TS EAMCET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta R_{cm} = 0$।
इसलिए,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$।
यहाँ,$m_1$ द्रव्यमान वाले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक ले जाया जाता है,इसलिए $\Delta r_1 = -d$ (यह मानते हुए कि द्रव्यमान केंद्र की ओर की दिशा ऋणात्मक है)।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $m_1 (-d) + m_2 \Delta r_2 = 0$।
$m_2 \Delta r_2 = m_1 d$।
$\Delta r_2 = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$।
अतः,द्रव्यमान केंद्र को मूल स्थिति पर बनाए रखने के लिए $m_2$ द्रव्यमान वाले कण को $\left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$ की दूरी तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(B) दिया गया है,पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 3 \ kg$ और उसका वेग $v_1 = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) \ m/s$ है।
दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 4 \ kg$ और उसका वेग $v_2 = (3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
मान रखने पर:
$3(2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) + 4(3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) = (3 + 4) v$
$(6 \hat{i}+9 \hat{j}+9 \hat{k}) + (12 \hat{i}+8 \hat{j}-12 \hat{k}) = 7 v$
$(6+12) \hat{i} + (9+8) \hat{j} + (9-12) \hat{k} = 7 v$
$18 \hat{i} + 17 \hat{j} - 3 \hat{k} = 7 v$
$v = \frac{1}{7}(18 \hat{i}+17 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$.

(A) माना $m_1 = 100 \,kg$ और $m_2 = 8100 \,kg$ दो द्रव्यमान हैं जो $d = 1 \,m$ की दूरी पर स्थित हैं।
माना $x$ वह दूरी है जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है (शून्य बिंदु),$m_1$ से।
शून्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए शर्त: $\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d-x)^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d-x}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{10}{x} = \frac{90}{1-x} \implies 10 - 10x = 90x \implies 100x = 10 \implies x = 0.1 \,m$।
$m_2$ से दूरी $d-x = 0.9 \,m$ है।
इस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{G m_1}{x} - \frac{G m_2}{d-x}$ है।
$V = -G \left( \frac{100}{0.1} + \frac{8100}{0.9} \right) = -G (1000 + 9000) = -10000 G$।
$V = -10000 \times 6.67 \times 10^{-11} = -6.67 \times 10^{-7} \,J/kg$।

(C) दिया है:
भारी यूरेनियम समस्थानिक का द्रव्यमान $(M_1)$ $= 238$ इकाई
हल्के यूरेनियम समस्थानिक का द्रव्यमान $(M_2)$ $= 235$ इकाई
हम जानते हैं कि $rms$ वेग $(v_{\text{rms}})$ का सूत्र है:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अतः,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$rms$ वेग के अंतर का भारी समस्थानिक के $rms$ वेग से प्रतिशत अनुपात:
$\text{अनुपात} = \left( \frac{v_{\text{rms, lighter}} - v_{\text{rms, heavier}}}{v_{\text{rms, heavier}}} \right) \times 100$
$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\text{अनुपात} = \left( \frac{\frac{1}{\sqrt{235}} - \frac{1}{\sqrt{238}}}{\frac{1}{\sqrt{238}}} \right) \times 100 = \left( \frac{\sqrt{238}}{\sqrt{235}} - 1 \right) \times 100$
$\text{अनुपात} = \left( \sqrt{\frac{238}{235}} - 1 \right) \times 100 \approx (\sqrt{1.01276} - 1) \times 100$
$\text{अनुपात} \approx (1.00636 - 1) \times 100 = 0.00636 \times 100 = 0.636 \% \approx 0.64 \%$

(A) सबसे पहले,पूरे निकाय को एक साथ मानें। निकाय का कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए निकाय का त्वरण $(a)$ न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{F}{m_1 + m_2}$.
अब,द्रव्यमान $m_1$ के लिए मुक्त निकाय आरेख $(FBD)$ पर विचार करें। $m_1$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $(T)$ है।
द्रव्यमान $m_1$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = m_1 \times a$.
त्वरण $(a)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = m_1 \times \left(\frac{F}{m_1 + m_2}\right)$.
अतः,डोरी में तनाव $T = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) F$ है।

