MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $MANAMA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M$ दो बार,$A$ तीन बार और $N$ एक बार आता है।
सबसे पहले,$M$ को छोड़कर शेष अक्षरों $A, A, A, N$ को व्यवस्थित करते हैं।
इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{3!1!} = 4$ हैं।
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $2$ $M$ को इस प्रकार रखा जा सकता है कि वे आसन्न न हों।
$5$ में से $2$ रिक्त स्थान चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
अतः,कुल विन्यासों की संख्या $4 \times 10 = 40$ है।

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। सभी दिए गए अंकों का योग $0+1+2+3+4+5 = 15$ है। चूँकि हमें $5$ अंकों की संख्या बनानी है,हमें एक अंक को हटाना होगा ताकि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटाएँ। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के तरीके $5! = 120$ हैं।
स्थिति $2$: $3$ को हटाएँ। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के तरीके $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं।
कुल तरीके $= 120 + 96 = 216$.

(A) मान लीजिए रंग $R, B, G$ हैं। $n$ शीर्षों वाले चक्र ग्राफ $C_n$ को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों,क्रोमैटिक बहुपद $P(C_n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या)।
मान रखने पर:
$P(C_5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$= 2^5 - 2$
$= 32 - 2$
$= 30$
अतः,टोपियों को वितरित करने के $30$ तरीके हैं।

(A) प्रत्येक $3$ व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $3$ घरों में से किसी एक को चुन सकते हैं।
$3$ व्यक्तियों द्वारा घरों को चुनने के कुल तरीके $= 3 \times 3 \times 3 = 27$ हैं।
तीनों व्यक्तियों के एक ही घर के लिए आवेदन करने के लिए,उन्हें या तो घर $1$,या घर $2$,या घर $3$ चुनना होगा।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ है।

(A) दिया गया है कि,उनमें से केवल एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} \dots (i)$
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{1}{2} \dots (ii)$
हम जानते हैं कि केवल एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{2} - P(A \cap B) = \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

(C) मान लीजिए समाचार पत्रों की संख्या $N$ है।
छात्रों द्वारा किए गए कुल पठन सत्र $= 300 \times 5 = 1500$।
चूंकि प्रत्येक समाचार पत्र $60$ छात्रों द्वारा पढ़ा जाता है,इसलिए कुल पठन सत्र $60 \times N$ के बराबर भी है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$60 \times N = 1500$
$N = \frac{1500}{60} = 25$।
अतः,समाचार पत्रों की संख्या $25$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $3 + 4 + 2 = 9$ है।
$9$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
तीन अलग-अलग रंगों की गेंदें प्राप्त करने के लिए,हमें एक लाल,एक नीली और एक हरी गेंद चुननी होगी।
प्रत्येक रंग की एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{3}C_{1} \times ^{4}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 3 \times 4 \times 2 = 24$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(C) जब दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हम चाहते हैं कि ऊपर के फलकों पर संख्याओं का योग कम से कम $9$ हो,जिसका अर्थ है कि योग $9, 10, 11,$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम हैं:
योग $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
योग $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
योग $= 12: (6, 6)$
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ है।

(B) दिया गया है कि घटनाएँ $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$।
$A$ के प्रतिकूल ऑड्स $8:3$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$।
$B$ के प्रतिकूल ऑड्स $5:2$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$।
चूंकि $P(A) + P(B) + P(C) = 1$,इसलिए $P(C) = 1 - (\frac{3}{11} + \frac{2}{7}) = 1 - (\frac{21+22}{77}) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$।
$C$ के प्रतिकूल ऑड्स $\frac{P(C^c)}{P(C)} = \frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - 34/77}{34/77} = \frac{43/77}{34/77} = \frac{43}{34}$ हैं।
$C$ के प्रतिकूल ऑड्स $43:17k$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{43}{17k} = \frac{43}{34}$।
अतः,$17k = 34$,जिसका अर्थ है $k = 2$।

(B) माना $H$ पति के चयन की घटना है और $W$ पत्नी के चयन की घटना है।
दिया गया है $P(H) = \frac{1}{7}$ और $P(W) = \frac{1}{5}$।
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
केवल एक के चुने जाने की प्रायिकता $P(\text{केवल } H) + P(\text{केवल } W)$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{केवल } H) = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$।
$P(\text{केवल } W) = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ है।

(D) मान लीजिए $A, B, C,$ और $D$ वे घटनाएँ हैं जिनमें चार व्यक्ति लक्ष्य को भेदते हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{5}$ हैं।
लक्ष्य के किसी के द्वारा न भेद पाने की प्रायिकता वह है जब चारों व्यक्ति लक्ष्य से चूक जाते हैं।
$P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के द्वारा लक्ष्य न भेद पाने की प्रायिकता:
$P(\text{कोई नहीं भेदता}) = P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
लक्ष्य के कम से कम एक बार भेद जाने की प्रायिकता:
$P(\text{लक्ष्य भेद दिया गया}) = 1 - P(\text{कोई नहीं भेदता}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B) = \frac{4}{7}$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उनमें से केवल एक चुना जाए।
इसके लिए सूत्र है: $P(\text{केवल एक}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B)$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B') = P(A) \times P(B')$ और $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$।
यहाँ,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ और $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$।
मान रखने पर:
$P(\text{केवल एक}) = \left(\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}\right)$
$= \frac{6}{35} + \frac{12}{35}$
$= \frac{18}{35}$।

(B) त्रिभुज $ABC$ के कोण $2:3:7$ के अनुपात में हैं। माना सामान्य गुणक $x$ है।
$\angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x$.
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ} \implies 12x = 180^{\circ} \implies x = 15^{\circ}$.
अतः,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 45^{\circ}, \angle C = 105^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
मान रखने पर: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 105^{\circ}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})}$.
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}+1}$.
अतः,$a:b:c = \sqrt{2}: 2: (\sqrt{3}+1)$.

