = k \pm \frac{b}{e} = -1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,नाभि $(1, -1-\sqrt{3})$ के लिए नियता $\sqrt{3}y + \sqrt{3} + 4 = 0$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(a, b)$ है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ के लिए $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{ax}{18} + \frac{by}{8} = 1$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ है,जिसे $\frac{8x}{36} + \frac{3\sqrt{2}y}{36} = 1$ अर्थात $\frac{2x}{9} + \frac{\sqrt{2}y}{12} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{18} = \frac{2}{9} \implies a = \frac{18 \times 2}{9} = 4$.
$\frac{b}{8} = \frac{\sqrt{2}}{12} \implies b = \frac{8\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अब,$a + \sqrt{2}b = 4 + \sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.

(D) माना उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 49$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए $c^2 = 49m^2 + 4$ $(i)$.
वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2)$ है।
यहाँ $r^2 = 16$ है,इसलिए $c^2 = 16(1 + m^2)$ (ii).
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$49m^2 + 4 = 16 + 16m^2$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$
अतः,ढाल $\frac{2}{\sqrt{11}}$ है।

(A) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
दिया गया है $4x+y+p=0$,जिससे $y=-4x-p$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=3$ यानी $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$ के लिए,$a^2=3, b^2=1, m=-4, c=-p$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(-p)^2 = 3(-4)^2 + 1 \Rightarrow p^2 = 49$।
चूंकि $p>0$,इसलिए $p=7$।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2=\frac{m^2(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2m^2}$ है।
दिया गया है $16x+qy+14=0$,जिससे $y=-\frac{16}{q}x-\frac{14}{q}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $x^2+8y^2=33$ यानी $\frac{x^2}{33}+\frac{y^2}{33/8}=1$ के लिए,$a^2=33, b^2=\frac{33}{8}, m=-\frac{16}{q}, c=-\frac{14}{q}$ है।
गणना करने पर $q^2=1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q>0$,इसलिए $q=1$।
अतः,$p+q = 7+1 = 8$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है,जहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$,अतः $a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 3, \pm \frac{16}{5})$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
बिंदु $(3, \frac{16}{5})$ के लिए,स्पर्श रेखा $\frac{3x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $P(\frac{25}{3}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $Q(0, 5)$ पर काटती है।
प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 5 = \frac{125}{6}$ है।
सममिति द्वारा,चारों स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{125}{6} = \frac{250}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(ae, \frac{b^2}{a})$ पर अभिलंब का समीकरण: $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
यह अभिलंब $(0, -b)$ से गुजरता है,अतः $ab = a^2 - b^2$।
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $a^2 - b^2 = a^2 e^2$।
अतः $ab = a^2 e^2 \Rightarrow b = ae^2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 = a^2 e^4$।
$a^2(1 - e^2) = a^2 e^4$ $\Rightarrow 1 - e^2 = e^4$ $\Rightarrow e^4 + e^2 = 1$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A\left(\frac{a}{\cos \theta}, 0\right)$ पर और $y$-अक्ष को $B\left(0, \frac{b}{\sin \theta}\right)$ पर काटती है।
मान लीजिए $(x, y)$ $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$x = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2x}$
$y = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2y}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{b}{2y}\right)^2 + \left(\frac{a}{2x}\right)^2 = 1$
$\frac{b^2}{4y^2} + \frac{a^2}{4x^2} = 1$
$\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$.
अतः,मध्य बिंदु का बिंदुपथ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ है।

(D) माना $f(e) = 2e^3 + 10e - 13$ है।
चूंकि $f(1) = 2(1)^3 + 10(1) - 13 = -1 < 0$ और $f(2) = 2(8) + 10(2) - 13 = 23 > 0$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,अंतराल $(1, 2)$ में एक मूल $e$ स्थित है।
चूंकि शांकव की उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए यह एक अतिपरवलय है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4a^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि जीवा $x \cos \phi + y \sin \phi = P$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए रेखा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाने पर: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \left(\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{P}\right)^2$.
इसका विस्तार करने पर,$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - y^2 \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) - \frac{2xy \cos \phi \sin \phi}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है।
जीवा द्वारा मूल बिंदु पर समकोण बनाने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) = 0$.
$\frac{3}{4a^2} - \frac{1}{P^2} = 0$ $\Rightarrow P^2 = \frac{4a^2}{3}$ $\Rightarrow P = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
$P$ मूल बिंदु से जीवा पर लंब की लंबाई है,जो वृत्त की त्रिज्या को दर्शाती है। अतः,त्रिज्या $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है। बिंदु $(h, k)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - k = m(x - h)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है,जहाँ $c = k - mh$ है।
अतः,$(k - mh)^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में लिखने पर: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 + b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2}$ है।
दिया गया है कि $m_1m_2 = k^2$,इसलिए $\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = k^2$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $y^2 + b^2 = k^2(x^2 - a^2)$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $3x^2 - y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
दी गई रेखा $y = 2x + 4$ है,इसलिए ढाल $m = 2$ है।
$m = 2, a^2 = 1, b^2 = 3$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = 2x \pm \sqrt{1(2)^2 - 3} = 2x \pm \sqrt{4 - 3} = 2x \pm 1$।
दो समानांतर स्पर्श रेखाएं $2x - y + 1 = 0$ और $2x - y - 1 = 0$ हैं।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) माना $(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=16$ की जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $hx+ky=h^2+k^2$ है।
इसे $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को स्पर्श करती है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2=16$,$b^2=9$,$m = -\frac{h}{k}$,और $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{h^2+k^2}{k}\right)^2 = 16\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - 9$.
$\frac{(h^2+k^2)^2}{k^2} = \frac{16h^2}{k^2} - 9$.
$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है: $f(3)=16$ और $f^{\prime}(3)=4$.
हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $L = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x f(3)-3 f(x)}{x-3}$.
$x=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0}$ रूप प्राप्त होता है।
$L^{\prime}$Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(3)-3 f^{\prime}(x)}{1}$.
$x=3$ रखने पर:
$L = f(3)-3 f^{\prime}(3) = 16 - 3(4) = 16 - 12 = 4$.

