TS EAMCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $|z-1|+|z-5|$ व्यंजक सम्मिश्र तल में एक सम्मिश्र संख्या $z$ की बिंदुओं $z_1 = 1$ और $z_2 = 5$ से दूरियों का योग दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी बिंदुओं $z, z_1, z_2$ के लिए,हमारे पास $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ होता है।
यहाँ,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$ है।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $z$,$1$ और $5$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित हो।
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(D) सबसे पहले,हम $7!$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं।
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
किसी संख्या $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times p_4^{d}$ के भाजकों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=4, b=2, c=1, d=1$ है।
भाजकों की संख्या $= (4+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60$।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
सबसे पहले,समीकरणों को मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ में लिखें।
पहले वृत्त के लिए: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,हमारे पास $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ है।
दूसरे वृत्त के लिए: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ से भाग देने पर $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ प्राप्त होता है। अतः,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$ है।
शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ लागू करने पर:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ से गुणा करने पर: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) दी गई असमिका $f(x) = 9mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।
$x$ से गुणा करने पर,$9mx^2 - x + 1 \geq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c \geq 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a = 9m$,$b = -1$,और $c = 1$ है।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(9m)(1) = 1 - 36m$ है।
शर्त के अनुसार,$1 - 36m \leq 0 \implies 36m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{36}$।
अतः,$m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{36}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{2015}$ और $\beta^{2015}$ हैं।
$\alpha^{2015} = \omega^{2015} = \omega^{3 \times 671 + 2} = \omega^2$।
$\beta^{2015} = (\omega^2)^{2015} = \omega^{4030} = \omega^{3 \times 1343 + 1} = \omega$।
नए मूलों का योग $\alpha^{2015} + \beta^{2015} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^{2015} \cdot \beta^{2015} = \omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।

(C) दिया गया समीकरण: $|x|^2-5|x|+6=0$
माना $|x|=y$ है। चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ होगा।
समीकरण $y^2-5y+6=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(y-2)(y-3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $y=2$ या $y=3$ मिलता है।
$|x|=y$ प्रतिस्थापित करने पर:
स्थिति $1$: $|x|=2 \Rightarrow x = \pm 2$।
स्थिति $2$: $|x|=3 \Rightarrow x = \pm 3$।
अतः,वास्तविक मूल $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ हैं।
इसलिए,वास्तविक मूलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है कि $x^3+x^2+2x+3=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -3$
मान लीजिए $f(x)=0$ के मूल $S_1 = \alpha+\beta$,$S_2 = \beta+\gamma$,$S_3 = \gamma+\alpha$ हैं।
ध्यान दें कि $S_1 = -1-\gamma$,$S_2 = -1-\alpha$,$S_3 = -1-\beta$ है।
$f(x)$ के मूलों का योग $S_1+S_2+S_3 = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(-1) = -2$ है।
दो मूलों के गुणनफल का योग $S_1S_2+S_2S_3+S_3S_1 = 3 + 2(\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3 + 2(-1) + 2 = 3$ है।
मूलों का गुणनफल $S_1S_2S_3 = -(1 + (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + \alpha\beta\gamma) = -(1 - 1 + 2 - 3) = 1$ है।
अतः,$f(x) = x^3 - (-2)x^2 + 3x - 1 = x^3+2x^2+3x-1$.

(D) दिया गया समीकरण $x^3-5x+4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
$x^3+px^2+qx+r=0$ से तुलना करने पर,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,सर्वसमिका के अनुसार $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -4$ है।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3(-4) = -12$।
इसलिए,$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2 = (-12)^2 = 144$।

(B) दिया गया है,$\bar{z}^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $\bar{z} = (a+ib)^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{z} = x-iy$,इसलिए $x-iy = (a+ib)^3$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $x-iy = (a^3-3ab^2) + i(3a^2b-b^3)$.
तुलना करने पर,$x = a^3-3ab^2$ और $-y = 3a^2b-b^3$,जिसका अर्थ है $y = b^3-3a^2b$.
अब,$\frac{x}{a} = a^2-3b^2$ और $\frac{y}{b} = b^2-3a^2$.
इनका योग करने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2-3b^2) + (b^2-3a^2) = -2a^2-2b^2 = -2(a^2+b^2)$.
अतः,$\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(C) मूल बिंदु पर केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $|z| = r$ होता है।
दिया गया है $z = (1+i)(1+2i)(1+3i) \ldots (1+10i)$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|z| = |1+i| \cdot |1+2i| \cdot |1+3i| \ldots |1+10i| = r$।
$|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|z| = \sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2} \ldots \sqrt{1^2+10^2} = r$।
$|z| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \ldots \sqrt{101} = r$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = 2 \times 5 \times 10 \times \ldots \times 101$।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया समीकरण $|z| + |z - 1| = 3$ है।
यह बिंदु $z$ की $0$ और $1$ बिंदुओं से दूरी का योग अचर $(3)$ दर्शाता है।
चूंकि $3 > |0 - 1| = 1$,इसलिए यह बिंदु पथ $0$ और $1$ नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।
बीजगणितीय रूप से:
$\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3 - \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$-2x + 1 = 9 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$6\sqrt{x^2 + y^2} = 2x + 8$
$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 4$
पुनः वर्ग करने पर:
$9(x^2 + y^2) = (x + 4)^2$
$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 8x + 16$
$8x^2 - 8x + 9y^2 = 16$
$8(x - \frac{1}{2})^2 + 9y^2 = 18$
$\frac{(x - 1/2)^2}{9/4} + \frac{y^2}{2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण है।

(C) $EQUATION$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N$।
इन $8$ अक्षरों का उपयोग करके (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $4$ अक्षरों वाले कुल शब्दों की संख्या $8^4 = 4096$ है।
बिना किसी पुनरावृत्ति के $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $^8P_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना पुनरावृत्ति वाले शब्द:
$= 4096 - 1680 = 2416$।

