TS EAMCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $|z-1|+|z-5|$ પદાવલિ એ સંકર સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z$ નું બિંદુઓ $z_1 = 1$ અને $z_2 = 5$ થી અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બિંદુઓ $z, z_1, z_2$ માટે,આપણી પાસે $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ છે.
અહીં,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$.
જ્યારે $z$ એ $1$ અને $5$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $7!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
કોઈ સંખ્યા $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times p_4^{d}$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=4, b=2, c=1, d=1$.
ભાજકોની સંખ્યા $= (4+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60$.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબકોણીય હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માં લખો.
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,આપણી પાસે $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ વડે ભાગતા $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ મળે. તેથી,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$.
શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ લાગુ પાડતા:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ વડે ગુણતા: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) આપેલ અસમતા $f(x) = 9mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$ છે,જ્યાં $x > 0$.
$x$ વડે ગુણતા,$9mx^2 - x + 1 \geq 0$ મળે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c \geq 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a = 9m$,$b = -1$,અને $c = 1$ છે.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(9m)(1) = 1 - 36m$.
શરત મુજબ,$1 - 36m \leq 0 \implies 36m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{36}$.
તેથી,$m$ ની સૌથી નાની કિંમત $\frac{1}{36}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે $\alpha^{2015}$ અને $\beta^{2015}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2015} = \omega^{2015} = \omega^{3 \times 671 + 2} = \omega^2$.
$\beta^{2015} = (\omega^2)^{2015} = \omega^{4030} = \omega^{3 \times 1343 + 1} = \omega$.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^{2015} + \beta^{2015} = \omega^2 + \omega = -1$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^{2015} \cdot \beta^{2015} = \omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ થાય.
માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2-5|x|+6=0$
ધારો કે $|x|=y$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$.
સમીકરણ $y^2-5y+6=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(y-2)(y-3)=0$.
આથી $y=2$ અથવા $y=3$ મળે છે.
$|x|=y$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $|x|=2 \Rightarrow x = \pm 2$.
કિસ્સો $2$: $|x|=3 \Rightarrow x = \pm 3$.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x^3+x^2+2x+3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -3$
ધારો કે $f(x)=0$ ના બીજ $S_1 = \alpha+\beta$,$S_2 = \beta+\gamma$,$S_3 = \gamma+\alpha$ છે.
નોંધો કે $S_1 = -1-\gamma$,$S_2 = -1-\alpha$,$S_3 = -1-\beta$.
$f(x)$ ના બીજનો સરવાળો $S_1+S_2+S_3 = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(-1) = -2$ છે.
બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $S_1S_2+S_2S_3+S_3S_1 = 3 + 2(\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3 + 2(-1) + 2 = 3$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $S_1S_2S_3 = -(1 + (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + \alpha\beta\gamma) = -(1 - 1 + 2 - 3) = 1$ છે.
આમ,$f(x) = x^3 - (-2)x^2 + 3x - 1 = x^3+2x^2+3x-1$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3-5x+4=0$ છે જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
$x^3+px^2+qx+r=0$ સાથે સરખાવતા,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = 0$ મળે છે.
જ્યારે $\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોય,ત્યારે નિત્યસમ મુજબ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$ થાય.
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -4$ છે.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3(-4) = -12$.
આમ,$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2 = (-12)^2 = 144$.

(B) આપેલ છે કે,$\bar{z}^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $\bar{z} = (a+ib)^3$ મળે.
કારણ કે $\bar{z} = x-iy$,તેથી $x-iy = (a+ib)^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $x-iy = (a^3-3ab^2) + i(3a^2b-b^3)$.
સરખાવતા,$x = a^3-3ab^2$ અને $-y = 3a^2b-b^3$,એટલે કે $y = b^3-3a^2b$.
હવે,$\frac{x}{a} = a^2-3b^2$ અને $\frac{y}{b} = b^2-3a^2$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2-3b^2) + (b^2-3a^2) = -2a^2-2b^2 = -2(a^2+b^2)$.
તેથી,$\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(C) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $|z| = r$ છે.
આપેલ છે કે $z = (1+i)(1+2i)(1+3i) \ldots (1+10i)$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|z| = |1+i| \cdot |1+2i| \cdot |1+3i| \ldots |1+10i| = r$.
$|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2} \ldots \sqrt{1^2+10^2} = r$.
$|z| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \ldots \sqrt{101} = r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$r^2 = 2 \times 5 \times 10 \times \ldots \times 101$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ $|z| + |z - 1| = 3$ છે.
આ બિંદુ $z$ નું $0$ અને $1$ બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો અચળ $(3)$ દર્શાવે છે.
કારણ કે $3 > |0 - 1| = 1$,તેથી આ બિંદુપથ $0$ અને $1$ નાભિ ધરાવતો ઉપવલય છે.
બીજગણિતીય રીતે:
$\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3 - \sqrt{x^2 + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$-2x + 1 = 9 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$6\sqrt{x^2 + y^2} = 2x + 8$
$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 4$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$9(x^2 + y^2) = (x + 4)^2$
$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 8x + 16$
$8x^2 - 8x + 9y^2 = 16$
$8(x - \frac{1}{2})^2 + 9y^2 = 18$
$\frac{(x - 1/2)^2}{9/4} + \frac{y^2}{2} = 1$
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(C) $EQUATION$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N$.
$8$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $4$ અક્ષરના કુલ શબ્દોની સંખ્યા $8^4 = 4096$ છે.
કોઈપણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થાય તેવા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $^8P_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેવા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - પુનરાવર્તન વગરના શબ્દો:
$= 4096 - 1680 = 2416$.