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर का परिमेयकरण करते हैं:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 a}}{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2x) - 3a}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{2x - 2a}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{2(x-a)}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= 2 \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2a}+\sqrt{3a}} = 2 \times \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{3a}+\sqrt{3a}} = 2 \times \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(A) दिया गया है $f(4)=4$ और $f^{\prime}(4)=16$.
सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{f(x)}-2}{\sqrt{x}-2}$ पर विचार करें।
यह एक $\left[\frac{0}{0}\right]$ अनिर्धारित रूप है।
$L'\text{Hospital's rule}$ लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}-2)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-2)} = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f^{\prime}(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{f^{\prime}(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f^{\prime}(4) \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{f(4)}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{4}} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}$ के लिए. $L'\text{Hôpital's rule}$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1) + x \cdot 2^x \ln 2}{\sin x}$.
पुनः $L'\text{Hôpital's rule}$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 + 2^x \ln 2 + x \cdot 2^x (\ln 2)^2}{\cos x} = \frac{\ln 2 + \ln 2 + 0}{1} = 2 \ln 2$.
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}$ के लिए. हर का परिमेयकरण करने पर:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{(1+x^2) - (1-x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{2x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)}{x} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{2}$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1}{x} = \ln 2$,इसलिए $\beta = \ln 2 \cdot \frac{1+1}{2} = \ln 2$.
अतः,$\alpha = 2\beta$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 4 x-4 \cos 2 x+3}{x^4}$ जो $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में है।
$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!}$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए:
$\cos 4x \approx 1 - 8x^2 + \frac{32x^4}{3}$.
$\cos 2x \approx 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}$.
अंश में इन मानों को रखने पर:
$(1 - 8x^2 + \frac{32x^4}{3}) - 4(1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}) + 3 = 8x^4$.
अतः,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8x^4}{x^4} = 8$.

(B) प्रथम सीमा पर विचार करें: $L_1 = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2 x}$.
चूंकि $x \rightarrow-\infty$,हमारे पास $|x| = -x$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$L_1 = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3(-x)-x}{(-x)-2 x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-4x}{-3x} = \frac{4}{3}$.
दूसरी सीमा पर विचार करें: $L_2 = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x^3)}{\sin ^3 x}$.
मानक सीमाओं $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$L_2 = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log (1+x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{\sin ^3 x} \right) = 1 \cdot 1 = 1$.
अब,दोनों परिणामों को घटाने पर:
$L_1 - L_2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$. माना $h = \frac{1}{n}$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$h \rightarrow 0$.
$f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^h - 1}{h} = \ln x$.
दिए गए समीकरण में $f(x) = \ln x$ रखने पर:
$97 \ln x + m \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0$
$97 \ln x - m \ln x = 0$
$(97 - m) \ln x = 0$
चूँकि यह सभी $x > 0$ के लिए सत्य है,इसलिए $97 - m = 0$,जिससे $m = 97$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि मूल प्रेक्षण $x_i$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 7$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को $y_i = ax + b$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 6$ और $b = -5$ है।
अचर $b$ का प्रसरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ होगा।

(C) $(a) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}) = \sum x_i - \sum \bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. अतः,$(a)-(iii)$.
$(b) \text{ प्रसरण } (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$,जो माध्य से विचलनों के वर्गों का माध्य है। अतः,$(b)-(v)$.
$(c) \text{ माध्य विचलन} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - A|$,जहाँ $A$ केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। अतः,$(c)-(iv)$.
$(d) \text{ विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जिसका उपयोग दो श्रेणियों की समरूपता की तुलना करने के लिए किया जाता है। अतः,$(d)-(ii)$.
अतः,सही मिलान $a-(iii), b-(v), c-(iv), d-(ii)$ है।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ है।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
मान रखने पर:
$CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$।

(D) माना $\bar{x}_1$ और $\bar{x}_2$ दो बंटनों के माध्य हैं और $\sigma_1^2$ और $\sigma_2^2$ उनके प्रसरण हैं।
दिया है $\sigma_1^2 = 144$ और $\sigma_2^2 = 64$,इसलिए $\sigma_1 = 12$ और $\sigma_2 = 8$ है।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
प्रथम बंटन के लिए: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$ है।
द्वितीय बंटन के लिए: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$ है।
समांतर माध्यों का माध्य $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ है।

(C) दिया गया है,$n=20$,$\bar{x}=40$,और $\sigma=5$.
वजन का योग $\Sigma x = n \bar{x} = 20 \times 40 = 800$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x^2}{20} - 40^2 = 25$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x^2}{20} = 1625$ $\Rightarrow \Sigma x^2 = 32500$.
$43 \ kg$ और $37 \ kg$ वजन वाले दो लड़कों को बाहर करने के बाद:
वजन का नया योग $\Sigma x_{new} = 800 - 43 - 37 = 720$.
लड़कों की नई संख्या $n_{new} = 18$.
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{720}{18} = 40$.
वर्गों का नया योग $\Sigma x_{new}^2 = 32500 - (43)^2 - (37)^2 = 32500 - 1849 - 1369 = 29282$.
नया प्रसरण $\sigma_{new}^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_{new}} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{29282}{18} - (40)^2 = 1626.777... - 1600 = 26.777... \approx 26.78$.

(D) माना $\bar{x}_1$ और $\bar{x}_2$ दो बंटनों के माध्य हैं और $\sigma_1^2$ और $\sigma_2^2$ उनके प्रसरण हैं।
दिया है $\sigma_1^2 = 144$ और $\sigma_2^2 = 64$।
अतः,$\sigma_1 = \sqrt{144} = 12$ और $\sigma_2 = \sqrt{64} = 8$।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
प्रथम बंटन के लिए: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$।
द्वितीय बंटन के लिए: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$।
उनके समांतर माध्यों का माध्य $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ है।

(D) हमारे पास निम्नलिखित डेटा है।
सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 2) + (4 \times 4) + (5 \times 10) + (7 \times 8) + (9 \times 6)}{2 + 4 + 10 + 8 + 6}$
$\bar{x} = \frac{4 + 16 + 50 + 56 + 54}{30} = \frac{180}{30} = 6$
अब,सूत्र $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$ का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2|2-6| + 4|4-6| + 10|5-6| + 8|7-6| + 6|9-6|}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2(4) + 4(2) + 10(1) + 8(1) + 6(3)}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{8 + 8 + 10 + 8 + 18}{30} = \frac{52}{30} = 1.733$

(D) सबसे पहले,हम माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 1) + (4 \times 2) + (6 \times 3) + (8 \times 2) + (10 \times 1)}{1 + 2 + 3 + 2 + 1} = \frac{54}{9} = 6$.
अब,माध्य से माध्य विचलन $(MD_{\bar{x}})$ की गणना करें:
$MD_{\bar{x}} = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
अगला,माध्यिका $(M)$ ज्ञात करें:
कुल आवृत्ति $N = 9$ है। माध्यिका $\frac{N+1}{2}$-वां अवलोकन है,जो $5$-वां अवलोकन है। संचयी आवृत्तियों $(1, 3, 6, 8, 9)$ को देखने पर,$5$-वां अवलोकन उस समूह में आता है जहाँ $x_i = 6$ है। अतः,$M = 6$.
माध्यिका से माध्य विचलन $(MD_M)$ की गणना करें:
$MD_M = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
माध्य से माध्य विचलन और माध्यिका से माध्य विचलन का योग है:
$\frac{16}{9} + \frac{16}{9} = \frac{32}{9}$.