(B) दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 148$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)] = \frac{n}{2}[296 - 2n + 2] = \frac{n}{2}[298 - 2n] = n(149 - n)$।
प्रथम $n$ पदों का औसत $\frac{S_n}{n} = 149 - n$ है।
चूँकि औसत $125$ दिया गया है,इसलिए $149 - n = 125$।
अतः,$n = 149 - 125 = 24$।

(B) हमारे पास $7^n = (1 + 6)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$7^n = 1 + ^nC_1(6) + ^nC_2(6^2) + ^nC_3(6^3) + \dots + ^nC_n(6^n)$।
$7^n = 1 + 6n + 36(^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2}))$।
माना $\lambda = ^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2})$।
तब $7^n = 1 + 6n + 36\lambda$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $7^n - 6n = 36\lambda + 1$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों से $50$ घटाने पर:
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda + 1 - 50 = 36\lambda - 49$।
हम $-49$ को $-72 + 23$ के रूप में लिख सकते हैं।
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda - 72 + 23 = 36(\lambda - 2) + 23$।
माना $\mu = \lambda - 2$।
तब $7^n - 6n - 50 = 36\mu + 23$।
अतः,जब $7^n - 6n - 50$ को $36$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $23$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति पर विचार करें: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.
हम जानते हैं कि $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.
अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=0}^n C_r^2$.
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^n C_r^2 = { }^{2n} C_n$ और $r C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 3 \sum_{r=1}^n n { }^{n-1} C_{r-1} C_r - { }^{2n} C_n$.
$S = 3n \sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r} - { }^{2n} C_n$.
योगफल $\sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r}$,$(1+x)^{n-1}(1+x)^n = (1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n-1}$ का गुणांक है,जो ${ }^{2n-1} C_{n-1}$ है।
अतः,$S = 3n { }^{2n-1} C_{n-1} - { }^{2n} C_n$.
चूंकि ${ }^{2n-1} C_{n-1} = \frac{n}{2n} { }^{2n} C_n = \frac{1}{2} { }^{2n} C_n$,हमें प्राप्त होता है:
$S = 3n \left( \frac{1}{2} { }^{2n} C_n \right) - { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n}{2} - 1 \right) { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n-2}{2} \right) { }^{2n} C_n$.

(A) दी गई श्रेणी $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots = (1-x)^{-n}$ के रूप में है।
पदों की तुलना करने पर,$nx = \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12}$ और $x = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12} \implies n = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
श्रेणी $(1 - \frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$ होगी।
$= (\frac{7}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{7})^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{\sqrt[3]{49}} = \frac{4}{\sqrt[3]{49}}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} + \cos^2 3x = 1$
$1 + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) + \cos^2 3x = 1$
$\frac{1}{2}(2\cos 3x \cos x) + \cos^2 3x = 0$
$\cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$
$\cos 3x (2 \cos 2x \cos x) = 0$
$2 \cos 3x \cos 2x \cos x = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$ या $\cos x = 0$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$2$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$
$3$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$
सभी अद्वितीय मानों को मिलाने पर: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}\}$.
इनकी गणना करने पर,$10$ अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है,$\cos x+\cos y=-\cos \alpha$ $(i)$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$
साथ ही,$\sin x+\sin y=-\sin \alpha$ (ii)
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\cos \alpha}{-\sin \alpha}$
$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{\cos 13^{\circ}-\sin 13^{\circ}}{\cos 13^{\circ}+\sin 13^{\circ}}+\frac{1}{\cot 148^{\circ}}$
प्रथम पद के अंश और हर को $\cos 13^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1-\tan 13^{\circ}}{1+\tan 13^{\circ}} + \tan 148^{\circ}$
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A=45^{\circ}$ और $B=13^{\circ}$:
$= \tan(45^{\circ}-13^{\circ}) + \tan(180^{\circ}-32^{\circ})$
$= \tan 32^{\circ} - \tan 32^{\circ} = 0$

(B) सर्वसमिका $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करते हुए,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3 \cos x}{4}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\frac{\cos 3 \theta + 3 \cos \theta}{4} + \frac{\cos(2 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta)}{4} + \frac{\cos(4 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
चूंकि $\cos(2 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ और $\cos(4 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$\cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta) = 2 \cos(\pi + \theta) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\cos \theta)(\frac{1}{2}) = -\cos \theta$
इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3(-\cos \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\frac{3 \cos 3 \theta}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
अतः,$\alpha = \frac{3}{4}$।

(B) दिए गए बिंदु $(3,3)$ और $(7,6)$ हैं।
रेखा की ढाल $m = \frac{6-3}{7-3} = \frac{3}{4}$ है।
रेखा का समीकरण $(y-3) = \frac{3}{4}(x-3)$ है,जिसे सरल करने पर $4y - 12 = 3x - 9$ या $3x - 4y = -3$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $3(0) - 4y = -3 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$। बिंदु $(0, \frac{3}{4})$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $3x - 4(0) = -3 \Rightarrow x = -1$। बिंदु $(-1, 0)$ है।
$(0, \frac{3}{4})$ और $(-1, 0)$ के बीच के रेखाखंड की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा:
$d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (\frac{3}{4} - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$।