(B) दिया है,डोरी में तनाव $(T) = 27 \,N$ है।
लटकते हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $(m) = 3 \,kg$ है।
माना निकाय का त्वरण $a$ है।
$3 \,kg$ द्रव्यमान वाले लटकते ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण है:
$m g - T = m a$
$3 \times 10 - 27 = 3 a$
$30 - 27 = 3 a$
$3 = 3 a$
$a = 1 \,m/s^2$.
क्षैतिज सतह पर गति कर रहे $M = 20 \,kg$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए,गति का समीकरण है:
$T - f_k = M a$
जहाँ $f_k = \mu M g$ गतिज घर्षण बल है।
$27 - \mu \times 20 \times 10 = 20 \times 1$
$27 - 200 \mu = 20$
$200 \mu = 27 - 20$
$200 \mu = 7$
$\mu = \frac{7}{200} = 0.035$.
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.035$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $R_1 = 2.0 \text{ cm}$ और $R_2 = 1.0 \text{ cm}$ है।
छोटे बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{R_2}$ है।
दो बुलबुलों के बीच का दबाव $P_{mid} = P_0 + \frac{4T}{R_1}$ है।
छोटे बुलबुले के अंदर और बड़े बुलबुले के बाहर के दबाव का अंतर $\Delta P_{total} = \frac{4T}{R_2} + \frac{4T}{R_1} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ है।
मान लीजिए समतुल्य बुलबुले की त्रिज्या $R$ है। अतः $\frac{4T}{R} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ है।
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$ है।
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2.0 \times 1.0}{2.0 + 1.0} \text{ cm} = \frac{2}{3} \text{ cm} = 0.667 \text{ cm}$ है।
मीटर में बदलने पर: $R = 0.667 \times 10^{-2} \text{ m} = 6.67 \times 10^{-3} \text{ m}$।

(B) माना बिंदु $B$ पर कण का वेग $v$ है।
चूंकि वस्तु मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए त्वरण $g$ है।
$BC$ अंतराल के लिए,लगा समय $t_1 = 2 \ s$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$BC = v(2) + \frac{1}{2}g(2)^2 = 2v + 2g$ --- $(i)$
$BD$ अंतराल के लिए,कुल समय $t_2 = 2 + 1 = 3 \ s$ है।
$BD = BC + CD = 2BC$ (क्योंकि $BC = CD$)।
$BD = v(3) + \frac{1}{2}g(3)^2 = 3v + 4.5g$
चूंकि $BD = 2BC$,इसलिए:
$2(2v + 2g) = 3v + 4.5g$
$4v + 4g = 3v + 4.5g$
$v = 0.5g$
अब,$AB$ अंतराल के लिए,माना लगा समय $t$ है। चूंकि वस्तु $A$ से मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$v = u + at \Rightarrow 0.5g = 0 + gt$
$t = 0.5 \ s$.

$(A)$ माना त्वरण $\alpha = 2 \,m/s^2$ है और मंदन $\beta$ है। माना त्वरित होने में लगा समय $t_1$ है और मंदित होने में लगा समय $t_2$ है। कुल समय $t = t_1 + t_2 = 20 \,s$ है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \alpha t_1 = \beta t_2$ है।
अतः,$t_1 = v_{max}/\alpha$ और $t_2 = v_{max}/\beta$ है।
कुल समय $t = v_{max}(1/\alpha + 1/\beta) = v_{max}(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}) = 20$ है।
कुल दूरी $s = \frac{1}{2} v_{max} t = 100 \,m$ है।
दूरी के सूत्र में $t = 20 \,s$ रखने पर: $100 = \frac{1}{2} \times v_{max} \times 20$ प्राप्त होता है।
$100 = 10 \times v_{max} \Rightarrow v_{max} = 10 \,m/s$।

(C) वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta = 2 \sqrt{gh} \cos 60^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $v_x = 2 \sqrt{gh} \times \frac{1}{2} = \sqrt{gh}$ है।
कण दोनों दीवारों के बीच $d = 2h$ की क्षैतिज दूरी तय करता है।
प्रक्षेप्य गति में वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है,इसलिए दीवारों के बीच यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t = \frac{2h}{\sqrt{gh}} = 2 \sqrt{\frac{h}{g}}$।