(D) किसी मान $B$ की मान $A$ पर प्रतिशत वृद्धि इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{B-A}{A} \times 100$.
यहाँ,हमें $D_1$ $(\sigma_1)$ के मानक विचलन की तुलना में $D_2$ $(\sigma_2)$ के मानक विचलन में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करनी है।
अतः,आवश्यक प्रतिशत वृद्धि $\frac{\sigma_2-\sigma_1}{\sigma_1} \times 100$ है।

(A) मान लीजिए कि दोनों वितरणों का समान माध्य $\bar{x}$ है।
दिया गया है कि $A$ और $B$ के लिए विचरण गुणांक $(CV)$ क्रमशः $6$ और $2$ हैं।
विचरण गुणांक का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
वितरण $A$ के लिए: $\frac{\sigma_A}{\bar{x}} \times 100 = 6 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_A}{6}$.
वितरण $B$ के लिए: $\frac{\sigma_B}{\bar{x}} \times 100 = 2 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\bar{x}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{100 \sigma_A}{6} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{6} = \frac{\sigma_B}{2}$.
$\sigma_A = \frac{6}{2} \sigma_B$.
$\sigma_A = 3 \sigma_B$.

(C) नेपियर के सादृश्य का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$ और $\tan \frac{A+B}{2} = \cot \frac{C}{2}$ है।
दिया गया है $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{1}{4} \tan \frac{A+B}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{4} \cot \frac{C}{2}$
$\Rightarrow \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow 4(a-b) = a+b$
$\Rightarrow 4a - 4b = a + b$
$\Rightarrow 3a = 5b$
$a=5$ दिया गया है,इसलिए $3(5) = 5b \Rightarrow b=3$।
अब,$\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $c^2 x^2 - c(a+b)x + ab = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$c^2 x^2 - cax - cbx + ab = 0$
$cx(cx - a) - b(cx - a) = 0$
$(cx - a)(cx - b) = 0$
अतः,मूल $x = \frac{a}{c}$ और $x = \frac{b}{c}$ हैं।
चूंकि $\sin A$ और $\sin B$ मूल हैं,इसलिए $\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,$c = \frac{a}{\sin A}$ और $c = \frac{b}{\sin B}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{a}{\sin A} = c$ और $\frac{b}{\sin B} = c$।
ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{c}{\sin C} = c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin C = 1$।
अतः,$\angle C = 90^\circ$,यानी त्रिभुज $C$ पर समकोण है।
$C$ पर समकोण त्रिभुज में,$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\cos A = \sin B = \frac{b}{c}$ होता है।
इस प्रकार,$\sin A + \cos A = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$।

(A) $\triangle ABC$ में,मान लीजिए $BD$ शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका है।
दी गई भुजाएँ $a = BC = 5$,$b = AC = 6$,और $c = AB = 7$ हैं।
शीर्ष $B$ से खींची गई माध्यिका $m_b$ की लंबाई का सूत्र है:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(49) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{16 \times 7}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7}$
$BD = 2 \sqrt{7}$

(B) माना त्रिभुज के कोण $x, 2x$ और $3x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $30^{\circ}, 60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएं $a, b, c$ अपने सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं: $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$।
कोणों का मान रखने पर: $a: b: c = \sin 30^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 90^{\circ}$।
$a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{\sqrt{3}}{2}: 1$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $1: \sqrt{3}: 2$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(D) माना भुजाएँ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,और $c = x^2-1$ हैं। $x > 1$ के लिए,$x^2+x+1$ सबसे बड़ी भुजा है।
माना $\theta$ भुजा $a = x^2+x+1$ के सम्मुख कोण है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$
सरल करने पर:
$\cos \theta = \frac{-2x^3-x^2+2x+1}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= \frac{(2x+1)(1-x^2)}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 120^{\circ}$.

(C) ज्या (sine) नियम से: $\frac{\alpha+1}{\sin A} = \frac{\alpha-1}{\sin B} = \frac{\alpha}{\sin C}$.
दिया है $A = 2B$,इसलिए $\frac{\alpha+1}{\sin 2B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$.
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ का उपयोग करने पर,$\frac{\alpha+1}{2 \sin B \cos B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$,जो सरल होकर $\cos B = \frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} \dots(1)$ देता है।
कोज्या (cosine) नियम से: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(\alpha+1)^2 + \alpha^2 - (\alpha-1)^2}{2(\alpha+1)(\alpha)}$.
अंश का सरलीकरण: $(\alpha^2 + 2\alpha + 1) + \alpha^2 - (\alpha^2 - 2\alpha + 1) = \alpha^2 + 4\alpha$.
अतः,$\cos B = \frac{\alpha^2 + 4\alpha}{2\alpha(\alpha+1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)} \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $\frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)}$.
$(\alpha+1)^2 = (\alpha-1)(\alpha+4) \Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha^2 + 3\alpha - 4$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$a^4+b^4+c^4=2b^2c^2+2a^2b^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2=0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2a^2c^2$ जोड़ने पर,$a^4+c^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2a^2c^2 = 2a^2c^2$ प्राप्त होता है।
यह $(a^2+c^2-b^2)^2 = 2a^2c^2$ में सरल हो जाता है।
$4a^2c^2$ से भाग देने पर,$\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2} = \frac{2a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,इसलिए $\cos^2 B = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$B = \frac{\pi}{4}$ या $B = \frac{3\pi}{4}$।

(C) $\triangle ACD$ में,चूंकि $AD \perp AC$,$\angle DAC = 90^\circ$ है। अतः,$\cos C = \frac{AC}{CD} = \frac{b}{a/2} = \frac{2b}{a}$।
$\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) से,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
$\cos C$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{2b}{a} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$4b^2 = a^2+b^2-c^2$
$3b^2 = a^2-c^2 \implies b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$।
अब,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
$\cos A \cos C = \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \left(\frac{2b}{a}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{ac}$।
$b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A \cos C = \frac{\frac{a^2-c^2}{3} + c^2 - a^2}{ac} = \frac{a^2-c^2+3c^2-3a^2}{3ac} = \frac{2c^2-2a^2}{3ac} = \frac{2(c^2-a^2)}{3ac}$।

(D) दिया गया है कि,$\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 4 : 3 : 2$.
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = 4 : 3 : 2$.
प्रत्येक पद को $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$ से गुणा करने पर:
$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 4 : 3 : 2$.
माना $s-a = 4k$,$s-b = 3k$,और $s-c = 2k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $3s - (a+b+c) = 9k$.
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = 9k$.
अब,$a = s - 4k = 9k - 4k = 5k$.
$b = s - 3k = 9k - 3k = 6k$.
$c = s - 2k = 9k - 2k = 7k$.
अतः,$a : b : c = 5k : 6k : 7k = 5 : 6 : 7$.