(C) त्रिभुज की भुजाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दी गई हैं:
$(x-y)(x+y)(2x+3y-6)=0$
इसका अर्थ है कि रेखाएँ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+y=0$,और $L_3: 2x+3y-6=0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $2x+3y-6=0 \implies 5x=6 \implies x=6/5, y=6/5$
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x+y=0$ और $2x+3y-6=0 \implies y=6, x=-6$
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(6/5, 6/5)$,और $(-6, 6)$ हैं।
बिंदु $(0, \alpha)$ $y$-अक्ष पर स्थित है $(x=0)$।
त्रिभुज के आंतरिक भाग में होने के लिए,$y$-अक्ष पर बिंदु को $y=0$ और $y=2$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$0 < \alpha < 2$।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2-8xy+5y^2=0$ है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और दी गई रेखाओं के लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को आपस में बदलकर और $xy$ पद का चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है: $5x^2+8xy+3y^2=0$।
बिंदु $(1,1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम $5x^2+8xy+3y^2=0$ में $x$ को $(x-1)$ और $y$ को $(y-1)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इससे $5(x-1)^2+8(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$5(x^2-2x+1)+8(xy-x-y+1)+3(y^2-2y+1)=0$।
सरल करने पर,$5x^2-10x+5+8xy-8x-8y+8+3y^2-6y+3=0$।
समान पदों को जोड़ने पर,$5x^2+8xy+3y^2-18x-14y+16=0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $y-3kx+4=0$ $(i)$ और $(2k-1)x-(8k-1)y-6=0$ (ii) हैं।
रेखा $(i)$ की ढाल $m_1 = \frac{-(-3k)}{1} = 3k$ है।
रेखा (ii) की ढाल $m_2 = \frac{-(2k-1)}{-(8k-1)} = \frac{2k-1}{8k-1}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$।
$3k \times \frac{2k-1}{8k-1} = -1$
$3k(2k-1) = -(8k-1)$
$6k^2 - 3k = -8k + 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k+1) - 1(k+1) = 0$
$(6k-1)(k+1) = 0$
अतः,$k = 1/6$ या $k = -1$।

(A) दिए गए समीकरण $y=kx+1$ $(i)$ और $3x+4y=9$ (ii) हैं।
$(i)$ का मान (ii) में रखने पर:
$3x+4(kx+1)=9$
$3x+4kx+4=9$
$x(3+4k)=5$
$x=\frac{5}{3+4k}$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$(3+4k)$ को $5$ का विभाजक होना चाहिए। $5$ के विभाजक $\pm 1, \pm 5$ हैं।
स्थिति $1$: $3+4k=1$ $\Rightarrow 4k=-2$ $\Rightarrow k=-0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3+4k=-1$ $\Rightarrow 4k=-4$ $\Rightarrow k=-1$.
स्थिति $3$: $3+4k=5$ $\Rightarrow 4k=2$ $\Rightarrow k=0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3+4k=-5$ $\Rightarrow 4k=-8$ $\Rightarrow k=-2$.
अतः,$k$ के संभावित पूर्णांक मान $-1$ और $-2$ हैं।
रेखाएं $y=-x+1$ और $y=-2x+1$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y+x-1)(y+2x-1)=0$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+8y-144=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g = -6 \Rightarrow g = -3$ और $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, -4)$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
मान लीजिए कि अभिलंब वृत्त को पुनः $(x_1, y_1)$ बिंदु पर मिलता है।
चूंकि केंद्र $(3, -4)$,$(8, 8)$ और $(x_1, y_1)$ को जोड़ने वाली जीवा का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+8}{2} = 3$ $\Rightarrow x_1+8 = 6$ $\Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{y_1+8}{2} = -4$ $\Rightarrow y_1+8 = -8$ $\Rightarrow y_1 = -16$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, -16)$ है।

(C) माना $(a, b)$ वह बिंदु है जहाँ रेखा $4x - 3y + 7 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ को स्पर्श करती है।
वृत्त पर बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xa + yb - 3(x + a) + 2(y + b) - 12 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(a - 3)x + (b + 2)y - (3a - 2b + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $4x - 3y + 7 = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात:
$\frac{a - 3}{4} = \frac{b + 2}{-3} = \frac{-(3a - 2b + 12)}{7} = k$.
इससे,$a = 4k + 3$ और $b = -3k - 2$.
तीसरे अनुपात में मान रखने पर: $-(3(4k + 3) - 2(-3k - 2) + 12) = 7k$.
$-(12k + 9 + 6k + 4 + 12) = 7k$ $\Rightarrow -(18k + 25) = 7k$ $\Rightarrow -25k = 25$ $\Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ रखने पर,$a = 4(-1) + 3 = -1$ और $b = -3(-1) - 2 = 1$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(-1, 1)$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=1$ है।
बिंदु $(2k, k-4)$ के लिए,ध्रुवीय रेखा का समीकरण:
$x(2k) + y(k-4) - 2(x+2k) - 3(y+k-4) + 1 = 0$
$2kx + ky - 4y - 2x - 4k - 3y - 3k + 12 + 1 = 0$
$k(2x + y - 7) - 2x - 7y + 13 = 0$
इस रेखा के $k$ के किसी भी मान के लिए एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,$k$ का गुणांक और अचर पद दोनों शून्य होने चाहिए:
$2x + y - 7 = 0$
$-2x - 7y + 13 = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $-6y + 6 = 0 \Rightarrow y = 1$.
$y=1$ को $2x + y - 7 = 0$ में रखने पर: $2x + 1 - 7 = 0$ $\Rightarrow 2x = 6$ $\Rightarrow x = 3$.
अतः,ध्रुवीय रेखा हमेशा बिंदु $(3, 1)$ से होकर गुजरती है।

(D) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$C_1: x^2+y^2-1=0$
$C_2: x^2+y^2-2x-3=0$
$C_3: x^2+y^2-2y-3=0$
$C_1$ और $C_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2x-3) = 0$
$2x+2 = 0 \implies x = -1$
$C_1$ और $C_3$ की मूल अक्ष $C_1 - C_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2y-3) = 0$
$2y+2 = 0 \implies y = -1$
अतः,मूल केंद्र मूल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(-1, -1)$ है।

