TS EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ સૂચવે છે: $v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$.
આ બે સમીકરણોની સરખામણી સદિશ સંબંધ $\vec{v}_1^2 = (\vec{v}_1' + \vec{v}_2')^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે કે $2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ વેગ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે અથડામણ પછી બંને બોલ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે (જો અથડામણ સીધી રેખામાં ન હોય તો).

(B) કણ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = v \hat{i}$ છે.
વ્યાસાંત બિંદુએ,વેગ $\vec{v}_f = -v \hat{i}$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = M(-v \hat{i}) - M(v \hat{i}) = -2 M v \hat{i}$ છે.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2 M v$ થાય છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M v^2$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(D) $SONAR$ એટલે કે Sound Navigation and Ranging. તે અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો ઉત્સર્જિત કરીને કાર્ય કરે છે જે પાણીમાં મુસાફરી કરે છે,કોઈ વસ્તુ સાથે અથડાય છે અને રીસીવર પર પાછા પરાવર્તિત થાય છે. પડઘો પાછા આવવા માટે લાગતા સમયને માપીને,વસ્તુનું અંતર ગણી શકાય છે. તેથી,ઉપયોગમાં લેવાતો સિદ્ધાંત અલ્ટ્રાસોનિક તરંગોનું પરાવર્તન છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પેરીહેલિયન અને એફેલિયન બિંદુઓ પર:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$\Rightarrow v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$ $(i)$
કુલ યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$-\frac{G M m}{r_1} + \frac{1}{2} m v_1^2 = -\frac{G M m}{r_2} + \frac{1}{2} m v_2^2$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$-\frac{G M}{r_1} + \frac{1}{2} v_1^2 = -\frac{G M}{r_2} + \frac{1}{2} \left(\frac{v_1 r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(\frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{r_2^2} = G M \frac{(r_2 - r_1)}{r_1 r_2}$
$v_1^2 = \frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}$
$v_1 = \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
કોણીય વેગમાન $L = m v_1 r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}} \cdot r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_1 r_2}{r_1 + r_2}}$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઢાળની ટોચ પર રહેલી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા ઢાળના તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જા = $mgh$.
જ્યારે વસ્તુ સપાટ ટ્રેક પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય વસ્તુને $d$ અંતરે અટકાવે છે.
ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = f \times d = \mu mgd$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાને ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય સાથે સરખાવતા:
$mgh = \mu mgd$
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$d = \frac{h}{\mu}$

(D) બોક્સને સ્થિર સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઢાળની દિશામાં નીચે તરફ લાગતું બળ $(mg \sin \theta)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_{max})$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
બોક્સ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ ઢાળને લંબ વજનનો ઘટક અને લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સરવાળો છે:
$N = mg \cos \theta + F$
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{max} = \mu N = \mu(mg \cos \theta + F)$
સંતુલન માટે,$mg \sin \theta \leq f_{max}$,તેથી જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$ ત્યારે મળે જ્યારે $mg \sin \theta = \mu(mg \cos \theta + F)$.
$F$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$F = \frac{mg \sin \theta}{\mu} - mg \cos \theta = mg \left( \frac{\sin \theta}{\mu} - \cos \theta \right)$
અહીં $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $\mu = 0.2$ આપેલ છે:
$F = 1 \times 10 \left( \frac{\sin 30^{\circ}}{0.2} - \cos 30^{\circ} \right)$
$F = 10 \left( \frac{0.5}{0.2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 10 \left( 2.5 - 0.866 \right)$
$F = 10 \times 1.634 = 16.34 \ N$
આમ,$F$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\geq 16.3 \ N$ છે.