(B) આપેલ શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 148$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_n = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)] = \frac{n}{2}[296 - 2n + 2] = \frac{n}{2}[298 - 2n] = n(149 - n)$.
પ્રથમ $n$ પદોની સરેરાશ $\frac{S_n}{n} = 149 - n$ છે.
સરેરાશ $125$ આપેલ હોવાથી,$149 - n = 125$.
તેથી,$n = 149 - 125 = 24$.

(B) આપણી પાસે $7^n = (1 + 6)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$7^n = 1 + ^nC_1(6) + ^nC_2(6^2) + ^nC_3(6^3) + \dots + ^nC_n(6^n)$.
$7^n = 1 + 6n + 36(^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2}))$.
ધારો કે $\lambda = ^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2})$.
તેથી $7^n = 1 + 6n + 36\lambda$.
ગોઠવતા,આપણને $7^n - 6n = 36\lambda + 1$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુથી $50$ બાદ કરતા:
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda + 1 - 50 = 36\lambda - 49$.
આપણે $-49$ ને $-72 + 23$ તરીકે લખી શકીએ.
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda - 72 + 23 = 36(\lambda - 2) + 23$.
ધારો કે $\mu = \lambda - 2$.
તેથી $7^n - 6n - 50 = 36\mu + 23$.
તેથી,જ્યારે $7^n - 6n - 50$ ને $36$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $23$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.
તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=0}^n C_r^2$.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^n C_r^2 = { }^{2n} C_n$ અને $r C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 3 \sum_{r=1}^n n { }^{n-1} C_{r-1} C_r - { }^{2n} C_n$.
$S = 3n \sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r} - { }^{2n} C_n$.
સરવાળો $\sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r}$ એ $(1+x)^{n-1}(1+x)^n = (1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક છે,જે ${ }^{2n-1} C_{n-1}$ છે.
આમ,$S = 3n { }^{2n-1} C_{n-1} - { }^{2n} C_n$.
કારણ કે ${ }^{2n-1} C_{n-1} = \frac{n}{2n} { }^{2n} C_n = \frac{1}{2} { }^{2n} C_n$,તેથી:
$S = 3n \left( \frac{1}{2} { }^{2n} C_n \right) - { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n}{2} - 1 \right) { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n-2}{2} \right) { }^{2n} C_n$.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots = (1-x)^{-n}$ સ્વરૂપમાં છે.
પદોની સરખામણી કરતા,$nx = \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12}$ અને $x = \frac{1}{8}$ મળે છે.
તેથી,$n \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12} \implies n = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
શ્રેણી $(1 - \frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$ થશે.
$= (\frac{7}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{7})^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{\sqrt[3]{49}} = \frac{4}{\sqrt[3]{49}}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} + \cos^2 3x = 1$
$1 + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) + \cos^2 3x = 1$
$\frac{1}{2}(2\cos 3x \cos x) + \cos^2 3x = 0$
$\cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$
$\cos 3x (2 \cos 2x \cos x) = 0$
$2 \cos 3x \cos 2x \cos x = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$ અથવા $\cos x = 0$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$2$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$
$3$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$
બધી અનન્ય કિંમતોને જોડતા: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}\}$.
આ ગણતરી કરતા,$10$ અલગ કિંમતો મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\cos x+\cos y=-\cos \alpha$ $(i)$
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$
તેમજ,$\sin x+\sin y=-\sin \alpha$ (ii)
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\cos \alpha}{-\sin \alpha}$
$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos 13^{\circ}-\sin 13^{\circ}}{\cos 13^{\circ}+\sin 13^{\circ}}+\frac{1}{\cot 148^{\circ}}$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $\cos 13^{\circ}$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1-\tan 13^{\circ}}{1+\tan 13^{\circ}} + \tan 148^{\circ}$
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A=45^{\circ}$ અને $B=13^{\circ}$:
$= \tan(45^{\circ}-13^{\circ}) + \tan(180^{\circ}-32^{\circ})$
$= \tan 32^{\circ} - \tan 32^{\circ} = 0$

