TS EAMCET 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન સ્થાને રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta R_{cm} = 0$.
તેથી,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$.
અહીં,$m_1$ દળ ધરાવતા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta r_1 = -d$ (ધારી લઈએ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફની દિશા ઋણ છે).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1 (-d) + m_2 \Delta r_2 = 0$.
$m_2 \Delta r_2 = m_1 d$.
$\Delta r_2 = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને મૂળ સ્થાને જાળવી રાખવા માટે $m_2$ દળ ધરાવતા કણને $\left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$ જેટલા અંતરે ખસેડવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે કે,પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 3 \ kg$ અને તેનો વેગ $v_1 = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) \ m/s$ છે.
બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 4 \ kg$ અને તેનો વેગ $v_2 = (3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
કિંમતો મૂકતા:
$3(2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) + 4(3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) = (3 + 4) v$
$(6 \hat{i}+9 \hat{j}+9 \hat{k}) + (12 \hat{i}+8 \hat{j}-12 \hat{k}) = 7 v$
$(6+12) \hat{i} + (9+8) \hat{j} + (9-12) \hat{k} = 7 v$
$18 \hat{i} + 17 \hat{j} - 3 \hat{k} = 7 v$
$v = \frac{1}{7}(18 \hat{i}+17 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$.

(A) ધારો કે $m_1 = 100 \,kg$ અને $m_2 = 8100 \,kg$ એ $d = 1 \,m$ ના અંતરે રહેલા દળ છે.
ધારો કે $x$ એ $m_1$ થી શૂન્ય ક્ષેત્રવાળા બિંદુનું અંતર છે.
ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાની શરત: $\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d-x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d-x}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{x} = \frac{90}{1-x} \implies 10 - 10x = 90x \implies 100x = 10 \implies x = 0.1 \,m$.
$m_2$ થી અંતર $d-x = 0.9 \,m$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = -\frac{G m_1}{x} - \frac{G m_2}{d-x}$ છે.
$V = -G \left( \frac{100}{0.1} + \frac{8100}{0.9} \right) = -G (1000 + 9000) = -10000 G$.
$V = -10000 \times 6.67 \times 10^{-11} = -6.67 \times 10^{-7} \,J/kg$.

(C) આપેલ છે:
ભારે યુરેનિયમ આઇસોટોપનું દળ $(M_1)$ $= 238$ એકમ
હલકા યુરેનિયમ આઇસોટોપનું દળ $(M_2)$ $= 235$ એકમ
આપણે જાણીએ છીએ કે $rms$ વેગ $(v_{\text{rms}})$ નું સૂત્ર:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
તેથી,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$rms$ વેગના તફાવતનો ભારે આઇસોટોપના $rms$ વેગ સાથેનો ટકાવારી ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \left( \frac{v_{\text{rms, lighter}} - v_{\text{rms, heavier}}}{v_{\text{rms, heavier}}} \right) \times 100$
$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ગુણોત્તર} = \left( \frac{\frac{1}{\sqrt{235}} - \frac{1}{\sqrt{238}}}{\frac{1}{\sqrt{238}}} \right) \times 100 = \left( \frac{\sqrt{238}}{\sqrt{235}} - 1 \right) \times 100$
$\text{ગુણોત્તર} = \left( \sqrt{\frac{238}{235}} - 1 \right) \times 100 \approx (\sqrt{1.01276} - 1) \times 100$
$\text{ગુણોત્તર} \approx (1.00636 - 1) \times 100 = 0.00636 \times 100 = 0.636 \% \approx 0.64 \%$

(A) સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રને એક ગણીએ. તંત્રનું કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તંત્રનો પ્રવેગ $(a)$ નીચે મુજબ મળે: $a = \frac{F}{m_1 + m_2}$.
હવે,$m_1$ દળ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ વિચારીએ. $m_1$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $(T)$ છે.
$m_1$ દળ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા: $T = m_1 \times a$.
પ્રવેગ $(a)$ ની કિંમત મૂકતા: $T = m_1 \times \left(\frac{F}{m_1 + m_2}\right)$.
તેથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) F$ છે.

