MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कि रेखा के $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $b$ और $a$ हैं। बिंदु $A(0, a)$ और $B(b, 0)$ हैं।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24$.
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{b} + \frac{3}{a} = 1$.
$ab = 24$ से,$b = \frac{24}{a}$.
समीकरण में $b$ का मान रखने पर: $\frac{2}{24/a} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{2a}{24} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{a}{12} + \frac{3}{a} = 1$.
$12a$ से गुणा करने पर: $a^2 + 36 = 12a \implies a^2 - 12a + 36 = 0 \implies (a-6)^2 = 0 \implies a = 6$.
तब $b = \frac{24}{6} = 4$.
रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर: $3x + 2y = 12$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2+2hxy+2y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=h, b=2$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
हम जानते हैं कि $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ होता है।
ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए $m_2 = 2m_1$ है।
गुणनफल समीकरण में $m_2$ का मान रखने पर: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $m_1 = \frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = 1$ होगा।
तब $m_1+m_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ होगा।
चूंकि $m_1+m_2 = -h$,इसलिए $-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$।
यदि $m_1 = -\frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = -1$ होगा।
तब $m_1+m_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ होगा।
चूंकि $m_1+m_2 = -h$,इसलिए $-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$।
अतः,$h = \pm \frac{3}{2}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $\frac{3}{2}$ है।

(A) अभीष्ट रेखा $3x - y = 5$ और $x + 3y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती है।
समीकरणों को हल करने पर:
$3(3x - y) = 3(5) \Rightarrow 9x - 3y = 15$
$x + 3y = 1$ को जोड़ने पर,$10x = 16 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$।
$x = \frac{8}{5}$ को $3x - y = 5$ में रखने पर: $y = \frac{24}{5} - 5 = -\frac{1}{5}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
समान अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $x + y = a$ है।
बिंदु $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ रखने पर:
$\frac{8}{5} - \frac{1}{5} = a \Rightarrow a = \frac{7}{5}$।
अतः,$x + y = \frac{7}{5} \Rightarrow 5x + 5y - 7 = 0$।

(C) माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए:
$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ $(i)$
$m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ $(ii)$
दिया है $4ab = 3h^2$,अतः $ab = \frac{3h^2}{4}$.
इसे $(ii)$ में रखने पर,$m_1 m_2 = \frac{3h^2}{4b^2}$.
अब,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4(\frac{3h^2}{4b^2}) = \frac{h^2}{b^2}$.
अतः,$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2m_1 = \frac{-h}{b} \implies m_1 = \frac{-h}{2b}$.
$(i)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $2m_2 = \frac{-3h}{b} \implies m_2 = \frac{-3h}{2b}$.
अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $K x^2 + 6 x y + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $A x^2 + 2 H x y + B y^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = K$,$H = 3$,और $B = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = \frac{-2 H}{B} = -6$ और $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = K$।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरे का तीन गुना है,इसलिए $m_2 = 3 m_1$।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $m_1 + 3 m_1 = -6$ $\Rightarrow 4 m_1 = -6$ $\Rightarrow m_1 = -\frac{3}{2}$।
अब,ढालों के गुणनफल का उपयोग करने पर: $m_1 \times (3 m_1) = K \Rightarrow 3 m_1^2 = K$।
$m_1 = -\frac{3}{2}$ रखने पर: $K = 3 \times (-\frac{3}{2})^2 = 3 \times \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a+2h(\frac{y}{x})+b(\frac{y}{x})^2=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $k = \frac{y}{x}$ एक रेखा की ढाल है। अतः $bk^2+2hk+a=0$।
रेखा $mx+ny=18$ की ढाल $-\frac{m}{n}$ है।
चूंकि यह रेखा $mx+ny=18$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $k$,$-\frac{m}{n}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम होनी चाहिए,अर्थात $k = \frac{n}{m}$।
$k = \frac{n}{m}$ को समीकरण $bk^2+2hk+a=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b(\frac{n}{m})^2+2h(\frac{n}{m})+a=0$ प्राप्त होता है।
$m^2$ से गुणा करने पर,हमें $bn^2+2hmn+am^2=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर,$bhx^2 + 2abyx + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = bh$,$H = ab$,और $B = ah$ है।
माना ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया है $m_2 = 2m_1$।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ और गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ होता है।
$3m_1 = -\frac{2ab}{ah} = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$।
$2m_1^2 = \frac{bh}{ah} = \frac{b}{a} \Rightarrow 2\left(-\frac{2b}{3h}\right)^2 = \frac{b}{a}$।
$2 \times \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a}$ $\Rightarrow \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 3$ और $x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 5$ हैं।
ये समीकरण अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में हैं,जहाँ $\alpha$ रेखा के अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
पहली रेखा के अभिलंब का कोण $\alpha_1 = 30^{\circ}$ है और दूसरी रेखा के लिए $\alpha_2 = 60^{\circ}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।
अतः,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^{\circ} - 30^{\circ}| = 30^{\circ}$.