(C) दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin 90^{\circ}} = \frac{a}{2}$।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-a) \tan 45^{\circ} = s-a$।
बहिर्वृत्त की त्रिज्या $r_1 = s \tan \frac{A}{2} = s \tan 45^{\circ} = s$।
अनुपात $R:r:r_1 = \frac{a}{2} : s-a : s = 2:5:\lambda$ है।
$\frac{a}{2} = 2$ से,$a = 4$ प्राप्त होता है।
$s-a = 5$ से,$s-4 = 5$,अतः $s = 9$।
इस प्रकार,$\lambda = s = 9$।
समीकरण $x^2 - (9-5)x + (9-6) = 0$ अर्थात $x^2 - 4x + 3 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x-1)(x-3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $1, 3$ हैं।

(C) दिया गया है कि $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$ है।
अतः,$\angle B = \angle C$.
हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्या $r_1$ का मान है:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
चूंकि $\angle B = \angle C$,इसलिए $\frac{B}{2} = \frac{C}{2}$,अतः:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{1 + \cos B}{2}$.
साथ ही,$\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$,इसलिए $B = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$.
इस प्रकार,$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$ को सरल करने पर परिणाम $R^2 \sin^2 A$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
इनका योग करने पर,$r_1+r_2+r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right)$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है और $r$ अंतःत्रिज्या है,परिणाम $4R+r$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4x, b = 5x, c = 6x$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15x}{2}$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$,जहाँ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$.
मान रखने पर:
$(s-a) = \frac{7x}{2}, (s-b) = \frac{5x}{2}, (s-c) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{(4x)(5x)(6x)}{4(\frac{7x}{2})(\frac{5x}{2})(\frac{3x}{2})} = \frac{120x^3}{\frac{105x^3}{2}} = \frac{16}{7}$.
अतः,अनुपात $R: r = 16: 7$ है।

(B) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$\operatorname{coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$,जहाँ $|x| > 1$.
$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,जहाँ $|x| < 1$.
$\operatorname{cosech}^{-1} x = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right)$,जहाँ $x < 0$.
चरण $1$: प्रत्येक पद की गणना करें।
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{3+1}{3-1}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1 - 2}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\log_e \sqrt{3}$.
चरण $2$: पदों को जोड़ें।
$\operatorname{coth}^{-1}(3) + \tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} - (-\log_e \sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{3} = \log_e (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = \log_e (2\sqrt{3})$.

(D) हम प्रति-हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$
$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$
$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
मान रखने पर:
$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5})$
$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3})$
$\tanh^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+2/3}{1-2/3}\right) = \frac{1}{2} \ln(5)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{2} \ln(3)$
अब,इनका योग करने पर:
$\ln(2+\sqrt{5}) + \ln(2+\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(5) - \frac{1}{2} \ln(3)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \frac{1}{2} \ln(15)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \ln(\sqrt{15})$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})}{\sqrt{15}}\right)$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3}) \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$l+3m+5n=0$ --- $(i)$
$5lm-2mn+6ln=0$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$l = -3m - 5n$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(-3m-5n)m - 2mn + 6(-3m-5n)n = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ से भाग देने पर:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m+n)(m+2n) = 0$
स्थिति $1$: $m = -n$। तब $l = -3(-n) - 5n = -2n$। दिक्-अनुपात $(-2n, -n, n)$ या $(2, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। तब $l = -3(-2n) - 5n = n$। दिक्-अनुपात $(n, -2n, n)$ या $(1, -2, 1)$ हैं।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (2, 1, -1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दी गई रेखाएं हैं:
$r = (-4\hat{i} - \hat{k}) + t(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$
$r = (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + s(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$
यहाँ,$a_1 = -4\hat{i} - \hat{k}$,$b_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$a_2 = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$b_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
अब,$a_2 - a_1 = 10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144} = 12$
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$
$d = \left| \frac{(10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-80 - 16 - 12}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$

(B) समतल का समीकरण $a x + b y + c z = 1$ दिया गया है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इस बिंदु के निर्देशांक को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$x = 1$,$y = 2$,और $z = 3$ को $a x + b y + c z = 1$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(1) + b(2) + c(3) = 1$
$a + 2 b + 3 c = 1$.
अतः,$a + 2 b + 3 c$ का मान $1$ है।

(A) तीन बिंदुओं $A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,और $C(\vec{c})$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
दिए गए बिंदु $A(2, 6, -6)$,$B(-3, 10, -9)$,और $C(-5, 0, -6)$ हैं।
सारणिक में मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y-6 & z+6 \\ -5 & 4 & -3 \\ -7 & -6 & 0 \end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(0-18) - (y-6)(0-21) + (z+6)(30+28) = 0$
$-18(x-2) + 21(y-6) + 58(z+6) = 0$
$-18x + 21y + 58z + 258 = 0$
दिए गए विकल्पों के आधार पर,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदु $A(1, -1, 1)$,$B(1, -2, 3)$ और $C(1, 2, -3)$ हैं।
सारणिक में मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)((-1)(-4) - (2)(3)) = 0$
$(x-1)(4-6) = 0$
$-2(x-1) = 0$
$x = 1$
अब,विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(1, 1, -1)$ अर्थात $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ समीकरण $x=1$ को संतुष्ट करता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) वांछित समतल बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरता है। मान लीजिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ है।
चूंकि समतल $3x - 2y + z = 9$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $3a - 2b + c = 0$।
चूंकि समतल $x + y + z = 9$ के भी लंबवत है,इसलिए $a + b + c = 0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $\frac{a}{(-2)(1) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(1)} = \frac{c}{(3)(1) - (-2)(1)}$,जिससे $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{5} = k$ प्राप्त होता है।
अतः अभिलंब सदिश $(-3, -2, 5)$ के समानुपाती है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$।
विस्तार करने पर: $-3x + 6 - 2y - 2 + 5z - 15 = 0$,जो सरल होकर $-3x - 2y + 5z - 11 = 0$ हो जाता है।
$x + by + cz + d = 0$ के रूप में लाने के लिए $-3$ से भाग देने पर: $x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}z + \frac{11}{3} = 0$।
तुलना करने पर,$d = \frac{11}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$,और $C(-1, 1, -1)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{AC} = (-1-2)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-6) = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $e = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$.
दिया गया है $a = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$e$ पर $a$ का प्रक्षेप सदिश $(a \cdot e)e$ है।
$a \cdot e = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2(2) + (-3)(-1) + 6(-3)) = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(4 + 3 - 18) = \mp \frac{11}{\sqrt{14}}$.
प्रक्षेप सदिश $= (a \cdot e)e = \left(\mp \frac{11}{\sqrt{14}}\right) \left(\pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})\right) = -\frac{11}{14}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{11}{14}(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$.