(B) નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3 \cos x}{4}$ મળે.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{\cos 3 \theta + 3 \cos \theta}{4} + \frac{\cos(2 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta)}{4} + \frac{\cos(4 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\cos(2 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ અને $\cos(4 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta) = 2 \cos(\pi + \theta) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\cos \theta)(\frac{1}{2}) = -\cos \theta$
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3(-\cos \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\frac{3 \cos 3 \theta}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
તેથી,$\alpha = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલા બિંદુઓ $(3,3)$ અને $(7,6)$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{6-3}{7-3} = \frac{3}{4}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $(y-3) = \frac{3}{4}(x-3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4y - 12 = 3x - 9$ અથવા $3x - 4y = -3$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $3(0) - 4y = -3 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$. બિંદુ $(0, \frac{3}{4})$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ મૂકતા: $3x - 4(0) = -3 \Rightarrow x = -1$. બિંદુ $(-1, 0)$ છે.
$(0, \frac{3}{4})$ અને $(-1, 0)$ વચ્ચેના રેખાખંડની લંબાઈ અંતર સૂત્ર દ્વારા:
$d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (\frac{3}{4} - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(x-y)(x+y)(2x+3y-6)=0$
આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+y=0$,અને $L_3: 2x+3y-6=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $2x+3y-6=0 \implies 5x=6 \implies x=6/5, y=6/5$
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x+y=0$ અને $2x+3y-6=0 \implies y=6, x=-6$
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(6/5, 6/5)$,અને $(-6, 6)$ છે.
બિંદુ $(0, \alpha)$ એ $y$-અક્ષ પર છે $(x=0)$.
ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં રહેવા માટે,$y$-અક્ષ પર બિંદુ $y=0$ અને $y=2$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
આમ,$0 < \alpha < 2$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2-8xy+5y^2=0$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાઓને લંબ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોની અદલાબદલી કરીને અને $xy$ પદની નિશાની બદલીને મેળવી શકાય છે: $5x^2+8xy+3y^2=0$.
બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે $5x^2+8xy+3y^2=0$ માં $x$ ને $(x-1)$ અને $y$ ને $(y-1)$ વડે બદલીએ છીએ.
આથી $5(x-1)^2+8(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$5(x^2-2x+1)+8(xy-x-y+1)+3(y^2-2y+1)=0$.
સાદુરૂપ આપતા,$5x^2-10x+5+8xy-8x-8y+8+3y^2-6y+3=0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$5x^2+8xy+3y^2-18x-14y+16=0$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $y-3kx+4=0$ $(i)$ અને $(2k-1)x-(8k-1)y-6=0$ (ii) છે.
રેખા $(i)$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-(-3k)}{1} = 3k$ છે.
રેખા (ii) નો ઢાળ $m_2 = \frac{-(2k-1)}{-(8k-1)} = \frac{2k-1}{8k-1}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
$3k \times \frac{2k-1}{8k-1} = -1$
$3k(2k-1) = -(8k-1)$
$6k^2 - 3k = -8k + 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k+1) - 1(k+1) = 0$
$(6k-1)(k+1) = 0$
તેથી,$k = 1/6$ અથવા $k = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણો $y=kx+1$ $(i)$ અને $3x+4y=9$ (ii) છે.
$(i)$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$3x+4(kx+1)=9$
$3x+4kx+4=9$
$x(3+4k)=5$
$x=\frac{5}{3+4k}$
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,$(3+4k)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $5$ ના ભાજકો $\pm 1, \pm 5$ છે.
કિસ્સો $1$: $3+4k=1$ $\Rightarrow 4k=-2$ $\Rightarrow k=-0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3+4k=-1$ $\Rightarrow 4k=-4$ $\Rightarrow k=-1$.
કિસ્સો $3$: $3+4k=5$ $\Rightarrow 4k=2$ $\Rightarrow k=0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3+4k=-5$ $\Rightarrow 4k=-8$ $\Rightarrow k=-2$.
આમ,$k$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.
રેખાઓ $y=-x+1$ અને $y=-2x+1$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y+x-1)(y+2x-1)=0$ છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y-144=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -6 \Rightarrow g = -3$ અને $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -4)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે અભિલંબ વર્તુળને ફરીથી $(x_1, y_1)$ બિંદુએ મળે છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ એ $(8, 8)$ અને $(x_1, y_1)$ ને જોડતી જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+8}{2} = 3$ $\Rightarrow x_1+8 = 6$ $\Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{y_1+8}{2} = -4$ $\Rightarrow y_1+8 = -8$ $\Rightarrow y_1 = -16$
આમ,જરૂરી બિંદુ $(-2, -16)$ છે.

(C) ધારો કે $(a, b)$ એ બિંદુ છે જ્યાં રેખા $4x - 3y + 7 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળ પરના બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xa + yb - 3(x + a) + 2(y + b) - 12 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(a - 3)x + (b + 2)y - (3a - 2b + 12) = 0$ મળે છે.
આપેલ રેખા $4x - 3y + 7 = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{a - 3}{4} = \frac{b + 2}{-3} = \frac{-(3a - 2b + 12)}{7} = k$.
આથી,$a = 4k + 3$ અને $b = -3k - 2$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા: $-(3(4k + 3) - 2(-3k - 2) + 12) = 7k$.
$-(12k + 9 + 6k + 4 + 12) = 7k$ $\Rightarrow -(18k + 25) = 7k$ $\Rightarrow -25k = 25$ $\Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ મૂકતા,$a = 4(-1) + 3 = -1$ અને $b = -3(-1) - 2 = 1$.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(-1, 1)$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=1$ છે.
બિંદુ $(2k, k-4)$ માટે,ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ:
$x(2k) + y(k-4) - 2(x+2k) - 3(y+k-4) + 1 = 0$
$2kx + ky - 4y - 2x - 4k - 3y - 3k + 12 + 1 = 0$
$k(2x + y - 7) - 2x - 7y + 13 = 0$
આ રેખા $k$ ની કોઈપણ કિંમત માટે નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,$k$ નો સહગુણક અને અચળ પદ બંને શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + y - 7 = 0$
$-2x - 7y + 13 = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $-6y + 6 = 0 \Rightarrow y = 1$.
$y=1$ ને $2x + y - 7 = 0$ માં મૂકતા: $2x + 1 - 7 = 0$ $\Rightarrow 2x = 6$ $\Rightarrow x = 3$.
આમ,ધ્રુવીય રેખા હંમેશા બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$C_1: x^2+y^2-1=0$
$C_2: x^2+y^2-2x-3=0$
$C_3: x^2+y^2-2y-3=0$
$C_1$ અને $C_2$ ની રેડિકલ ધરી $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2x-3) = 0$
$2x+2 = 0 \implies x = -1$
$C_1$ અને $C_3$ ની રેડિકલ ધરી $C_1 - C_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2y-3) = 0$
$2y+2 = 0 \implies y = -1$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર રેડિકલ ધરીઓનું છેદબિંદુ છે,જે $(-1, -1)$ છે.

