MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $I = \int \cos ^{-\frac{3}{7}} x \cdot \sin ^{-\frac{11}{7}} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{3}{7}} x} \, dx = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \cos ^{-\frac{3}{7} + \frac{11}{7}} x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{\frac{8}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^{\frac{8}{7}} x \, dx$
अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{\tan ^{\frac{11}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^2 x \, dx$
$u = \tan x$ प्रतिस्थापन लेने पर,$du = \sec ^2 x \, dx$ प्राप्त होता है:
$I = \int u^{-\frac{11}{7}} \, du = \frac{u^{-\frac{11}{7} + 1}}{-\frac{11}{7} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{4}{7}}}{-\frac{4}{7}} + c = -\frac{7}{4} \tan ^{-\frac{4}{7}} x + c$.

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$.
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(y)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
यह सरल होकर बनता है: $\frac{\pi}{2} - 2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$.
दोनों पक्षों का $\tan$ लेने पर: $\tan(2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$.
अर्ध-कोण सूत्र $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
हालाँकि,मानक सर्वसमिका $2 \tan ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$.
अतः,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

(D) माना $\cot^{-1} x = \theta$ है। तब $x = \cot \theta$ होगा।
चूंकि $0 < x < 1$ है,$\theta$ अंतराल $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
साथ ही,$\cos \theta = \cot \theta \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}) + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\frac{x^2 + 1}{\sqrt{1 + x^2}})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\sqrt{1 + x^2})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (1 + x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (x^2)^{\frac{1}{2}}$
चूंकि $x > 0$ है,$(x^2)^{\frac{1}{2}} = x$ होगा।
अतः,$E = x \sqrt{1 + x^2}$।

(D) माना $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$ है।
सबसे पहले,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ को $\tan ^{-1}$ रूप में बदलें:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$।
अब,पहले दो पदों का योग ज्ञात करें:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$।
यहाँ $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ होता है।
अतः,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,व्यंजक का मान $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(z)+\cos ^{-1}(z)=\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
अब,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ को $\sin ^{-1}$ रूप में बदलने पर: $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$।

(B) दिया गया है $f(\theta) = \sin ( \tan ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} ) )$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x = \sin ^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} )$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}}{\sqrt{1 + \frac{\sin ^2 \theta}{\cos 2 \theta}}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
चूँकि $\cos 2 \theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta}} ) )$
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos \theta > 0$,इसलिए $\sqrt{\cos ^2 \theta} = \cos \theta$.
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ) ) = \sin ( \sin ^{-1} ( \tan \theta ) ) = \tan \theta$.
अब,हमें $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $u = \tan \theta$. तो $f(\theta) = u$.
अतः,$\frac{d}{du}(u) = 1$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
मान लीजिए $\theta_1 = \cot ^{-1}(x+1)$। तब $\cot \theta_1 = x+1$। सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2+2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$।
मान लीजिए $\theta_2 = \tan ^{-1} x$। तब $\tan \theta_2 = x$। सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+2x+2 = 1+x^2$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x+2 = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें $\cot \left(\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}$ को $\tan^{-1}$ में बदलें। चूँकि $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ होगा।
माना $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{3}{5}$। अतः,$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5^2-3^2}} = \frac{3}{4}$। इस प्रकार,$\sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ होगा।
अब व्यंजक $\cot \left(\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$।
अंत में,$\cot \left(\tan^{-1} \frac{17}{6}\right) = \cot \left(\cot^{-1} \frac{6}{17}\right) = \frac{6}{17}$।