(A) द्रव स्तंभ का द्रव्यमान $M = 9 \text{ kg}$ है।
द्रव का घनत्व $\rho = 900 \text{ kg/m}^3$ है।
ट्यूब का आंतरिक व्यास $D = 2 \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ है।
ट्यूब का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\sqrt{\frac{\pi}{5}}\right)^2 = \frac{\pi^2}{5} \text{ m}^2$ है।
द्रव स्तंभ की कुल लंबाई $L$,$M = \rho A L$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $9 = 900 \times \frac{\pi^2}{5} \times L$.
$9 = 180 \pi^2 L \implies L = \frac{9}{180 \pi^2} = \frac{1}{20 \pi^2} \text{ m}$।
$U$-ट्यूब के लिए,दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ होता है।
$L = \frac{1}{20 \pi^2}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1 / (20 \pi^2)}{2 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{400 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{2}{20} = 0.1 \text{ s}$।

(A) दिया गया है: पहली डिस्क का द्रव्यमान $m_1 = M$,त्रिज्या $r_1 = R$,और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ है।
दूसरी डिस्क का द्रव्यमान $m_2 = \frac{1}{8} M$ और त्रिज्या $r_2 = R$ है।
दूसरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} M) R^2 = \frac{1}{16} M R^2$ है।
जब दूसरी डिस्क को पहली डिस्क पर रखा जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{8+1}{16} M R^2 = \frac{9}{16} M R^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L_{initial} = L_{final}$ है।
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\frac{1}{2} M R^2 \omega = \frac{9}{16} M R^2 \omega_{final}$
$\frac{1}{2} \omega = \frac{9}{16} \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{16}{18} \omega = \frac{8}{9} \omega$.

(D) दिया गया है: स्लैब का क्षेत्रफल $(A) = 3600 \, cm^2 = 0.36 \, m^2$.
मोटाई $(d) = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
तापमान का अंतर $(\Delta \theta) = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \, K$.
समय $(t) = 1 \, \text{घंटा } = 3600 \, s$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $(m) = 4.8 \, kg$.
गलन की गुप्त ऊष्मा $(L) = 3.36 \times 10^5 \, J/kg$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m \times L = 4.8 \times 3.36 \times 10^5 \, J$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = \frac{K A \Delta \theta}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 0.36 \times 100}{0.1}$.
$\frac{1612800}{3600} = K \times 360$.
$448 = K \times 360$.
$K = \frac{448}{360} \approx 1.24 \, J \, s^{-1} \, m^{-1} \, K^{-1}$.

(A) दिया गया है: कृष्णिका का तापमान $T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \,K$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1 \,m^2$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \,W / m^2 / K^4$.
समय $t = 1 \,minute = 60 \,seconds$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ है।
$P = 5.7 \times 10^{-8} \times 1 \times (1000)^4 = 5.7 \times 10^{-8} \times 10^{12} = 5.7 \times 10^4 \,W$.
कुल विकिरित ऊष्मा $Q = P \times t$.
$Q = 5.7 \times 10^4 \times 60 = 342 \times 10^4 = 34.2 \times 10^5 \,J$.

(D) दिया गया है: $n = 2$ मोल। आयतन $V$ से बढ़कर $2V$ हो जाता है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_1 = P \Delta V = P(2V - V) = PV$ है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_2 = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})$ है।
चूंकि $PV = nRT$,हम $nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$W_2 = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln(2)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,चूंकि $W_1 = PV$,हमें $W_2 = W_1 \ln(2)$ प्राप्त होता है।