(A) रेखा $l_1$ की ढाल $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(h, k)$,$l_1$ पर स्थित है,$(h, k)$ और $(1, 2)$ के बीच की ढाल $-\frac{1}{2}$ होगी:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
रेखा $l_2$,$(h, k)$ और $(4, 3)$ से गुजरती है और $l_1$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ है।
अतः,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ को $(i)$ में रखने पर: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
अतः,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $2x - 3y + 17 = 0$ है,जिसे $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
$(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(A) रेखा $AB$ $(4x+y=1)$ की ढाल $m_1 = -4$ है। रेखा $BC$ $(3x-4y+1=0)$ की ढाल $m_2 = \frac{3}{4}$ है।
माना $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\alpha$ है। तब,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
चूंकि $AB=AC$,त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है और $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ है।
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। चूंकि $AC$,$A(2,-7)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y+7 = m(x-2)$ है।
$AC$ और $BC$ के बीच का कोण भी $\alpha$ है,इसलिए $\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m-3}{4+3m} = \pm \frac{19}{8}$.
स्थिति $1$: $m = -4$ (यह $AB$ की ढाल है)।
स्थिति $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ का उपयोग करते हुए,$y+7 = m(x-2)$ से:
$52x + 89y + 519 = 0$.

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$x+(a-1)y=1$ और $2x+a^2y=1$.
$x+(a-1)y=1$ की ढाल $m_1 = \frac{-1}{a-1}$ है।
$2x+a^2y=1$ की ढाल $m_2 = \frac{-2}{a^2}$ है।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{-1}{a-1} \times \frac{-2}{a^2} = -1$
$\frac{2}{a^2(a-1)} = -1$
$a^3 - a^2 + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(a+1)(a^2-2a+2) = 0$.
यहाँ $a^2-2a+2 > 0$ है,इसलिए $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ रखने पर,रेखाएँ $x-2y=1$ और $2x+y=1$ प्राप्त होती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$।