(B) આપેલ છે,દોરીમાં તણાવ $(T) = 27 \,N$.
લટકતા બ્લોકનું દળ $(m) = 3 \,kg$.
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
$3 \,kg$ દળના લટકતા બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$m g - T = m a$
$3 \times 10 - 27 = 3 a$
$30 - 27 = 3 a$
$3 = 3 a$
$a = 1 \,m/s^2$.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરતા $M = 20 \,kg$ દળના પદાર્થ માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$T - f_k = M a$
જ્યાં $f_k = \mu M g$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
$27 - \mu \times 20 \times 10 = 20 \times 1$
$27 - 200 \mu = 20$
$200 \mu = 27 - 20$
$200 \mu = 7$
$\mu = \frac{7}{200} = 0.035$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.035$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે।
ધારો કે $R_1 = 2.0 \text{ cm}$ અને $R_2 = 1.0 \text{ cm}$.
નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{R_2}$ છે.
બે પરપોટા વચ્ચેનું દબાણ $P_{mid} = P_0 + \frac{4T}{R_1}$ છે.
નાના પરપોટાની અંદર અને મોટા પરપોટાની બહારના દબાણનો તફાવત $\Delta P_{total} = \frac{4T}{R_2} + \frac{4T}{R_1} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ છે.
ધારો કે સમતુલ્ય પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી $\frac{4T}{R} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$.
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$.
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2.0 \times 1.0}{2.0 + 1.0} \text{ cm} = \frac{2}{3} \text{ cm} = 0.667 \text{ cm}$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 0.667 \times 10^{-2} \text{ m} = 6.67 \times 10^{-3} \text{ m}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $B$ પર કણનો વેગ $v$ છે.
પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $g$ છે.
$BC$ અંતર માટે,લાગતો સમય $t_1 = 2 \ s$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$BC = v(2) + \frac{1}{2}g(2)^2 = 2v + 2g$ --- $(i)$
$BD$ અંતર માટે,કુલ સમય $t_2 = 2 + 1 = 3 \ s$ છે.
$BD = BC + CD = 2BC$ (કારણ કે $BC = CD$).
$BD = v(3) + \frac{1}{2}g(3)^2 = 3v + 4.5g$
$BD = 2BC$ હોવાથી:
$2(2v + 2g) = 3v + 4.5g$
$4v + 4g = 3v + 4.5g$
$v = 0.5g$
હવે,$AB$ અંતર માટે,ધારો કે લાગતો સમય $t$ છે. પદાર્થ $A$ થી મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$v = u + at \Rightarrow 0.5g = 0 + gt$
$t = 0.5 \ s$.

$(A)$ ધારો કે પ્રવેગ $\alpha = 2 \,m/s^2$ અને પ્રતિપ્રવેગ $\beta$ છે। ધારો કે પ્રવેગિત થવા માટે લીધેલ સમય $t_1$ અને પ્રતિપ્રવેગિત થવા માટે લીધેલ સમય $t_2$ છે। કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 20 \,s$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \alpha t_1 = \beta t_2$.
આમ,$t_1 = v_{max}/\alpha$ અને $t_2 = v_{max}/\beta$.
કુલ સમય $t = v_{max}(1/\alpha + 1/\beta) = v_{max}(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}) = 20$.
કુલ અંતર $s = \frac{1}{2} v_{max} t = 100 \,m$.
અંતરના સૂત્રમાં $t = 20 \,s$ મૂકતા: $100 = \frac{1}{2} \times v_{max} \times 20$.
$100 = 10 \times v_{max} \Rightarrow v_{max} = 10 \,m/s$.

(C) વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta = 2 \sqrt{gh} \cos 60^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $v_x = 2 \sqrt{gh} \times \frac{1}{2} = \sqrt{gh}$ મળે.
કણ બે દીવાલો વચ્ચે $d = 2h$ જેટલું સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી,દીવાલો વચ્ચે મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{2h}{\sqrt{gh}} = 2 \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(A) પ્રવાહી સ્તંભનું દળ $M = 9 \text{ kg}$ છે.
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho = 900 \text{ kg/m}^3$ છે.
ટ્યુબનો આંતરિક વ્યાસ $D = 2 \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ થાય.
ટ્યુબનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\sqrt{\frac{\pi}{5}}\right)^2 = \frac{\pi^2}{5} \text{ m}^2$ છે.
પ્રવાહી સ્તંભની કુલ લંબાઈ $L$ એ $M = \rho A L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 = 900 \times \frac{\pi^2}{5} \times L$.
$9 = 180 \pi^2 L \implies L = \frac{9}{180 \pi^2} = \frac{1}{20 \pi^2} \text{ m}$.
$U$-ટ્યુબ માટે,દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ છે.
$L = \frac{1}{20 \pi^2}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1 / (20 \pi^2)}{2 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{400 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{2}{20} = 0.1 \text{ s}$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ તકતીનું દળ $m_1 = M$,ત્રિજ્યા $r_1 = R$,અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$.
પ્રથમ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
બીજી તકતીનું દળ $m_2 = \frac{1}{8} M$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = R$ છે.
બીજી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} M) R^2 = \frac{1}{16} M R^2$ છે.
જ્યારે બીજી તકતીને પ્રથમ તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{8+1}{16} M R^2 = \frac{9}{16} M R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_{initial} = L_{final}$.
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\frac{1}{2} M R^2 \omega = \frac{9}{16} M R^2 \omega_{final}$
$\frac{1}{2} \omega = \frac{9}{16} \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{16}{18} \omega = \frac{8}{9} \omega$.

(D) આપેલ છે: સ્લેબનું ક્ષેત્રફળ $(A) = 3600 \, cm^2 = 0.36 \, m^2$.
જાડાઈ $(d) = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
તાપમાનનો તફાવત $(\Delta \theta) = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \, K$.
સમય $(t) = 1 \, \text{કલાક } = 3600 \, s$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $(m) = 4.8 \, kg$.
ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા $(L) = 3.36 \times 10^5 \, J/kg$.
બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \times L = 4.8 \times 3.36 \times 10^5 \, J$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{K A \Delta \theta}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 0.36 \times 100}{0.1}$.
$\frac{1612800}{3600} = K \times 360$.
$448 = K \times 360$.
$K = \frac{448}{360} \approx 1.24 \, J \, s^{-1} \, m^{-1} \, K^{-1}$.

(A) આપેલ છે: કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન $T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \,K$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \,m^2$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \,W / m^2 / K^4$.
સમય $t = 1 \,minute = 60 \,seconds$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે।
$P = 5.7 \times 10^{-8} \times 1 \times (1000)^4 = 5.7 \times 10^{-8} \times 10^{12} = 5.7 \times 10^4 \,W$.
કુલ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $Q = P \times t$.
$Q = 5.7 \times 10^4 \times 60 = 342 \times 10^4 = 34.2 \times 10^5 \,J$.

(D) આપેલ છે: $n = 2$ મોલ. કદ $V$ થી વધીને $2V$ થાય છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W_1 = P \Delta V = P(2V - V) = PV$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W_2 = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,તેથી $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,
$W_2 = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln(2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$W_1 = PV$ હોવાથી,આપણને $W_2 = W_1 \ln(2)$ મળે છે.

(A) $F = A \cos(Bx) + C \cos(Dt)$ સમીકરણમાં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$Bx$ અને $Dt$ ના પરિમાણો અચળાંક (પરિમાણરહિત) ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[Bx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [x^{-1}] = [L^{-1}]$.
$[Dt] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D] = [t^{-1}] = [T^{-1}]$.
હવે,આપણે $\left(\frac{D}{B}\right)$ નું પરિમાણ શોધીએ:
$\left[\frac{D}{B}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
કારણ કે $[L T^{-1}]$ એ વેગનું પરિમાણ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 340 \,Hz$ છે અને ધ્વનિનો વેગ $v = 340 \,m/s$ છે.
ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \,m = 100 \,cm$ છે.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ એ $l = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ શરતનું પાલન કરે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n=1$ માટે, $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \,cm$.
$n=2$ માટે, $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \,cm$.
$n=3$ માટે, $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100}{4} = 125 \,cm$.
ટ્યુબની કુલ લંબાઈ $120 \,cm$ હોવાથી, હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $25 \,cm$ અને $75 \,cm$ છે.
તળિયેથી પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h$ એ $h = L - l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L = 120 \,cm$ એ ટ્યુબની કુલ લંબાઈ છે.
$l_1 = 25 \,cm$ માટે, $h_1 = 120 - 25 = 95 \,cm = 0.95 \,m$.
$l_2 = 75 \,cm$ માટે, $h_2 = 120 - 75 = 45 \,cm = 0.45 \,m$.
પાણીના સ્તરની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $0.45 \,m$ છે.