(A) $F = A \cos(Bx) + C \cos(Dt)$ व्यंजक में,त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
अतः,$Bx$ और $Dt$ की विमाएँ एक नियतांक (विमाहीन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[Bx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [x^{-1}] = [L^{-1}]$.
$[Dt] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D] = [t^{-1}] = [T^{-1}]$.
अब,हम $\left(\frac{D}{B}\right)$ की विमा ज्ञात करते हैं:
$\left[\frac{D}{B}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
चूँकि $[L T^{-1}]$ वेग की विमा को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) स्रोत की आवृत्ति $f = 340 \,Hz$ है और ध्वनि का वेग $v = 340 \,m/s$ है।
ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \,m = 100 \,cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $l$, $l = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n=1$ के लिए, $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \,cm$.
$n=2$ के लिए, $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \,cm$.
$n=3$ के लिए, $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100}{4} = 125 \,cm$.
चूँकि नली की कुल लंबाई $120 \,cm$ है, वायु स्तंभ की संभावित लंबाई $25 \,cm$ और $75 \,cm$ है।
तली से जल स्तर की ऊँचाई $h$ को $h = L - l$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L = 120 \,cm$ नली की कुल लंबाई है।
$l_1 = 25 \,cm$ के लिए, $h_1 = 120 - 25 = 95 \,cm = 0.95 \,m$.
$l_2 = 75 \,cm$ के लिए, $h_2 = 120 - 75 = 45 \,cm = 0.45 \,m$.
जल स्तर की न्यूनतम ऊँचाई $0.45 \,m$ है।

(D) किसी स्प्रिंग को $x$ विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,स्प्रिंग को $x$ तक खींचा जाता है। संचित स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} k x^2$ है।
फिर,इसे $y$ और खींचा जाता है,जिससे कुल विस्तार $(x + y)$ हो जाता है। संचित स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} k (x + y)^2$ है।
दूसरे खिंचाव के दौरान किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} k (x + y)^2 - \frac{1}{2} k x^2$.
$(x + y)^2$ पद का विस्तार करने पर:
$W = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy - x^2) = \frac{1}{2} k (y^2 + 2xy)$.
$y$ को कॉमन लेने पर:
$W = \frac{ky}{2} (2x + y)$.

(A) गोलक के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने हेतु,सबसे निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_0 = \sqrt{5gL}$ होता है।
सबसे निचले बिंदु और उस बिंदु के बीच जहाँ डोरी क्षैतिज है ($L$ ऊँचाई पर),ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{1}{2}m(5gL) = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{5}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 + gL \implies \frac{3}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 \implies v^2 = 3gL$.
क्षैतिज स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. अभिकेंद्र बल (क्षैतिज): $F_x = \frac{mv^2}{L} = \frac{m(3gL)}{L} = 3mg$.
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल (ऊर्ध्वाधर): $F_y = mg$.
कुल बल $F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(3mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{9m^2g^2 + m^2g^2} = \sqrt{10}mg$.

(C) कण का प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
कण का अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = -3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = \hat{i} + 5 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{s} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{s} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) - (\hat{i} + 3 \hat{k})$
$\vec{s} = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (\hat{i} + 5 \hat{k}) \cdot (-4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$W = (1)(-4) + (0)(4) + (5)(2)$
$W = -4 + 0 + 10 = 6 \ J$.

(C) दिया गया है: धारिता $C = \frac{10^{-3}}{2 \pi} F$,प्रेरकत्व $L = \frac{100}{\pi} mH = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} H$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$,और आवृत्ति $f = 50 Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 10 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2 \pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ की गणना करें।
कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के अनुसार, जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ कक्षा से $n_1$ कक्षा में संक्रमण करता है, तो उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ होता है।
लाइमन श्रेणी के लिए, $n_1 = 1$। पहली रेखा के लिए $n_2 = 2$ लेने पर, $\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R Z^2$।
बामर श्रेणी के लिए, $n_1 = 2$। पहली रेखा के लिए $n_2 = 3$ लेने पर, $\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$।
दिया गया है कि $\lambda_L = 1215.4 \text{ Å}$, इसलिए $\lambda_B = 5.4 \times 1215.4 \text{ Å} = 6563.16 \text{ Å} \approx 6563 \text{ Å}$।

