फलन f(x) = begin{cases} x+a sqrt{2} sin x, & | vedclass

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Question

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:$(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.इस प्रकार,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2}, & \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + x + \lambda \log 4, & \text{यदि } x \leqslant 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $1000 e^\lambda = $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f$ की सांतत्यता की जाँच कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।

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