MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $A = 1 + a$ है।
जब $a \rightarrow 0^{+}$,तब $A \rightarrow 1^{+}$।
दिया गया समीकरण $(A^{\frac{1}{3}}-1) x^2+(A^{\frac{1}{2}}-1) x+(A^{\frac{1}{6}}-1)=0$ है।
समीकरण को $(A-1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A^{\frac{1}{3}}-1}{A-1} x^2 + \frac{A^{\frac{1}{2}}-1}{A-1} x + \frac{A^{\frac{1}{6}}-1}{A-1} = 0$।
$A \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर,मानक सीमा $\lim _{A \rightarrow 1} \frac{A^n-1}{A-1} = n$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{3} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} = 0$।
$6$ से गुणा करने पर:
$2 x^2 + 3 x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(x + 1) = 0$।
अतः,मूल $x = -1$ और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
इसलिए,$\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \alpha(a) = -1$ और $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \beta(a) = -\frac{1}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घातों के योग के सूत्र हैं:
$S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$,$S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$S_3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
दिया गया व्यंजक $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1(1 + \frac{S_3}{4})}{S_2^2}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2} (1 + \frac{n^2(n+1)^2}{16})}{\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{16 + n^2(n+1)^2}{16} \cdot \frac{36}{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}$.
$L = \frac{9}{8} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{16 + n^2(n+1)^2}{n(n+1)(2n+1)^2}$.
अंश और हर को $n^4$ से विभाजित करने पर:
$L = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{32}$.

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई बाधाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \leqslant 18$: यह रेखा $2x + 3y = 18$ के नीचे या उस पर स्थित क्षेत्र को दर्शाता है। इसके अंतःखंड $(9, 0)$ और $(0, 6)$ हैं।
$2$. $x + y \geqslant 10$: यह रेखा $x + y = 10$ के ऊपर या उस पर स्थित क्षेत्र को दर्शाता है। इसके अंतःखंड $(10, 0)$ और $(0, 10)$ हैं।
$3$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करता है।
दोनों रेखाओं की तुलना करने पर:
$2x + 3y = 18$ के लिए,अधिकतम $x$-मान $9$ है और अधिकतम $y$-मान $6$ है।
$x + y = 10$ के लिए,न्यूनतम $x$-मान $10$ है और न्यूनतम $y$-मान $10$ है।
चूंकि $2x + 3y \leqslant 18$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में पूरी तरह से रेखा $x + y = 10$ के नीचे स्थित है,इसलिए ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो $2x + 3y \leqslant 18$ और $x + y \geqslant 10$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,सुसंगत क्षेत्र एक रिक्त समुच्चय है।

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \leq 6$: सीमा रेखा $2x + 3y = 6$ है। $(0,0)$ के लिए,$0 \leq 6$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2$. $x + 4y \geq 4$: सीमा रेखा $x + 4y = 4$ है। $(0,0)$ के लिए,$0 \geq 4$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश (1st quadrant) तक सीमित करता है।
इन शर्तों को मिलाने पर,सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में उन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करता है। दिए गए चित्रों को देखने पर,चित्र $1$ इन बाधाओं द्वारा घिरे क्षेत्र को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही उत्तर है।

(C) माना $p$: काम समय पर पूरा हो जाता है।
माना $q$: ठेकेदार मुसीबत में है।
$\text{कथन}-I$ है $\sim p \rightarrow q$।
तार्किक समतुल्यता $\sim p \rightarrow q \equiv p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\text{कथन}-I \equiv p \vee q$।
$\text{कथन}-II$ दिया गया है: या तो काम समय पर पूरा हो जाता है या ठेकेदार मुसीबत में है,जो $p \vee q$ है।
चूंकि $\text{कथन}-I \equiv p \vee q$ और $\text{कथन}-II \equiv p \vee q$,इसलिए दोनों कथन समतुल्य हैं।

(C) कथन $p \vee \sim(q \wedge r)$ असत्य है यदि और केवल यदि वियोजन (disjunction) के दोनों घटक असत्य हों।
इसलिए,$p = F$ और $\sim(q \wedge r) = F$ है।
चूंकि $\sim(q \wedge r) = F$,इसका अर्थ है कि $(q \wedge r) = T$ है।
संयोजन $(q \wedge r)$ के सत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का सत्य होना आवश्यक है।
अतः,$q = T$ और $r = T$ है।
इसलिए,सत्यता मान $p = F, q = T, r = T$ हैं।

(D) दिए गए परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \land q) \lor (p \land r)$ है।
तर्कशास्त्र के वितरण नियम (Distributive law) के अनुसार,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$ होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
परिपथ $(i)$ का मान $(p \land q) \lor (p \land r)$ है।
परिपथ $(iii)$ का मान $p \land (q \lor r)$ है।
चूंकि $(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$,इसलिए परिपथ $(i)$ और $(iii)$ समतुल्य हैं।

(B) कथन $p \rightarrow (\sim q \wedge r)$ का प्रतिधनात्मक $\sim (\sim q \wedge r) \rightarrow \sim p$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,यह $(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ के समतुल्य है।
प्रतिधनात्मक का निषेध $\sim [(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p]$ है।
तार्किक समतुल्यता $\sim (A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें $(q \vee \sim r) \wedge \sim (\sim p)$ प्राप्त होता है।
यह $(q \vee \sim r) \wedge p$ के रूप में सरल हो जाता है।

(C) मान लीजिए $p$ का अर्थ है स्विच $S_1$ बंद है,$q$ का अर्थ है स्विच $S_2$ बंद है,और $r$ का अर्थ है स्विच $S_3$ बंद है।
तब $\sim p$ का अर्थ है स्विच $S_1'$ बंद है,$\sim q$ का अर्थ है स्विच $S_2'$ बंद है,और $\sim r$ का अर्थ है स्विच $S_3'$ बंद है।
दिया गया कथन $(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ है।
यह समानांतर क्रम में जुड़ी दो मुख्य शाखाओं को दर्शाता है:
$1$. पहली शाखा $(p \wedge q)$ है,जो श्रेणी क्रम में स्विच $S_1$ और $S_2$ के अनुरूप है।
$2$. दूसरी शाखा $(\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ है,जो स्विच $S_1'$ के साथ श्रेणी क्रम में स्विच $S_2'$,$S_1$,और $S_3$ के समानांतर संयोजन के अनुरूप है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया सर्किट आरेख इस विवरण से मेल खाता है।