(C) मॉड्युलेशन इंडेक्स $m_a$ को संदेश सिग्नल के पीक वोल्टेज $(E_m)$ और वाहक तरंग के पीक वोल्टेज $(E_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
संदेश सिग्नल का पीक वोल्टेज,$E_m = 20 V$
वाहक तरंग का पीक वोल्टेज,$E_c = 30 V$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$m_a = \frac{E_m}{E_c}$
$m_a = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
अतः,मॉड्युलेशन इंडेक्स $0.67$ है।

(D) माना कि तीन प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं। समानांतर संयोजन के लिए तुल्यांकी प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ है।
दिया गया है कि $R_{\text{eq}} = 1 \Omega$,इसलिए $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$ है।
दो प्रतिरोधों का अनुपात $R_1 : R_2 = 1 : 2$ है,जिसका अर्थ है $R_2 = 2R_1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$।
हमें $R_1, R_2, R_3$ के लिए पूर्णांक मान खोजने हैं जो असमान हों और समीकरण को संतुष्ट करें।
यदि $R_1 = 2$ है,तो $R_2 = 4$ होगा। मान रखने पर: $\frac{3}{4} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_3 = 4$। यहाँ $R_2 = R_3$ हो जाता है,जो असमान होने की शर्त का उल्लंघन करता है।
यदि $R_1 = 3$ है,तो $R_2 = 6$ होगा। मान रखने पर: $\frac{3}{6} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} \Rightarrow R_3 = 2$। प्रतिरोध $3 \Omega, 6 \Omega, 2 \Omega$ हैं। ये असमान हैं और शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,प्रतिरोध $2 \Omega, 3 \Omega, 6 \Omega$ हैं। उच्चतम प्रतिरोध $6 \Omega$ है।

(D) प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$,सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है,जिससे $R = \frac{V^2}{P}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $P = 320 \ W$ और $V = 220 \ V$ दिया गया है,इसलिए $R = \frac{220^2}{320} \ \Omega$.
जब दो समान प्रतिरोधकों को $V_{total} = 110 \ V$ की आपूर्ति वोल्टेज के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक प्रतिरोधक पर वोल्टेज $V' = \frac{V_{total}}{2} = \frac{110}{2} = 55 \ V$ होता है।
प्रत्येक प्रतिरोधक में उत्पन्न शक्ति $P' = \frac{(V')^2}{R}$ है।
मान रखने पर: $P' = \frac{55^2}{R} = \frac{55^2}{220^2 / 320} = \frac{55^2 \times 320}{220^2}$.
चूंकि $\frac{55}{220} = \frac{1}{4}$,इसलिए $P' = (\frac{1}{4})^2 \times 320 = \frac{1}{16} \times 320 = 20 \ W$.

(B) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के सिद्धांत पर कार्य करता है। डी ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,गतिमान इलेक्ट्रॉनों के साथ $\lambda = \frac{h}{p}$ तरंगदैर्ध्य की एक तरंग जुड़ी होती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है। चूंकि इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक विभेदन क्षमता (resolution) प्राप्त कर सकते हैं।

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले एक आवेशित कण के लिए $V$ विभवांतर से त्वरित होने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
चूंकि $h$,$m$ और $q$ समान कण के लिए नियतांक हैं,इसलिए:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \frac{V_2^{1/2}}{V_1^{1/2}}$
इसे $V_2^{1/2} : V_1^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 0.005 \ H$,धारा $I = I_0 \sin \omega t$,$I_0 = 10 \ A$,और $\omega = 100 \pi \ rad/s$ है।
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है:
$e = M \frac{dI}{dt}$
धारा का मान रखने पर:
$e = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = M I_0 \omega \cos \omega t$
प्रेरित emf का अधिकतम मान $(e_{\max})$ तब होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$e_{\max} = M I_0 \omega$
मान रखने पर:
$e_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100 \pi$
$e_{\max} = 0.05 \times 100 \pi = 5 \pi \ V$
अतः,प्रेरित emf का अधिकतम मान $5 \pi \ V$ है।

(B) मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है। उनके बीच की दूरी $r$ है।
प्रारंभिक प्रतिकर्षण बल $F = \frac{k q^2}{r^2} = 3 \times 10^{-5} \,N$ है।
जब अनावेशित गोला $C$ गोले $A$ को स्पर्श करता है, तो आवेश $q$, $A$ और $C$ के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। अतः, $A$ पर आवेश $q/2$ और $C$ पर आवेश $q/2$ हो जाता है।
इसके बाद गोले $C$ को $A$ और $B$ के बीच मध्य में रखा जाता है। $C$ की $A$ और $B$ दोनों से दूरी $r/2$ है।
$A$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = \frac{k (q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = \frac{k q^2}{r^2} = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ (प्रतिकर्षी, $B$ की दिशा में)।
$B$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{BC} = \frac{k (q)(q/2)}{(r/2)^2} = 2 \frac{k q^2}{r^2} = 2F = 6 \times 10^{-5} \,N$ (प्रतिकर्षी, $A$ की दिशा में)।
$C$ पर लगने वाला नेट बल $F' = |F_{BC} - F_{AC}| = |2F - F| = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ है।

(B) एक आवेशित गोले के भीतर स्थिर वैद्युत विभव $V$ को $V = A r^2 + B$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$ विभव $V$ से $E = -\frac{dV}{dr}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$V$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = -\frac{d}{dr}(A r^2 + B) = -2 A r$.
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आयतन आवेश घनत्व $\rho$ विद्युत क्षेत्र $E$ से $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
गोलीय सममित वितरण के लिए,यह $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ हो जाता है।
$E = -2 A r$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2 A r)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2 A r^3) = \frac{1}{r^2} (-6 A r^2) = -6 A$.
अतः,आवेश घनत्व $\rho = -6 A \varepsilon_0$ है।

(B) समीकरण $A$ है $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$,जो स्थिर विद्युत के लिए गॉस का नियम है। यह बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स,सतह के भीतर निहित आवेश और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के बराबर होता है।
समीकरण $B$ है $\oint B \cdot dA = 0$,जो चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम है। इसका अर्थ है कि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।

(A) लंबाई के सीधे तार जिसमें $i$ धारा प्रवाहित हो रही है, के लिए लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए, केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ है।
केंद्रक पर कोण $\phi_1 = \phi_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ है।
तीनों भुजाओं के कारण कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 B_1 = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ है।
मान रखने पर: $B = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3})}{4.5 \times 10^{-2} / 2 \sqrt{3}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}}{4.5 \times 10^{-2}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 12}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$.

(A) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ का सूत्र $\mu = iA$ है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$q$ आवेश वाला कण जो $R$ त्रिज्या के वृत्त में $V$ चाल से गति कर रहा है,उसका आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{V}$ होता है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{qV}{2\pi R}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
अतः,$\mu = iA = \left(\frac{qV}{2\pi R}\right) \times (\pi R^2) = \frac{qVR}{2}$.
वृत्त के केंद्र के परितः कण का कोणीय संवेग $(L) = mVR$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{\mu}{L} = \frac{qVR / 2}{mVR} = \frac{q}{2m}$.

(A) माना पहले चुम्बक का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरे का $m_2 = 2m$ है। माना लंबाई $l_1 = l$ और $l_2 = 2l$ है।
छड़ चुम्बक का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{12}$ होता है।
अतः,$I_1 = \frac{m l^2}{12}$ और $I_2 = \frac{(2m)(2l)^2}{12} = \frac{8 m l^2}{12} = 8 I_1$ होगा।
अधिकतम बल-आघूर्ण $\tau_{max} = M B$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\tau_{max,1} = \tau_{max,2}$,इसलिए $M_1 B = M_2 B$,अर्थात $M_1 = M_2 = M$ होगा।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$ होता है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{8 I_1} \cdot \frac{M}{M}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया क्षय नियतांक,$\lambda = 7.9 \times 10^{-10} / s$।
नमूने की सक्रियता,$A = 55.3 \times 10^{11} \text{ विघटन/सेकंड}$।
हम जानते हैं कि सक्रियता $A$ और नाभिकों की संख्या $N$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \lambda N$
नाभिकों की संख्या $N$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$N = \frac{A}{\lambda}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = \frac{55.3 \times 10^{11}}{7.9 \times 10^{-10}}$
$N = 7.0 \times 10^{21}$
अतः,उस क्षण पर नाभिकों की संख्या $7.0 \times 10^{21}$ है।