(B) આપેલ છે:
લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$
બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$P = \frac{F}{A}$
પ્લેટ ચોરસ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{F}{L^2}$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(3 \%) = 4 \% + 6 \% = 10 \%$
આમ,દબાણની ગણતરીમાં મહત્તમ ત્રુટિ $10 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: પાઇપનો વ્યાસ $d = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$. ગેસોલિનની ઘનતા $\rho = 720 \,kg/m^3$. ગેસોલિનની સ્નિગ્ધતા $\eta = 6 \times 10^{-3} \,Poise = 6 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$. પાઇપ પ્રવાહ માટે ક્રાંતિક રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = 2000$ છે. ક્રાંતિક વેગ $v_c$ માટેનું સૂત્ર $v_c = \frac{R_e \cdot \eta}{\rho \cdot d}$ છે. કિંમતો મૂકતા: $v_c = \frac{2000 \times 6 \times 10^{-4}}{720 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{1.2}{3.6} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \,m/s$. આમ,જ્યારે વેગ $0.33 \,m/s$ કરતા વધારે હોય ત્યારે પ્રવાહ અશાંત બને છે.

(D) આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (સ્ટ્રેસ,$\sigma$) = $1 \times 10^8 \,N/m^2$
તારની મૂળ લંબાઈ $(L)$ = $1 \,m$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\Delta L / L}$
મહત્તમ વિસ્તરણ $(\Delta L)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta L = \frac{\sigma \times L}{Y}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{1 \times 10^8 \,N/m^2 \times 1 \,m}{2 \times 10^{11} \,N/m^2}$
$\Delta L = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
મીટરને મિલીમીટરમાં ફેરવતા $(1 \,m = 1000 \,mm)$:
$\Delta L = 0.5 \,mm$

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ, પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$ હોય છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{max}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પહેલા $t$ સમય પર પદાર્થનો વેગ, મહત્તમ ઊંચાઈથી નીચે પડતી વખતે $t$ સમયમાં પ્રાપ્ત કરેલા વેગ જેટલો જ હોય છે (સમપ્રમાણતાને કારણે).
અહીં, $t = 0.5 \,s$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + gt$
$v = 0 + (9.8 \,m/s^2) \times (0.5 \,s)$
$v = 4.9 \,m/s$.

(A) આપેલ પ્રતિપ્રવેગ $\omega = -\frac{dv}{dt} = a \sqrt{v}$.
$1$. સમય $t$ શોધવા માટે:
$\frac{dv}{dt} = -a \sqrt{v} \implies \int_{v_0}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{t} -a dt$
$[2 \sqrt{v}]_{v_0}^{0} = -at \implies -2 \sqrt{v_0} = -at \implies t = \frac{2 \sqrt{v_0}}{a}$.
$2$. અંતર $s$ શોધવા માટે:
$\omega = v \frac{dv}{ds} = a \sqrt{v}$ નો ઉપયોગ કરતા $\implies v \frac{dv}{ds} = -a \sqrt{v} \implies \sqrt{v} dv = -a ds$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{0} v^{1/2} dv = \int_{0}^{s} -a ds$
$[\frac{2}{3} v^{3/2}]_{v_0}^{0} = -as \implies -\frac{2}{3} v_0^{3/2} = -as \implies s = \frac{2 v_0^{3/2}}{3 a}$.

(D) આપેલ છે,
દડાની પ્રારંભિક ઝડપ $(u) = 20 \,m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $(\theta) = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $(g) = 10 \,m/s^2$
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{(20)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times (1/4)}{20}$
$H = \frac{100}{20}$
$H = 5 \,m$
તેથી,દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \,m$ છે.

(A) આપેલ ગતિના પ્રાચલિત સમીકરણો:
$x = a \cos t$
$y = a \sin t$
$z = t$
પ્રથમ,$xy$-સમતલ પર ગતિના પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લો:
$x^2 + y^2 = (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$
આ $xy$-સમતલમાં $a$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.
તે જ સમયે,કણ $z$-અક્ષ પર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે કારણ કે $z = t$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dz}{dt} = 1$.
જેમ કે કણ $xy$-સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે અને તે જ સમયે $z$-અક્ષ પર રેખીય રીતે આગળ વધે છે,તેથી પરિણામી ગતિપથ એક હેલિક્સ (સર્પાકાર) છે.