(C) दिया गया है: $m \angle A = 45^{\circ}, m \angle B = 75^{\circ}$.
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k \sin 45^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$b = k \sin 75^{\circ} = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}$,और $c = k \sin 60^{\circ} = \frac{k\sqrt{3}}{2}$.
अब,$a + c\sqrt{2} = \frac{k}{\sqrt{2}} + \frac{k\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{k(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$.
$b$ के मान से,$2b = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(C) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A+C = 2B$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिससे $B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,हमारे पास $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$।
यह सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है।
अतः,$C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$।

(D) माना त्रिभुज के कोण $5x, x, 6x$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $5x + x + 6x = 180^{\circ}$,जिससे $12x = 180^{\circ}$ और $x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कोण $75^{\circ}, 15^{\circ}, 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin 75^{\circ}} = \frac{b}{\sin 15^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}} = k$ है।
सबसे छोटी भुजा $b$ है और सबसे बड़ी भुजा $c$ है।
अनुपात $\frac{b}{c} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{1} = \sqrt{3}-1 : 2\sqrt{2}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,$A+B+C = \pi$ होता है।
अतः,$A+C = \pi - B$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2 ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2 ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi}{2} - B\right)$
$= 2 ac \cos B$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
यह मान रखने पर:
$= 2 ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$
$= a^2+c^2-b^2$.

(B) माना $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,और $c = \sqrt{23}$ है।
कोटैंजेंट नियम का उपयोग करते हुए,$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$,और $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,$\frac{\cot A+\cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}} = \frac{b^2+c^2-a^2+a^2+b^2-c^2}{a^2+c^2-b^2} = \frac{2b^2}{a^2+c^2-b^2}$.
मान रखने पर: $a^2 = 9$,$b^2 = 16$,$c^2 = 23$.
$\frac{2(16)}{9+23-16} = \frac{32}{16} = 2$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a=3$,$b=5$,और $c=7$ हैं।
चूँकि सबसे बड़ी भुजा $c=7$ है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle C$ होगा।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\angle C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करके,हम भुजा $a$ ज्ञात करते हैं:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8) \cos 60^{\circ}$
$a^2 = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2}$
$a^2 = 73 - 24 = 49$
$a = 7$
साइन नियम का उपयोग करके,परिवृत्त त्रिज्या $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{7}{2 \sin 60^{\circ}}$
$R = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

(B) दिया गया समीकरण: $(a+b) \cos C + (b+c) \cos A + (c+a) \cos B = 72$
पदों का विस्तार करने पर: $a \cos C + b \cos C + b \cos A + c \cos A + c \cos B + a \cos B = 72$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a \cos C + c \cos A) + (b \cos A + a \cos B) + (b \cos C + c \cos B) = 72$
प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करने पर: $b = c \cos A + a \cos C$,$c = a \cos B + b \cos A$,और $a = b \cos C + c \cos B$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $b + c + a = 72$
$a = 18$ और $b = 24$ दिया गया है: $18 + 24 + c = 72$ $\Rightarrow 42 + c = 72$ $\Rightarrow c = 30$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{72}{2} = 36$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{36 \times 1296} = 6 \times 36 = 216 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) माना भुजाएँ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$,और $c = \sqrt{13}$ हैं।
चूँकि $c$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$C = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(\cos p - 1) x^2 + (\cos p) x + \sin p = 0$ है।
समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = \cos p - 1$,$b = \cos p$,और $c = \sin p$ है।
विविक्तकर की शर्त में मान रखने पर:
$(\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$
चूंकि $\cos p - 1 \neq 0$,इसलिए $\cos p \neq 1$,जिसका अर्थ है $p \neq 2n\pi$।
$p \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin p > 0$ और $\cos p - 1 < 0$ है।
अतः,$p \in (0, \pi)$ वास्तविक मूलों के लिए शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-px+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ और $\alpha\beta=r$ है।
दिया गया है कि $\frac{\alpha}{2}$ और $2\beta$ समीकरण $x^2-qx+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,जिसका अर्थ है $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$।
साथ ही,मूलों का गुणनफल $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ है,इसलिए $\alpha\beta=r$।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,जो $3\beta=2q-p$ में सरल होता है,इसलिए $\beta=\frac{2q-p}{3}$।
$\beta$ का मान $(i)$ में रखने पर,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$।
चूंकि $r=\alpha\beta$,इसलिए $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle R = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$ है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{P}{2}\right)$ और $\tan \left(\frac{Q}{2}\right)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,अतः:
मूलों का योग: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) + \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = \frac{c}{a}$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}\right) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$.
मान रखने पर: $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-b/a}{1 - c/a}$.
$1 = \frac{-b}{a-c}$.
$a - c = -b$,जिसका अर्थ है $a + b = c$.

(D) माना $e^{\sin x} = y$. चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $y > 0$.
समीकरण $y - \frac{1}{y} = 4$ हो जाता है,जो $y^2 - 4y - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = 2 \pm \sqrt{5}$.
चूँकि $y > 0$,इसलिए $y = 2 + \sqrt{5}$.
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ अर्थात $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$.
चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $\ln(4.236) > 1$.
अतः,$\sin x > 1$,जो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए संभव नहीं है।
इसलिए,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(A) दिया गया है कि $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ $H.P.$ में हैं।
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
सूत्र $\sin (A+B) + \sin (A-B) = 2 \sin A \cos B$ और $\sin (A-B) \sin (A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:
$1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(C) दिया गया है $n(A)=4$ और $n(B)=2$।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ है।
हमें $A \times B$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ अवयव हों।
$8$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^8 = 256$ है।
$0, 1,$ या $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{8}{0} = 1$,$\binom{8}{1} = 8$,और $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
इन उपसमुच्चयों का योग $= 1 + 8 + 28 = 37$।
कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^8 - (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}) = 256 - 37 = 219$।

