જો $A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ 2x+1 & 3x+1 & x+1 \\ 3x+1 & x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}$ હોય,તો $\int_0^1 A(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ અને તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$ છે. જો તમામ $x \in R$ માટે $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$ અને $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix}$ હોય,તો $\frac{dA}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & 1 \end{vmatrix}$ હોય,તો $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ની કિંમત શોધો.

$A$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો ક્રમ (rank) $4$ છે. જો $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક હોય અને $A^T A$ એ $7 \times 7$ શ્રેણિક હોય,તો $A$ ની હારની સંખ્યા કેટલી છે?

ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ (trace) તેના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોય કે જેથી $A$ નો ટ્રેસ $3$ હોય અને $A^3$ નો ટ્રેસ $-18$ હોય,તો $A$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો.