વિકલ સમીકરણ 3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. ધારો કે $y = vx$,

Vedclass · Accepted Answer

$3 \cos^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln |x|$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. ધારો કે $y = vx$,તેથી $y' = v + x \frac{dv}{dx}$. કિંમત મૂકતા: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$. ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. $\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$. $y(1) = 1$ હોવાથી,$x = 1$ ત્યારે $v = \frac{y}{x} = 1$. $\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી,$\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$,જેનો અર્થ છે કે $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

વિકલ સમીકરણ $3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} = 0$ નો ઉકેલ,જે $y(1) = 1$ શરતનું પાલન કરે છે,તે શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y^2-x^2) dx = xy dy$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \left( \frac{dy}{dx} \right) = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો:

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x}$ હોય,તો $\sin(\frac{y}{x})$ કોના બરાબર થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module