(C) પરવલયોના આપેલા સમીકરણો:
$y^2=5x$ $(i)$
$x^2=5y$ (ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$y = \frac{x^2}{5}$ મળે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$
$\frac{x^4}{25} = 5x$
$x^4 = 125x$
$x^4 - 125x = 0$
$x(x^3 - 125) = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x^3 = 125$,જેનો અર્થ છે $x = 5$.
જો $x = 0$,તો $y = 0$. જો $x = 5$,તો $y = \frac{5^2}{5} = 5$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,5)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બંને બિંદુઓ રેખા $x - y = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ મૂકતા,સમીકરણ $y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ બને છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(C, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $0 = mC - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $m(C - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ થાય છે.
એક ઉકેલ $m = 0$ છે,જે $x$-અક્ષ પરનો અભિલંબ દર્શાવે છે.
ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ દોરવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{m^2}{4} = C - \frac{1}{2}$ ને બે ભિન્ન શૂન્યતર વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આ માટે $C - \frac{1}{2} > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $C > \frac{1}{2}$.

(A) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2=4ay$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $90^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$x = x' \cos(90^{\circ}) - y' \sin(90^{\circ}) = -y'$
$y = x' \sin(90^{\circ}) + y' \cos(90^{\circ}) = x'$
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $x^2=4ay$ માં મૂકતા:
$(-y')^2 = 4a(x')$
$y'^2 = 4ax'$
આમ,નવું સમીકરણ $y^2=4ax$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
અહીં,$a^2=25 \implies a=5$ અને $b^2=16 \implies b=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરનો સરવાળો $PS+PS^{\prime} = 2a$ થાય.
તેથી,$PS+PS^{\prime} = 2 \times 5 = 10$.
આપેલ છે કે $SP=8$,તેથી $8+PS^{\prime} = 10 \implies PS^{\prime} = 2$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = 2ae = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$4+S^{\prime}P = 4+2 = 6$.
તેથી,$SS^{\prime} = 4+S^{\prime}P$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$h=3, k=2, a^2=25, b^2=16$ મળે છે.
તેથી,$a=5$ અને $b=4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$(i)$ મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ $y = k$ છે,તેથી $y = 2$. આ $(q)$ સાથે સુસંગત છે.
$(ii)$ નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = h \pm \frac{a}{e}$ છે.
$x = 3 \pm \frac{5}{3/5} = 3 \pm \frac{25}{3}$.
$x = 3 + \frac{25}{3} = \frac{34}{3} \Rightarrow 3x = 34$.
$x = 3 - \frac{25}{3} = -\frac{16}{3} \Rightarrow 3x = -16$.
તેથી,$3x = 34$ એ $(p)$ સાથે સુસંગત છે.
$(iii)$ નાભિલંબના સમીકરણો $x = h \pm ae$ છે.
$x = 3 \pm (5 \times \frac{3}{5}) = 3 \pm 3$.
$x = 3 + 3 = 6$ અથવા $x = 3 - 3 = 0$.
તેથી,$x = 6$ એ $(s)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $(i) \rightarrow (q)$,$(ii) \rightarrow (p)$,$(iii) \rightarrow (s)$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ આગળનો અભિલંબ $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ $(i)$ છે.
$B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ આગળનો અભિલંબ $2x \cos \phi + 3y \cot \phi = 13$ (ii) છે.
$\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ થાય. તેથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
આ કિંમતો (ii) માં મૂકતા: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ (iii) મળે.
છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ.
ગણતરી કરતા,$3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$ મળે.
તેથી,$3y = -13$ મળે.
આમ,$\beta = -\frac{13}{3}$ થાય.

(D) આપેલ છે,$L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+x+3}{x^2-x+2}\right]^x$.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow \infty}[1+f(x)]^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \cdot g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{x^2+x+3}{x^2-x+2}-1\right]^x$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{x^2+x+3-x^2+x-2}{x^2-x+2}\right]^x$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{2x+1}{x^2-x+2}\right]^x$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x+1}{x^2-x+2} \cdot x}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+x}{x^2-x+2}}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2+1/x}{1-1/x+2/x^2}} = e^{\frac{2+0}{1-0+0}} = e^2$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
પદોની સંખ્યા $m$ માટે,$a+(m-1)d = a+2nd$,તેથી $m-1 = 2n$,એટલે કે $m = 2n+1$.
$m$ પદો અને સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{m^2-1}{12}} |d|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$m = 2n+1$ મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{(2n+1)^2-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n^2+4n+1-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n(n+1)}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n+1)}{3}} |d|$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે,$8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$8R^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2$
$8R^2 = 4R^2 (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$
$2 = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + \sin^2 C$
$2 = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = 1 - \cos^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$
આ કાટકોણ ત્રિકોણ માટેનું જાણીતું નિત્યસમ છે જ્યાં એક ખૂણો $90^\circ$ હોય.
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે,$\angle A=90^{\circ}$ અને $\angle B \neq \angle C$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2} \sin (B-C) = \frac{k^2 \sin^2 B + k^2 \sin^2 C}{k^2 \sin^2 B - k^2 \sin^2 C} \sin (B-C)$
$= \frac{\sin^2 B + \sin^2 C}{\sin^2 B - \sin^2 C} \sin (B-C)$
કારણ કે $\angle A = 90^{\circ}$,તેથી $B+C = 90^{\circ}$,એટલે કે $C = 90^{\circ}-B$.
તેથી,$\sin C = \cos B$ અને $\sin^2 C = \cos^2 B$.
વળી,$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B+C) \sin(B-C) = \sin(90^{\circ}) \sin(B-C) = 1 \cdot \sin(B-C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\sin^2 B + \cos^2 B}{\sin(B+C)} \cdot \sin(B-C) = \frac{1}{\sin(90^{\circ})} = 1$.