(D) સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી લંબાઈ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી ખેંચવામાં આવે છે. સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U_1 = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
ત્યારબાદ,તેને વધુ $y$ જેટલી ખેંચવામાં આવે છે,તેથી કુલ લંબાઈ $(x + y)$ થાય છે. સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2} k (x + y)^2$ છે.
બીજા ખેંચાણ દરમિયાન થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} k (x + y)^2 - \frac{1}{2} k x^2$.
$(x + y)^2$ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$W = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy - x^2) = \frac{1}{2} k (y^2 + 2xy)$.
$y$ સામાન્ય લેતા:
$W = \frac{ky}{2} (2x + y)$.

(A) ગોળા માટે શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચલા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_0 = \sqrt{5gL}$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને જ્યાં દોરી સમક્ષિતિજ છે (ઊંચાઈ $L$ પર) તે બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{1}{2}m(5gL) = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{5}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 + gL \implies \frac{3}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 \implies v^2 = 3gL$.
સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો:
$1$. કેન્દ્રગામી બળ (સમક્ષિતિજ): $F_x = \frac{mv^2}{L} = \frac{m(3gL)}{L} = 3mg$.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (શિરોલંબ): $F_y = mg$.
પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(3mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{9m^2g^2 + m^2g^2} = \sqrt{10}mg$.

(C) કણનો પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = \hat{i} + 3 \hat{k}$ છે.
કણનો અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = -3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = \hat{i} + 5 \hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{s} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) - (\hat{i} + 3 \hat{k})$
$\vec{s} = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (\hat{i} + 5 \hat{k}) \cdot (-4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$W = (1)(-4) + (0)(4) + (5)(2)$
$W = -4 + 0 + 10 = 6 \ J$.

(C) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = \frac{10^{-3}}{2 \pi} F$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{100}{\pi} mH = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} H$,અવરોધ $R = 10 \Omega$,અને આવૃત્તિ $f = 50 Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 10 \Omega$ ગણો.
ત્યારબાદ,કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2 \pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ ગણો.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ મુજબ, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ કક્ષામાંથી $n_1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે, $n_1 = 1$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 2$ લેતા, $\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R Z^2$.
બામર શ્રેણી માટે, $n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 3$ લેતા, $\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.
આપેલ છે કે $\lambda_L = 1215.4 \text{ Å}$, તેથી $\lambda_B = 5.4 \times 1215.4 \text{ Å} = 6563.16 \text{ Å} \approx 6563 \text{ Å}$.

(C) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m_a$ એ મેસેજ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(E_m)$ અને કેરિયર વેવના પીક વોલ્ટેજ $(E_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ,$E_m = 20 V$
કેરિયર વેવનો પીક વોલ્ટેજ,$E_c = 30 V$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m_a = \frac{E_m}{E_c}$
$m_a = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.67$ છે.

(D) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે. સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{\text{eq}} = 1 \Omega$,તેથી $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$.
બે અવરોધોનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = 2R_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$.
આપણે $R_1, R_2, R_3$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો શોધવાની છે જે અસમાન હોય અને સમીકરણનું પાલન કરે.
જો $R_1 = 2$ લઈએ,તો $R_2 = 4$ થાય. કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{4} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_3 = 4$. અહીં $R_2 = R_3$ થાય છે,જે અસમાન હોવાની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
જો $R_1 = 3$ લઈએ,તો $R_2 = 6$ થાય. કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{6} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} \Rightarrow R_3 = 2$. અવરોધો $3 \Omega, 6 \Omega, 2 \Omega$ છે. આ અસમાન છે અને શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,અવરોધો $2 \Omega, 3 \Omega, 6 \Omega$ છે. સૌથી વધુ અવરોધ $6 \Omega$ છે.

