यदि f(x) = begin{cases} frac{x^2 ln cos x}{ln | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,हम $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)}$.मानक सीमा $\lim_{u 	o 0

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शून्य पर अवकलनीय

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(C) सबसे पहले,हम $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)}$.मानक सीमा $\lim_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\lim_{x 	o 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1$ है।अतः,$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1+x^2)} ight) \cdot \ln \cos x = 1 \cdot \ln(1) = 0$.चूँकि $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x=0$ पर संतत है।अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए परिभाषा $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1+h^2)} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1+h^2)}$ का उपयोग करते हैं।अंश और हर को $h^2$ से विभाजित करने पर: $\lim_{h 	o 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{\frac{\ln(1+h^2)}{h^2}} = \lim_{h 	o 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{1}$.$\frac{\ln \cos h}{h}$ पर एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{h 	o 0} \frac{-	an h}{1} = 0$.चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)} & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$ है,तो $f(x)$ है

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