(A) $a, b, c$ स्थिति सदिश वाले तीन असंरेख बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ है।
यदि चार बिंदु $a, b, c, d$ समतलीय हैं,तो $d$ को $a, b, c$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए ताकि गुणांकों का योग $1$ हो।
दिए गए समीकरण $2a - 3b + 7c - 6d = 0$ को $6d = 2a - 3b + 7c$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $d = \frac{2}{6}a - \frac{3}{6}b + \frac{7}{6}c = \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + \frac{7}{6}c$।
गुणांकों का योग $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{2 - 3 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $1$ है,इसलिए बिंदु $d$,$a, b, c$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित है।
अतः,$(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) समतल $\pi_1$ का समीकरण जो $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ से होकर गुजरता है,सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \\ 1-0 & 0-1 & -2-2 \\ -2-0 & 1-1 & 0-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-1 & z-2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(2-0) - (y-1)(-2-8) + (z-2)(0-2) = 0$
$2x + 10(y-1) - 2(z-2) = 0$
$2x + 10y - 10 - 2z + 4 = 0$
$2x + 10y - 2z - 6 = 0 \Rightarrow x + 5y - z = 3$. अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -1)$ है।
समतल $\pi_2$ बिंदु $(1,2,3)$ से गुजरता है और $x+y+z=1$ तथा $2x-3y+z=5$ के लंबवत है। अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ इन दोनों समतलों के अभिलंबों $(1,1,1)$ और $(2,-3,1)$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(-3-2) = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
$\pi_2$ का समीकरण $4(x-1) + 1(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow 4x + y - 5z + 9 = 0$ है।
$\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| = \left| \frac{(1)(4) + (5)(1) + (-1)(-5)}{\sqrt{1^2+5^2+(-1)^2} \sqrt{4^2+1^2+(-5)^2}} \right|$
$= \left| \frac{4+5+5}{\sqrt{27} \sqrt{42}} \right| = \frac{14}{\sqrt{9 \times 3} \sqrt{6 \times 7}} = \frac{14}{3\sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{7}} = \frac{14}{3 \sqrt{18 \times 7}} = \frac{14}{3 \sqrt{126}} = \frac{14}{3 \times 3 \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{9}$.

(B) रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ के रूप में है।
बिंदु $P$ की समतल $2x + 3y + 5z - 1 = 0$ से दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|2(1) + 3(\lambda) + 5(-2\lambda - 3) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3\lambda - 10\lambda - 15 - 1|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7\lambda - 14|}{\sqrt{38}}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,$-7\lambda - 14 = 0$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -2$ रखने पर,$P$ के निर्देशांक $(1, -2, 1)$ प्राप्त होते हैं।
सदिश $\vec{AP} = P - A = (1-1, -2-0, 1-(-3)) = (0, -2, 4)$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, -2, 4)$ वाले समतल का समीकरण:
$0(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0$.
$-2y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2y + 4z - 8 = 0 \Rightarrow y - 2z + 4 = 0$.

(A) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2, z_2)$ हैं। दूरी $d$ को $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,और $\Delta z = z_2 - z_1$ है। तब $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ होगा।
$XY$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_1 = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ है।
$YZ$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_2 = \sqrt{(\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ है।
$ZX$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_3 = \sqrt{(\Delta z)^2 + (\Delta x)^2}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,और $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$ प्राप्त होता है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2)$।
चूँकि $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2d^2$।

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से लंबवत दूरी का सूत्र है:
$D = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $(1, -1, 2)$ है और समतल $x + 2y + z - 4 = 0$ है,जहाँ $a=1, b=2, c=1, d=-4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D = \left| \frac{1(1) + 2(-1) + 1(2) - 4}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$D = \left| \frac{1 - 2 + 2 - 4}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \right|$
$D = \left| \frac{-3}{\sqrt{6}} \right| = \frac{3}{\sqrt{6}}$
व्यंजक का सरलीकरण करने पर:
$D = \frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(A) बिंदु $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ के समांतर रेखा $L$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + (-3+2\lambda)\hat{k}$ है।
समतल $\pi$ बिंदुओं $P_1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $P_2(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ से गुजरता है और सदिश $\vec{v}=\hat{i}-2\hat{j}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}) \times (1\hat{i}-2\hat{j}+0\hat{k}) = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
हम सरल अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ का उपयोग कर सकते हैं।
समतल का समीकरण $2(x-1) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0 \Rightarrow 2x + y - z = 2$ है।
रेखा $L$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(1+2\lambda) + (2+\lambda) - (-3+2\lambda) = 2$
$2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 - 2\lambda = 2$
$3\lambda + 7 = 2 \Rightarrow 3\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$x = 1 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{7}{3}$,$y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$,$z = -3 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{19}{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{3}(-7\hat{i} + \hat{j} - 19\hat{k})$ है।