(B) આપેલ છે:
નદીની પહોળાઈ $(w) = 200 \ m$
નદીનો વેગ $(v_r) = 2 \ m/s$
નદીના સાપેક્ષ તરવૈયાનો વેગ $(v_{sr}) = 1 \ m/s$
નદીને ઓછામાં ઓછા સમયમાં પાર કરવા માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ તરવું જોઈએ.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{w}{v_{sr}} = \frac{200 \ m}{1 \ m/s} = 200 \ s$ છે.
આ સમય દરમિયાન,તરવૈયો નદીના પ્રવાહ દ્વારા નીચેની તરફ ખેંચાય છે.
નીચેની તરફ કાપેલું અંતર $(d) = v_r \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 2 \ m/s \times 200 \ s = 400 \ m$.
તેથી,તરવૈયો શરૂઆતના બિંદુની બરાબર સામેના બિંદુથી $400 \ m$ ના અંતરે સામેના કાંઠે પહોંચે છે.

(D) આપેલ છે: સાદા લોલકની લંબાઈ $L = 1 \,m$,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 2 \,m/s^2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$g_{eff} = 10 + 2 = 12 \,m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{12}} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{4 \times 3}} = 2\pi \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \,s$.

(D) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 1.0 \,m^2$, જાડાઈ $l = 3 \,cm = 0.03 \,m$, તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30^{\circ} C$, ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.03 \,W/mK$, ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.00 \times 10^5 \,J/kg$, સમય $t = 24 \times 3600 \,s = 86400 \,s$.
ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર વાપરતા: $Q = \frac{K A \Delta \theta t}{l}$.
કારણ કે $Q = m L$, તેથી $m = \frac{K A \Delta \theta t}{L l}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{0.03 \times 1.0 \times 30 \times 86400}{3.00 \times 10^5 \times 0.03}$.
$m = \frac{0.9 \times 86400}{9000} = \frac{77760}{9000} = 8.64 \,kg$.

$(A)$ આપેલ છે: સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
જરૂરી ચોકસાઈ $\Delta l = 0.06 \,mm = 6 \times 10^{-5} \,m$, લંબાઈ $l = 1 \,m$.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર: $\Delta l = l \alpha \Delta t$.
તાપમાનના તફાવત માટે: $\Delta t = \frac{\Delta l}{l \alpha}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{6 \times 10^{-5}}{1 \times 11 \times 10^{-6}} = \frac{60}{11} \approx 5.45^{\circ} C$.
સ્કેલ $25^{\circ} C$ પર સચોટ હોવાથી, માન્ય તાપમાનનો ગાળો $25^{\circ} C \pm 5.45^{\circ} C$ થશે.
આ ગાળો $19.55^{\circ} C$ થી $30.45^{\circ} C$ મળે છે.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમતો મુજબ, ગાળો આશરે $19^{\circ} C$ થી $31^{\circ} C$ છે.
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
હવાના મોલની સંખ્યા $(n) = 2000 = 2 \times 10^3 \text{ mol}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $(T_i) = 34^{\circ} C$,અંતિમ તાપમાન $(T_f) = 24^{\circ} C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T) = 24 - 34 = -10 \text{ K}$.
હવા માટે,$\gamma = 1.4$. અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{R}{1.4 - 1} = \frac{R}{0.4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{0.4} \right) \Delta T$
$\Delta U = (2 \times 10^3) \times \left( \frac{8.314}{0.4} \right) \times (-10)$
$\Delta U = - \frac{2 \times 8.314 \times 10^4}{0.4}$
$\Delta U = - \frac{16.628 \times 10^4}{0.4} = -41.57 \times 10^4 \text{ J} \approx -4.2 \times 10^5 \text{ J}$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{6}$, તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ} C$ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
આમ, $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા: $\frac{1}{3} = 1 - \frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} + \frac{62}{T_1}$.
ગોઠવતા $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$ મળે, તેથી $\frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$, જેનો અર્થ છે કે $T_1 = 372 \,K$.
સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરતા, $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \,K$.