(C) चरण $1$: परिभाषाओं को पहचानें: एक विरोधाभास (contradiction) हमेशा गलत होता है,एक पुनरुक्ति (tautology) हमेशा सत्य होती है,और एक आकस्मिकता (contingency) अपने घटकों के सत्य मानों के आधार पर सत्य या गलत हो सकती है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन करें: $p \wedge \sim p$ हमेशा गलत है (विरोधाभास)।
चरण $3$: विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन करें: $p \vee \sim p$ हमेशा सत्य है (पुनरुक्ति)।
चरण $4$: विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करें: $p$ और $q$ के सत्य मानों के आधार पर $p \vee q$ सत्य या गलत हो सकता है। अतः,यह एक आकस्मिकता है।
चरण $5$: विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन करें: $(p \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow q$ एक पुनरुक्ति है।
अंतिम उत्तर: $C$)

(C) हम तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ और डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\sim[(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)]$
प्रतिबंधात्मक नियम लागू करने पर: $\sim[\sim(p \vee \sim q) \vee (p \wedge \sim q)]$
डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$
पुनः डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
दिया गया है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
इसका अर्थ है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ और $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ से,हमें $\sim p \equiv F$ और $q \equiv F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p \equiv T$ और $q \equiv F$.
अब इन मानों को पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
इसके लिए $T \wedge r \equiv T$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $r \equiv T$.
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = T$ हैं।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim r \wedge \sim q)]$ (क्रमविनिमेय नियम)
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (r \vee q)]$ (डी मॉर्गन का नियम)
$\equiv p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$ (वितरण नियम)
$\equiv p \wedge T$ (पूरक नियम)
$\equiv p$ (तत्समक नियम)

(B) दिए गए सत्यता मान: $p = F, q = T, r = F$.
प्रथम कथन पैटर्न $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ के लिए:
$(F \wedge \sim T) \rightarrow F$
$= (F \wedge F) \rightarrow F$
$= F \rightarrow F$
$= T$.
द्वितीय कथन पैटर्न $(p \vee q) \rightarrow r$ के लिए:
$(F \vee T) \rightarrow F$
$= T \rightarrow F$
$= F$.
अतः,सत्यता मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं.

(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का विलोम (converse) $B \rightarrow A$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $[p \wedge (\sim q)] \rightarrow r$ के लिए,इसका विलोम $r \rightarrow [p \wedge (\sim q)]$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ केवल तब असत्य $(F)$ होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge q)$ सत्य $(T)$ हो और परिणामी $(\sim q \vee r)$ असत्य $(F)$ हो।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(\sim q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$\sim q$ और $r$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $q$ सत्य है,इसलिए $\sim q$ असत्य है। $r$ के असत्य होने के लिए,$r$ का मान $F$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = T, r = F$ हैं।

(B) तर्कशास्त्र में,एक निहितार्थ $p \rightarrow q$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
$(A)$ मान लीजिए $p: 3+3=7$ (असत्य) और $q: 4+3=8$ (असत्य)। चूँकि $p$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ सत्य है।
$(B)$ मान लीजिए $p: 5+3=8$ (सत्य) और $q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूँकि $p$ सत्य है और $q$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ असत्य है।
$(C)$ मान लीजिए $p: (A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं (असत्य,क्योंकि $B$ असत्य है) और $q: 5+6=17$ (असत्य)। चूँकि $p$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ सत्य है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।

(A) माना $p$: घोड़ों के पंख होते हैं।
माना $q$: कौवों की पूंछ होती है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
द्वि-प्रतिबंधक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ होता है।
इसका अर्थ है: 'घोड़ों के पंख होते हैं और कौवों की पूंछ नहीं होती है,या कौवों की पूंछ होती है और घोड़ों के पंख नहीं होते हैं।'
अतः सही विकल्प $A$ है।

(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ के रूप में परिभाषित होता है।
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ के लिए,प्रतिलोम $\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r)$ है।
तार्किक समतुल्यता के नियम के अनुसार,$\sim A$ $\rightarrow \sim B \equiv B$ $\rightarrow A$ होता है।
यहाँ $A = p$ और $B = (q \rightarrow r)$ लेने पर,
$\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r) \equiv (q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिलोम $(q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ के समतुल्य है।

(D) माना $p$ : भुगतान किया जाएगा।
माना $q$ : कार्य समय पर पूरा हो जाता है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है,जो $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ के समतुल्य है।
इस कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q)$ है,जो $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ के समतुल्य है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और कार्य समय पर पूरा नहीं होता है,या कार्य समय पर पूरा हो जाता है और भुगतान नहीं किया जाता है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) तार्किक कथन $A \rightarrow B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
दिया गया है कि $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q) \equiv F$ है।
इसका अर्थ है कि $(p \wedge \sim r) \equiv T$ और $(\sim p \vee q) \equiv F$ है।
$(\sim p \vee q) \equiv F$ से,हमें $\sim p \equiv F$ और $q \equiv F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p \equiv T$ और $q \equiv F$ है।
$p \equiv T$ को $(p \wedge \sim r) \equiv T$ में रखने पर,हमें $(T \wedge \sim r) \equiv T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sim r \equiv T$,अतः $r \equiv F$ है।
इस प्रकार,सत्यता मान $p=T, q=F, r=F$ हैं।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) माना $p: 3$ एक अभाज्य संख्या है।
माना $q: 3$ विषम है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है।
अतः,विलोम है: "यदि $3$ विषम है,तो $3$ एक अभाज्य संख्या है।"

(D) सबसे पहले,व्यंजक $((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q))$ को सरल करें।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$T \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
अतः,व्यंजक $\sim p \wedge \sim q$ के समतुल्य है।

(B) कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है $p$: एक आदमी न्यायाधीश है,इसलिए $\sim p$: एक आदमी न्यायाधीश नहीं है।
दिया गया है $q$: वह ईमानदार है,इसलिए $\sim q$: वह ईमानदार नहीं है।
अतः,प्रतिलोम है: यदि एक आदमी न्यायाधीश नहीं है,तो वह ईमानदार नहीं है।