(D) दिए गए बिंदु $A(1,0,0)$ और $B(0,0,1)$ हैं।
बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(0-1, 0-0, 1-0)$ अर्थात $(-1, 0, 1)$ हैं।
चूंकि यह रेखा समतल $\pi$ का अभिलंब है,इसलिए समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\pi$ बिंदु $A(1,0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $-1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$ है,जो सरल होकर $-x + 1 + z = 0$ या $-x + z + 1 = 0$ हो जाता है।
दूसरा समतल $x + y + z = 6$ है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) सदिशों $\hat{i}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i}+\hat{j}) = \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,समतल का समीकरण $z = 0$ है।
सदिशों $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,समतल का समीकरण $x + y - z = 0$ है।
चूंकि $\vec{a}$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\vec{a}$ उनके अभिलंबों के क्रॉस उत्पाद के समानांतर होना चाहिए: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$।
माना $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$। $\vec{b}$ और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 3$।
$|\vec{b}| = \sqrt{2}$ और $|\vec{c}| = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(B) बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं: $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$.
यहाँ $P(2, 4, 1)$,$Q(3, 8, 1)$,$m=4$,और $n=5$ दिए गए हैं,अतः बिंदु $R$:
$R = \left(\frac{4(3) - 5(2)}{4 - 5}, \frac{4(8) - 5(4)}{4 - 5}, \frac{4(1) - 5(1)}{4 - 5}\right)$
$R = \left(\frac{12 - 10}{-1}, \frac{32 - 20}{-1}, \frac{4 - 5}{-1}\right)$
$R = \left(\frac{2}{-1}, \frac{12}{-1}, \frac{-1}{-1}\right) = (-2, -12, 1)$.
चूंकि यह बिंदु $R(-2, -12, 1)$ समतल $3x - ky - 6z = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3(-2) - k(-12) - 6(1) = 0$
$-6 + 12k - 6 = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$.

(B) बिंदुओं $(1, 2, 1)$ और $(-2, 0, 3)$ से होकर गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $A(-3\lambda + 1, -2\lambda + 2, 2\lambda + 1)$ है।
समतल $P$ बिंदुओं $(0, 0, 0)$,$(0, 0, 4)$ और $(2, 1, 0)$ से होकर गुजरता है। समतल का समीकरण सारणिक $\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $-4(x - 2y) = 0$ प्राप्त होता है,जो $x - 2y = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि बिंदु $A$ समतल पर स्थित है,इसलिए $A$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-3\lambda + 1) - 2(-2\lambda + 2) = 0$.
$-3\lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda = 3$ को $A$ के निर्देशांकों में रखने पर: $x = -3(3) + 1 = -8$,$y = -2(3) + 2 = -4$,$z = 2(3) + 1 = 7$.
अतः,बिंदु $-8\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ है।

(B) भूतल को छोड़कर बाहर निकलने के लिए उपलब्ध मंजिलों की संख्या $6$ है।
प्रत्येक $5$ व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $6$ मंजिलों में से किसी को भी चुन सकते हैं।
इसलिए,$5$ व्यक्तियों के बाहर निकलने के कुल तरीके $6^5$ हैं।
$5$ व्यक्तियों के $5$ अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकलने के तरीकों की संख्या $^6P_5$ है।
$^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.
कुल परिणामों की संख्या $6^5 = 7776$ है।
संभावना $\frac{^6P_5}{6^5} = \frac{720}{7776}$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{720}{7776} = \frac{5}{54}$.

(D) माना $B$ छात्र के लड़का होने की घटना है और $G$ छात्र के लड़की होने की घटना है। माना $T$ छात्र के $1.6 \ m$ से अधिक लंबा होने की घटना है।
दिया गया है: $P(G) = 0.60$,इसलिए $P(B) = 1 - 0.60 = 0.40$.
लड़के के $1.6 \ m$ से अधिक लंबा होने की प्रायिकता: $P(T|B) = 5 \% = 0.05 = \frac{5}{100}$.
लड़की के $1.6 \ m$ से अधिक लंबी होने की प्रायिकता: $P(T|G) = 2 \% = 0.02 = \frac{2}{100}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(T) = P(B) \cdot P(T|B) + P(G) \cdot P(T|G)$
$P(T) = 0.40 \cdot 0.05 + 0.60 \cdot 0.02$
$P(T) = 0.020 + 0.012 = 0.032$
$P(T) = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$.

(A) दिया गया है कि,$P(A)=\frac{1}{3}$,$P(A \cap B)=\frac{1}{5}$,$P(A \cup B)=\frac{3}{5}$ है।
हम जानते हैं कि,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{5}$ है।
$P(B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9+3-5}{15} = \frac{7}{15}$ है।
अब,वस्तुओं का मिलान करने पर:
$A$. $P(\frac{A}{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{7/15} = \frac{3}{7}$ ($(v)$ से मेल खाता है)।
$B$. $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ ($(iii)$ से मेल खाता है)।
$C$. $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ($(i)$ से मेल खाता है)।
$D$. $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4}{15}$ ($(ii)$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान है: $A-(v), B-(iii), C-(i), D-(ii)$।

(A) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं। कुल $6$ परिणामों में से $3$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
एक पासे पर अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि दोनों पासे स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों पासों पर अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है।
दो सिक्कों को उछालने के संभावित परिणाम $\{HH, HT, TH, TT\}$ हैं।
ठीक एक चित और एक पट प्राप्त करने के मामले $\{HT, TH\}$ हैं।
एक चित और एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि पासे और सिक्के स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।

(A) मान लीजिए $G$ एक अच्छी वस्तु को और $B$ एक खराब वस्तु को दर्शाता है। कुल वस्तुएं $= n + m$.
हम बिना प्रतिस्थापन के क्रमिक रूप से $2$ वस्तुएं चुन रहे हैं।
दूसरी वस्तु के खराब होने के दो परस्पर अनन्य मामले हैं:
$1$. पहली वस्तु खराब है और दूसरी वस्तु खराब है $(B_1 \cap B_2)$.
$2$. पहली वस्तु अच्छी है और दूसरी वस्तु खराब है $(G_1 \cap B_2)$.
प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(G_1 \cap B_2)$
$P(B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) + P(G_1) \cdot P(B_2|G_1)$
$P(B_2) = \left( \frac{m}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m-1}{n+m-1} \right) + \left( \frac{n}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m}{n+m-1} \right)$
$P(B_2) = \frac{m(m-1) + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m^2 - m + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m(m + n - 1)}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m}{n+m}$

(C) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि व्यक्ति एक पुरुष है और $W$ वह घटना है कि व्यक्ति एक महिला है। चूंकि जनसंख्या पुरुषों और महिलाओं में विभाजित है,हम मानते हैं कि $P(M) = \frac{1}{2}$ और $P(W) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि व्यक्ति रंगहीन है।
दिया गया है: $P(C|M) = \frac{1}{20}$ और $P(C|W) = \frac{1}{10}$ है।
हमें उस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,यह जानते हुए कि वह रंगहीन है,यानी $P(M|C)$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|C) = \frac{P(M) \cdot P(C|M)}{P(M) \cdot P(C|M) + P(W) \cdot P(C|W)}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+2}{40}} = \frac{1}{3}$.