(C) दिया गया कथन $p$ है: $\exists x \in S$ जिसके लिए $x > 0$ है।
निषेध $\sim p$ ज्ञात करने के लिए,हम नियम $\sim(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \sim P(x)$ का उपयोग करते हैं।
$\sim p : \forall x \in S, x \leq 0$.
इसका अर्थ है कि $S$ की प्रत्येक परिमेय संख्या $x$,$x \leq 0$ को संतुष्ट करती है।

(B) मान लीजिए छठी परीक्षा का स्कोर $x$ है।
छह परीक्षाओं का औसत $48$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{54+45+41+43+57+x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$।
अंक $54, 45, 41, 43, 57, 48$ हैं।
औसत $\bar{x} = 48$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2}$।
$\sigma = \sqrt{\frac{(54-48)^2 + (45-48)^2 + (41-48)^2 + (43-48)^2 + (57-48)^2 + (48-48)^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{6^2 + (-3)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + 9^2 + 0^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{36 + 9 + 49 + 25 + 81 + 0}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{200}{6}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$।

(A) प्रथम $50$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 100$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+\dots+100}{50} = \frac{2(1+2+\dots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + 50^2)$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) माना $n$ प्रेक्षणों का योग $S_n = n \bar{x}$ है।
जब तीन प्रेक्षण $n+1, n-1, 2n-1$ जोड़े जाते हैं,तो नया योग $S_{new} = n \bar{x} + (n+1) + (n-1) + (2n-1) = n \bar{x} + 4n - 1$ हो जाता है।
प्रेक्षणों की नई संख्या $n+3$ है।
दिया गया है कि माध्य समान रहता है,इसलिए:
$\bar{x} = \frac{n \bar{x} + 4n - 1}{n+3}$
दोनों पक्षों को $(n+3)$ से गुणा करने पर:
$\bar{x}(n+3) = n \bar{x} + 4n - 1$
$n \bar{x} + 3 \bar{x} = n \bar{x} + 4n - 1$
दोनों पक्षों से $n \bar{x}$ घटाने पर:
$3 \bar{x} = 4n - 1$
$4n = 3 \bar{x} + 1$
$n = \frac{3 \bar{x} + 1}{4}$

(A) संख्याओं $a, b, 8, 5, 10$ के लिए माध्य $\bar{x} = 6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ $\Rightarrow a = 7-b$ $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = 6.8$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36$
$6.8 + 36 = \frac{a^2+b^2+189}{5}$
$42.8 \times 5 = a^2+b^2+189$
$214 = a^2+b^2+189 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ (ii)
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7-b)^2 + b^2 = 25$
$49 - 14b + b^2 + b^2 = 25$
$2b^2 - 14b + 24 = 0$
$b^2 - 7b + 12 = 0$
$(b-3)(b-4) = 0$
अतः,$b=3$ या $b=4$.
यदि $b=3$,तो $a=4$. यदि $b=4$,तो $a=3$. इस प्रकार,$(a, b)$ का युग्म $(3, 4)$ या $(4, 3)$ है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ हैं।
दिया गया है कि $30$ से विचलनों का योग $50$ है,अतः:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
योग का विस्तार करने पर:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
अब,माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(C) माना अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $7$ प्रेक्षणों का माध्य $8$ है:
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42+x+y = 56$
$x+y = 14$ ... $(i)$
दिया गया है कि प्रसरण $16$ है:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2 = 16$
$\frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2 = 16$
$\frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7} = 16+64$
$460+x^2+y^2 = 7 \times 80 = 560$
$x^2+y^2 = 100$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$y = 14-x$. इसे $(ii)$ में रखने पर:
$x^2 + (14-x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x-6)(x-8) = 0$
अतः,$x=6$ और $y=8$ (या इसके विपरीत)।
गुणनफल $6 \times 8 = 48$ है।

(A) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 5$.
हम जानते हैं कि माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 50$.
अतः,$\sum x_i = 50 \times 100 = 5000$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
मान रखने पर: $5 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$.
$\sum x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$.

(C) $a, b, c$ का माध्य $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ है।
चूंकि $b = a + c$,इसलिए $\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ है।
$a+2, b+2, c+2$ का मानक विचलन $a, b, c$ के मानक विचलन के समान है,जो $d$ है।
अतः,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
इसलिए,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$।

(A) माना अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ और $n = 7$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56 \Rightarrow x + y = 14 \dots (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$80 = \frac{460 + x^2 + y^2}{7} - 64$
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $y = 14 - x$ को $(ii)$ में रखने पर:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$. अतः $x = 6$ या $x = 8$.
यदि $x = 6$ तो $y = 8$. यदि $x = 8$ तो $y = 6$.
गुणनफल $xy = 48$.
गुणनफल का वर्गमूल $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है: मूल माध्य $\bar{x} = 20$,मूल मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $y_i = p x_i - q$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया माध्य $\bar{y} = p \bar{x} - q$ और नया मानक विचलन $\sigma_y = |p| \sigma$ होता है।
नया माध्य मूल माध्य का आधा है: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$।
अतः,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$।
नया मानक विचलन मूल मानक विचलन का आधा है: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $p = \frac{1}{2}$,तो $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$। यह $q \neq 0$ शर्त का उल्लंघन करता है।
स्थिति $2$: यदि $p = -\frac{1}{2}$,तो $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$।
अतः,$q = -20$।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $a$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $a^2 \sigma^2$ हो जाता है।
यहाँ,$a = 3$ है,इसलिए नया प्रसरण $3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ होगा।
प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक $b$ जोड़ने से प्रसरण में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,अंतिम प्रसरण $45$ ही रहेगा।

(D) मान लीजिए कि मूल अवलोकन $x_1, x_2, \dots, x_6$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 12$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 3$ और $\sigma^2 = 12$ है।
अतः,नया प्रसरण:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 12$
$\sigma'^2 = 9 \times 12$
$\sigma'^2 = 108$