(C) परवलयों के दिए गए समीकरण:
$y^2=5x$ $(i)$
$x^2=5y$ (ii)
समीकरण (ii) से,$y = \frac{x^2}{5}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$
$\frac{x^4}{25} = 5x$
$x^4 = 125x$
$x^4 - 125x = 0$
$x(x^3 - 125) = 0$
इससे $x = 0$ या $x^3 = 125$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 5$।
यदि $x = 0$,तो $y = 0$। यदि $x = 5$,तो $y = \frac{5^2}{5} = 5$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,5)$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,दोनों बिंदु रेखा $x - y = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 1$,अतः $a = \frac{1}{4}$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = \frac{1}{4}$ रखने पर,समीकरण $y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(C, 0)$ से गुजरता है,तो $0 = mC - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$।
इसे सरल करने पर $m(C - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ प्राप्त होता है।
एक हल $m = 0$ है,जो $x$-अक्ष पर अभिलंब को दर्शाता है।
तीन अलग-अलग अभिलंब खींचने के लिए,द्विघात समीकरण $\frac{m^2}{4} = C - \frac{1}{2}$ के दो अलग-अलग गैर-शून्य वास्तविक हल होने चाहिए।
इसके लिए $C - \frac{1}{2} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $C > \frac{1}{2}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2=4ay$ है।
जब अक्षों को $90^{\circ}$ के कोण पर वामावर्त घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$x = x' \cos(90^{\circ}) - y' \sin(90^{\circ}) = -y'$
$y = x' \sin(90^{\circ}) + y' \cos(90^{\circ}) = x'$
इन मानों को मूल समीकरण $x^2=4ay$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y')^2 = 4a(x')$
$y'^2 = 4ax'$
अतः,नया समीकरण $y^2=4ax$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
यहाँ,$a^2=25 \implies a=5$ और $b^2=16 \implies b=4$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग $PS+PS^{\prime} = 2a$ होता है।
अतः,$PS+PS^{\prime} = 2 \times 5 = 10$.
दिया गया है $SP=8$,इसलिए $8+PS^{\prime} = 10 \implies PS^{\prime} = 2$.
नाभियों के बीच की दूरी $SS^{\prime} = 2ae = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$4+S^{\prime}P = 4+2 = 6$.
इसलिए,$SS^{\prime} = 4+S^{\prime}P$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$h=3, k=2, a^2=25, b^2=16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$(i)$ दीर्घ अक्ष का समीकरण $y = k$ है,अतः $y = 2$। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ नियता (directrix) के समीकरण $x = h \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
$x = 3 \pm \frac{5}{3/5} = 3 \pm \frac{25}{3}$।
$x = 3 + \frac{25}{3} = \frac{34}{3} \Rightarrow 3x = 34$।
$x = 3 - \frac{25}{3} = -\frac{16}{3} \Rightarrow 3x = -16$।
अतः,$3x = 34$ विकल्प $(p)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ नाभिलंब (latus rectum) के समीकरण $x = h \pm ae$ होते हैं।
$x = 3 \pm (5 \times \frac{3}{5}) = 3 \pm 3$।
$x = 3 + 3 = 6$ या $x = 3 - 3 = 0$।
अतः,$x = 6$ विकल्प $(s)$ से मेल खाता है।
इसलिए,सही मिलान $(i) \rightarrow (q)$,$(ii) \rightarrow (p)$,$(iii) \rightarrow (s)$ है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ पर अभिलंब $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ $(i)$ है।
$B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ पर अभिलंब $2x \cos \phi + 3y \cot \phi = 13$ (ii) है।
चूँकि $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ है। अतः,$\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
इन मानों को (ii) में रखने पर: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ (iii) प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं।
गणना करने पर,$3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$3y = -13$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\beta = -\frac{13}{3}$ है।

(D) दिया गया है,$L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+x+3}{x^2-x+2}\right]^x$.
यह $1^\infty$ के रूप में है।
सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty}[1+f(x)]^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \cdot g(x)}$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{x^2+x+3}{x^2-x+2}-1\right]^x$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{x^2+x+3-x^2+x-2}{x^2-x+2}\right]^x$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[1+\frac{2x+1}{x^2-x+2}\right]^x$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x+1}{x^2-x+2} \cdot x}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+x}{x^2-x+2}}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2+1/x}{1-1/x+2/x^2}} = e^{\frac{2+0}{1-0+0}} = e^2$.

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
पदों की संख्या $m$ के लिए,$a+(m-1)d = a+2nd$,जिससे $m-1 = 2n$,अर्थात $m = 2n+1$.
$m$ पदों और सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{m^2-1}{12}} |d|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$m = 2n+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{(2n+1)^2-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n^2+4n+1-1}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{4n(n+1)}{12}} |d|$
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n+1)}{3}} |d|$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया है,$8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$8R^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2$
$8R^2 = 4R^2 (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$
$2 = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$2 = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + \sin^2 C$
$2 = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = 1 - \cos^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$
यह एक समकोण त्रिभुज के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका है जहाँ एक कोण $90^\circ$ होता है।
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दिया है,$\angle A=90^{\circ}$ और $\angle B \neq \angle C$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,हमारे पास $b = k \sin B$ और $c = k \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2} \sin (B-C) = \frac{k^2 \sin^2 B + k^2 \sin^2 C}{k^2 \sin^2 B - k^2 \sin^2 C} \sin (B-C)$
$= \frac{\sin^2 B + \sin^2 C}{\sin^2 B - \sin^2 C} \sin (B-C)$
चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$,इसलिए $B+C = 90^{\circ}$,अतः $C = 90^{\circ}-B$.
इसलिए,$\sin C = \cos B$ और $\sin^2 C = \cos^2 B$.
साथ ही,$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B+C) \sin(B-C) = \sin(90^{\circ}) \sin(B-C) = 1 \cdot \sin(B-C)$.
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{\sin^2 B + \cos^2 B}{\sin(B+C)} \cdot \sin(B-C) = \frac{1}{\sin(90^{\circ})} = 1$.