(C) माना $\cot ^{-1} x = \theta$,तब $x = \cot \theta$.
चूंकि $0 < x < 1$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
व्यंजक $\sqrt{1+x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$ है।
$x = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{1+\cot^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta [\{\frac{1}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cot^2 \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \cdot \cot \theta$ (चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cot \theta > 0$ है)
यहाँ $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1+x^2}$ और $\cot \theta = x$ है,अतः उत्तर $x \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ है।
चूंकि $\cos^{-1} x = \alpha$,इसलिए $x = \cos \alpha$ है। दिया गया है कि $0 < x < 1$,अतः $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ होगा।
समीकरण में $x = \cos \alpha$ रखने पर:
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 \cos^2 \alpha - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sin \alpha) + \sec^{-1} (\frac{1}{\cos 2 \alpha}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) + \cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = \frac{2 \pi}{3}$
यहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $0 < 2 \alpha < \pi$ होगा। अतः $\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) = 2 \alpha$ और $\cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = 2 \alpha$ होगा।
इस प्रकार,$2 \alpha + 2 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$4 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) माना कि $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$।
अतः $2\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,जिसका अर्थ है $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$।
दिया गया व्यंजक $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ है।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$= \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$
$= \frac{(1+\tan \theta)^2 + (1-\tan \theta)^2}{(1-\tan \theta)(1+\tan \theta)}$
$= \frac{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta + 1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1+\tan^2 \theta)}{1-\tan^2 \theta}$
$= \frac{2}{\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}$
$= \frac{2}{\cos 2\theta}$
$\cos 2\theta = \frac{a}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है।
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ को परिभाषित होने के लिए,$x(x+1) \geq 0$ होना चाहिए।
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क को $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$।
असमिका $x^2+x+1 \leq 1$ सरल होकर $x^2+x \leq 0$ हो जाती है,या $x(x+1) \leq 0$।
$x(x+1) \geq 0$ और $x(x+1) \leq 0$ को संयोजित करने पर,हमें $x(x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह एक हल है।
$x = -1$ की जाँच करने पर: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह भी एक हल है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(D) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
दिया गया है कि $\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y + \cos ^{-1} z = 3\pi$ है।
चूंकि प्रत्येक पद अधिकतम $\pi$ हो सकता है,इसलिए उनका योग $3\pi$ केवल तभी संभव है जब प्रत्येक पद $\pi$ के बराबर हो।
अतः,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,और $\cos ^{-1} z = \pi$ है।
इसका अर्थ है कि $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,और $z = \cos(\pi) = -1$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक $x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 - 2(-1)(-1)(-1)$
$= 1 + 1 + 1 - 2(-1)$
$= 3 + 2$
$= 5$.

(C) दिया गया है: $\cot ^{-1}(7)+\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}(18)=\cot ^{-1} x$
गुणधर्म $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ ($y > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{1}{7})+\tan ^{-1}(\frac{1}{8})+\tan ^{-1}(\frac{1}{18})=\tan ^{-1}(\frac{1}{x})$
सबसे पहले,$\tan ^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{8})$ के लिए $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का प्रयोग करने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}{1-(\frac{1}{7})(\frac{1}{8})}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan ^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan ^{-1}(\frac{3}{11})$
अब,तीसरा पद जोड़ने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{3}{11}+\frac{1}{18}}{1-(\frac{3}{11})(\frac{1}{18})})$
$= \tan ^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan ^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{3})$
अतः,$\tan ^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{x})$,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के निम्नलिखित गुणों को जानते हैं: $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x)$,$\operatorname{cosec}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosec}^{-1}(x)$,और $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$.
साथ ही,$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$.

(C) हमारे पास $\cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right\}$ है।
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ और $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi}{10} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{5\pi - 2\pi}{20}\right)\right\} = \cos ^{-1}\left\{-\cos \frac{3\pi}{20}\right\}$
चूंकि $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,इसलिए:
$= \pi - \cos^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{20}\right)$
$= \pi - \frac{3\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}$.

(D) दिया गया है,$\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\pi-\cos ^{-1} z$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right]=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow x y-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z$
$\Rightarrow x y+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x y+z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2 y^2+2 x y z+z^2=1-y^2-x^2+x^2 y^2$
$x^2+y^2+z^2+2 x y z=1$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $x^2+y^2+z^2+k x y z=1$ से करने पर,हमें $k=2$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ इस अंतराल में नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan (\pi + \frac{\pi}{6})\right)$
सर्वसमिका $\tan (\pi + \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)$
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,इसलिए व्यंजक का मान है:
$= \frac{\pi}{6}$

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+2)+\tan ^{-1}(x-2) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)+(x-2)}{1-(x+2)(x-2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-(x^2-4)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{5-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{2x}{5-x^2} = \frac{1}{2}$
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x+5)(x-1) = 0$
अतः,$x = -5$ या $x = 1$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
गुणधर्म $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
चूंकि $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,व्यंजक बन जाता है:
$-\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x = \frac{1}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) माना कि $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\phi = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$,और अतः $\tan \theta = 1$ होगा।
दिया गया व्यंजक $\tan (\theta + \phi)$ है।
सूत्र $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करने पर:
$\tan (\theta + \phi) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - (1)(\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$.