(C) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ એ તેને ઉત્પન્ન કરનાર ઉદગમનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં (દા.ત. હવા માંથી પાણીમાં) જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,જળાશયના તળિયે તરંગની આવૃત્તિ $v \text{ Hz}$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે:
$F_{1} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ N}$
$F_{2} = (4\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ N}$
$r_{1} = (20\hat{i} + 15\hat{j}) \text{ cm} = (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j}) \text{ m}$
$r_{2} = (7\hat{k}) \text{ cm} = (0.07\hat{k}) \text{ m}$
કુલ બળ $F = F_{1} + F_{2} = (1+4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
સ્થાનાંતર $s = r_{2} - r_{1} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0.07\hat{k}) - (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j} + 0\hat{k}) = (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k})$.
$W = (5 \times -0.2) + (-3 \times -0.15) + (1 \times 0.07)$.
$W = -1.0 + 0.45 + 0.07 = -0.48 \text{ J}$.

(D) આપેલ પરિમાણો:
$E = 10 \, V$, $\omega = 200 \, rad/s$, $R = 50 \, \Omega$, $L = 400 \, mH = 0.4 \, H$, $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$.
પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 200 \times 0.4 = 80 \, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200 \times 200 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \, \Omega$.
હવે, $LCR$ સર્કિટના ઇમ્પીડન્સ $(Z)$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (80 - 25)^2} = \sqrt{2500 + 55^2} = \sqrt{2500 + 3025} = \sqrt{5525} \approx 74.33 \, \Omega$.
સર્કિટમાં rms પ્રવાહ $(I)$ છે:
$I = \frac{E}{Z} = \frac{10}{74.33} \approx 0.1345 \, A$.
ઇન્ડક્ટર પરનો rms વોલ્ટેજ $(V_L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_L = I \times X_L = 0.1345 \times 80 \approx 10.76 \, V$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $10.8 \, V$ મળે છે।

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માટે, ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ માટે, ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને $n=1$ થી $n=3$ સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$.
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $\Delta E \approx 12.1 \text{ eV}$ મળે છે.

(B) $4 \mu F$ કેપેસિટર એ $2 \mu F$ અને $3 \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
જ્યારે $4 \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પર $+80 \mu C$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નીચેની પ્લેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ $-80 \mu C$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
આ $+80 \mu C$ વિદ્યુતભાર ત્યારબાદ $2 \mu F$ અને $3 \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટો વચ્ચે વહેંચાય છે,જે સમાંતર જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ તેમની કેપેસીટન્સના ગુણોત્તરમાં વહેંચાય છે:
$q_1 = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) Q_{total}$
$3 \mu F$ કેપેસિટર માટે:
$q = \left( \frac{3 \mu F}{3 \mu F + 2 \mu F} \right) \times 80 \mu C$
$q = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \mu C = 3 \times 16 \mu C = 48 \mu C$.

(B) આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $(f_m) = 1 \text{ kHz} = 1 \times 10^3 \text{ Hz}$.
મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $(E_m) = 5 \text{ V}$.
કેરિયર આવૃત્તિ $(f_c) = 1 \text{ MHz} = 1 \times 10^6 \text{ Hz}$.
કેરિયરનો પીક વોલ્ટેજ $(E_c) = 15 \text{ V}$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$e(t) = E_c [1 + \mu \sin(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$
જ્યાં $\mu = \frac{E_m}{E_c}$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે.
$\mu = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$e(t) = 15 [1 + \frac{1}{3} \sin(2 \pi f_m t)] \sin(2 \pi f_c t)$
$e(t) = 15 [1 + \frac{1}{3} \sin(2 \pi \times 10^3 t)] \sin(2 \pi \times 10^6 t)$.