(D) हमें संबंध $2R + r = r_2$ दिया गया है।
परित्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ और बहिःत्रिज्या $r_2$ के मानक सूत्रों का उपयोग करने पर:
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} [\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos(\frac{A+C}{2})$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\cos(\frac{A+C}{2}) = \sin \frac{B}{2}$.
इस प्रकार,$r_2 - r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
दिया गया है कि $2R = r_2 - r$,इसलिए $2R = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2R$ से भाग देने पर,$1 = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$.
इससे $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$,अर्थात $B = \frac{\pi}{2}$.

(D) दिया गया वक्र $x^2+y^2=16a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2yy' = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a} = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2\sqrt{2}a = -1(x - 2\sqrt{2}a)$ है,जो सरल होकर $x + y = 4\sqrt{2}a$ हो जाता है।
स्पर्श रेखा का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = 4\sqrt{2}a$ प्राप्त होता है। मान लीजिए यह बिंदु $B(4\sqrt{2}a, 0)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 2\sqrt{2}a = 1(x - 2\sqrt{2}a)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
अभिलंब मूल बिंदु $O(0,0)$ और बिंदु $A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ से होकर गुजरता है।
त्रिभुज बिंदुओं $O(0,0)$,$A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ और $B(4\sqrt{2}a, 0)$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(2\sqrt{2}a-0) + 2\sqrt{2}a(0-0) + 4\sqrt{2}a(0-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |4\sqrt{2}a(-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |-16a^2| = 8a^2$।

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{x+1}{x^4(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x^4}+\frac{E}{x+2}$
दोनों पक्षों को $x^4(x+2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+1 = Ax^3(x+2) + Bx^2(x+2) + Cx(x+2) + D(x+2) + Ex^4$
$B+D+E$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-1+1 = A(-1)^3(-1+2) + B(-1)^2(-1+2) + C(-1)(-1+2) + D(-1+2) + E(-1)^4$
$0 = A(-1)(1) + B(1)(1) + C(-1)(1) + D(1) + E(1)$
$0 = -A + B - C + D + E$
$B+D+E$ को अलग करने पर:
$B+D+E = A+C$

(C) माना कि बिंदु $B$,रेखाखंड $AC$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
दिया गया है कि $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $3: 2$ है।

(D) माना कि $B$,रेखाखंड $\overline{AC}$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$B$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{3}{2}: 1$ अर्थात $3: 2$ है।

(A) दिया गया है कि $A(5, -4)$ और $B(7, 6)$ एक समतल में बिंदु हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ एक ऐसा बिंदु है कि $AP:PB = 2:3$ है।
अतः,$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3AP = 2PB$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $9AP^2 = 4PB^2$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AP^2 = (x-5)^2 + (y+4)^2$ और $PB^2 = (x-7)^2 + (y-6)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$9[(x-5)^2 + (y+4)^2] = 4[(x-7)^2 + (y-6)^2]$.
$9[x^2 - 10x + 25 + y^2 + 8y + 16] = 4[x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36]$.
$9[x^2 + y^2 - 10x + 8y + 41] = 4[x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85]$.
$9x^2 + 9y^2 - 90x + 72y + 369 = 4x^2 + 4y^2 - 56x - 48y + 340$.
$5x^2 + 5y^2 - 34x + 120y + 29 = 0$.
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का समीकरण है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ योग $7$ से अधिक है:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
${1, 2, 3, 4, 5}$ अंकों का उपयोग करके,$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित संयोजन $12, 24, 32, 52$ हैं।
अंतिम दो अंकों के लिए ऐसे $4$ अनुकूल संयोजन हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 \times 3!$।
पाँच अंकों की कुल संभावित संख्याएँ $= 5!$।
प्रायिकता $= \frac{4 \times 3!}{5!} = \frac{4 \times 3!}{5 \times 4 \times 3!} = \frac{1}{5}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$।
दिया गया समीकरण $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$।
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$।
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहां $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) केंद्र $O$ वाले एक नियमित षट्कोण $ABCDEF$ में,हमारे पास निम्नलिखित सदिश संबंध हैं:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ और $\vec{AF} = \vec{CD}$.
अब,योग $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$ पर विचार करें।
संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{S} = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\vec{S} = (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{AD}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$ और $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
अतः,$\vec{S} = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} = 3 \vec{AD}$.
चूंकि $O$ नियमित षट्कोण का केंद्र है,$\vec{AD} = 2 \vec{AO}$.
इस प्रकार,$\vec{S} = 3(2 \vec{AO}) = 6 \vec{AO}$.

(B) दिए गए वक्र $y=ax^2$ $(i)$ और $x=ay^2$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से $y$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(a^3x^3 - 1) = 0$।
अतः,$x=0$ या $x=\frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=\frac{1}{a}$ के लिए $y=\frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 3$ द्वारा दिया जाता है।
$\int_0^{1/a} \frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} dx - \int_0^{1/a} ax^2 dx = 3$।
$\frac{1}{\sqrt{a}} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^{1/a} - a [\frac{x^3}{3}]_0^{1/a} = 3$।
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot (\frac{1}{a})^3 = 3$।
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 3$।
$\frac{1}{3a^2} = 3 \Rightarrow 9a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{9}$।
चूंकि $a>0$,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
मान लीजिए $P = AB - BA$ है।
$P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$P^{\prime} = (AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
$(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$P^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P^{\prime} = BA - AB = -(AB - BA) = -P$।
चूंकि $P^{\prime} = -P$ है,इसलिए $AB - BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया है $A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ 2x+1 & 3x+1 & x+1 \\ 3x+1 & x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ 2x+1 & x & -2x \\ 3x+1 & -2x & x \end{vmatrix}$.
$C_2$ और $C_3$ से $x$ कॉमन लेने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 \\ 2x+1 & 1 & -2 \\ 3x+1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 2x+1 & 3 & -2 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 5x+2 & 0 & -1 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A(x) = x^2 \cdot (-(-3)) \cdot \begin{vmatrix} x+1 & 1 \\ 5x+2 & -1 \end{vmatrix} = 3x^2 \{(-x-1) - (5x+2)\} = 3x^2(-6x-3) = -18x^3 - 9x^2$.
अब,$\int_0^1 A(x) dx = \int_0^1 (-18x^3 - 9x^2) dx = \left[ -\frac{18x^4}{4} - \frac{9x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ -\frac{9}{2}x^4 - 3x^3 \right]_0^1 = -\frac{9}{2} - 3 = -\frac{15}{2}$.