(C) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$।
और $\cos \beta = \frac{12}{13}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$।
सर्वसमिका $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65}$
$= \frac{33}{65}$।

(B) माना $x = \cos 2\theta$.
तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
व्यंजक में $x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2\theta}-\sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}\right)$
$= \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta))$
$= \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
अब,दूसरा पद जोड़ने पर:
$(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x) + \frac{1}{2} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$ और $\sin ^{-1}(x) + \cos ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना दिया गया व्यंजक $E = \sin \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$ है।
गुणधर्म $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \sin \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$.
अब,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पदों को समूहबद्ध करने पर:
$E = \sin \left(\pi - \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)$.
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1}(x) + \sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए:
$E = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
अतः,$E = 1$।

(C) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य शाखाओं के मान जानते हैं:
$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi - \frac{\pi}{3}$
$= \pi - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$
$= \pi - \left(\frac{4\pi + 4\pi + 3\pi}{12}\right)$
$= \pi - \frac{11\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

(C) हम सूत्र $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है $\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x}\right)=\tan ^{-1}(-7)$।
सूत्र लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x}}{1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x}\right)}\right]=\tan ^{-1}(-7)$।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x(x+1)+(x-1)^2}{x(x-1)-(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-x-(x^2-1)} = \frac{2x^2-x+1}{1-x}$।
तर्कों की तुलना करने पर,$\frac{2x^2-x+1}{1-x} = -7$।
$2x^2-x+1 = -7(1-x) = -7+7x$।
$2x^2-8x+8 = 0$।
$x^2-4x+4 = 0$।
$(x-2)^2 = 0$,जिससे $x=2$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\sin ^{-1} P$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ को $\sin ^{-1}$ रूप में बदलें।
माना $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \theta$,तो $\cos \theta = \frac{12}{13}$।
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$।
अब,समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \sin ^{-1} P$ हो जाता है।
सूत्र $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \sin ^{-1}\left(x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin ^{-1} P = \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\right]$
$= \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{5}\right]$
$= \sin ^{-1}\left(\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{56}{65}\right)$।
अतः,$P = \frac{56}{65}$।

(C) हम सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{9}\right)}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
अब,हम सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\tan ^{-1} \theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$।
$\theta = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-1/4}{1+1/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3/4}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$
इसकी तुलना $\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ से करने पर,हमें $x = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} 6x = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(v) = \tan^{-1}\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{x + 6x}{1 - (x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 6x^2}\right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{7x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$7x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 7x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(6)(-1)}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 24}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{12}$
चूंकि शर्त $x \geq 0$ है,इसलिए हम ऋणात्मक मान को अस्वीकार करते हैं:
$x = \frac{-7 + \sqrt{73}}{12}$
अतः,$x$ का केवल एक ही मान्य मान होने के कारण,समुच्चय $A$ एक एकल समुच्चय है।

(B) माना $\cos ^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) = x$.
तब,$\cos x = -\frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos ^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ है और $\cos x$ ऋणात्मक है,इसलिए $x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अब,हमें $\sin(2x)$ का मान ज्ञात करना है।
द्विगुणित कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
मान रखने पर: $\sin(2x) = 2 \times \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

(C) माना $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ है। तब $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ होगा।
हमें $\tan(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\theta) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2\sqrt{5}-2}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}-1)}$
$= 2$.

(C) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ होना चाहिए।
माना $1-x = h$. जैसे ही $x \to 1$,$h \to 0$.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi(1-h))}{\pi h^2}$
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi - \pi h)}{\pi h^2}$
चूँकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos(\pi h)}{\pi h^2}$
सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2}$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{h} \right)^2$
$(\frac{\pi}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0} \exp\left(\operatorname{cosec} x \cdot \ln\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)\right)$.
विस्तार का उपयोग करने पर,सीमा $1^\infty$ के रूप में है।
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x} - 1\right) = 0$.
अतः,$f(0) = e^0 = 1$.

(B) सुसंगत क्षेत्र $x + y = 12$ और $2x + y = 20$ रेखाओं के मूल बिंदु की ओर स्थित है और यह प्रथम चतुर्थांश में है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$B(10, 0)$,$C(8, 4)$ और $D(0, 12)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z = 10x + 6y$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0, 0)$ पर,$z = 10(0) + 6(0) = 0$.
$B(10, 0)$ पर,$z = 10(10) + 6(0) = 100$.
$C(8, 4)$ पर,$z = 10(8) + 6(4) = 80 + 24 = 104$.
$D(0, 12)$ पर,$z = 10(0) + 6(12) = 72$.
अतः,$z$ का अधिकतम मान $104$ है,जो बिंदु $C(8, 4)$ पर प्राप्त होता है।