(D) दिया गया है $r: q \vee \sim p$.
तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$q \vee \sim p \equiv \sim p \vee q$.
कॉन्ट्रापॉजिटिव नियम के अनुसार,$\sim p \vee q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$.
इसे शब्दों में अनुवाद करने पर:
$\sim q$: $X$ एक समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है।
$\sim p$: $X$ एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।
इस प्रकार,$\sim q \rightarrow \sim p$ का अर्थ है: "यदि $X$ एक समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है,तो $X$ एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) तर्क के नियमों का उपयोग करके हम तार्किक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(C) मान लीजिए $p$ कथन है: 'दो संख्याएँ समान नहीं हैं'।
मान लीजिए $q$ कथन है: 'उनके वर्ग समान नहीं हैं'।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है: 'दो संख्याओं के वर्ग समान हैं'।
और $\sim p$ है: 'संख्याएँ समान हैं'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि दो संख्याओं के वर्ग समान हैं,तो संख्याएँ समान हैं'।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $p$: 'दो संख्याएँ समान हैं' और $q$: 'उनके वर्ग समान हैं'।
अतः,प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ है: 'यदि दो संख्याओं के वर्ग समान नहीं हैं,तो संख्याएँ समान नहीं हैं'.

(C) सबसे पहले,कथनों के सत्यता मान निर्धारित करें:
$p$: $2$ और $100$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $25$ हैं,$26$ नहीं। अतः,$p$ का मान $F$ है।
$q$: शून्य $(0)$ को $0 + 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक सम्मिश्र संख्या है। अतः,$q$ का मान $T$ है।
$r$: $6$ और $7$ का ल.स.प. $42$ है,$6$ नहीं। अतः,$r$ का मान $F$ है।
अब विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (F \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv F$ $\rightarrow F \equiv T$.
$(B)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p \vee q) \leftrightarrow r \equiv (F \vee T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(D)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (T$ $\rightarrow F) \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम (inverse) $\sim A \rightarrow \sim B$ होता है।
$p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ के लिए,इसका प्रतिलोम $\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ है।
एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim B \rightarrow \sim A$ होता है।
अतः,$\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक होगा:
$\sim [\sim (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow \sim (\sim p)$
$= (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$
चूंकि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,इसलिए व्यंजक $(\sim p \vee q) \rightarrow p$ हो जाता है।

(B) वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),व्यंजक $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ हो जाता है।
तत्समक नियम द्वारा,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
तार्किक तुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करके,हम $\sim p \vee \sim q$ को $p \rightarrow (\sim q)$ के रूप में लिख सकते हैं।

(A) कथन $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
स्तंभ $5$ और स्तंभ $6$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $p$ और $q$ के सभी संयोजनों के लिए सत्यता मान समान हैं।
अतः,$\sim(p \leftrightarrow \sim q) \equiv p \leftrightarrow q$.

(A) दिया गया है कि $p \rightarrow r$ का सत्य मान $F$ है,इसलिए $p \equiv T$ और $r \equiv F$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $p \leftrightarrow q$ का सत्य मान $F$ है,और हम जानते हैं कि $p \equiv T$,इसलिए $q \equiv F$ होगा।
अब,पहले व्यंजक का मूल्यांकन करें: $(\sim p \vee q) \rightarrow (p \vee \sim q)$
$= (\sim T \vee F) \rightarrow (T \vee \sim F)$
$= (F \vee F) \rightarrow (T \vee T)$
$= F \rightarrow T \equiv T$.
अब,दूसरे व्यंजक का मूल्यांकन करें: $(p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$
$= (T \wedge \sim F) \rightarrow (\sim T \wedge F)$
$= (T \wedge T) \rightarrow (F \wedge F)$
$= T \rightarrow F \equiv F$.
अतः,सत्य मान $T, F$ हैं।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0$.
$2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
$(2x - y)(x - 2y) = 0$.
अतः,रेखाओं के अलग समीकरण $L_1: 2x - y = 0$ और $L_2: x - 2y = 0$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(2, -1)$ के लिए:
$P_1 = \frac{|2(2) - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
$P_2 = \frac{|(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
इसलिए,$P_1 P_2 = \sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 4$.

(C) दी गई रेखा $3x + y = 0$ है,जिसे $y = -3x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है। चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,हम $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m - (-3)}{1 + m(-3)}| = |\frac{m + 3}{1 - 3m}|$.
$1 = |\frac{m + 3}{1 - 3m}| \Rightarrow 1 - 3m = \pm(m + 3)$.
स्थिति $1$: $1 - 3m = m + 3$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
स्थिति $2$: $1 - 3m = -(m + 3)$ $\Rightarrow 1 - 3m = -m - 3$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण $y = -\frac{1}{2}x$ और $y = 2x$ हैं।
इन्हें $x + 2y = 0$ और $2x - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y)(2x - y) = 0$ है।
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) रेखा $3x+y-6=0$ की ढाल $m_1 = -3$ है। मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m$ है जो दी गई रेखा के साथ $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाती है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| = \left| \frac{m+3}{1-3m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{(m+3)^2}{(1-3m)^2} \Rightarrow (1-3m)^2 = 3(m+3)^2$.
$1 - 6m + 9m^2 = 3(m^2 + 6m + 9) = 3m^2 + 18m + 27$.
$6m^2 - 24m - 26 = 0 \Rightarrow 3m^2 - 12m - 13 = 0$.
संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए $m = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$3(\frac{y}{x})^2 - 12(\frac{y}{x}) - 13 = 0$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$3y^2 - 12xy - 13x^2 = 0 \Rightarrow 13x^2 + 12xy - 3y^2 = 0$.

