अवकल समीकरण frac{dy}{dx}=(x-y)^2 का हल ज्ञात | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ $(i)$ है।माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx

Vedclass · Accepted Answer

$-\log \left|\frac{1-x+y}{1+x-y}\right|=2(x-1)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ $(i)$ है।माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}$.$(i)$ में मान रखने पर,$1-\frac{dt}{dx}=t^2$,अतः $\frac{dt}{dx}=1-t^2$.चरों को अलग करने पर,$dx = \frac{1}{1-t^2} dt$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x = \int \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + c$.$t=x-y$ रखने पर,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + c$.दिया है $y(1)=1$,अर्थात $x=1$ पर $y=1$: $1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+1-1}{1-1+1}\right| + c \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} \log(1) + c \Rightarrow c=1$.अतः,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + 1$.$x-1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| \Rightarrow 2(x-1) = \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right|$.$\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर,$2(x-1) = -\log \left|\frac{1-x+y}{1+x-y}\right|$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $y(1)=1$ है।

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