(A) रैखिक असमिकाओं के निकाय को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा रेखाओं की पहचान करते हैं:
$1$. $(0, 25)$ और $(50, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{50} + \frac{y}{25} = 1$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 50$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $x + 2y \geq 50$ है।
$2$. $(0, 100)$ और $(50, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{50} + \frac{y}{100} = 1$ है,जो सरल होकर $2x + y = 100$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $2x + y \leq 100$ है।
$3$. $(0, 0)$ और $(10, 20)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = 2x$ है,जो सरल होकर $2x - y = 0$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है (उदाहरण के लिए,परीक्षण बिंदु $(0, 10)$ लेने पर $2(0) - 10 = -10 \leq 0$),इसलिए असमिका $2x - y \leq 0$ है।
$4$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
अतः,असमिकाओं का सही समुच्चय $x + 2y \geq 50, 2x + y \leq 100, 2x - y \leq 0, x, y \geq 0$ है।

(D) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x=1$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा,जिसमें छायांकित क्षेत्र दाईं ओर है,बाधा $x \geqslant 1$ देती है।
$2$. $y=3$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा,जिसमें छायांकित क्षेत्र उसके नीचे है,बाधा $y \leqslant 3$ देती है।
$3$. $(2, 0)$ और $(0, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} - \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x - 2y = 2$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है (उदाहरण के लिए,बिंदु $(3, 1)$ का परीक्षण करने पर $3 - 2(1) = 1 \leqslant 2$ प्राप्त होता है),बाधा $x - 2y \leqslant 2$ है।
$4$. $(7, 0)$ और $(0, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{7} + \frac{y}{6} = 1$ है,जो $6x + 7y = 42$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है (उदाहरण के लिए,बिंदु $(1, 1)$ का परीक्षण करने पर $6(1) + 7(1) = 13 \leqslant 42$ प्राप्त होता है),बाधा $6x + 7y \leqslant 42$ है।
$5$. गैर-ऋणात्मकता बाधाएं $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ हैं।
इन सबको मिलाकर,बाधाओं का सही सेट $x \geqslant 1, y \leqslant 3, x-2y \leqslant 2, 6x+7y \leqslant 42, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ है।

(D) प्रतिबंध $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,और $x, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $3x+2y=12$ और $x+y=4$ को आलेखित करते हैं।
अक्षों के साथ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार हैं:
$3x+2y=12$ के लिए: $(4,0)$ और $(0,6)$।
$x+y=4$ के लिए: $(4,0)$ और $(0,4)$।
सुसंगत क्षेत्र $A(4,0)$,$B(0,4)$,और $C(0,6)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=4x+6y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(4,0)$ पर: $z = 4(4) + 6(0) = 16$।
$B(0,4)$ पर: $z = 4(0) + 6(4) = 24$।
$C(0,6)$ पर: $z = 4(0) + 6(6) = 36$।
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $36$ है,जो बिंदु $C(0,6)$ पर प्राप्त होता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x+y=10$,$5x+3y=15$,$x=6$ और अक्षों $x=0, y=0$ द्वारा घिरा हुआ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(0,5)$,$B(0,10)$,$C(6,4)$ और $E(3,0)$ हैं।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=x+y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0,5)$ पर,$z = 0+5 = 5$.
$B(0,10)$ पर,$z = 0+10 = 10$.
$C(6,4)$ पर,$z = 6+4 = 10$.
$E(3,0)$ पर,$z = 3+0 = 3$.
$z$ का अधिकतम मान $10$ है,जो $B(0,10)$ और $C(6,4)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
चूंकि अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए यह $B$ और $C$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान अनंत बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $3x+4y=12$,$x+y=5$ रेखाओं और प्रथम चतुर्थांश में अक्षों द्वारा घिरा हुआ है।
कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के शीर्षों की पहचान करते हैं:
$1$. $3x+4y=12$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $3x=12 \implies x=4$. बिंदु $A(4, 0)$ है।
$2$. $x+y=5$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=5$. बिंदु $B(5, 0)$ है।
$3$. $x+y=5$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y=5$. बिंदु $C(0, 5)$ है।
$4$. $3x+4y=12$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $4y=12 \implies y=3$. बिंदु $D(0, 3)$ है।
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z=4x+2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $A(4, 0)$ पर: $z = 4(4) + 2(0) = 16$
- $B(5, 0)$ पर: $z = 4(5) + 2(0) = 20$
- $C(0, 5)$ पर: $z = 4(0) + 2(5) = 10$
- $D(0, 3)$ पर: $z = 4(0) + 2(3) = 6$
अतः,$z$ का अधिकतम मान बिंदु $B(5, 0)$ पर $20$ है।

(D) रैखिक बाधाओं को खोजने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा बनाने वाली तीन रेखाओं के समीकरणों की पहचान करते हैं:
$1$. $(0, 3)$ और $(8, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{8} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $3x + 8y = 24$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर (मूल बिंदु से दूर) है,इसलिए बाधा $3x + 8y \geq 24$ है।
$2$. $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ है,जो $4x + 5y = 20$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) है,इसलिए बाधा $4x + 5y \leq 20$ है।
$3$. $(0, 5)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो $5x + 3y = 15$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) है,इसलिए बाधा $5x + 3y \leq 15$ है।
इन्हें गैर-ऋणात्मक बाधाओं $x \geq 0, y \geq 0$ के साथ जोड़ने पर,हमें प्रणाली मिलती है: $3x + 8y \geq 24, 4x + 5y \leq 20, 5x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$. अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) आलेखीय हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं के निकाय का विश्लेषण करते हैं: $x+y \geq 1$,$7x+9y \leq 63$,$y \leq 5$,$x \leq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.
$1$. $x+y \geq 1$ के लिए: रेखा $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$2$. $7x+9y \leq 63$ के लिए: रेखा $(9, 0)$ और $(0, 7)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$3$. $x \leq 6$ और $y \leq 5$ के लिए: ये प्रथम चतुर्थांश में रेखाओं $x=6$ और $y=5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को दर्शाते हैं।
$4$. इन सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन सुसंगत क्षेत्र (feasible region) देता है। इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि क्षेत्र शीर्षों $(0, 1), (0, 7), (2.57, 5), (6, 5), (6, 2.33)$ और $(1, 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
इसकी तुलना दी गई आकृतियों से करने पर,सही आलेखीय निरूपण आकृति $2$ है।

(C) आइए छायांकित क्षेत्र और उसकी रैखिक बाधाओं का विश्लेषण करें:
$1$. ग्राफ को देखने पर,क्षेत्र रेखाओं $y=x$ और $-x+3y=3$ तथा अक्षों $x=0$ और $y=0$ द्वारा घिरा हुआ है।
$2$. छायांकित क्षेत्र रेखा $-x+3y=3$ के नीचे स्थित है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $-0+3(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है,जो असमिका को संतुष्ट करता है। अतः,बाधा $-x+3y \leq 3$ है।
$3$. यह क्षेत्र रेखा $y=x$ के दाईं ओर स्थित है। क्षेत्र में एक बिंदु,जैसे $(2, 0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $x-y = 2-0 = 2 \geq 0$ प्राप्त होता है। अतः,बाधा $x-y \geq 0$ है।
$4$. विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(C)$ इन शर्तों से मेल खाता है: $x-y \geq 0, -x+3y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$.

(B) मान लीजिए कि $x$ और $y$ क्रमशः तांबे और पीतल की मात्रा को ग्राम में दर्शाते हैं।
न्यूनतम करने के लिए उद्देश्य फलन लागत है: $z = 8x + 5y$.
समस्या के आधार पर बाधाएं हैं:
$1) \ x + y \geq 5$ (कुल वजन कम से कम $5 \text{ gms}$)
$2) \ x \geq 2$ (कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा)
$3) \ y \leq 4$ (अधिकतम $4 \text{ gms}$ पीतल)
$4) \ x \geq 0, y \geq 0$ (गैर-नकारात्मकता बाधाएं)
संभाव्य क्षेत्र इन असमानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। संभाव्य क्षेत्र के कोणीय बिंदु सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
- बिंदु $A$: $x = 2$ और $y = 4$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $A = (2, 4)$.
- बिंदु $B$: $x = 2$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $B = (2, 3)$.
- बिंदु $C$: $x + y = 5$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन,इसलिए $C = (5, 0)$.
अब,इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z = 8x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $A(2, 4)$ पर: $z = 8(2) + 5(4) = 16 + 20 = 36$.
- $B(2, 3)$ पर: $z = 8(2) + 5(3) = 16 + 15 = 31$.
- $C(5, 0)$ पर: $z = 8(5) + 5(0) = 40 + 0 = 40$.
$z$ का न्यूनतम मान $31$ है।
इसलिए,न्यूनतम लागत $₹ 31$ है।