(D) माना लंब का पाद $(h, k)$ है।
चूंकि $(h, k)$ रेखा $3x - y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3h - k - 1 = 0 \implies k = 3h - 1$ ... $(i)$.
दी गई रेखा $3x - y - 1 = 0$ की ढाल $m_1 = 3$ है।
बिंदु $(-2, 3)$ और $(h, k)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $3 \times \frac{k - 3}{h + 2} = -1$.
$3(k - 3) = -(h + 2) \implies 3k - 9 = -h - 2 \implies h + 3k = 7$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $k = 3h - 1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$h + 3(3h - 1) = 7 \implies h + 9h - 3 = 7 \implies 10h = 10 \implies h = 1$.
$h = 1$ का मान $(i)$ में रखने पर,$k = 3(1) - 1 = 2$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(D) निर्देशांक $P(-5, 0)$,$Q(0, 0)$,और $R(2, 2\sqrt{3})$ हैं।
$QP$ ऋणात्मक $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$QR$ की ढाल $m = \frac{2\sqrt{3} - 0}{2 - 0} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $QR$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
कोण $\angle PQR = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
कोण $\angle PQR$ का समद्विभाजक इस $120^{\circ}$ के कोण को दो $60^{\circ}$ के भागों में विभाजित करता है।
अतः,समद्विभाजक धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
समद्विभाजक की ढाल $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ है,जिसे $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) रेखा $L$,$(13,32)$ से गुजरती है।
$\frac{13}{5}+\frac{32}{b}=1$
$\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$\Rightarrow b = -20$
अतः,$L$ का समीकरण $\frac{x}{5}-\frac{y}{20}=1$ है,जिसे $4x-y=20$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L$ की ढाल $m_1=4$ है।
रेखा $K$ जिसका समीकरण $\frac{x}{c}+\frac{y}{3}=1$ है,की ढाल $m_2=-\frac{3}{c}$ है।
चूंकि $L$ और $K$ समानांतर हैं,इसलिए $m_1=m_2$.
$4 = -\frac{3}{c} \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
रेखा $K$ का समीकरण $-\frac{4x}{3}+\frac{y}{3}=1$ है,जिसे $4x-y=-3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=4, B=-1, C_1=-20, C_2=3$.
$d = \frac{|-20-3|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16+1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(B) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया गया है $p = 2 \sqrt{2}$ और $\alpha = 135^{\circ}$।
अतः रेखा का समीकरण $x \cos(135^{\circ}) + y \sin(135^{\circ}) = 2 \sqrt{2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-x + y = 4$
या $x - y + 4 = 0$।

(B) बिंदु $(3,-2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y+2=m(x-3)$ $(i)$ है।
दी गई रेखा $\sqrt{3} x+y=1$ है,जिसे $y=-\sqrt{3} x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-\sqrt{3}$ है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m-m_1}{1+m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m-(-\sqrt{3})}{1+m(-\sqrt{3})} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \right|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m = 0$.
$m=0$ को $(i)$ में रखने पर,$y+2=0(x-3) \Rightarrow y+2=0$ प्राप्त होता है। यह रेखा $X$-अक्ष के समानांतर है और $X$-अक्ष को नहीं काटती है।
स्थिति $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 2m = 2\sqrt{3} \Rightarrow m = \sqrt{3}$.
$m=\sqrt{3}$ को $(i)$ में रखने पर,$y+2=\sqrt{3}(x-3) \Rightarrow y+2=\sqrt{3}x-3\sqrt{3} \Rightarrow y-\sqrt{3}x+2+3\sqrt{3}=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \sqrt{3} (1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2 \sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2 \sqrt{3} = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (जो संभव नहीं है)।
अतः,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{3}$
व्यापक हल: $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(C) दिया गया समीकरण $\tan \theta = \tan \alpha$ है।
चूंकि टेंजेंट फलन का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\tan \theta = \tan \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n \pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$4 - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta = 1$
$4\cos^2 \theta + 4\cos \theta - 3 = 0$
माना $x = \cos \theta$,तो $4x^2 + 4x - 3 = 0$
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -\frac{3}{2}$ (अमान्य)
$[0, 2\pi]$ में $\cos \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \frac{5\pi}{3}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x - 3 \sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3 \cos 2x + \cos 3x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) - 3 \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3 \cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2x \cos x - 3 \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x - 3 \cos 2x$
$\sin 2x (2 \cos x - 3) = \cos 2x (2 \cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2 \cos x - 3) = 0$
चूंकि $2 \cos x - 3 = 0$ का अर्थ $\cos x = 1.5$ है,जो असंभव है,इसलिए $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, n \in Z$

(A) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
$x = 30^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$LHS$: $\tan(30^{\circ}+100^{\circ}) = \tan(130^{\circ}) = -\tan 50^{\circ}$.
$RHS$: $\tan(80^{\circ}) \tan(30^{\circ}) \tan(-20^{\circ})$.
ये मान समान हैं,इसलिए $x = 30^{\circ}$ सही उत्तर है।

(B) $a \cos x + b \sin x$ व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
समीकरण $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ के लिए,बाएँ पक्ष का परिसर $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ है।
चूँकि $\sqrt{74} \approx 8.602$,इसलिए $-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$ है।
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर: $-4.801 \leq k \leq 3.801$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इन मानों की कुल संख्या $8$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
सर्वसमिकाओं $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^2 x$ और $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^2 x - (1 - 2 \sin ^2 x) = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x - 1 = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 = 0$
चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए $3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = 0$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin ^2 x - 3 \cos ^2 x = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^2 x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $2 \sin x - 3 \cos x = 0$।
दिया गया है कि $3 \cos x \neq 2 \sin x$,इसलिए $\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2 n + 1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \cos x = 1$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, n \in Z$.