(D) આપણને $2R + r = r_2$ સંબંધ આપેલ છે.
પરિ ત્રિજ્યા $R$,અંતઃ ત્રિજ્યા $r$ અને બહિઃ ત્રિજ્યા $r_2$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} [\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos(\frac{A+C}{2})$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,એટલે કે $\cos(\frac{A+C}{2}) = \sin \frac{B}{2}$.
આમ,$r_2 - r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
આપેલ છે કે $2R = r_2 - r$,તેથી $2R = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2R$ વડે ભાગતા,$1 = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$.
આથી $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $B = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ વક્ર $x^2+y^2=16a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x + 2yy' = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y' = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a} = -1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2}a = -1(x - 2\sqrt{2}a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 4\sqrt{2}a$ થાય છે.
સ્પર્શકનો $X$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકતા $x = 4\sqrt{2}a$ મળે છે. ધારો કે આ બિંદુ $B(4\sqrt{2}a, 0)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2}a = 1(x - 2\sqrt{2}a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને બિંદુ $A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $O(0,0)$,$A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ અને $B(4\sqrt{2}a, 0)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(2\sqrt{2}a-0) + 2\sqrt{2}a(0-0) + 4\sqrt{2}a(0-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |4\sqrt{2}a(-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |-16a^2| = 8a^2$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{x+1}{x^4(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x^4}+\frac{E}{x+2}$
બંને બાજુ $x^4(x+2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x+1 = Ax^3(x+2) + Bx^2(x+2) + Cx(x+2) + D(x+2) + Ex^4$
$B+D+E$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = -1$ મૂકીએ:
$-1+1 = A(-1)^3(-1+2) + B(-1)^2(-1+2) + C(-1)(-1+2) + D(-1+2) + E(-1)^4$
$0 = A(-1)(1) + B(1)(1) + C(-1)(1) + D(1) + E(1)$
$0 = -A + B - C + D + E$
$B+D+E$ ને અલગ કરતા:
$B+D+E = A+C$

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
આપેલ છે કે $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $3: 2$ છે.

(D) ધારો કે $B$ એ રેખાખંડ $\overline{AC}$ ને $k: 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{3}{2}: 1$ એટલે કે $3: 2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A(5, -4)$ અને $B(7, 6)$ સમતલમાં બિંદુઓ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી $AP:PB = 2:3$ થાય.
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3AP = 2PB$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $9AP^2 = 4PB^2$ મળે છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AP^2 = (x-5)^2 + (y+4)^2$ અને $PB^2 = (x-7)^2 + (y-6)^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$9[(x-5)^2 + (y+4)^2] = 4[(x-7)^2 + (y-6)^2]$.
$9[x^2 - 10x + 25 + y^2 + 8y + 16] = 4[x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36]$.
$9[x^2 + y^2 - 10x + 8y + 41] = 4[x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85]$.
$9x^2 + 9y^2 - 90x + 72y + 369 = 4x^2 + 4y^2 - 56x - 48y + 340$.
$5x^2 + 5y^2 - 34x + 120y + 29 = 0$.
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ થી વધુ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
${1, 2, 3, 4, 5}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને,$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ $12, 24, 32, 52$ છે.
આવી $4$ અનુકૂળ જોડીઓ છે.
બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3!$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ અનુકૂળ પરિણામો $= 4 \times 3!$.
પાંચ અંકની કુલ શક્ય સંખ્યાઓ $= 5!$.
સંભાવના $= \frac{4 \times 3!}{5!} = \frac{4 \times 3!}{5 \times 4 \times 3!} = \frac{1}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ મળે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$.
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) કેન્દ્ર $O$ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,આપણી પાસે નીચેના સદિશ સંબંધો છે:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ અને $\vec{AF} = \vec{CD}$.
હવે,સરવાળો $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$ ધ્યાનમાં લો.
સંબંધો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{S} = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\vec{S} = (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{AD}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$ અને $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
તેથી,$\vec{S} = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} = 3 \vec{AD}$.
કારણ કે $O$ એ નિયમિત ષટ્કોણનું કેન્દ્ર છે,$\vec{AD} = 2 \vec{AO}$.
આમ,$\vec{S} = 3(2 \vec{AO}) = 6 \vec{AO}$.

(B) આપેલ વક્રો $y=ax^2$ $(i)$ અને $x=ay^2$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ માંથી $y$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(a^3x^3 - 1) = 0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=\frac{1}{a}$ મળે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=\frac{1}{a}$ માટે $y=\frac{1}{a}$ મળે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\int_0^{1/a} \frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} dx - \int_0^{1/a} ax^2 dx = 3$.
$\frac{1}{\sqrt{a}} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^{1/a} - a [\frac{x^3}{3}]_0^{1/a} = 3$.
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot (\frac{1}{a})^3 = 3$.
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 3$.
$\frac{1}{3a^2} = 3 \Rightarrow 9a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{9}$.
$a>0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{3}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ થાય.
ધારો કે $P = AB - BA$.
$P$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક લેતા:
$P^{\prime} = (AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
$(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$P^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ મૂકતા:
$P^{\prime} = BA - AB = -(AB - BA) = -P$.
આમ,$P^{\prime} = -P$ હોવાથી,$AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે $A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ 2x+1 & 3x+1 & x+1 \\ 3x+1 & x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લેતા:
$A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ 2x+1 & x & -2x \\ 3x+1 & -2x & x \end{vmatrix}$.
$C_2$ અને $C_3$ માંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 \\ 2x+1 & 1 & -2 \\ 3x+1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લેતા:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 2x+1 & 3 & -2 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_3$ લેતા:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 5x+2 & 0 & -1 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$A(x) = x^2 \cdot (-(-3)) \cdot \begin{vmatrix} x+1 & 1 \\ 5x+2 & -1 \end{vmatrix} = 3x^2 \{(-x-1) - (5x+2)\} = 3x^2(-6x-3) = -18x^3 - 9x^2$.
હવે,$\int_0^1 A(x) dx = \int_0^1 (-18x^3 - 9x^2) dx = \left[ -\frac{18x^4}{4} - \frac{9x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ -\frac{9}{2}x^4 - 3x^3 \right]_0^1 = -\frac{9}{2} - 3 = -\frac{15}{2}$.