(A) दी गई बाधाएँ $2x \geq 4$ (अर्थात $x \geq 2$),$y \leq 3$,$x+y \leq 8$ और $x, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x=2, y=3, x+y=8$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु निम्नलिखित हैं:
$A(2, 0)$ ($x=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$B(8, 0)$ ($x+y=8$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$C(5, 3)$ ($x+y=8$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
$D(2, 3)$ ($x=2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु)
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z=100x+70y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(2, 0)$ पर: $Z = 100(2) + 70(0) = 200$
$B(8, 0)$ पर: $Z = 100(8) + 70(0) = 800$
$C(5, 3)$ पर: $Z = 100(5) + 70(3) = 500 + 210 = 710$
$D(2, 3)$ पर: $Z = 100(2) + 70(3) = 200 + 210 = 410$
अतः,$Z$ का अधिकतम मान $800$ है जो बिंदु $B(8, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(6,4)$,$C(3,7)$ और $D(0,5)$ हैं।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z=4x+3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0,0)$ पर,$z=4(0)+3(0)=0$
$A(6,0)$ पर,$z=4(6)+3(0)=24$
$B(6,4)$ पर,$z=4(6)+3(4)=24+12=36$
$C(3,7)$ पर,$z=4(3)+3(7)=12+21=33$
$D(0,5)$ पर,$z=4(0)+3(5)=15$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $36$ है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
मैट्रिक्स रूप में,यह $AX = B$ है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1 + 3) - (-1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$
चूंकि $|A| \neq 0$,निकाय का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
अतः,$x = 2, y = -1, z = 1$।

(D) दिया गया है कि $(A-3 I)(A-5 I)=O$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^2 - 5A - 3A + 15I = O$
$A^2 - 8A + 15I = O$
$A^2 + 15I = 8A$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A + 15A^{-1} = 8I$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ से करने पर,हम पाते हैं:
$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{15}{2}$
अतः,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(D) मान लीजिए $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$ है।
$P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$।
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$P^T = (B^2)^T (A^2)^T - (A^2)^T (B^2)^T$।
चूंकि $A$ सममित है $(A^T = A)$ और $B$ विषम-सममित है $(B^T = -B)$,हमें प्राप्त होता है $(A^2)^T = (A^T)^2 = A^2$ और $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P^T = B^2 A^2 - A^2 B^2 = -(A^2 B^2 - B^2 A^2) = -P$।
चूंकि $P^T = -P$,$P$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम कोटि $n$ (यहाँ $n=3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $P$ के लिए,सारणिक $\det(P) = 0$ होता है।
चूंकि $\det(P) = 0$,निकाय $PX = 0$ का एक अशून्य हल होता है,जिसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं।

(D) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]$।
अब,$A^4 = A^2 \cdot A^2$ की गणना करें:
$A^4 = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+1+1) \\ x(x^2+1+1) & x^2+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+2) \\ x(x^2+2) & x^2+1\end{array}\right]$।
दिया गया है $a_{11} = 109$,इसलिए $(x^2+1)^2 + x^2 = 109$।
माना $t = x^2$। तब $(t+1)^2 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 2t + 1 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 3t - 108 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $(t+12)(t-9) = 0$। चूंकि $x \in R^{+}$,इसलिए $t = x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$।
$x=3$ को आव्यूह $A^4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{11} = (9+1)^2 + 9 = 109$,$a_{12} = a_{21} = 3(9+2) = 33$,$a_{22} = 9+1 = 10$।
अतः,$A^4 = \left[\begin{array}{cc}109 & 33 \\ 33 & 10\end{array}\right]$।
सारणिक $|A^4| = (109)(10) - (33)(33) = 1090 - 1089 = 1$।
व्युत्क्रम आव्यूह $\frac{1}{|A^4|} \text{adj}(A^4) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right]$।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I$. दिया गया है कि $A \cdot \operatorname{adj} A = A^T$,इसलिए $|A| I = A^T$.
$A$ का सारणिक $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$ है।
अतः,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ है।
समीकरण $15a - 2b = 0$ और $3b + 10a = 13$ का उपयोग करते हुए:
$b = \frac{15a}{2}$. दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $3(\frac{15a}{2}) + 10a = 13 \Rightarrow \frac{45a + 20a}{2} = 13 \Rightarrow 65a = 26 \Rightarrow a = \frac{2}{5}$.
अतः $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
इस प्रकार,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.