(D) દરેક અવરોધનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જે $R = \frac{V^2}{P}$ આપે છે.
અહીં $P = 320 \ W$ અને $V = 220 \ V$ આપેલ છે,તેથી $R = \frac{220^2}{320} \ \Omega$.
જ્યારે બે સમાન અવરોધોને $V_{total} = 110 \ V$ ના સપ્લાય વોલ્ટેજ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V' = \frac{V_{total}}{2} = \frac{110}{2} = 55 \ V$ થાય છે.
દરેક અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P' = \frac{(V')^2}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P' = \frac{55^2}{R} = \frac{55^2}{220^2 / 320} = \frac{55^2 \times 320}{220^2}$.
કારણ કે $\frac{55}{220} = \frac{1}{4}$,તેથી $P' = (\frac{1}{4})^2 \times 320 = \frac{1}{16} \times 320 = 20 \ W$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવેલા ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. ડી બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણા મુજબ,ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન સાથે $\lambda = \frac{h}{p}$ તરંગલંબાઇ ધરાવતો તરંગ સંકળાયેલો હોય છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણી નાની હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન ક્ષમતા પ્રાપ્ત કરી શકે છે.

(B) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા વીજભારિત કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
અહીં $h$,$m$ અને $q$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \frac{V_2^{1/2}}{V_1^{1/2}}$
જેને $V_2^{1/2} : V_1^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 0.005 \ H$,પ્રવાહ $I = I_0 \sin \omega t$,$I_0 = 10 \ A$,અને $\omega = 100 \pi \ rad/s$.
બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$e = M \frac{dI}{dt}$
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા:
$e = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = M I_0 \omega \cos \omega t$
પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$e_{\max} = M I_0 \omega$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100 \pi$
$e_{\max} = 0.05 \times 100 \pi = 5 \pi \ V$
આમ,પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $5 \pi \ V$ છે.

(B) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે.
પ્રારંભિક અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{k q^2}{r^2} = 3 \times 10^{-5} \,N$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ગોળા $A$ ને સ્પર્શે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર $q$ એ $A$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ, $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q/2$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q/2$ થાય છે.
ત્યારબાદ ગોળા $C$ ને $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે. $C$ નું $A$ અને $B$ બંનેથી અંતર $r/2$ છે.
$A$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{k (q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = \frac{k q^2}{r^2} = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ (અપાકર્ષી, $B$ તરફની દિશામાં).
$B$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{k (q)(q/2)}{(r/2)^2} = 2 \frac{k q^2}{r^2} = 2F = 6 \times 10^{-5} \,N$ (અપાકર્ષી, $A$ તરફની દિશામાં).
$C$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F' = |F_{BC} - F_{AC}| = |2F - F| = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ છે.

(B) એક વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $V = A r^2 + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
$V$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$E = -\frac{d}{dr}(A r^2 + B) = -2 A r$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ સમીકરણ દ્વારા જોડાયેલ છે.
ગોલીય સંમિતિ ધરાવતા વિતરણ માટે,આ સમીકરણ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ બને છે.
$E = -2 A r$ મૂકતા:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2 A r)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2 A r^3) = \frac{1}{r^2} (-6 A r^2) = -6 A$.
તેથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = -6 A \varepsilon_0$ છે.

(B) સમીકરણ $A$ એ $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે,જે સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્ર માટે ગૌસનો નિયમ છે. તે દર્શાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
સમીકરણ $B$ એ $\oint B \cdot dA = 0$ છે,જે ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ છે. તે સૂચવે છે કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી,એટલે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(A) લંબાઈના સીધા તાર માટે જેમાં $i$ પ્રવાહ વહે છે, લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર પર ખૂણાઓ $\phi_1 = \phi_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ છે.
ત્રણેય બાજુઓને કારણે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 B_1 = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3})}{4.5 \times 10^{-2} / 2 \sqrt{3}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}}{4.5 \times 10^{-2}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 12}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$.

(A) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ નું સૂત્ર $\mu = iA$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $V$ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{V}$ થાય.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{qV}{2\pi R}$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,$\mu = iA = \left(\frac{qV}{2\pi R}\right) \times (\pi R^2) = \frac{qVR}{2}$.
વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ કણનું કોણીય વેગમાન $(L) = mVR$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\mu}{L} = \frac{qVR / 2}{mVR} = \frac{q}{2m}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ચુંબકનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા ચુંબકનું દળ $m_2 = 2m$ છે. ધારો કે લંબાઈ $l_1 = l$ અને $l_2 = 2l$ છે.
ગજિયા ચુંબકની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{12}$ છે.
તેથી,$I_1 = \frac{m l^2}{12}$ અને $I_2 = \frac{(2m)(2l)^2}{12} = \frac{8 m l^2}{12} = 8 I_1$ થાય.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = M B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\tau_{max,1} = \tau_{max,2}$,તેથી $M_1 B = M_2 B$,એટલે કે $M_1 = M_2 = M$ થાય.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{8 I_1} \cdot \frac{M}{M}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ મળે.