(A) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है,$E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है,और $E_3$ वह घटना है कि वह उत्तर की नकल करता है। माना $A$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
दिया गया है कि,
$P(E_1) = \frac{1}{3}, P(E_3) = \frac{1}{12}$.
चूंकि घटनाएं निशेष हैं,$P(E_2) = 1 - P(E_1) - P(E_3) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{12-4-1}{12} = \frac{7}{12}$.
यदि वह अनुमान लगाता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{1}{4}$ है (क्योंकि $4$ विकल्प हैं)।
यदि वह उत्तर जानता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_2) = 1$ है।
यदि वह नकल करता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_3) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने सही उत्तर दिया है तो उसके द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12} \times 1}{(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{7}{12} \times 1) + (\frac{1}{12} \times \frac{1}{6})}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{12} + \frac{7}{12} + \frac{1}{72}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{6 + 42 + 1}{72}} = \frac{7}{12} \times \frac{72}{49} = \frac{6}{7}$.

(D) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि कमजोर छात्र उत्तर जानता है,और $E_2$ वह घटना है कि कमजोर छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कमजोर छात्र सही उत्तर प्राप्त करता है।
हमें दिया गया है कि छात्र $20 \%$ उत्तर जानता है,इसलिए $P(E_1) = 0.20$। अनुमान लगाने की संभावना $P(E_2) = 1 - 0.20 = 0.80$ है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर प्राप्त करने की संभावना $P(A|E_1) = 1$ है।
चूंकि $4$ विकल्प हैं और केवल एक ही सही है,इसलिए सही उत्तर का अनुमान लगाने की संभावना $P(A|E_2) = \frac{1}{4} = 0.25$ है।
हमें वह संभावना ज्ञात करनी है कि छात्र ने अनुमान लगाया था,यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर प्राप्त किया है,जो $P(E_2|A)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.80 \times 0.25}{(0.20 \times 1) + (0.80 \times 0.25)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.20}{0.20 + 0.20} = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$.

(A) माना $E_1$ थैली $P$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $Q$ को चुनने की घटना है।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
थैली $P$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
थैली $Q$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_2) = \frac{6}{4+6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके थैली $Q$ से होने की प्रायिकता $P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{10}} = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{5}{8} + \frac{6}{10}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{25+24}{40}} = \frac{3}{5} \times \frac{40}{49} = \frac{24}{49}$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हमें $P(B) = \frac{2}{7}$ दिया गया है,इसलिए $P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
हमें $P(A \cup B^c) = 0.8$ दिया गया है।
सूत्र $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.8$ का उपयोग करते हुए।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A$ और $B^c$ भी स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $P(A) + P(B^c) - P(A) \cdot P(B^c) = 0.8$.
$P(A)(1 - P(B^c)) = 0.8 - P(B^c)$.
$P(A)(1 - \frac{5}{7}) = 0.8 - \frac{5}{7}$.
$P(A)(\frac{2}{7}) = \frac{4}{5} - \frac{5}{7} = \frac{28 - 25}{35} = \frac{3}{35}$.
$P(A) = \frac{3}{35} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{10} = 0.3$.
अब,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{70} = \frac{3}{35}$.
अंत में,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{10} + \frac{2}{7} - \frac{3}{35} = \frac{21 + 20 - 6}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$.

(B) मान लीजिए $E_1$,$E_2$,और $E_3$ वे घटनाएँ हैं कि बैटरी क्रमशः मशीन $P$,$Q$,और $R$ द्वारा बनाई गई है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि बैटरी दोषपूर्ण है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(E_1) = 0.20$,$P(E_2) = 0.30$,$P(E_3) = 0.50$.
दोषपूर्ण बैटरी की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(A|E_1) = 0.01$,$P(A|E_2) = 0.015$,$P(A|E_3) = 0.02$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)$
$P(A) = (0.20 \times 0.01) + (0.30 \times 0.015) + (0.50 \times 0.02)$
$P(A) = 0.002 + 0.0045 + 0.010 = 0.0165$
भिन्न में बदलने पर:
$P(A) = \frac{165}{10000} = \frac{33}{2000}$.

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है। मान लीजिए $A, B, C$ वे घटनाएं हैं कि वस्तु क्रमशः मशीन $A, B, C$ द्वारा उत्पादित की गई थी।
दी गई प्रायिकताएं:
$P(A) = \frac{2500}{10000} = 0.25$
$P(B) = \frac{3500}{10000} = 0.35$
$P(C) = \frac{4000}{10000} = 0.40$
दोष की सशर्त प्रायिकताएं:
$P(E|A) = \frac{2}{100} = 0.02$
$P(E|B) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|C) = \frac{5}{100} = 0.05$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वस्तु दोषपूर्ण है तो उसके मशीन $C$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता:
$P(C|E) = \frac{P(E|C) \cdot P(C)}{P(E|A) \cdot P(A) + P(E|B) \cdot P(B) + P(E|C) \cdot P(C)}$
$P(C|E) = \frac{0.05 \cdot 0.40}{(0.02 \cdot 0.25) + (0.03 \cdot 0.35) + (0.05 \cdot 0.40)}$
$P(C|E) = \frac{0.0200}{0.0050 + 0.0105 + 0.0200} = \frac{0.0200}{0.0355} = \frac{200}{355} = \frac{40}{71}$

(B) मान लीजिए $X$ प्रति घंटे की गई कॉल की संख्या है। चूंकि कॉल की औसत संख्या $5$ है,$X$ एक पॉइसन वितरण का पालन करता है जिसका पैरामीटर $\lambda = 5$ है।
$X$ कॉल की लागत $2X$ है। हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लागत $Rs. 4$ से अधिक हो,अर्थात $P(2X > 4) = P(X > 2)$।
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$।
पॉइसन सूत्र $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = e^{-5} \frac{5^0}{0!} = e^{-5}$।
$P(X=1) = e^{-5} \frac{5^1}{1!} = 5e^{-5}$।
$P(X=2) = e^{-5} \frac{5^2}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}$।
इनका योग करने पर: $P(X \leq 2) = e^{-5} (1 + 5 + 12.5) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$।
अतः,$P(X > 2) = 1 - \frac{37}{2 e^5} = \frac{2 e^5 - 37}{2 e^5}$।