(B) लेंस का रैखिक आवर्धन $m$,फोकस दूरी $f$ और वस्तु दूरी $u$ के संदर्भ में $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले लेंस के लिए,$m_1 = \frac{f_1}{f_1+u}$,जिसका अर्थ है $f_1 + u = \frac{f_1}{m_1}$,इसलिए $u = f_1(\frac{1}{m_1} - 1) = f_1(\frac{1-m_1}{m_1})$।
दूसरे लेंस के लिए,$m_2 = \frac{f_2}{f_2+u}$,जिसका अर्थ है $u = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$।
चूंकि वस्तु दूरी $u$ दोनों लेंसों के लिए समान है,इसलिए हमारे पास $f_1(\frac{1-m_1}{m_1}) = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$ है।
$f_1/f_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f_1}{f_2} = \frac{m_1(1-m_2)}{m_2(1-m_1)}$ प्राप्त होता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में उत्तल लेंस के लिए,$\frac{1}{f} = (\mu_c - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब इसे $\mu_l > \mu_c$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो पद $\left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right)$ ऋणात्मक हो जाता है क्योंकि $\frac{\mu_c}{\mu_l} < 1$ है।
चूंकि उत्तल लेंस के लिए पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ धनात्मक होता है,इसलिए नई फोकस दूरी $f'$ ऋणात्मक हो जाती है।
ऋणात्मक फोकस दूरी वाला लेंस अवतल या अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(A) टेलीस्कोप के विभेदन की सीमा (limit of resolution) का सूत्र है:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश का तरंगदैर्ध्य है और $d$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 6400 \text{ Å} = 6400 \times 10^{-10} \,m = 6.4 \times 10^{-7} \,m$
$d = 200 \,cm = 2 \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\theta = \frac{1.22 \times 6.4 \times 10^{-7}}{2}$
$\theta = 1.22 \times 3.2 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.904 \times 10^{-7} \,rad$
निकटतम सार्थक मान तक, $\theta \approx 3.9 \times 10^{-7} \,rad$ प्राप्त होता है।

(A) जंक्शन डायोड का डायनेमिक प्रतिरोध $(R_{\text{dyn}})$ वोल्टेज में परिवर्तन $(\Delta V)$ और धारा में परिवर्तन $(\Delta I)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन, $\Delta I = 12 \, mA = 12 \times 10^{-3} \, A$
वोल्टेज में परिवर्तन, $\Delta V = 0.6 \, V$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R_{\text{dyn}} = \frac{\Delta V}{\Delta I}$
$R_{\text{dyn}} = \frac{0.6}{12 \times 10^{-3}} = 50 \, \Omega$
नोट: प्रश्न में दिए गए मानों के अनुसार उत्तर $50 \, \Omega$ है। यदि धारा में परिवर्तन $1.2 \, mA$ माना जाए, तो उत्तर $500 \, \Omega$ प्राप्त होता है, जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(A) एक नैज अर्धचालक (intrinsic semiconductor) के लिए,इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n_e$ और होल सांद्रता $n_h$ नैज वाहक सांद्रता $n_i$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $n_e = n_h = 2 \times 10^8 \ m^{-3}$।
द्रव्यमान क्रिया का नियम कहता है कि $n_e \times n_h = n_i^2$।
इसलिए,$n_i^2 = (2 \times 10^8) \times (2 \times 10^8) = 4 \times 10^{16} \ m^{-6}$।
डोपिंग के बाद,नई इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n_e' = 4 \times 10^{10} \ m^{-3}$ है।
चूंकि एक निश्चित तापमान पर वाहक सांद्रता का गुणनफल स्थिर रहता है,इसलिए $n_e' \times n_h' = n_i^2$।
मान रखने पर: $(4 \times 10^{10}) \times n_h' = 4 \times 10^{16}$।
$n_h'$ के लिए हल करने पर: $n_h' = \frac{4 \times 10^{16}}{4 \times 10^{10}} = 10^6 \ m^{-3}$।