(B) माना अज्ञात संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ होता है।
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$14^2 = 100 + 2xy$ मिलता है।
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$
अब,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(A) दिया गया है: $n = 15$,$\sum x = 170$,और $\sum x^2 = 2830$।
संशोधित प्रेक्षणों का योग: $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$।
संशोधित वर्गों का योग: $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$।
संशोधित प्रसरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$।
$\sigma^2 = 222 - (12)^2 = 222 - 144 = 78$।

(B) कुल छात्रों की संख्या $N = 20$ है।
बारंबारताओं का योग $\Sigma f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$।
$2x^2 + 2x - 4 = 20$ $\Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0$ $\Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+4)(x-3) = 0$।
चूंकि $x \in R^{+} \cup \{0\}$,इसलिए $x = 3$ है।
अब,$x=3$ के लिए बारंबारता की गणना करें:
अंक $2$: $(3+1)^2 = 16$।
अंक $3$: $2(3)-5 = 1$।
अंक $5$: $3^2-3(3) = 0$।
अंक $7$: $3$।
योग: $16+1+0+3 = 20$। सही है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20} = \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2$ सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\frac{n+1}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{4n+2 - 3n-3}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n-1}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

(C) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,जिसका अर्थ है $2b + 3a = ab$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $12$ वर्ग इकाई दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2}|ab| = 12$,यानी $ab = \pm 24$।
स्थिति $I$: $ab = 24$। $b = \frac{24}{a}$ को $2b + 3a = ab$ में रखने पर,$2(\frac{24}{a}) + 3a = 24$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 8a + 16 = 0$ में सरल हो जाता है। इससे $a = 4$ और $b = 6$ प्राप्त होता है। यह $1$ रेखा देता है।
स्थिति $II$: $ab = -24$। $b = \frac{-24}{a}$ को $2b + 3a = ab$ में रखने पर,$2(\frac{-24}{a}) + 3a = -24$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 8a - 16 = 0$ में सरल हो जाता है। इसके हल $a = -4 \pm 4\sqrt{2}$ हैं। चूंकि $b = \frac{-24}{a}$ है,इसलिए $a$ के प्रत्येक मान के लिए $b$ का एक भिन्न मान प्राप्त होता है। यह $2$ अतिरिक्त रेखाएं देता है।
अतः,संभावित रेखाओं की कुल संख्या $1 + 2 = 3$ है।

(A) दिए गए शीर्ष $A(-4, 5, p)$,$B(3, 1, 4)$ और $C(-2, 0, q)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G(r, q, 1)$,$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$r = \frac{-4+3-2}{3} = -1$
$q = \frac{5+1+0}{3} = 2$
$1 = \frac{p+4+q}{3} \Rightarrow p+4+q = 3$
$q=2$ रखने पर: $p+4+2 = 3 \Rightarrow p = -3$.
अब,$2p + q - r$ का मान:
$2(-3) + 2 - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

(D) रेखा $L$ बिंदु $(13, 32)$ से गुजरती है।
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$
$\frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$b = -20$
अतः,$L$ का समीकरण $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ है,जिसे $4x - y - 20 = 0$ लिखा जा सकता है।
$L$ की ढाल $m_1 = 4$ है।
चूंकि रेखा $K$,$L$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = 4$ होगी।
$K$ का समीकरण $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ है,अर्थात $y = -\frac{3}{c}x + 3$।
इसलिए,$-\frac{3}{c} = -4 \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$।
$K$ का समीकरण $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow 4x - y + 3 = 0$ होता है।
$4x - y - 20 = 0$ और $4x - y + 3 = 0$ के बीच की दूरी $\frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$ है।

(D) माना $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (2,3)$ हैं।
माध्यिका $OD$,$(0,0)$ और $(2,3)$ से होकर गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{3}{2}x$ है,जिसे $3x-2y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$ है।
शीर्षलंब $OE$,$AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_{OE} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ है।
शीर्षलंब $OE$ का समीकरण $y = -x$ है,जिसे $x+y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माध्यिका और शीर्षलंब का संयुक्त समीकरण $(3x-2y)(x+y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ है।

(B) माना $D$,रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
माना $A = (x_1, y_1)$ और $B = (x_2, y_2)$ है।
तब $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ होगा।
भुजाओं $OA$ और $OB$ का संयुक्त समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $2x+3y-1=0$ है,इसलिए $x = \frac{1-3y}{2}$ है।
इस मान को संयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1-3y}{2})^2 - 4(\frac{1-3y}{2})y + y^2 = 0$
$(1-3y)^2 - 8y(1-3y) + 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 8y + 24y^2 + 4y^2 = 0$
$37y^2 - 14y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $y_1+y_2 = \frac{14}{37}$ है।
$D$ का $y$-निर्देशांक $= \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{37}$ है।
चूंकि $D$,$2x+3y-1=0$ पर स्थित है:
$2x + 3(\frac{7}{37}) - 1 = 0$
$2x + \frac{21}{37} - 1 = 0$
$2x = 1 - \frac{21}{37} = \frac{16}{37} \Rightarrow x = \frac{8}{37}$ है।
अतः,$D = (\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ और $(\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ से गुजरने वाली माध्यिका $OD$ का समीकरण:
$\frac{y-0}{x-0} = \frac{7/37}{8/37} = \frac{7}{8}$
$8y = 7x \Rightarrow 7x-8y=0$।

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
इस प्रकार,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - |x|)$.
चूंकि $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$,अतः $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - (-x)) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(2x) = \lim_{x \to 0^{-}} ax = 0$.
यह $a$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।
अब,दाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)$.
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1$.
$bx^2$ से गुणा करने पर,हमें $-|bx^2| \leq bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq |bx^2|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x \to 0$,$bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \to 0$.
यह $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$,$a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए $x = 0$ पर सतत है।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा का मान $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0)$
दिया गया है $f(0) = a$।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = a$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ प्राप्त होता है।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = a$
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $4$ से गुणा और भाग करने पर।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = a$
$2 \times (1)^2 \times 4 = a$
$a = 8$.