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और धनात्मक $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
ये रेखाएँ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,जो $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $y - \sqrt{3}x = 0$ और $y + \sqrt{3}x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $y^2 - 3x^2 = 0$ या $3x^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दो रेखाएँ $OA$ और $OB$ हैं जो मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती हैं।
चूँकि प्रत्येक रेखा $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए वे धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ और $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ सामान्य समीकरण वाली दो रेखाओं के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2-4xy-5y^2=0$ की तुलना $ax^2+2hxy+by^2=0$ से करने पर,हमें $a=1$,$b=-5$,और $2h=-4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=-2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^2-y^2}{6} = \frac{xy}{-2}$
$x^2-y^2 = -3xy$
$x^2+3xy-y^2=0$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $7x^2 - 14xy + py^2 - 12x + qy - 4 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 7$,$h = -7$,$b = p$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए $h^2 = ab$ होगा।
मान रखने पर,$(-7)^2 = 7p$ $\Rightarrow 49 = 7p$ $\Rightarrow p = 7$।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
$p = 7$,$a = 7$,$h = -7$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,और $c = -4$ रखने पर:
$7(7)(-4) + 2(\frac{q}{2})(-6)(-7) - 7(\frac{q}{2})^2 - 7(-6)^2 - (-4)(-7)^2 = 0$।
$-196 + 42q - \frac{7q^2}{4} - 252 + 196 = 0$।
$42q - \frac{7q^2}{4} - 252 = 0$।
$-4/7$ से गुणा करने पर,$q^2 - 24q + 144 = 0$ प्राप्त होता है।
$(q - 12)^2 = 0 \Rightarrow q = 12$।
अंत में,$\sqrt{p^2 + q^2 - pq} = \sqrt{7^2 + 12^2 - (7)(12)} = \sqrt{49 + 144 - 84} = \sqrt{109}$।

(A) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
दिए गए समीकरण $hxy + gx + fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$A = 0, B = 0, C = c, H = \frac{h}{2}, G = \frac{g}{2}, F = \frac{f}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ है।
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 0 & \frac{h}{2} & \frac{g}{2} \\ \frac{h}{2} & 0 & \frac{f}{2} \\ \frac{g}{2} & \frac{f}{2} & c \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0 - \frac{h}{2} \left( \frac{ch}{2} - \frac{gf}{4} \right) + \frac{g}{2} \left( \frac{hf}{4} - 0 \right) = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{8} + \frac{ghf}{8} = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$-ch^2 + hgf = 0$,जिसका अर्थ है $hgf = ch^2$।
$h$ से विभाजित करने पर ($h \neq 0$ मानते हुए),$gf = ch$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
$y = mx + 1$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए।
$5$ के भाजक $\{1, -1, 5, -5\}$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)।
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)।
अतः,$m$ के $2$ पूर्णांक मान संभव हैं,जो $\{-1, -2\}$ हैं।

(B) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2$ है।
रेखा $4x-y+3=0$ की ढाल $m=4$ है।
$m$ ढाल वाले परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
सूत्र में $a=2$ और $m=4$ रखने पर:
$y=4x+\frac{2}{4}$
$y=4x+\frac{1}{2}$
$2y=8x+1$
$8x-2y+1=0$.

(C) अक्षरों का समूह $\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}$ है,जिसमें $10$ अलग-अलग अक्षर हैं।
$x$ के लिए,हम सभी $10$ अक्षरों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $10$ लंबाई के शब्द बनाते हैं,इसलिए $x = 10!$।
$y$ के लिए,हम $10$ उपलब्ध अक्षरों में से दो बार दोहराए जाने वाले $2$ अक्षरों को ${}^{10}C_2$ तरीकों से चुनते हैं।
शब्द के शेष $6$ स्थानों को शेष $8$ अक्षरों में से $6$ अलग-अलग अक्षरों को चुनकर भरा जा सकता है,जिसे ${}^{8}C_6$ तरीकों से किया जा सकता है।
इन $10$ अक्षरों के लिए कुल व्यवस्था (जहाँ $2$ अक्षर दो बार और $6$ अक्षर एक बार आते हैं) $\frac{10!}{2! \times 2!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$y = {}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}$।
अनुपात $\frac{y}{x}$ की गणना करने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}}{10!} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6}{4} = \frac{45 \times 28}{4} = 45 \times 7 = 315$.

(B) दिए गए अंक $2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। कुल $7$ अंक हैं,जिनमें $2$ दो बार,$3$ तीन बार,$0$ एक बार और $4$ एक बार आता है।
इन अंकों का उपयोग करके बनाई गई सभी $7$ अंकों की संख्याएँ एक मिलियन से बड़ी होती हैं।
दस लाख के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
इसलिए,दस लाख के स्थान पर $2, 3,$ या $4$ आ सकता है।
स्थिति $I$: दस लाख के स्थान पर $2$ है।
शेष अंक $3, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = 120$ है।
स्थिति $II$: दस लाख के स्थान पर $3$ है।
शेष अंक $2, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2! \times 2!} = 180$ है।
स्थिति $III$: दस लाख के स्थान पर $4$ है।
शेष अंक $2, 3, 0, 3, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3! \times 2!} = 60$ है।
कुल संख्याएँ $= 120 + 180 + 60 = 360$।

(B) दो महिलाओं को $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों पर ${ }^4 P_2$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
महिलाओं के बैठने के बाद,$8 - 2 = 6$ कुर्सियां शेष बचती हैं।
तीन पुरुषों को इन $6$ उपलब्ध सीटों पर ${ }^6 P_3$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
इसलिए,संभावित व्यवस्थाओं की कुल संख्या ${ }^4 P_2 \times { }^6 P_3$ है।

(C) भौतिकी की $3$ पुस्तकें,रसायन विज्ञान की $2$ पुस्तकें और गणित की $4$ पुस्तकें हैं।
चूंकि भौतिकी की सभी पुस्तकें एक साथ होनी चाहिए,हम उन्हें $1$ इकाई के रूप में मानते हैं।
चूंकि गणित की सभी पुस्तकें एक साथ होनी चाहिए,हम उन्हें $1$ इकाई के रूप में मानते हैं।
रसायन विज्ञान की $2$ अलग-अलग पुस्तकें हैं।
इस प्रकार,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $1$ (भौतिकी इकाई) + $1$ (गणित इकाई) + $2$ (रसायन विज्ञान पुस्तकें) = $4$ इकाइयाँ हैं।
इन $4$ इकाइयों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$ भौतिकी पुस्तकों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ गणित पुस्तकों को आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore \text{कुल व्यवस्थाएं} = 4! \times 3! \times 4! = 24 \times 6 \times 24 = 3456$.

(C) दी गई संख्या $223355888$ है,जिसमें $9$ अंक हैं: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$।
इसमें $4$ विषम अंक $(3, 3, 5, 5)$ और $5$ सम अंक $(2, 2, 8, 8, 8)$ हैं।
$9$-अंकीय संख्या में सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं (कुल $5$ स्थान)।
$4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
$5$ सम अंकों को $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2!3!} = 10$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ $= 6 \times 10 = 60$ हैं।

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 5 + 3 = 8$ है।
एक गोल मेज पर $8$ लोगों को बैठाने के कुल तरीके $= (8-1)! = 7!$ हैं।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $B_1$ और $G_1$ एक साथ बैठते हैं। $(B_1G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास गोल मेज पर बैठाने के लिए $7$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(7-1)! = 6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$B_1$ और $G_1$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $= 6! \times 2$ है।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीकों की संख्या $= 7! - (2 \times 6!) = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$ है।

(B) $5$ लड़कों में से $2$ और $7$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ हैं।
यदि दोनों लड़कियाँ $A$ और $B$ एक ही टीम में हैं,तो हमें $5$ लड़कों में से $2$ और शेष $5$ लड़कियों में से $1$ और लड़की का चयन करना होगा (क्योंकि $A$ और $B$ पहले से ही चयनित हैं)। ऐसे तरीकों की संख्या $^5C_2 \times ^5C_1 = 10 \times 5 = 50$ है।
उन टीमों की संख्या जहाँ $A$ और $B$ एक साथ नहीं हैं,कुल टीमों में से उन टीमों को घटाकर प्राप्त की जाती है जहाँ दोनों उपस्थित हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 350 - 50 = 300$.

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए शर्त $f'(x) < 0$ है।
अतः,$3x^2 - 12x + 9 < 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
असमिका के चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $1$ और $3$ के बीच ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$x \in (1, 3)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.
यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ वर्धमान है या ह्रासमान,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{a^2+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} = \frac{a^2+x^2-x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $u = d-x$,तो $\frac{d}{dx}(-\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) = -\frac{d}{du}(\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{b^2}{(b^2+u^2)^{3/2}} \cdot (-1) = \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
चूंकि $a^2 > 0$ और $b^2 > 0$,पद $(a^2+x^2)^{3/2}$ और $(b^2+(d-x)^2)^{3/2}$ हमेशा धनात्मक हैं।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि $f'(x) > 0$,$f(x)$ $x$ का एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 10x^2 + 200x - 10$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 10x^2 + 200x - 10) = 3x^2 - 20x + 200$.
$f'(x)$ के चिह्न की जाँच करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक $3x^2 - 20x + 200$ का विश्लेषण करते हैं।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(3)(200) = 400 - 2400 = -2000$.
चूँकि $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक (जो $3$ है) धनात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $3x^2 - 20x + 200$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 2$.
अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ से भाग देने पर: $x^2 - 3x + 2 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 2) < 0$.
असमानता के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $x = 1$ और $x = 2$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,फलन अंतराल $(1, 2)$ में ह्रासमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 e^{-x}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए असमिका $x e^{-x}(2 - x) > 0$ सरल होकर $x(2 - x) > 0$ हो जाती है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।
अतः,$x \in (0, 2)$.

(C) दिया गया है $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
अवकलन करने पर $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=-1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।
$x=-1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$।
$\beta=-\frac{1}{2}$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$।
अतः,$\alpha=2$ और $\beta=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(c \sin x + d \cos x)(a \cos x - b \sin x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$= (ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x) - (ac \sin x \cos x - ad \sin^2 x + bc \cos^2 x - bd \sin x \cos x)$.
$= ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x - ac \sin x \cos x + ad \sin^2 x - bc \cos^2 x + bd \sin x \cos x$.
$= ad(\sin^2 x + \cos^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$= ad - bc$.
चूंकि हर $(c \sin x + d \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x) < 0$ के लिए,हमें $ad - bc < 0$ की आवश्यकता है।

(D) दिया गया समुच्चय $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ है।
असमिका को हल करने पर: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [5, 6]$.
अब,फलन $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
अंतराल $x \in [5, 6]$ के लिए,$(x-1)$ और $(x-3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$.
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = AC = x$ है।
मान लीजिए $\angle ABC = \angle ACB = \theta$ है।
बिंदु $D$ पर भुजा $BC$ पर लंब $AD$ खींचिए।
$\triangle ABD$ में,$AD = x \sin \theta$ और $BD = x \cos \theta$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ACD$ में,$DC = x \cos \theta$ है।
अतः,$\triangle ABC$ में,ऊँचाई $AD = x \sin \theta$ है और आधार $BC = BD + DC = x \cos \theta + x \cos \theta = 2x \cos \theta$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta)$
$A = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{x^2}{2} \sin(2\theta)$।
चूँकि $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$),इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{x^2}{2}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = 3$,इसलिए $b = 3 - a$ है।
माना कि गुणनफल $P = a \cdot b^2$ है।
$b$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P = a(3 - a)^2 = a(9 - 6a + a^2) = a^3 - 6a^2 + 9a$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dP}{da} = 3a^2 - 12a + 9$।
$\frac{dP}{da} = 0$ रखने पर,हमें $3(a^2 - 4a + 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3(a - 1)(a - 3) = 0$।
अतः,$a = 1$ या $a = 3$ है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2P}{da^2} = 6a - 12$।
$a = 1$ के लिए,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(1) - 12 = -6 < 0$,इसलिए $a = 1$ पर $P$ अधिकतम है।
$a = 3$ के लिए,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(3) - 12 = 6 > 0$,इसलिए $a = 3$ पर $P$ न्यूनतम है।
गुणनफल के सूत्र में $a = 1$ रखने पर: $P = 1(3 - 1)^2 = 1(2)^2 = 4$।
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(C) वर्ग का परिमाप $= 4x$.
वृत्त का परिमाप $= 2\pi r$.
तार की कुल लंबाई $2$ इकाई है,इसलिए $4x + 2\pi r = 2$.
$2$ से भाग देने पर,$2x + \pi r = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$.
क्षेत्रफलों का योग $A = x^2 + \pi r^2$.
$r$ का मान $x$ के पदों में रखने पर: $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$.
$x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi}$.
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर: $2x - \frac{4}{\pi} + \frac{8x}{\pi} = 0$.
$\pi$ से गुणा करने पर: $2\pi x - 4 + 8x = 0 \Rightarrow (2\pi + 8)x = 4 \Rightarrow (\pi + 4)x = 2$.
अतः,$x = \frac{2}{\pi + 4}$.
$x$ का मान परिमाप समीकरण में रखने पर: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1 \Rightarrow \pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.
इसलिए,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.
$x$ और $r$ की तुलना करने पर,हमें $x = 2r$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2x}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$2x$ का परिसर $0 < 2x < \pi$ है। अतः,$\sin 2x$ का अधिकतम मान $1$ है जो $2x = \frac{\pi}{2}$ अर्थात $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
जब $\sin 2x = 1$ हो,तब $f(x) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{2}$ है जो $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम $x = e$ पर द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x(1 - \log x)}{x^4}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$ है।
सबसे पहले,असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करके समुच्चय $A$ निर्धारित करते हैं।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-4)(x-5) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$।
अब,$f'(x)=0$ रखकर $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-2)(x-3)=0$।
क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ हैं।
चूंकि ये दोनों बिंदु अंतराल $[4, 5]$ के बाहर हैं,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर एकदिष्ट (monotonic) है।
अंतराल $A=[4, 5]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x=4$ के लिए: $f(4)=2(4)^3-15(4)^2+36(4)-48 = 128-240+144-48 = -16$।
$x=5$ के लिए: $f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 250-375+180-48 = 7$।
मानों की तुलना करने पर,समुच्चय $A$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान $7$ है।

(C) दिया गया फलन $y = a \log x + b x^2 + x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a = 1 - 2b$.
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b + 2 = 0$.
दूसरे समीकरण में $a = 1 - 2b$ रखने पर: $(1 - 2b) + 8b + 2 = 0 \Rightarrow 6b + 3 = 0 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
अब,$a$ का मान ज्ञात करें: $a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.
अंत में,$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) = \left(\frac{2}{-1/2} + \frac{-1/2}{2}\right) = (-4 - \frac{1}{4}) = -\frac{17}{4}$.

(B) माना वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई $x$ है और टंकी की ऊँचाई $h$ है।
दिया गया आयतन $V = x^2 h = 4000 \ cm^3 \dots (i)$.
खुली टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = x^2 + 4xh \dots (ii)$.
$(i)$ से,$h = \frac{4000}{x^2}$.
$h$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$A = x^2 + 4x \left( \frac{4000}{x^2} \right) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$2x = \frac{16000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20 \ cm$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3}$.
$x = 20$ पर,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{8000} = 2 + 4 = 6 > 0$,अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
ऊँचाई की गणना करने पर,$h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.

(B) दिया गया फलन $y=a \log x+b x^2+x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन के चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$।
$b = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$।
अतः,$a=2$ और $b=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(D) चूँकि फलन $f(x)$ अंतराल $[1,3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1)=f(3)$ होगा।
$f(x)=x^3+bx^2+ax+5$ में $x=1$ और $x=3$ रखने पर:
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13 \quad \dots (i)$
अब,$f'(x) = 3x^2+2bx+a$. रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी $c \in (1,3)$ के लिए $f'(c)=0$ होता है।
दिया गया है $c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $f'(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
समीकरण $(i)$ से $a+4b = -13$ रखने पर:
$-13 + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
समीकरण $(i)$ में $b=-6$ रखने पर:
$a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
अतः,$a=11$ और $b=-6$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \log_{e} x$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।
सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = \log_{e} 1 = 0$
$f(3) = \log_{e} 3$
अब,फलन का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{x}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए:
$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3 - 0}{2}$
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3}{2}$
$c = \frac{2}{\log_{e} 3}$
लघुगणक के गुणधर्म $\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a$ का उपयोग करने पर:
$c = 2 \log_{3} e$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0$ और $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ है।
चूंकि $f(0) = f(2)$,रोले के प्रमेय के अनुसार $(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ है।
$f'(c) = 0$ रखने पर,$3c^2 - 6c + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
दोनों मान $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
सबसे पहले,अंतराल $[0, 4]$ के अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ हो।
$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 3$ रखने पर:
$3c^2 - 12c + 11 = 3$.
$3c^2 - 12c + 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत है और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है।
$LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$।
सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ की गणना करें।
इसके बाद,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ की गणना करें।
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$।
अब,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11$।
$f'(c) = 3$ रखने पर,हमें $3c^2 - 12c + 11 = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3c^2 - 12c + 8 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ और $2y - x + 3 = 0$ हैं।
सबसे पहले,वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
माना $\sqrt{x} = t$,तो $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. चूँकि $t = \sqrt{x} \geq 0$,इसलिए $t = 3$,जिसका अर्थ है $x = 9$ और $y = 3$।
रेखा $2y - x + 3 = 0$,$X$-अक्ष $(y=0)$ को $x = 3$ पर काटती है।
क्षेत्रफल $x=0$ से $x=9$ तक वक्र $y = \sqrt{x}$ के समाकलन में से $x=3$ से $x=9$ तक रेखा $2y - x + 3 = 0$ द्वारा $X$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $x^2=4y$ और $x=4y-2$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$4y = x+2$।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = x+2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - x - 2 = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $(x-2)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=2$ और $x=-1$।
जब $x=2$,तो $y=1$। जब $x=-1$,तो $y=1/4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,1)$ और $(-1, 1/4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=-1$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} [\frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4}] dx$
$= \frac{1}{4} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$
$= \frac{1}{4} [(6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - \frac{5}{3})]$
$= \frac{1}{4} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{4} [\frac{20+7}{6}] = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) $x=a$ से $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,क्षेत्र $x=0$ से $x=3$ तक $y=x^2+2$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध है।
चूंकि सभी $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 > x$ है,इसलिए आवश्यक क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^3 (x^2+2-x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} + 2(3) - \frac{3^2}{2} \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + 6 - \frac{9}{2} \right)$
$= 9 + 6 - 4.5$
$= 15 - 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दो वक्र $y=ax^2$ और $x=ay^2$ बिंदु $O(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इन वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम ऊपरी वक्र $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ और निचले वक्र $y=ax^2$ के बीच के अंतर का $x=0$ से $x=\frac{1}{a}$ तक समाकलन करते हैं।
दिया गया क्षेत्रफल $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) रेखा $y = x + 2$ और परवलय $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = x + 2$ रखकर।
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -1$ है।
संगत $y$-मान $y = 4$ और $y = 1$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ और $(2, 4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \left( \frac{4}{2} + 2(2) - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} + 2(-1) - \frac{-1}{3} \right)$
$= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$= \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$
$= \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(B) वक्र $y=3x+1$ और $y=4x+1$ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $3x+1 = 4x+1$ हो,जिसका अर्थ है $x=0$.
अतः,क्षेत्र $x=0$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध है।
वांछित क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\text{वांछित क्षेत्रफल} = \int_0^2 [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_0^2 x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) परवलय $y^2=4x$ और रेखा $y=2x-4$ के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $y = 2x - 4$ में $x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2\left(\frac{y^2}{4}\right) - 4$
$y = \frac{y^2}{2} - 4$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 4$ और $y = -2$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4}$ (या $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) और $x^2 = 9y$ (या $x = \pm 3\sqrt{y}$) हैं। रेखा $y = 2$ है।
$Y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = 3\sqrt{y}$ और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ द्वारा $y = 0$ से $y = 2$ तक घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_0^2 \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$= 2 \int_0^2 \frac{5}{2} \sqrt{y} \, dy = 5 \int_0^2 y^{1/2} \, dy$
$= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^2$
$= \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल वक्र $y=x^2+2$ और रेखा $y=x+1$ द्वारा $x=0$ से $x=3$ के बीच परिबद्ध है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 \geq x+1$ है,इसलिए क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^3 [(x^2+2) - (x+1)] \, dx$
$= \int_0^3 (x^2 - x + 1) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $y=(x+1)^2$ और $y=(x-1)^2$ हैं। रेखा $y=\frac{1}{4}$ है।
$y=(x-1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $(x-1)^2 = \frac{1}{4}$ रखते हैं,जिससे $x-1 = \pm \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{3}{2}$।
इसी प्रकार,$y=(x+1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ के लिए,हमें $x = -\frac{1}{2}$ या $x = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। परिबद्ध क्षेत्र $x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ के बीच है।
$x \in [0, \frac{1}{2}]$ के लिए,ऊपरी सीमा $y = \min((x+1)^2, (x-1)^2)$ है और निचली सीमा $y = \frac{1}{4}$ है।
विशेष रूप से,$x \in [0, \frac{1}{2}]$ के लिए,वक्र $y=(x-1)^2$ ऊपरी सीमा है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ (x-1)^2 - \frac{1}{4} \right] dx$
$= 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{\frac{1}{2}}$
$= 2 \left[ \left( \frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 0 \right) \right]$
$= 2 \left[ \left( -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{4}{24} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} \right] = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल वक्र $y=x^2+2$ (ऊपरी वक्र) और रेखा $y=x+1$ (निचली रेखा) द्वारा ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x=0$ और $x=2$ के बीच परिबद्ध है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_0^2 [(x^2+2) - (x+1)] dx$
$= \int_0^2 (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0)$
$= \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=4$ है,जिसकी त्रिज्या $r=2$ है। क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में $x=0$ ($y$-अक्ष) और $x=2$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $A$ को $0$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $y$ के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है। प्रथम चतुर्थांश में $y^2 = 4-x^2$ होने के कारण,$y = \sqrt{4-x^2}$ है।
$A = \int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_0^2$
$A = \left( \frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + 2\sin^{-1}(0) \right)$
$A = (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - 0 = \pi \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दी गई असमिकाएं हैं:
$x \geq 0$
$x+y \leq 3$
$x^2 \leq 4y$
$y \leq 1+\sqrt{x}$
सीमावर्ती वक्र हैं:
$x+y=3 \quad (i)$
$x^2=4y \quad (ii)$
$y=1+\sqrt{x} \quad (iii)$
$(i)$ और $(iii)$ से:
$3-x = 1+\sqrt{x}$
$x+\sqrt{x}-2=0$
$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)=0$
चूंकि $\sqrt{x} \geq 0$,इसलिए $\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1, y=2$.
$(i)$ और $(ii)$ से:
$x + \frac{x^2}{4} = 3$
$x^2+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x=2, y=1$.
आवश्यक क्षेत्रफल है:
$A = \int_0^1 (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_1^2 (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^1 + [3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12}]_1^2$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + ((6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12}))$
$A = \frac{19}{12} + (1 - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y = 4x^2$ के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है और $x=0$,$y=2$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $y = 4x - 1$ में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है $y = \frac{x^{2/3} - x^{-1/3}}{x^{2/3} + x^{-1/3}}$.
अंश और हर को $x^{1/3}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{x^{2/3} \cdot x^{1/3} - x^{-1/3} \cdot x^{1/3}}{x^{2/3} \cdot x^{1/3} + x^{-1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$.
$y_1 = \frac{x + 1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
अतः,$(x+1)^2 y_1 = 2$.

(A) माना $t$ समय पर संपत्ति $x$ है।
$\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{x} = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = 10,00,000$,इसलिए $2\sqrt{10,00,000} = c \implies c = 2000$।
अतः,$2\sqrt{x} = -kt + 2000$।
$t = 3$ पर,$x = 10,000$,इसलिए $2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$।
दिवालिया होने के लिए,$x = 0$।
$0 = -600T + 2000 \implies 600T = 2000 \implies T = \frac{2000}{600} = \frac{10}{3}$ वर्ष।

(D) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^4$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log y = 4[\log(x+1) + \log(2x+1) + \log(3x+1) + \ldots + \log(nx+1)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$.
$x=0$ पर,$y = [1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 1]^4 = 1$.
$x=0$ रखने पर:
$\frac{1}{1} \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 4 [1 + 2 + 3 + \ldots + n]$.
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 4 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = 2n(n+1)$.