(B) સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$ax + by + cz = 2$
$bx + cy + az = 2$
$cx + ay + bz = 2$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
કારણ કે $a+b+c = 0$,આપણને મળે છે:
$\Delta = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
કારણ કે $\Delta = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
ચાલો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ ની ગણતરી કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & b & c \\ 2 & c & a \\ 2 & a & b \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 2(c^2 + ab + ab - c^2 - a^2 - b^2) = 2(2ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$c = -(a+b)$,તેથી $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
આમ,$\Delta_x = 2(2ab - a^2 - b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)) = 2(-2a^2 - 2b^2) = -4(a^2 + b^2)$.
જો $a, b, c$ બધા શૂન્ય ન હોય,તો $\Delta_x \neq 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય નથી,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin \left(\cot ^{-1} x\right)=\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\cot ^{-1} x\right) = \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
તે જ રીતે,$\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right) = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1+x^2 = 1+(1+x)^2$.
$1+x^2 = 1+1+x^2+2x$.
$1+x^2 = 2+x^2+2x$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા,$1 = 2+2x$.
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક સેકન્ટ વિધેય $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x = \cos \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} \right)$
$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$\sin \theta > 0$,તેથી $\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sin \theta$.
આમ,પદાવલિ $\log \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right)$ બને છે.
આને $\log (\sec \theta + \tan \theta)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
નિત્યસમ $\sec \theta + \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right|$.

(C) આપેલ છે,$f(x)=x^2-2x+4$.
આપણે $f(x-1)=f(x+1)$ ઉકેલવાનું છે.
વિધેયમાં $(x-1)$ અને $(x+1)$ મૂકતા:
$(x-1)^2-2(x-1)+4 = (x+1)^2-2(x+1)+4$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2-2x+1) - 2x + 2 + 4 = (x^2+2x+1) - 2x - 2 + 4$.
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2-4x+7 = x^2+3$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$-4x+7 = 3$.
$-4x = -4$.
$x = 1$.
આમ,$x$ ના મૂલ્યોનો ગણ $\{1\}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = ax + b$.
આપેલ સમીકરણ $f(f(x)) = x + f(x)$ છે.
સમીકરણમાં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$a(ax + b) + b = x + (ax + b)$
$a^2x + ab + b = x + ax + b$
$a^2x + ab = x + ax$
$x(a^2 - a - 1) + ab = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$a^2 - a - 1 = 0$ અને $ab = 0$.
કારણ કે $a^2 - a - 1 = 0$,તેથી $a$ શૂન્ય ન હોઈ શકે,એટલે $b = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $a^2 - a - 1 = 0$ ઉકેલતા:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,વિધેયો $f(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)x$ અને $f(x) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)x$ છે.
આવા $2$ વાસ્તવિક સુરેખ વિધેયો મળે છે.

(D) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x \to 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (કારણ કે $x < 0$ માટે $|\sin x| = -\sin x$).
ધારો કે $h = -x$,જેમ $x \to 0^-$,તેમ $h \to 0^+$. તેથી $\sin x = -\sin h$.
$\lim_{h \to 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h \to 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.
હવે,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.
$f(0) = q$ હોવાથી,લક્ષને સરખાવતા:
$e^p = q = e^{2/3}$.
આમ,$p = 2/3$ અને $q = e^{2/3}$.
જો મૂળ પ્રશ્નમાં ઘાત $\frac{p}{\sin x}$ હોય,તો $LHL$ $= e^{-p}$ થાય,જેનાથી $p = -2/3$ અને $q = e^{2/3}$ મળે.

(C) ધારો કે $y = \tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$.
તે જ રીતે,$1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}\right]$
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{x}{2}}\right] = \tan ^{-1}(\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$y = \tan^{-1} \left[ \frac{5 \cos x - 12 \sin x}{12 \cos x + 5 \sin x} \right]$.
અંશ અને છેદને $12 \cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\frac{5}{12} - \tan x}{1 + \frac{5}{12} \tan x} \right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(\tan x)$.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) \right) - \frac{d}{dx}(x)$.
$\tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$ એ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થશે.
$\frac{dy}{dx} = 0 - 1 = -1$.