(D) दिया गया है $\alpha+\beta+\gamma=\pi$,इसलिए $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + \sin(\beta+\gamma)\sin(\beta-\gamma)$
चूंकि $\beta+\gamma = \pi - \alpha$,इसलिए $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin \alpha$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin(\beta-\gamma)$
$= \sin \alpha [\sin \alpha + \sin(\beta-\gamma)]$
$= \sin \alpha [\sin(\beta+\gamma) + \sin(\beta-\gamma)]$
योग-से-गुणन सूत्र $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$ का उपयोग करने पर:
$= \sin \alpha [2 \sin \beta \cos \gamma]$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(C) दिया गया समीकरण: $(1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \sec ^2 \theta+2 \tan ^2 \theta=0$
$(1-\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta) + 2\tan^2 \theta = 0$ का उपयोग करने पर
माना $x = \tan^2 \theta$. चूँकि $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $x \ge 0$.
समीकरण $(1-x)(1+x) + 2x = 0$ हो जाता है
$1 - x^2 + 2x = 0$
$x^2 - 2x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $x = 1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = \tan^2 \theta \ge 0$,इसलिए $x = 1 + \sqrt{2}$ लेने पर।
अतः,$\tan^2 \theta = 1 + \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\theta$ के दो मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया है,$\tan A - \tan B = x$
$\cot B - \cot A = y$
$\Rightarrow \frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} = y$
$\Rightarrow \frac{\tan A - \tan B}{\tan A \tan B} = y$
$\Rightarrow \frac{x}{\tan A \tan B} = y$
$\Rightarrow \tan A \tan B = \frac{x}{y}$
अब,$\cot (A - B) = \frac{1}{\tan (A - B)} = \frac{1 + \tan A \tan B}{\tan A - \tan B}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cot (A - B) = \frac{1 + \frac{x}{y}}{x} = \frac{\frac{y + x}{y}}{x} = \frac{x + y}{xy} = \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

(C) दिया गया है,$\alpha = \beta + \gamma$.
चूंकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,
$\tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha (\frac{1}{\tan \alpha})} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{2}$.
अतः,$2 \tan \gamma = \tan \alpha - \tan \beta$,जिससे $\tan \alpha = \tan \beta + 2 \tan \gamma$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$।
अतः,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,जो सरल होकर $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$।
अतः,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ के मूल हैं।
अतः,$\sqrt{3} a \cos \alpha + 2 b \sin \alpha = c$ $(i)$
और $\sqrt{3} a \cos \beta + 2 b \sin \beta = c$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$\sqrt{3} a (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b (\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} a [-2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 2 b [2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
चूँकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$।
मान रखने पर:
$-\sqrt{3} a [2 \sin(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 4 b [\cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \neq 0$,अतः:
$-\sqrt{3} a (1) + 4 b (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$-\sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} b = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$

(D) $\triangle ABC$ में प्रोजेक्शन नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $c = a \cos B + b \cos A$ और $b = a \cos C + c \cos A$ है।
दिया गया व्यंजक $E = \frac{\cos B+\cos C}{b+c}+\frac{\cos A}{a}$ है।
सामान्य हर लेने पर: $E = \frac{a(\cos B+\cos C) + (b+c)\cos A}{a(b+c)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $E = \frac{a \cos B + a \cos C + b \cos A + c \cos A}{a(b+c)}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E = \frac{(a \cos B + b \cos A) + (a \cos C + c \cos A)}{a(b+c)}$.
प्रोजेक्शन नियमों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{c + b}{a(b+c)}$.
सरल करने पर: $E = \frac{b+c}{a(b+c)} = \frac{1}{a}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $\sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + (-1)^{n} \alpha$ होता है: $\theta + \frac{\pi}{3} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in Z$
अतः,$\theta = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, n \in Z$