(B) मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है। दिया गया है कि $p = 3q$। चूँकि $p + q = 1$,हमारे पास $3q + q = 1$ है,जिसका अर्थ है $4q = 1$,इसलिए $q = \frac{1}{4}$ और $p = \frac{3}{4}$।
$n = 5$ परीक्षणों के साथ द्विपद वितरण के लिए,$x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम $4$ सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \cdot \frac{243}{1024} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$।
अतः,$P(X \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}$।

(B) खराब प्रतिक्रिया होने की प्रायिकता $p = 0.01$ है और लोगों की संख्या $n = 300$ है।
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,इसलिए हम द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे।
माध्य $\mu = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$ है।
पॉइसन वितरण का सूत्र $P(X = x) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^x}{x!}$ है।
$x = 2$ के लिए,$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2 e^3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $E_n$ वह घटना है कि मैकेनिक $n$वें दिन गलती करता है। प्रायिकता $P(E_n) = \frac{1}{2^n}$ है।
मान लीजिए $E_n^c$ वह घटना है कि मैकेनिक $n$वें दिन गलती नहीं करता है। तब $P(E_n^c) = 1 - \frac{1}{2^n}$ है।
$n = 1, 2, 3, 4$ के लिए,गलती करने की प्रायिकताएँ $P(E_1) = \frac{1}{2}, P(E_2) = \frac{1}{4}, P(E_3) = \frac{1}{8}, P(E_4) = \frac{1}{16}$ हैं।
गलती न करने की प्रायिकताएँ $P(E_1^c) = \frac{1}{2}, P(E_2^c) = \frac{3}{4}, P(E_3^c) = \frac{7}{8}, P(E_4^c) = \frac{15}{16}$ हैं।
हमें $4$ में से ठीक $3$ दिनों तक गलती न करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह $4$ परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकता है:
$1$. केवल $1$ले दिन गलती: $P(E_1)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{315}{1024}$
$2$. केवल $2$रे दिन गलती: $P(E_1^c)P(E_2)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{105}{1024}$
$3$. केवल $3$रे दिन गलती: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{45}{1024}$
$4$. केवल $4$थे दिन गलती: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{16} = \frac{21}{1024}$
इन प्रायिकताओं का योग: $\frac{315 + 105 + 45 + 21}{1024} = \frac{486}{1024} = \frac{243}{512}$.

(C) दिया गया है कि माध्य $\mu = np = \frac{5}{2}$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = \frac{5}{4}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = \frac{5}{2}$ में रखने पर,हमें $n \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 5$ है।
हमें $P(X > 1) = 1 - \{P(X = 0) + P(X = 1)\}$ ज्ञात करना है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{32}$.
अतः,$P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{32} + \frac{5}{32}) = 1 - \frac{6}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

(C) दिया गया है कि व्यक्ति $9$ खेलों में $4$ बार असफल होता है,इसलिए सफलताओं की संख्या $9 - 4 = 5$ है।
अतः,एक खेल में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{5}{9}$ है।
परिणामस्वरूप,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ है।
$n = 15$ प्रयासों के लिए,हम अधिकतम एक सफलता की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं,अर्थात $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{15}C_{0} \left(\frac{5}{9}\right)^0 \left(\frac{4}{9}\right)^{15} = \left(\frac{4}{9}\right)^{15}$।
$P(X = 1) = {}^{15}C_{1} \left(\frac{5}{9}\right)^1 \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = 15 \times \frac{5}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X \leq 1) = \left(\frac{4}{9}\right)^{15} + \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \left(\frac{4}{9}\right)^{14} \left[ \frac{4}{9} + \frac{75}{9} \right] = \frac{79}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$।

(A) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। शुद्ध लाभ $X = 10T - 5H$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $H + T = 3$,इसलिए $T = 3 - H$ है।
अतः,$X = 10(3 - H) - 5H = 30 - 15H$.
प्रत्येक परिणाम के लिए $X$ की गणना:
- $HHH (H=3): X = 30 - 15(3) = -15$
- $HHT, HTH, THH (H=2): X = 30 - 15(2) = 0$
- $HTT, THT, TTH (H=1): X = 30 - 15(1) = 15$
- $TTT (H=0): X = 30 - 15(0) = 30$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x$	$-15$	$0$	$15$	$30$
$P(x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

माध्य $E(X) = \Sigma x P(x) = (-15 \times \frac{1}{8}) + (0 \times \frac{3}{8}) + (15 \times \frac{3}{8}) + (30 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = \frac{-15 + 0 + 45 + 30}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$.

(A) दिया गया है $2 P(X=1) = 3 P(X=2) = P(X=3) = 5 P(X=4) = k$.
अतः $P(X=1) = \frac{k}{2}, P(X=2) = \frac{k}{3}, P(X=3) = k, P(X=4) = \frac{k}{5}$.
चूंकि $\sum P(X) = 1$,इसलिए $\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + k + \frac{k}{5} = 1$.
$\Rightarrow k(\frac{15+10+30+6}{30}) = 1 \Rightarrow k(\frac{61}{30}) = 1 \Rightarrow k = \frac{30}{61}$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$\frac{15}{61}$	$\frac{10}{61}$	$\frac{30}{61}$	$\frac{6}{61}$

माध्य $\mu = E(X) = \sum x P(x) = 1(\frac{15}{61}) + 2(\frac{10}{61}) + 3(\frac{30}{61}) + 4(\frac{6}{61}) = \frac{15+20+90+24}{61} = \frac{149}{61}$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 1^2(\frac{15}{61}) + 2^2(\frac{10}{61}) + 3^2(\frac{30}{61}) + 4^2(\frac{6}{61}) = \frac{15+40+270+96}{61} = \frac{421}{61}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$.
हमें $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 + \mu^2 = E(X^2)$ ज्ञात करना है।
अतः,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{421}{61}$.

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ वितरण का पैरामीटर है।
दिया गया है कि $P(X=1) = 3P(X=2)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 3 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = 3 \times \frac{\lambda^2}{2}$
चूँकि $\lambda \neq 0$,हम $\lambda$ से विभाजित करते हैं:
$1 = \frac{3\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2}{3}$।
अब,हम $P(X=3)$ की गणना करते हैं:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{(\frac{2}{3})^3 e^{-\frac{2}{3}}}{6}$
$P(X=3) = \frac{\frac{8}{27} e^{-\frac{2}{3}}}{6} = \frac{8}{27 \times 6} e^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{81} e^{-\frac{2}{3}}$।