(C) આપેલ છે કે,$y=a \cos (\sin 2 x)+b \sin (\sin 2 x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = -a \sin(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2 + b \cos(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2$
$y^{\prime} = 2 \cos 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$y^{\prime \prime} = -4 \sin 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\} + 2 \cos 2x \{-a \cos(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2 - b \sin(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2\}$.
પ્રથમ ભાગમાં $y^{\prime} = 2 \cos 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\}$ મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = -4 \sin 2x \cdot \frac{y^{\prime}}{2 \cos 2x} - 4 \cos^2 2x \{a \cos(\sin 2x) + b \sin(\sin 2x)\}$.
ચૂકી $y = a \cos(\sin 2x) + b \sin(\sin 2x)$,તેથી:
$y^{\prime \prime} = -2 \tan 2x \cdot y^{\prime} - 4 \cos^2 2x \cdot y$.
તેથી,$y^{\prime \prime} + (2 \tan 2x) y^{\prime} = -4 \cos^2 2x \cdot y$.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો છે:
$x = a \cos^3 t$
$y = a \sin^3 t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$
$(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ લેતા $x = a \cos t$ મળે,અને $x=0$ લેતા $y = a \sin t$ મળે.
બિંદુઓ $A(a \cos t, 0)$ અને $B(0, a \sin t)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ:
$L = \sqrt{(a \cos t - 0)^2 + (0 - a \sin t)^2} = \sqrt{a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1)} = a$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{2}[|\sin x| + \sin x]$,$0 < x \leq 2\pi$ માટે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $0 < x \leq \pi$,ત્યારે $\sin x \geq 0$,તેથી $|\sin x| = \sin x$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2}[\sin x + \sin x] = \sin x$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \cos x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,$f'(x) = \cos x > 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ માટે,$f'(x) = \cos x < 0$,તેથી $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $\pi < x \leq 2\pi$,ત્યારે $\sin x \leq 0$,તેથી $|\sin x| = -\sin x$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2}[-\sin x + \sin x] = 0$.
તેથી,$f(x)$ એ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં વધતું અને $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+7 x^2+1} d x$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+7+\frac{1}{x^2}} d x = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+5} d x$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+9} d x$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$,તેથી $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
$t = x - \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{3}) + C = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x^2-1}{3x}) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^2$ અને $dv = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ લો.
તેથી $du = 2x dx$ અને $v = \int (1+x^2)^{-1/2} x dx = \sqrt{1+x^2}$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int 2x \sqrt{1+x^2} dx$.
બાકી રહેલા સંકલન માટે,$t = 1+x^2$ લેતા,$dt = 2x dx$ મળે.
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int t^{1/2} dt = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C$.
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx$.
અંશને $2x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-4x-5) + B$ સ્વરૂપે લખતા.
$2x+2 = A(2x-4) + B$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,$2A = 2 \Rightarrow A = 1$ અને $-4A + B = 2 \Rightarrow -4(1) + B = 2 \Rightarrow B = 6$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$t = x^2-4x-5$ લેતા,$dt = (2x-4)dx$ મળે.
$I = \int t^{-1/2} dt + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
$I = 2\sqrt{t} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{(x-2)^2 - 3^2}| + C$.
$I = 2\sqrt{x^2-4x-5} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{x^2-4x-5}| + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\cos (x+4) \cos (x+2)}$.
અંશ અને છેદને $\sin 2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin 2}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
અહીં $2 = (x+4) - (x+2)$ હોવાથી:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin [(x+4)-(x+2)]}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
સૂત્ર $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin (x+4) \cos (x+2) - \cos (x+4) \sin (x+2)}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
$I = \frac{1}{\sin 2} \int [\tan (x+4) - \tan (x+2)] d x$.
$\tan x$ નું સંકલન $\log |\sec x|$ થાય છે:
$I = \frac{1}{\sin 2} [\log |\sec (x+4)| - \log |\sec (x+2)|] + C$.
$I = \frac{1}{\sin 2} \log \left|\frac{\sec (x+4)}{\sec (x+2)}\right| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sqrt{2}(\sin x + \cos x)}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$,તેથી $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = -1$. જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = 0$.
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} [\sin^{-1} t]_{-1}^0$.
$I = \sqrt{2} [\sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1)] = \sqrt{2} [0 - (-\pi/2)] = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.
તેથી,$\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$. તો $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{7 + 9(1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{16 - 9t^2}$.
$I = \frac{1}{9} \int_{-1}^0 \frac{dt}{(4/3)^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2(4/3)} \left[ \log \left| \frac{4/3 + t}{4/3 - t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{24} \left[ \log \left| \frac{4+3t}{4-3t} \right| \right]_{-1}^0$.
$I = \frac{1}{24} [\log(1) - \log| (4-3)/(4+3) |] = \frac{1}{24} [0 - \log(1/7)] = \frac{1}{24} \log 7$.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y=(\alpha+\beta x) e^{p x}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p(\alpha+\beta x) e^{p x}$
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p y$ (ii)
(ii) પરથી,આપણને મળે છે $\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$.
(ii) નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = \beta p e^{p x} + p y^{\prime}$
$\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = p(y^{\prime} - p y) + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = p y^{\prime} - p^2 y + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = 2 p y^{\prime} - p^2 y$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y^{\prime \prime} - 2 p y^{\prime} + p^2 y = 0$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$.
$x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $y' = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમત મૂકતા: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
$\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$.
$y(1) = 1$ હોવાથી,$x = 1$ ત્યારે $v = \frac{y}{x} = 1$.
$\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$,જેનો અર્થ છે કે $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે:
$\frac{dx}{dy} = e^{-y} - x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + x = e^{-y}$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^{-y}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^y = \int (e^{-y} \cdot e^y) dy + C$.
$x \cdot e^y = \int 1 dy + C$.
$x \cdot e^y = y + C$.
$x = e^{-y}(y + C)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની ગણતરી કરીએ છીએ,જે આ સદિશો દ્વારા રચાયેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2((-2)(-2) - (3)(1)) - (-3)((1)(-2) - (3)(3)) + 1((1)(1) - (-2)(3))$
$\Delta = 2(4 - 3) + 3(-2 - 9) + 1(1 + 6)$
$\Delta = 2(1) + 3(-11) + 1(7)$
$\Delta = 2 - 33 + 7 = -24$
અહીં અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\Delta \neq 0$ હોવાથી,આપેલા સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.

(B) આપેલ છે કે $a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે, તેથી $a$ એ સદિશ $b \times c$ ને સમાંતર છે. આમ, આપણે $a = k(b \times c)$ લખી શકીએ.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $c \cdot (a \times b)$ ને ચક્રીય ક્રમના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય: $c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c)$.
કારણ કે $a$ એ $b \times c$ ને સમાંતર છે, $a$ અને $b \times c$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ અથવા $\pi$ છે. $|a|=2$ આપેલ હોવાથી, $a = \pm 2 \frac{b \times c}{|b \times c|}$.
પ્રથમ, ક્રોસ પ્રોડક્ટ $b \times c$ નું માન શોધો:
$|b \times c| = |b| |c| \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$.
હવે, આ કિંમતને અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c) = |a| |b \times c| \cos(0) = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે,$a+b+\sqrt{3} c=0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a+b = -\sqrt{3} c$ મળે છે.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા અને જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$.
કારણ કે $a, b, c$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$.
$2 + 2 \cos \theta = 3$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$.
સદિશો $b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$b \cdot c = 0$ થાય.
$a$ પર $b$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot b}{|a|}$ છે અને $a$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot c}{|a|}$ છે.
બંને પ્રક્ષેપો સમાન હોવાથી,$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|}$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = a \cdot c$.
હવે,$|a-b+c|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|a-b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$|a-b+c|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot b) - 2(0)$.
$|a-b+c|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|a-b+c| = \sqrt{14}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ છે. તો $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b}+\vec{d}$ થાય.
$P$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\vec{d}}{2}$ થાય.
ધારો કે $Q$ એ $AC$ ને $\lambda:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $BP$ ને $\mu:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$AC$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\lambda(\vec{b}+\vec{d}) + 1(\vec{0})}{\lambda+1} = \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{b} + \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{d}$ થાય.
$BP$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\mu(\frac{\vec{d}}{2}) + 1(\vec{b})}{\mu+1} = \frac{1}{\mu+1}\vec{b} + \frac{\mu}{2(\mu+1)}\vec{d}$ થાય.
$\vec{b}$ અને $\vec{d}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{\mu+1}$ અને $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)}$.
આના પરથી,$\frac{1}{\mu+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)} \Rightarrow \mu = 2$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\mu=2$ મૂકતા: $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
$3\lambda = \lambda+1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,$AQ:QC$ નો ગુણોત્તર $\lambda:1 = \frac{1}{2}:1 = 1:2$ થાય.

(B) બે રેખાઓના દિક્કોસાઈન $(l_1, m_1, n_1) = \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{C}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}\right)$ અને $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{3}{\sqrt{54}}, \frac{3}{\sqrt{54}}, -\frac{6}{\sqrt{54}}\right)$ આપેલ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટેની શરત $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{C}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) \left(-\frac{6}{\sqrt{54}}\right) = 0$
$\frac{-6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} + \frac{3C}{\sqrt{21}\sqrt{54}} - \frac{6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} = 0$
બંને બાજુ $\sqrt{21}\sqrt{54}$ વડે ગુણતા:
$-6 + 3C - 6 = 0$
$3C - 12 = 0$
$3C = 12$
$C = 4$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, 6)$ છે અને સમતલ $x + y + z - 9 = 0$ છે.
અહીં,$a = 1, b = 1, c = 1$ અને $d = -9$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{(1)(5) + (1)(2) + (1)(6) - 9}{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$
હવે,$x, y, z$ માટે ઉકેલતા:
$x - 5 = -\frac{8}{3} \Rightarrow x = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$
$y - 2 = -\frac{8}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$
$z - 6 = -\frac{8}{3} \Rightarrow z = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
આમ,બિંદુ $(5, 2, 6)$ નું પ્રતિબિંબ $(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ છે.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 2^4 = 16$.
ધારો કે $X$ એ છોકરીઓની સંખ્યા છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી બે છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \ge 2)$.
આની ગણતરી $P(X \ge 2) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1)\}$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X=0)$ માટે (કોઈ છોકરી નહીં,બધા છોકરાઓ): એકમાત્ર પરિણામ $\{BBBB\}$ છે,તેથી $P(X=0) = \frac{1}{16}$.
$P(X=1)$ માટે (બરાબર એક છોકરી): પરિણામો $\{GBBB, BGBB, BBGB, BBBG\}$ છે,તેથી $P(X=1) = \frac{4}{16}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - \left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) આપેલ છે: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{4}P(B)$.
તેમજ $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{2}P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{1}{4}P(B) = \frac{1}{8} \implies P(B) = \frac{1}{2}$.
$(I)$ $P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)} = \frac{1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]}{1-P(B)} = \frac{1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$. વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$(II)$ કારણ કે $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq 0$,$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક નથી. વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
$(III)$ $P(A|B)+P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1/8}{1/2} + \frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4-1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$. વિધાન $(III)$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર $(I)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $p$ એ $A$ થી રવાના થયેલ જહાજ $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના દર્શાવે છે.
તેથી,$p = \frac{9}{10} = 0.9$.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.
ધારો કે $X$ એ $n = 5$ જહાજોમાંથી $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચતા જહાજોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, 0.9)$ ને અનુસરે છે.
જરૂરી સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {}^5C_4 (0.9)^4 (0.1)^1 = 5 \times (0.9)^4 \times 0.1 = 0.5 \times (0.9)^4$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (0.9)^5 (0.1)^0 = 1 \times (0.9)^5 \times 1 = 0.9 \times (0.9)^4$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \geq 4) = 0.5(0.9)^4 + 0.9(0.9)^4 = (0.5 + 0.9)(0.9)^4 = 1.4(0.9)^4$.