(B) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$ax + by + cz = 2$
$bx + cy + az = 2$
$cx + ay + bz = 2$
गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
चूंकि $a+b+c = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,प्रणाली का या तो कोई समाधान नहीं है या अनंत समाधान हैं।
आइए $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ की गणना करके संगति की जाँच करें।
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & b & c \\ 2 & c & a \\ 2 & a & b \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 2(c^2 + ab + ab - c^2 - a^2 - b^2) = 2(2ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
चूंकि $a+b+c=0$,$c = -(a+b)$,इसलिए $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
अतः,$\Delta_x = 2(2ab - a^2 - b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)) = 2(-2a^2 - 2b^2) = -4(a^2 + b^2)$.
यदि $a, b, c$ सभी शून्य नहीं हैं,तो $\Delta_x \neq 0$।
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्य नहीं है,इसलिए प्रणाली असंगत है।

(A) दिया गया समीकरण $\sin \left(\cot ^{-1} x\right)=\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \left(\cot ^{-1} x\right) = \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
साथ ही,$\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right) = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1+x^2 = 1+(1+x)^2$।
$1+x^2 = 1+1+x^2+2x$।
$1+x^2 = 2+x^2+2x$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर,$1 = 2+2x$।
$2x = -1$।
$x = -\frac{1}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक सेकेंट फलन $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$ के रूप में परिभाषित है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} \right)$
चूंकि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\sin \theta > 0$,अतः $\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sin \theta$ होगा।
इस प्रकार,व्यंजक $\log \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right)$ बन जाता है।
इसे $\log (\sec \theta + \tan \theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $\sec \theta + \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right|$.

(C) दिया गया है,$f(x)=x^2-2x+4$.
हमें $f(x-1)=f(x+1)$ को हल करना है।
फलन में $(x-1)$ और $(x+1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)^2-2(x-1)+4 = (x+1)^2-2(x+1)+4$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2-2x+1) - 2x + 2 + 4 = (x^2+2x+1) - 2x - 2 + 4$.
सरल करने पर:
$x^2-4x+7 = x^2+3$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-4x+7 = 3$.
$-4x = -4$.
$x = 1$.
अतः,$x$ के मानों का समुच्चय $\{1\}$ है।

(D) माना $f(x) = ax + b$.
दिया गया समीकरण $f(f(x)) = x + f(x)$ है।
समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर:
$a(ax + b) + b = x + (ax + b)$
$a^2x + ab + b = x + ax + b$
$a^2x + ab = x + ax$
$x(a^2 - a - 1) + ab = 0$.
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a^2 - a - 1 = 0$ और $ab = 0$.
चूंकि $a^2 - a - 1 = 0$,इसलिए $a$ शून्य नहीं हो सकता,अतः $b = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $a^2 - a - 1 = 0$ को हल करने पर:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
अतः,फलन $f(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)x$ और $f(x) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)x$ हैं।
ऐसे $2$ वास्तविक रैखिक फलन हैं।

(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x \to 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $|\sin x| = -\sin x$)।
माना $h = -x$,जैसे $x \to 0^-$,$h \to 0^+$। तब $\sin x = -\sin h$।
$\lim_{h \to 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h \to 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.
चूँकि $f(0) = q$,सीमाओं की तुलना करने पर:
$e^p = q = e^{2/3}$.
अतः,$p = 2/3$ और $q = e^{2/3}$।
यदि मूल प्रश्न में घात $\frac{p}{\sin x}$ है,तो $LHL$ $= e^{-p}$ होगा,जिससे $p = -2/3$ और $q = e^{2/3}$ प्राप्त होगा।

(C) माना $y = \tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}\right]$ है।
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ है।
इसी प्रकार,$1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}\right]$
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{x}{2}}\right] = \tan ^{-1}(\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left[ \frac{5 \cos x - 12 \sin x}{12 \cos x + 5 \sin x} \right]$.
अंश और हर को $12 \cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\frac{5}{12} - \tan x}{1 + \frac{5}{12} \tan x} \right]$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(\tan x)$.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) \right) - \frac{d}{dx}(x)$.
चूंकि $\tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 0 - 1 = -1$.

(C) दिया गया है,$y=a \cos (\sin 2 x)+b \sin (\sin 2 x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = -a \sin(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2 + b \cos(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2$
$y^{\prime} = 2 \cos 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करके):
$y^{\prime \prime} = -4 \sin 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\} + 2 \cos 2x \{-a \cos(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2 - b \sin(\sin 2x) \cdot \cos 2x \cdot 2\}$।
प्रथम भाग में $y^{\prime} = 2 \cos 2x \{-a \sin(\sin 2x) + b \cos(\sin 2x)\}$ रखने पर:
$y^{\prime \prime} = -4 \sin 2x \cdot \frac{y^{\prime}}{2 \cos 2x} - 4 \cos^2 2x \{a \cos(\sin 2x) + b \sin(\sin 2x)\}$।
चूँकि $y = a \cos(\sin 2x) + b \sin(\sin 2x)$,इसलिए:
$y^{\prime \prime} = -2 \tan 2x \cdot y^{\prime} - 4 \cos^2 2x \cdot y$।
अतः,$y^{\prime \prime} + (2 \tan 2x) y^{\prime} = -4 \cos^2 2x \cdot y$।

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण हैं:
$x = a \cos^3 t$
$y = a \sin^3 t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
स्पर्श रेखा की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$
$(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखने पर $x = a \cos t$ प्राप्त होता है,और $x=0$ रखने पर $y = a \sin t$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A(a \cos t, 0)$ और $B(0, a \sin t)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई:
$L = \sqrt{(a \cos t - 0)^2 + (0 - a \sin t)^2} = \sqrt{a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1)} = a$.