(A) चूंकि $f(x)$ सर्वत्र सतत है,इसलिए यह $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होगा।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B$
$-2(-1) = A(-1) + B$
$2 = -A + B$ ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = \cos(\frac{\pi}{2})$
$A(1) + B = 0$
$A + B = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(-A + B) + (A + B) = 2 + 0$
$2B = 2 \Rightarrow B = 1$
$B = 1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$A + 1 = 0 \Rightarrow A = -1$
अतः,$A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होते हैं।

(A) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होगा।
अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'Hospital नियम का उपयोग करेंगे:
$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\tan x)}{\frac{d}{dx}(4x-\pi)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
अब $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{-\sec^2(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) चूंकि $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सतत है,इसलिए यह $x=\frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होना चाहिए।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$.
चूंकि $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,हम $x = 0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$.
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$.
अब,हम $x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं।
$x > 0$ के लिए $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = 3 \cos x - 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^+) = 3(1) - 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
$x < 0$ के लिए $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = \cos x + 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^-) = 1 + 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
चूंकि $f'(0^+) = f'(0^-) = 2$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूंकि फलन अन्य सभी बिंदुओं पर अवकलनीय फलनों से बना है,इसलिए $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय है।
अतः,$K$ एक रिक्त समुच्चय है।

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)\right] \cos x \, dx$ है।
हम समाकलन को $I = I_1 + I_2$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं,जहाँ $I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ और $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ है।
चूँकि $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos(-x) = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x = -f(x)$,इसलिए $I_2 = 0$ होगा।
अब,$I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ (चूँकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है)।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left[x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) \, dx\right] = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$।
$0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक सीमाएँ रखने पर: $2 \left[x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left[\left(\frac{\pi^2}{4} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1\right) - (0 + 0 - 0)\right] = 2 \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$।
अतः,$I = \frac{\pi^2}{2} - 4$।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{3-2 \cos 2x}$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{3-2(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x})} = \int \frac{(1+\tan^2 x) dx}{3(1+\tan^2 x) - 2(1-\tan^2 x)}$.
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{3+3\tan^2 x - 2 + 2\tan^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1+5\tan^2 x}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{dt}{1+(\sqrt{5}t)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5}t) + c$.
$t = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} \tan x) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{\tan^{-1}(f(x))}{\sqrt{5}} + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{5} \tan x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(\pi/4) = \sqrt{5} \tan(\pi/4) = \sqrt{5} \times 1 = \sqrt{5}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \sqrt{\cos \theta} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d \theta$.
माना $\cos \theta = t$,तब $-\sin \theta d \theta = dt$,अर्थात $\sin \theta d \theta = -dt$.
जब $\theta = 0$,तब $t = 1$. जब $\theta = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \frac{1}{2}$.
$I = \frac{-1}{\sqrt{2 k}} \int_{1}^{\frac{1}{2}} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{\frac{1}{2}}^{1} t^{-\frac{1}{2}} dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2 k}} [2\sqrt{t}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{\sqrt{2 k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
दिया गया है कि $I = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{k} = \sqrt{2}$,अतः $k = 2$.

(C) $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)} dx$
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1+\tan ^2 x}$ और $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan ^2 x}{2 \tan x(\tan ^5 x + \frac{1}{\tan ^5 x})} dx$
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^2 x}{2 \tan x(\frac{\tan ^{10} x + 1}{\tan ^5 x})} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^4 x \sec ^2 x}{2(\tan ^{10} x + 1)} dx$
माना $\tan x = t$,तब $\sec ^2 x dx = dt$.
जब $x = \frac{\pi}{6}, t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. जब $x = \frac{\pi}{4}, t = 1$.
$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} \frac{t^4}{2(t^{10} + 1)} dt$
माना $t^5 = u$,तब $5t^4 dt = du$,अर्थात $t^4 dt = \frac{du}{5}$.
जब $t = \frac{1}{\sqrt{3}}, u = (\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = \frac{1}{9 \sqrt{3}}$. जब $t = 1, u = 1$.
$I = \frac{1}{10} \int_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1} \frac{du}{u^2 + 1} = \frac{1}{10} [\tan ^{-1} u]_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1}$
$I = \frac{1}{10} (\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}})) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan ^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}}))$

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)}$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{2 \sin x \cos x(\tan ^5 x+\frac{1}{\tan ^5 x})}$
अंश और हर को $\sec^2 x$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan x(\frac{\tan^{10} x+1}{\tan^5 x})} dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^4 x \sec^2 x}{\tan^{10} x+1} dx$
माना $t = \tan^5 x$,तब $dt = 5 \tan^4 x \sec^2 x dx$,अर्थात $\tan^4 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{5}$.
जब $x = \frac{\pi}{6}$,तब $t = (\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = \frac{1}{9 \sqrt{3}}$. जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $t = 1^5 = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1} \frac{dt/5}{t^2+1} = \frac{1}{10} [\tan^{-1} t]_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1}$
$I = \frac{1}{10} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}})) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}}))$

(A) माना $I = \int_0^a \frac{x-a}{x+a} dx$.
$t = x + a$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t - a$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $t = a$.
जब $x = a$,तो $t = 2a$.
अतः,$I = \int_a^{2a} \frac{(t-a)-a}{t} dt = \int_a^{2a} \frac{t-2a}{t} dt$.
$I = \int_a^{2a} (1 - \frac{2a}{t}) dt$.
$I = [t]_a^{2a} - 2a [\log |t|]_a^{2a}$.
$I = (2a - a) - 2a (\log 2a - \log a)$.
$I = a - 2a \log(\frac{2a}{a})$.
$I = a - 2a \log 2$.