(A) આપેલ ક્ષય અચળાંક,$\lambda = 7.9 \times 10^{-10} / s$.
નમૂનાની એક્ટિવિટી,$A = 55.3 \times 10^{11} \text{ વિઘટન/સેકન્ડ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક્ટિવિટી $A$ અને ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$A = \lambda N$
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ શોધવા માટે,સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય:
$N = \frac{A}{\lambda}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{55.3 \times 10^{11}}{7.9 \times 10^{-10}}$
$N = 7.0 \times 10^{21}$
તેથી,તે ક્ષણે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $7.0 \times 10^{21}$ છે.

(B) લેન્સની રેખીય મોટવણી $m$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે,$m_1 = \frac{f_1}{f_1+u}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 + u = \frac{f_1}{m_1}$,તેથી $u = f_1(\frac{1}{m_1} - 1) = f_1(\frac{1-m_1}{m_1})$.
બીજા લેન્સ માટે,$m_2 = \frac{f_2}{f_2+u}$,જેનો અર્થ છે કે $u = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$.
વસ્તુ અંતર $u$ બંને લેન્સ માટે સમાન હોવાથી,આપણને $f_1(\frac{1-m_1}{m_1}) = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$ મળે છે.
$f_1/f_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f_1}{f_2} = \frac{m_1(1-m_2)}{m_2(1-m_1)}$ મળે છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f} = (\mu_c - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે તેને $\mu_l > \mu_c$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પદ $\left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right)$ ઋણ બને છે કારણ કે $\frac{\mu_c}{\mu_l} < 1$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ધન હોવાથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ ઋણ મળે છે.
ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો લેન્સ અંતર્ગોળ અથવા અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 6400 \text{ Å} = 6400 \times 10^{-10} \,m = 6.4 \times 10^{-7} \,m$
$d = 200 \,cm = 2 \,m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 6.4 \times 10^{-7}}{2}$
$\theta = 1.22 \times 3.2 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.904 \times 10^{-7} \,rad$
નજીકના સાર્થક અંક સુધી ગણતરી કરતા, $\theta \approx 3.9 \times 10^{-7} \,rad$ મળે છે.

(A) જંકશન ડાયોડનો ડાયનેમિક અવરોધ $(R_{\text{dyn}})$ એ વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર $(\Delta V)$ અને પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફાર, $\Delta I = 12 \, mA = 12 \times 10^{-3} \, A$
વોલ્ટેજમાં ફેરફાર, $\Delta V = 0.6 \, V$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R_{\text{dyn}} = \frac{\Delta V}{\Delta I}$
$R_{\text{dyn}} = \frac{0.6}{12 \times 10^{-3}} = 50 \, \Omega$
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ કિંમતો મુજબ જવાબ $50 \, \Omega$ આવે છે. જો પ્રવાહનો ફેરફાર $1.2 \, mA$ લેવામાં આવે, તો જવાબ $500 \, \Omega$ મળે છે, જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ઇન્ટ્રિન્સિક સેમિકન્ડક્ટર માટે,ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e$ અને હોલ સાંદ્રતા $n_h$ એ ઇન્ટ્રિન્સિક કેરિયર સાંદ્રતા $n_i$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: $n_e = n_h = 2 \times 10^8 \ m^{-3}$.
માસ એક્શનના નિયમ મુજબ $n_e \times n_h = n_i^2$.
તેથી,$n_i^2 = (2 \times 10^8) \times (2 \times 10^8) = 4 \times 10^{16} \ m^{-6}$.
ડોપિંગ પછી,નવી ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e' = 4 \times 10^{10} \ m^{-3}$ છે.
આપેલ તાપમાને કેરિયર સાંદ્રતાનો ગુણાકાર અચળ રહેતો હોવાથી,$n_e' \times n_h' = n_i^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(4 \times 10^{10}) \times n_h' = 4 \times 10^{16}$.
$n_h'$ માટે ઉકેલતા: $n_h' = \frac{4 \times 10^{16}}{4 \times 10^{10}} = 10^6 \ m^{-3}$.