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{2}[|\sin x| + \sin x]$,$0 < x \leq 2\pi$ के लिए।
स्थिति $I$: जब $0 < x \leq \pi$,तब $\sin x \geq 0$,इसलिए $|\sin x| = \sin x$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}[\sin x + \sin x] = \sin x$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$f'(x) = \cos x > 0$,इसलिए $f(x)$ वर्धमान है।
$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ के लिए,$f'(x) = \cos x < 0$,इसलिए $f(x)$ ह्रासमान है।
स्थिति $II$: जब $\pi < x \leq 2\pi$,तब $\sin x \leq 0$,इसलिए $|\sin x| = -\sin x$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}[-\sin x + \sin x] = 0$.
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान है और $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में ह्रासमान है।

(A) माना $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+7 x^2+1} d x$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+7+\frac{1}{x^2}} d x = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+5} d x$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+9} d x$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$,तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
$t = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{3}) + C = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x^2-1}{3x}) + C$.

(C) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$.
हम समाकलन को $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int (1+x^2)^{-1/2} x dx = \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int 2x \sqrt{1+x^2} dx$.
शेष समाकलन के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x dx$ प्राप्त होता है।
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int t^{1/2} dt = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C$.
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx$.
अंश को $2x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-4x-5) + B$ के रूप में व्यक्त करने पर।
$2x+2 = A(2x-4) + B$.
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,$2A = 2 \Rightarrow A = 1$ और $-4A + B = 2 \Rightarrow -4(1) + B = 2 \Rightarrow B = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t = x^2-4x-5$ लेने पर,$dt = (2x-4)dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int t^{-1/2} dt + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
$I = 2\sqrt{t} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{(x-2)^2 - 3^2}| + C$.
$I = 2\sqrt{x^2-4x-5} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{x^2-4x-5}| + C$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{\cos (x+4) \cos (x+2)}$.
अंश और हर को $\sin 2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin 2}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
चूंकि $2 = (x+4) - (x+2)$,इसलिए:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin [(x+4)-(x+2)]}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin 2} \int \frac{\sin (x+4) \cos (x+2) - \cos (x+4) \sin (x+2)}{\cos (x+4) \cos (x+2)} d x$.
$I = \frac{1}{\sin 2} \int [\tan (x+4) - \tan (x+2)] d x$.
$\tan x$ का समाकलन $\log |\sec x|$ होता है:
$I = \frac{1}{\sin 2} [\log |\sec (x+4)| - \log |\sec (x+2)|] + C$.
$I = \frac{1}{\sin 2} \log \left|\frac{\sec (x+4)}{\sec (x+2)}\right| + C$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sqrt{2}(\sin x + \cos x)}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
जब $x = 0$,तब $t = -1$. जब $x = \pi/4$,तब $t = 0$.
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} [\sin^{-1} t]_{-1}^0$.
$I = \sqrt{2} [\sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1)] = \sqrt{2} [0 - (-\pi/2)] = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$.
हम जानते हैं कि $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.
अतः,$\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi/4$,तब $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{7 + 9(1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{16 - 9t^2}$.
$I = \frac{1}{9} \int_{-1}^0 \frac{dt}{(4/3)^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2(4/3)} \left[ \log \left| \frac{4/3 + t}{4/3 - t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{24} \left[ \log \left| \frac{4+3t}{4-3t} \right| \right]_{-1}^0$.
$I = \frac{1}{24} [\log(1) - \log| (4-3)/(4+3) |] = \frac{1}{24} [0 - \log(1/7)] = \frac{1}{24} \log 7$.

(B) दिया गया वक्रों का कुल: $y=(\alpha+\beta x) e^{p x}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p(\alpha+\beta x) e^{p x}$
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p y$ (ii)
(ii) से,हमें प्राप्त होता है $\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$।
(ii) का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = \beta p e^{p x} + p y^{\prime}$
$\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{\prime \prime} = p(y^{\prime} - p y) + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = p y^{\prime} - p^2 y + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = 2 p y^{\prime} - p^2 y$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime \prime} - 2 p y^{\prime} + p^2 y = 0$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$.
$x$ से विभाजित करने पर: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$.
माना $y = vx$,तब $y' = v + x \frac{dv}{dx}$.
प्रतिस्थापित करने पर: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$.
$3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$.
$\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$.
चूंकि $y(1) = 1$,इसलिए $x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = 1$.
$\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$,जिसका अर्थ है $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} = e^{-y} - x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + x = e^{-y}$.
इसकी तुलना मानक रूप $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ से करने पर,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^{-y}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$.
हल $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^y = \int (e^{-y} \cdot e^y) dy + C$.
$x \cdot e^y = \int 1 dy + C$.
$x \cdot e^y = y + C$.
$x = e^{-y}(y + C)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ की गणना करते हैं,जो इन सदिशों द्वारा गठित आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2((-2)(-2) - (3)(1)) - (-3)((1)(-2) - (3)(3)) + 1((1)(1) - (-2)(3))$
$\Delta = 2(4 - 3) + 3(-2 - 9) + 1(1 + 6)$
$\Delta = 2(1) + 3(-11) + 1(7)$
$\Delta = 2 - 33 + 7 = -24$
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $\Delta \neq 0$ है,इसलिए दिए गए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