(D) આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે, જેમાં દરેક શાખામાં ત્રણ આદર્શ બેટરીઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે।
દરેક શાખાનો સમતુલ્ય emf $E_{eq} = 3 \times 20 \, V = 60 \, V$ થાય છે।
બે શાખાઓ સમાંતરમાં જોડાયેલી હોવાથી, બેટરીના સંયોજનનો કુલ સમતુલ્ય emf $E_{total} = 60 \, V$ જ રહેશે।
બેટરીઓ આદર્શ હોવાથી, તેમનો આંતરિક અવરોધ શૂન્ય છે।
તેથી, $R = 4 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે:
$i = \frac{E_{total}}{R} = \frac{60 \, V}{4 \, \Omega} = 15 \, A$.

(C) તાંબુ એ ધાતુનો સુવાહક છે, અને જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ તેનો અવરોધ ઘટે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચેની અથડામણની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ એ અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકોમાં, જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ વિદ્યુતભાર વાહકોની (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે, જેના પરિણામે અવરોધમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
તેથી, જ્યારે બંનેને ઓરડાના તાપમાનથી $80 \text{ K}$ સુધી ઠંડા કરવામાં આવે છે, ત્યારે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(A) આપેલ છે:
$t_1 = 30^{\circ} C$,$R_1 = 3.1 \Omega$
$t_2 = 100^{\circ} C$,$R_2 = 4.5 \Omega$
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1}$
$\alpha = \frac{4.5 - 3.1}{(3.1 \times 100) - (4.5 \times 30)}$
$\alpha = \frac{1.4}{310 - 135}$
$\alpha = \frac{1.4}{175} = 0.008^{\circ} C^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે $\lambda_1 = 1 \,nm$ પર પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_1$ છે અને $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ પર અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_2$ છે.
તેથી, $\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1}{0.5} \right)^2 = 2^2 = 4$.
આમ, $K_2 = 4K_1$.
ઇલેક્ટ્રોનમાં ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ થાય.
તેથી, ઉમેરવી પડતી ઉર્જા એ પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(A) સોલેનોઈડ અચળ $emf$ $(V)$ ધરાવતા $DC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
સોલેનોઈડમાં વહેતો પ્રવાહ $I = V/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સોલેનોઈડના તારનો અવરોધ છે.
જ્યારે લોખંડનો ગર્ભ બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ બદલાય છે,પરંતુ તારનો અવરોધ $(R)$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $DC$ સ્ત્રોત અચળ $emf$ પૂરો પાડે છે અને પરિપથનો અવરોધ બદલાતો નથી,તેથી સ્થાયી પ્રવાહ $I$ બદલાતો નથી.
તેથી,પ્રવાહ સમાન રહેશે.

(B) આપેલ છે: ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા $= n$. ગૂંચળાનો અવરોધ $= R$. ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $= 4R$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 4R = 5R$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
અહીં,ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ અને લાગતો સમય $\Delta t = t$ છે.
તેથી,$e = -n \frac{(\phi_2 - \phi_1)}{t}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $i = \frac{-n(\phi_2 - \phi_1)}{5Rt}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
વર્તુળાકાર કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા $(N) = 100$
ક્ષેત્રફળ $(A) = 2 \times 10^{-2} \,m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B) = 0.01 \,T$
ભ્રમણની આવૃત્તિ $(f) = 50 \,Hz$
ફરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત emf નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e_{max} = N B A \omega$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$e_{max} = N B A (2 \pi f)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e_{max} = 100 \times 0.01 \times (2 \times 10^{-2}) \times 2 \times 3.14159 \times 50$
$e_{max} = 1 \times 0.02 \times 314.159$
$e_{max} = 0.02 \times 314.159 = 6.283 \,V$
આમ, ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ emf આશરે $6.28 \,V$ છે।

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) નું સૂત્ર $e = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધાતુના ગોળા માટે,મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત ધરાવતા બિંદુઓ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ $l$ એ ગોળાનો વ્યાસ છે,એટલે કે $l = 2r$.
પ્રેરિત $EMF$ નું સૂત્ર $e = B v l \sin \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્રમાં $l = 2r$ મૂકતા,આપણને $e = B v (2r) \sin \alpha$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2r|\vec{B}||\vec{v}| \sin \alpha$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $\oint E \cdot ds = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલાણની અંદર $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી (જ્યાં $r < R_1$) ગોસીય સપાટી માટે,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર માત્ર કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવેલ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ છે.
તેથી,$E(4 \pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ મળે છે.
વાહક કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ પોલાણની અંદરના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતો નથી,કારણ કે ગોળીય સંમિત વિદ્યુતભારિત કવચને લીધે તેની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(C) ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ મુજબ,જ્યારે કોઈ વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ ગતિશીલ વિદ્યુતભાર (અથવા વિદ્યુતપ્રવાહ) વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે. જોકે,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારના કિસ્સામાં જ્યાં કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે,તેની આસપાસ મુખ્યત્વે ચુંબકીય ક્ષેત્ર જોવા મળે છે.

(D) પરમાણુ ક્ષયની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_{94}^{239} Pu \rightarrow { }_{92}^{235} U + { }_{Z}^{A} X$.
દળ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $239 = 235 + A \Rightarrow A = 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $94 = 92 + Z \Rightarrow Z = 2$.
$4$ દળ ક્રમાંક અને $2$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ આલ્ફા કણ $({ }_{2}^{4} He)$ છે.
તેથી,આ ક્ષય દરમિયાન આલ્ફા કણ ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: પ્રકાશના સ્ત્રોતનું અંતર $(u) = -1.5 \ m = -\frac{3}{2} \ m$. બહિર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R) = +1 \ m$. કેન્દ્રલંબાઈ $(f) = \frac{R}{2} = +0.5 \ m$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{0.5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5} \Rightarrow 2 = \frac{1}{v} - \frac{2}{3}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$.
તેથી,$v = \frac{3}{8} = 0.375 \ m$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે,જે આભાસી અને ચત્તું છે.
મોટવણી $(m) = -\frac{v}{u} = -\frac{0.375}{-1.5} = \frac{0.375}{1.5} = 0.25$.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને વક્રીભવનકોણના સાઈનનો ગુણોત્તર એ બે માધ્યમોના વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$
$\lambda_2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}$

(C) $n$-ટાઈપ અર્ધવાહકમાં મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,હોલ્સ નહીં. તેથી,એ વિધાન કે $n$-ટાઈપ અર્ધવાહકોમાં મેજોરિટી કેરિયર્સ હોલ્સ છે,તે ખોટું છે. અન્ય વિધાનો સાચા છે: આંતરિક અર્ધવાહકોનો અવરોધ તાપમાન ગુણાંક ઋણ હોય છે,ટ્રાયવેલેન્ટ ડોપિંગથી $p$-ટાઈપ મટીરીયલ બને છે,અને $p-n$ જંકશન ડાયોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) ધારો કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત તીવ્રતા,$I_1 = 25 \% \text{ of } I_0 = \frac{I_0}{4}$.
કાચની પ્લેટમાં પ્રવેશતી તીવ્રતા = $I_0 - \frac{I_0}{4} = \frac{3I_0}{4}$.
નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત તીવ્રતા,$I_2 = 50 \% \text{ of } \frac{3I_0}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{3I_0}{4} = \frac{3I_0}{8}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \left( \frac{\sqrt{\frac{I_0}{4}} + \sqrt{\frac{3I_0}{8}}}{\sqrt{\frac{I_0}{4}} - \sqrt{\frac{3I_0}{8}}} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{3}{8}}} \right)^2$.