(B) हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$.
मान लीजिए $f(x) = \log_{10} x$.
तब $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} = \frac{\log_{10} e}{x}$.
दिया गया है $a = 1000$ और $h = 2$,इसलिए:
$f(1002) \approx f(1000) + 2 f'(1000)$.
$f(1000) = \log_{10} 1000 = 3$.
$f'(1000) = \frac{\log_{10} e}{1000} = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
अतः,$\log_{10} 1002 \approx 3 + 2(0.0004343)$.
$\log_{10} 1002 \approx 3 + 0.0008686 = 3.0008686$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.0009$ प्राप्त होता है।

(A) $X$-अक्ष पर केंद्र $(h, 0)$ और $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ है।
इसे हल करने पर,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,अर्थात $x^2 + y^2 = 2xh$ प्राप्त होता है।
माना $h = b$,तब $x^2 + y^2 = 2bx$ ... $(i)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2b$,या $x + y \frac{dy}{dx} = b$ ... $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 + y^2)^2 = 4x^2(x + y \frac{dy}{dx})^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$,हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $-1 - \omega^2 = \omega$ होगा।
साथ ही,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$ है।
सारणिक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega^4) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = \omega^2 - \omega - \omega + \omega^2 + \omega^2 - \omega$
$\Delta = 3\omega^2 - 3\omega$
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$

(B) चूँकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$,जहाँ $h \to 0$ है। तब $\tan 4x = \tan(2\pi + 4h) = \tan 4h \approx 4h$.
और $\tan 5x = \tan(\frac{5\pi}{2} + 5h) = \cot 5h \approx \frac{1}{5h}$।
अतः,घातांक $\frac{\tan 4x}{\tan 5x} = \tan 4h \cdot \tan 5h$ हो जाता है,जिसकी सीमा $0 \cdot 0 = 0$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = (\frac{4}{5})^0 = 1$।
अब $f(\frac{\pi}{2}) = k + \frac{2}{5}$ के साथ तुलना करने पर,$k + \frac{2}{5} = 1$।
अतः,$k = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।

(A) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ होगा।
माना $x = \frac{\pi}{4} + t$. जैसे ही $x \to \frac{\pi}{4}$,$t \to 0$ होगा।
अतः $f(x) = \frac{1 - \tan(\frac{\pi}{4} + t)}{4(\frac{\pi}{4} + t) - \pi} = \frac{1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t}}{4t}$ होगा।
अंश को सरल करने पर: $1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t} = \frac{1 - \tan t - 1 - \tan t}{1 - \tan t} = \frac{-2 \tan t}{1 - \tan t}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{-2 \tan t}{4t(1 - \tan t)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan t}{t} \cdot \frac{1}{1 - \tan t}$ होगा।
$t \to 0$ पर सीमा लेने पर: $\lim_{t \to 0} f(x) = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 - 0} = -\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए $f(2) = \lim_{x \rightarrow 2} f(x)$.
$k = \lim_{x \rightarrow 2} \left(\frac{5x-8}{8-3x}\right)^{\frac{3}{2x-4}}$.
माना $x - 2 = h$,इसलिए $x = 2 + h$. जैसे $x \rightarrow 2$,वैसे ही $h \rightarrow 0$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{5(2+h)-8}{8-3(2+h)}\right)^{\frac{3}{2(2+h)-4}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{10+5h-8}{8-6-3h}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2+5h}{2-3h}\right)^{\frac{3}{2h}}$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2(1 + \frac{5}{2}h)}{2(1 - \frac{3}{2}h)}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}{(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}$.
सूत्र $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{1}{\frac{5}{2}h}}]^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{\frac{15}{4}}$.
हर: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{1}{-\frac{3}{2}h}}]^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{-\frac{9}{4}}$.
अतः,$k = \frac{e^{15/4}}{e^{-9/4}} = e^{\frac{15}{4} + \frac{9}{4}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$.

(C) फलन $f(x)$ के अंतराल $[0, \infty)$ पर सतत होने के लिए,इसे $x=1$ और $x=\sqrt{2}$ पर सतत होना चाहिए।
चरण $1$: $x=1$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \Rightarrow \frac{2}{a} = a \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}$.
चरण $2$: $x=\sqrt{2}$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{+}} f(x)$
$a = \frac{2b^2-4b}{\sqrt{2}} \Rightarrow a\sqrt{2} = 2b^2-4b$.
स्थिति $1$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो:
$(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 2b^2-4b \Rightarrow 2 = 2b^2-4b \Rightarrow b^2-2b-1 = 0$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) चूंकि $f(x)$,$x=1$ पर सतत है,इसलिए $f(1) = \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ होगा।
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^{n}-n}{x-1}$
अंश को $(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \left[ \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x^3-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right]$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2(1)^{2-1} + 3(1)^{3-1} + \ldots + n(1)^{n-1}$
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
इसलिए,$f(1) = \frac{n(n+1)}{2}$।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
दिया गया है $f(0) = 12$,अतः $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)} = 12$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^2}{\frac{\sin (x/k)}{x} \cdot \frac{\log (1 + x/4)}{x}} = 12$।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{x} = a$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + ax)}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1^2}{(1/k) \cdot (1/4)} = 12$।
$\frac{1}{1/(4k)} = 12$।
$4k = 12$।
$k = 3$।

(D) फलन $f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right]$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $x \in (-10, 10)$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
यहाँ,$t = \frac{x}{2}$ है। अतः,$f(x)$ तब असंतत हो सकता है जब $\frac{x}{2} = k$ हो,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है $-10 < x < 10$,इसलिए $-5 < \frac{x}{2} < 5$ है।
$\frac{x}{2}$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
यह $x \in \{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ के संगत है।
$x = 0$ पर,$f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right] = 0 \cdot [0] = 0$ है। सीमा $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अन्य मानों $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ के लिए,फलन असंतत है क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन में आने वाला उछाल (jump),$x$ के एक गैर-शून्य मान से गुणा होता है।
अतः,असांतत्य के बिंदुओं की कुल संख्या $8$ है।