(B) दिया गया है कि $a$, $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है, इसलिए $a$, सदिश $b \times c$ के समानांतर है। अतः, हम $a = k(b \times c)$ लिख सकते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $c \cdot (a \times b)$ को चक्रीय क्रम के गुण का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है: $c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c)$।
चूंकि $a$, $b \times c$ के समानांतर है, $a$ और $b \times c$ के बीच का कोण $0$ या $\pi$ है। $|a|=2$ दिया गया है, इसलिए $a = \pm 2 \frac{b \times c}{|b \times c|}$।
सबसे पहले, क्रॉस प्रोडक्ट $b \times c$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|b \times c| = |b| |c| \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$।
अब, इस मान को अदिश त्रिक गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c) = |a| |b \times c| \cos(0) = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$।

(C) दिया गया है,$a+b+\sqrt{3} c=0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a+b = -\sqrt{3} c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने और दाएं पक्ष को सरल करने पर:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$।
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,जहां $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$।
$2 + 2 \cos \theta = 3$।
$2 \cos \theta = 1$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है कि,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$.
चूंकि $b$ और $c$ लंबवत हैं,इसलिए $b \cdot c = 0$ है।
$a$ पर $b$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot b}{|a|}$ है और $a$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot c}{|a|}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप समान हैं,इसलिए $\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|}$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = a \cdot c$ है।
अब,$|a-b+c|^2$ की गणना करते हैं:
$|a-b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|a-b+c|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot b) - 2(0)$.
$|a-b+c|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
अतः,$|a-b+c| = \sqrt{14}$.

(A) माना शीर्षों $A, B, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ हैं। तब $C$ का स्थिति सदिश $\vec{b}+\vec{d}$ है।
चूंकि $P$,$AD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\frac{\vec{d}}{2}$ है।
माना $Q$,$AC$ को $\lambda:1$ के अनुपात में और $BP$ को $\mu:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$AC$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\frac{\lambda(\vec{b}+\vec{d}) + 1(\vec{0})}{\lambda+1} = \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{b} + \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{d}$ है।
$BP$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\frac{\mu(\frac{\vec{d}}{2}) + 1(\vec{b})}{\mu+1} = \frac{1}{\mu+1}\vec{b} + \frac{\mu}{2(\mu+1)}\vec{d}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{d}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{\mu+1}$ और $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)}$.
इससे,$\frac{1}{\mu+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)} \Rightarrow \mu = 2$.
पहले समीकरण में $\mu=2$ रखने पर: $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
$3\lambda = \lambda+1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$AQ:QC$ का अनुपात $\lambda:1 = \frac{1}{2}:1 = 1:2$ है।

(B) दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{C}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}\right)$ और $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{3}{\sqrt{54}}, \frac{3}{\sqrt{54}}, -\frac{6}{\sqrt{54}}\right)$ दिए गए हैं।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
लंबवत रेखाओं के लिए शर्त $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$\left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{C}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) \left(-\frac{6}{\sqrt{54}}\right) = 0$
$\frac{-6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} + \frac{3C}{\sqrt{21}\sqrt{54}} - \frac{6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} = 0$
दोनों पक्षों को $\sqrt{21}\sqrt{54}$ से गुणा करने पर:
$-6 + 3C - 6 = 0$
$3C - 12 = 0$
$3C = 12$
$C = 4$.

(C) माना दिया गया बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, 6)$ है और समतल $x + y + z - 9 = 0$ है।
यहाँ,$a = 1, b = 1, c = 1$ और $d = -9$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{(1)(5) + (1)(2) + (1)(6) - 9}{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{1} = -2 \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$
अब,$x, y, z$ के लिए हल करने पर:
$x - 5 = -\frac{8}{3} \Rightarrow x = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$
$y - 2 = -\frac{8}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$
$z - 6 = -\frac{8}{3} \Rightarrow z = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
अतः,बिंदु $(5, 2, 6)$ का प्रतिबिंब $(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ है।

(D) कुल परिणामों की संख्या $= 2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $X$ लड़कियों की संख्या है।
हमें कम से कम दो लड़कियों की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \ge 2)$।
इसकी गणना $P(X \ge 2) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1)\}$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X=0)$ के लिए (कोई लड़की नहीं,सभी लड़के): एकमात्र परिणाम $\{BBBB\}$ है,इसलिए $P(X=0) = \frac{1}{16}$।
$P(X=1)$ के लिए (ठीक एक लड़की): परिणाम $\{GBBB, BGBB, BBGB, BBBG\}$ हैं,इसलिए $P(X=1) = \frac{4}{16}$।
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - \left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(A) दिया गया है: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{4}P(B)$।
साथ ही $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{2}P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{1}{4}P(B) = \frac{1}{8} \implies P(B) = \frac{1}{2}$।
$(I)$ $P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)} = \frac{1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]}{1-P(B)} = \frac{1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। कथन $(I)$ सही है।
$(II)$ चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq 0$,$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। कथन $(II)$ गलत है।
$(III)$ $P(A|B)+P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1/8}{1/2} + \frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4-1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$। कथन $(III)$ गलत है।
अतः,केवल $(I)$ सही है।

(D) मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि $A$ से रवाना हुआ जहाज $B$ पर सुरक्षित पहुँचता है।
अतः,$p = \frac{9}{10} = 0.9$।
इसलिए,$q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$।
मान लीजिए $X$ उन जहाजों की संख्या को दर्शाता है जो $n = 5$ जहाजों में से $B$ पर सुरक्षित पहुँचते हैं।
यह द्विपद बंटन $B(n, p) = B(5, 0.9)$ का पालन करता है।
आवश्यक प्रायिकता $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {}^5C_4 (0.9)^4 (0.1)^1 = 5 \times (0.9)^4 \times 0.1 = 0.5 \times (0.9)^4$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 (0.9)^5 (0.1)^0 = 1 \times (0.9)^5 \times 1 = 0.9 \times (0.9)^4$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X \geq 4) = 0.5(0.9)^4 + 0.9(0.9)^4 = (0.5 + 0.9)(0.9)^4 = 1.4(0.9)^4$।