(D) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{-2}^0 ((x + 1)^3 + 4 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$.
$t = x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = -2$,तब $t = -1$ और जब $x = 0$,तब $t = 1$।
अतः,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 4 + t \cos t) \, dt$.
हम जानते हैं कि $t^3$ और $t \cos t$ विषम फलन हैं,और सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकल $0$ होता है।
इसलिए,$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 4 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$.
$I = 0 + \int_{-1}^1 4 \, dt + 0$.
$I = 4 [t]_{-1}^1 = 4(1 - (-1)) = 4(2) = 8$.
सही उत्तर $8$ है।

(C) मान लीजिए $I = \int_0^a f(x) g(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^a f(a-x) g(a-x) dx$.
चूंकि $f(x) = f(a-x)$ और $g(a-x) = 4 - g(x)$,हम इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_0^a f(x) (4 - g(x)) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x) g(x) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 4 \int_0^a f(x) dx$.
$I = 2 \int_0^a f(x) dx$.

(A) माना $I=\int_{\sqrt{\log 2}}^{\sqrt{\log 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin (\log 6-x^2)} d x$.
$x^2=t$ रखने पर,$2x \, dx = dt$,अतः $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
सीमाएँ इस प्रकार बदलती हैं: जब $x = \sqrt{\log 2}$,तो $t = \log 2$; जब $x = \sqrt{\log 3}$,तो $t = \log 3$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 2 + \log 3 - t)}{\sin (\log 2 + \log 3 - t) + \sin (\log 6 - (\log 2 + \log 3 - t))} dt$
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 6 - t)}{\sin (\log 6 - t) + \sin t} dt \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t + \sin (\log 6 - t)}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt$
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} 1 \, dt = \frac{1}{2} [t]_{\log 2}^{\log 3} = \frac{1}{2} (\log 3 - \log 2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{2}\right)$
$I = \frac{1}{4} \log \left(\frac{3}{2}\right)$.

(A) माना $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$.
माना $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
तब $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$.
चूंकि $g(-x) = -g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$.
अब,महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए:
अंतराल $[-\frac{1}{2}, 0)$ में,$[x] = -1$.
अंतराल $[0, \frac{1}{2}]$ में,$[x] = 0$.
अतः,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$.
$I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} \,dx \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-(-x)}} \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} \,dx \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \left( \frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} \right) dx$
चूँकि $\frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} = 1$, इसलिए:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
चूँकि $f(x) = x^2 \cos x$ एक सम फलन है, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$, अतः $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x \,dx$
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - 2([-x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx)$
$I = [x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$I = ((\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(\frac{\pi}{2})) - 0$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2$

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$.
फलन $|\sin x - \cos x|$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x = \frac{\pi}{4}$ पर अपना चिह्न बदलता है।
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x \geq \sin x$,इसलिए $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.
$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \geq \cos x$,इसलिए $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x - \sin x) d x + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x - \cos x) d x$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = [(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)] + [(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})]$.
$I = [(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)] + [(0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})]$.
$I = [\frac{2}{\sqrt{2}} - 1] + [-1 + \frac{2}{\sqrt{2}}]$.
$I = \sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^{-4} \,dx$.
चूंकि $f(x) = (\sin x)^{-4} = \frac{1}{\sin^4 x}$ एक सम फलन (even function) है,इसलिए:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc^4 x \,dx$.
सर्वसमिका $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cot^2 x) \csc^2 x \,dx$.
माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x \,dx$.
जैसे $x \to 0^+$,$u \to \infty$. जब $x = \frac{\pi}{4}$,$u = 1$.
$I = 2 \int_{\infty}^{1} (1 + u^2) (-du) = 2 \int_{1}^{\infty} (1 + u^2) \,du$.
इस समाकलन का मान निकालने पर: $2 [u + \frac{u^3}{3}]_{1}^{\infty} = \infty$.
अतः,यह समाकलन अपसारी (divergent) है।

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}\right) dx$.
समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \tan \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right] dx$.
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}\right] dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{1 + \tan x + 1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + \tan x)) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$.
$I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(C) हम महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के अंतराल के आधार पर निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:
$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = \int_{0.2}^{1} [x] \, dx + \int_{1}^{2} [x] \, dx + \int_{2}^{3} [x] \, dx + \int_{3}^{3.5} [x] \, dx$
चूँकि $x \in [0.2, 1)$ के लिए $[x] = 0$,$x \in [1, 2)$ के लिए $[x] = 1$,$x \in [2, 3)$ के लिए $[x] = 2$,और $x \in [3, 3.5)$ के लिए $[x] = 3$ है:
$= \int_{0.2}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{3.5} 3 \, dx$
$= 0 + [x]_{1}^{2} + 2[x]_{2}^{3} + 3[x]_{3}^{3.5}$
$= 0 + (2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(3.5 - 3)$
$= 0 + 1 + 2(1) + 3(0.5)$
$= 1 + 2 + 1.5 = 4.5$

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[ 1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \right] \, dx$
चूँकि $\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( 1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{2}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - I$
$2I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \log 2$
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$

(D) अंतराल $[0, 5]$ में महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ की परिभाषा के आधार पर हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$\int_0^5 x^2[x] d x = \int_0^1 x^2(0) d x + \int_1^2 x^2(1) d x + \int_2^3 x^2(2) d x + \int_3^4 x^2(3) d x + \int_4^5 x^2(4) d x$
$= 0 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 + 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^3 + 3\left[\frac{x^3}{3}\right]_3^4 + 4\left[\frac{x^3}{3}\right]_4^5$
$= \frac{1}{3}(8 - 1) + \frac{2}{3}(27 - 8) + \frac{3}{3}(64 - 27) + \frac{4}{3}(125 - 64)$
$= \frac{7}{3} + \frac{38}{3} + 37 + \frac{244}{3}$
$= \frac{7 + 38 + 111 + 244}{3} = \frac{400}{3}$

(C) माना $1+\tan x = t$. तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 1+\tan(0) = 1$.
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $t = 1+\tan(\frac{\pi}{4}) = 2$.
समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_1^2 \frac{dt}{t(t+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
अतः,समाकलन $\int_1^2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$ होगा।
$= [\log|t| - \log|t+1|]_1^2 = [\log|\frac{t}{t+1}|]_1^2$.
$= \log(\frac{2}{3}) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{2/3}{1/2}) = \log(\frac{4}{3})$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+2^x} \,d x$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \,d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \,d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 (-x)}{1+2^{-x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+\frac{1}{2^x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2^x \sin ^2 x}{2^x+1} \,d x$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x (1+2^x)}{1+2^x} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$
चूँकि $\sin ^2 x$ एक सम फलन है, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$, अतः $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$.
$\sin ^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2x}{2} \,d x = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना कि $I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1+\cos x}}{(1-\cos x)^{\frac{5}{2}}} d x$.
अंश और हर को $\sqrt{1-\cos x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{(1-\cos x)^3} d x = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(1-\cos x)^3} d x$.
माना कि $t = 1 - \cos x$,तब $dt = \sin x \, dx$.
जब $x = \pi/3$,तब $t = 1 - \cos(\pi/3) = 1 - 1/2 = 1/2$.
जब $x = \pi/2$,तब $t = 1 - \cos(\pi/2) = 1 - 0 = 1$.
अतः,$I = \int_{1/2}^{1} t^{-3} dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1/2}^{1} = -\frac{1}{2} [1 - (1/2)^{-2}] = -\frac{1}{2} [1 - 4] = -\frac{1}{2} (-3) = \frac{3}{2}$.

(B) सहखंडज आव्यूह ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अवयव $a_{ij}$ के लिए सहखंड $A_{ij}$ की गणना सूत्र $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ का उपयोग करके करते हैं,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2-2) = 0$
$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(6 - (-2)) = -8$
$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(3 - (-1)) = 4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(4 - 1) = 3$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(2 - 0) = -2$
$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = 1$
$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(4 - (-3)) = -7$
$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(2 - 0) = 2$
अतः,सहखंडज आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}0 & -8 & 4 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -7 & 2\end{array}\right]$ है।

(B) दिया गया है $w = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जिसे $\omega$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega\end{array}\right|$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ \omega + \omega^2 + 1 & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 + 1 + \omega & 1 & \omega\end{array}\right|$
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & 1 \\ 0 & 1 & \omega\end{array}\right|$
चूँकि पहले स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$
इससे रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$a - b + 2c = 3$ $(i)$
$2a + c = 1$ $(ii)$
$3a + 2b + c = 4$ $(iii)$
$(ii)$ से,$c = 1 - 2a$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $a - b + 2(1 - 2a) = 3 \implies a - b + 2 - 4a = 3 \implies -3a - b = 1 \implies b = -3a - 1$.
$a, b, c$ के मान $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3a + 2(-3a - 1) + (1 - 2a) = 4$
$3a - 6a - 2 + 1 - 2a = 4$
$-5a - 1 = 4$
$-5a = 5 \implies a = -1$.
अब $b$ और $c$ ज्ञात करें:
$b = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$c = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
अंत में,$2a - 3b + 4c$ की गणना करें:
$2(-1) - 3(2) + 4(3) = -2 - 6 + 12 = 4$.

(B) दिए गए आव्यूह समीकरण $AX = B$ के लिए:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ -2 \end{bmatrix}$
तीसरी पंक्ति से,$2x_2 = -2$,जिससे $x_2 = -1$ प्राप्त होता है।
$x_2 = -1$ को दूसरी पंक्ति के समीकरण $3x_2 - 5x_3 = -8$ में रखने पर:
$3(-1) - 5x_3 = -8 \Rightarrow -3 - 5x_3 = -8 \Rightarrow -5x_3 = -5 \Rightarrow x_3 = 1$.
$x_2 = -1$ और $x_3 = 1$ को पहली पंक्ति के समीकरण $x_1 - x_2 + x_3 = 4$ में रखने पर:
$x_1 - (-1) + 1 = 4 \Rightarrow x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2$.
अतः,$X = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]^2 = kx$
सबसे पहले,भिन्नात्मक घात को हटाकर समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3} = kx$
अब,दोनों पक्षों को $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$ से गुणा करने पर:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2 = kx \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है,जो कि $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,अतः कोटि $2$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो,जो कि $3$ है।
अतः,कोटि $2$ और घात $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + 4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5}{\frac{d^3 y}{dx^3}} + \frac{d^3 y}{dx^3} = \sin x$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\frac{d^3 y}{dx^3}$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 \cdot \frac{d^3 y}{dx^3} + 4\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + \left(\frac{d^3 y}{dx^3}\right)^2 = \sin x \cdot \frac{d^3 y}{dx^3}$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m^2 + n^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
अचरों को समूहित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:
माना $A = c_1 + c_2$ और $B = c_4 e^{c_5}$.
तब समीकरण $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ हो जाता है।
कोसाइन पद का विस्तार करने पर: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
माना $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,और $K_3 = -B$.
इस प्रकार,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(K_1, K_2, K_3)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,दिए गए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y^2 = (x + c)^3$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(x + c)^2$
यहाँ से,$(x + c)^2 = \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + c)^6 = \left(\frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}\right)^3$
चूँकि $(x + c)^3 = y^2$,इसलिए $(x + c)^6 = (y^2)^2 = y^4$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^4 = \frac{8y^3}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
दोनों पक्षों को $y^3$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = \frac{8}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
$27y = 8 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
मान लीजिए $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,जहाँ $\log(c)$ समाकलन स्थिरांक है।
$\log(\log v) = \log(cx)$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ $(i)$ है।
माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}$.
$(i)$ में मान रखने पर,$1-\frac{dt}{dx}=t^2$,अतः $\frac{dt}{dx}=1-t^2$.
चरों को अलग करने पर,$dx = \frac{1}{1-t^2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x = \int \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + c$.
$t=x-y$ रखने पर,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + c$.
दिया है $y(1)=1$,अर्थात $x=1$ पर $y=1$: $1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+1-1}{1-1+1}\right| + c \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} \log(1) + c \Rightarrow c=1$.
अतः,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + 1$.
$x-1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| \Rightarrow 2(x-1) = \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right|$.
$\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर,$2(x-1) = -\log \left|\frac{1-x+y}{1+x-y}\right|$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$.
$C$ का मान रखने पर: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
अब,$x = \frac{\pi}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{5+e^x}{2+y}\right) \frac{dy}{dx} + e^x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{2+y} = -\frac{e^x}{5+e^x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{2+y} = -\int \frac{e^x}{5+e^x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\log |2+y| = -\log |5+e^x| + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\log |2+1| = -\log |5+e^0| + C \Rightarrow \log 3 = -\log 6 + C \Rightarrow C = \log 3 + \log 6 = \log 18$.
अतः,$\log |2+y| = \log \left|\frac{18}{5+e^x}\right|$,जिसका अर्थ है $2+y = \frac{18}{5+e^x}$.
इस प्रकार,$y(x) = \frac{18}{5+e^x} - 2$.
$x = \log 13$ के लिए,$y(\log 13) = \frac{18}{5+e^{\log 13}} - 2 = \frac{18}{5+13} - 2 = \frac{18}{18} - 2 = 1 - 2 = -1$.

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है।
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$.
सामान्य हल में $c=2$ रखने पर,हमें $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)(1+\log x) dx + x dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1+y^2)(1+\log x) dx = -x dy$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+\log x}{x} dx = -\frac{1}{1+y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x} dx = -\int \frac{1}{1+y^2} dy$
माना $1+\log x = t$,तब $\frac{1}{x} dx = dt$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\int t dt = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{t^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$x=1, y=1$ पर: $\frac{(1+\log 1)^2}{2} = -\tan^{-1}(1) + C$
$\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + C \implies C = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$C$ का मान वापस रखने पर: $\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1 + 2\log x + (\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1}{2} + \log x + \frac{(\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\log x + \frac{(\log x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$
चरों को अलग करने पर: $dy = x \tan^{-1} x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int x \tan^{-1} x dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = \tan^{-1} x$ और $dv = x dx$:
$y = \tan^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$
अंश में $1$ जोड़ने और घटाने पर:
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx \right)$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 - v^2x^2}}{x}$
$v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 - v^2}$
$x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2}$
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(v) = \log|x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1} \dots (i)$
माना $x+y = v$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{v-1}{2v} dv = dx$
$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{v}) dv = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2} (v - \log|v|) = x + c_1$
$v - \log|v| = 2x + 2c_1$
$v = x+y$ रखने पर:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - \log|x+y| = x + c$
$y = x + \log|x+y| + c$,जहाँ $c = -2c_1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\sin x + \cos x}{1 + y \log y} \right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{e^y}{e^x} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 + y \log y} (\sin x + \cos x)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{e^y (1 + y \log y)}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
सर्वसमिका $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $e^y \log y = e^x \sin x + c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ है।
$xy$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.
$2$ से गुणा करने पर,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.
अतः,$1+v^2 = c x^2$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = c x^4$ बनता है।
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $1^2 + 0^2 = c(1)^4$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $x^2 + y^2 = x^4$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(-\frac{y}{2}\right) = -2 \sin \left(\frac{y}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$
चरों को पृथक करने पर: $\int \operatorname{cosec} \left(\frac{y}{2}\right) dy = -\int 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2 \log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -4 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + c_1$
$2$ से भाग देने पर: $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + C$,जहाँ $C = \frac{c_1}{2}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x^2+4x-9 = (x^2+4x+4) - 13 = (x+2)^2 - 13$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)^2 - 13}{x+2} = (x+2) - \frac{13}{x+2}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (x+2) dx - 13 \int \frac{1}{x+2} dx$.
$y = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + C$.
दिया गया है $y(0) = 0$,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$0 = \frac{(0+2)^2}{2} - 13 \ln|0+2| + C$.
$0 = 2 - 13 \ln(2) + C \implies C = 13 \ln(2) - 2$.
इस प्रकार,हल $y(x) = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + 13 \ln(2) - 2$ है।
अब,$y(-4)$ ज्ञात करते हैं:
$y(-4) = \frac{(-4+2)^2}{2} - 13 \ln|-4+2| + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{(-2)^2}{2} - 13 \ln(2) + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x} + 3e^{4x}}{e^x + e^{-x}}$
अंश से $3e^{2x}$ कॉमन लेने पर: $3e^{2x}(1 + e^{2x})$
हर का सरलीकरण करने पर: $e^x + e^{-x} = e^x + \frac{1}{e^x} = \frac{e^{2x} + 1}{e^x}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}(1 + e^{2x})}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}}$
समान पद $(1 + e^{2x})$ को काटने पर: $\frac{dy}{dx} = 3e^{2x} \cdot e^x = 3e^{3x}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int 3e^{3x} dx$
$y = 3 \cdot \frac{e^{3x}}{3} + c = e^{3x} + c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$
चरों को अलग करने पर: $\sec^2 v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx + C \Rightarrow \tan v = -\log |x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\tan \frac{y}{x} = -\log x + C \dots (iii)$
वक्र $(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरता है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = -\log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$
अतः,$\tan \frac{y}{x} = 1 - \log x = \log e - \log x = \log \frac{e}{x}$
इसलिए,$y = x \tan^{-1} \left( \log \frac{e}{x} \right)$.