(D) दिया गया है $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$.
गुणनखंड करने पर,$(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\sin x + 2 > 0$ है,इसलिए $2 \sin x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > \frac{1}{2}$।
इससे $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 - x - 2 < 0$.
गुणनखंड करने पर $(x - 2)(x + 1) < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-1 < x < 2$।
प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ और $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$ है।
चूंकि $2 < \frac{5 \pi}{6}$,इसलिए $(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ और $(-1, 2)$ का प्रतिच्छेदन $(\frac{\pi}{6}, 2)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ जहाँ $x \in [0, 2 \pi]$ है।
चरण $1$: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
चरण $2$: $\cos x$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos x \neq 0$):
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
चरण $3$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x) \implies 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
चरण $4$: गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$
चरण $5$: हल ज्ञात करने पर:
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$.
$\sin x = -1 \implies x = \frac{3 \pi}{2}$ (यहाँ $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हैं)।
सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3 \sin^2 x - 6 \sin x - \sin x + 2 = 0$.
$3 \sin x(\sin x - 2) - 1(\sin x - 2) = 0$.
$(3 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
इससे $\sin x = \frac{1}{3}$ या $\sin x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
अतः,हम $\sin x = \frac{1}{3}$ को हल करते हैं।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल मिलते हैं।
अंतराल $(0, 4 \pi)$ में $2 \times 2 = 4$ हल मिलते हैं।
अंतराल $(4 \pi, 5 \pi)$ में $1$ हल मिलता है।
$(0, 5 \pi)$ में कुल हलों की संख्या $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(A) दिया गया है: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{a+b+c}$
दोनों पक्षों को $(a+b+c)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=3$
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1=3$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=1$
$a(c+a)+b(b+c)=(b+c)(c+a)$
$ac+a^2+b^2+bc=bc+ab+c^2+ac$
$a^2+b^2-c^2=ab$
कोसाइन नियम के अनुसार:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$a^2+b^2-c^2=ab$ रखने पर:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$C = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है $\tan x = \frac{3}{4}$ और $\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$।
चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$।
अतः,$\sec x = -\frac{5}{4}$ (क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में $\sec x < 0$),जिसका अर्थ है $\cos x = -\frac{4}{5}$।
$\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$ के लिए,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ है।
अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4})$ में $\cos \frac{x}{2}$ ऋणात्मक होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$।
$\cos x = -\frac{4}{5}$ रखने पर,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 - 4/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(A) माना दिया गया व्यंजक $E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right)$ है।
सर्वसमिका $\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right)$ और $\sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
$\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot (1) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
द्विगुण कोण सूत्र $\sin (2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(B) दिए गए समीकरण $\cot \theta = \sqrt{3}$ और $\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ हैं।
$\cot \theta = \sqrt{3}$ से,हमें $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि $\theta$ प्रथम या तृतीय चतुर्थांश में है।
$\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ से,हमें $\sec \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए $\theta$ द्वितीय या तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,$\theta$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
तृतीय चतुर्थांश में,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$.
हमें $a \cos ^2 \frac{C}{2} + c \cos ^2 \frac{A}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right)$
$= \frac{a + a \cos C + c + c \cos A}{2}$
$= \frac{(a + c) + (a \cos C + c \cos A)}{2}$
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$b = a \cos C + c \cos A$.
$a + c = 2b$ और $a \cos C + c \cos A = b$ रखने पर:
$= \frac{2b + b}{2} = \frac{3b}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\cos 20^{\circ} + 2 \sin^2 55^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2 55^{\circ} = 1 - \cos 110^{\circ}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक में मान रखने पर:
$\cos 20^{\circ} + 1 - \cos 110^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 20^{\circ} - \cos 110^{\circ} = 2 \sin 65^{\circ} \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
अतः,$\sqrt{2} \sin 65^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ} + 1 = 1$

(D) माना $X = \frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\cot B}{1+\cot B}$.
$\tan$ फलनों में बदलने पर: $X = \frac{1}{\tan A+1} \cdot \frac{1}{\tan B+1} = \frac{1}{\tan A \tan B + \tan A + \tan B + 1}$.
दिया है $A+B = 225^{\circ}$,इसलिए $\tan(A+B) = \tan(225^{\circ}) = 1$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ से,$\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ प्राप्त होता है।
हर में मान रखने पर: $\tan A \tan B + (1 - \tan A \tan B) + 1 = 2$.
अतः,$X = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $A=60^{\circ}$ और $B=20^{\circ}$:
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2}(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(A) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ और $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$।
अतः व्यंजक: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right)^2$
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{2}\right)^2$
$= \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(B) सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
घटाने पर:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
चूँकि $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,यह हो जाता है:
$\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$

(B) माना भुजाएँ $a = \sin \theta$,$b = \cos \theta$,और $c = \sqrt{1 + \sin \theta \cos \theta}$ हैं।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों धनात्मक हैं और $1$ से कम हैं।
भुजाओं के वर्गों की तुलना करने पर: $a^2 = \sin^2 \theta$,$b^2 = \cos^2 \theta$,और $c^2 = 1 + \sin \theta \cos \theta$।
चूँकि $c^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta$,यह स्पष्ट है कि $c^2 > a^2$ और $c^2 > b^2$,इसलिए $c$ सबसे बड़ी भुजा है।
सबसे बड़ा कोण $C$,भुजा $c$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
$\cos C = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - (1 + \sin \theta \cos \theta)}{2 \sin \theta \cos \theta}$।
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{-\sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C = 120^{\circ} = \frac{2 \pi}{3}$।

(B) चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$ होगा।
अतः,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$.
दिए गए मान $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
अतः,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$,जिससे $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$\therefore A + C = 2B$
हम जानते हैं कि $A + B + C = 180^{\circ}$
$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2B + B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $A = 30^{\circ}$,इसलिए $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{1}$
$a = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$b = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

(D) दिया गया है $x=\sec \theta-\cos \theta$ और $y=\sec ^{10} \theta-\cos ^{10} \theta$.
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 10 \sec^9 \theta (\sec \theta \tan \theta) - 10 \cos^9 \theta (-\sin \theta) = 10 \sec^{10} \theta \tan \theta + 10 \cos^9 \theta \sin \theta$
$= 10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{10 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$
सर्वसमिका $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 [(\sec^{10} \theta - \cos^{10} \theta)^2 + 4 \sec^{10} \theta \cos^{10} \theta]}{(\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta}$
चूंकि $\sec \theta \cos \theta = 1$,इसलिए:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (y^2 + 4)}{x^2 + 4}$
अतः,$(x^2+4)(\frac{dy}{dx})^2 = 100(y^2+4)$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$k = 100$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है।
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = \frac{4x}{\sin x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$।
अतः,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,जिससे $C = -\frac{\pi^2}{2}$ प्राप्त होता है।
विशिष्ट हल $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 3y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
अतः,$x = 3y^2 + cy$.
चूँकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=1$ रखते हैं: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
वक्र का समीकरण $x = 3y^2 - 2y$ है।
विकल्प $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ की जाँच करने पर: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
चूँकि बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
अतः,विशिष्ट हल $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ या $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ है।
अब,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$y$ के पदों को एक साथ रखने पर,$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$,जो सरल होकर $\frac{dy}{dx} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)y = \frac{1}{x}$ हो जाता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1 - \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx} = e^{x - \log x} = e^x \cdot e^{-\log x} = e^x \cdot e^{\log(x^{-1})} = e^x \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^x}{x}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$.
पूरे समीकरण को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6 x \sec x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 6 x \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करें:
$IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$.
मान रखने पर:
$y \cdot \cos x = \int (6 x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
चूँकि $\sec x \cdot \cos x = 1$,इसलिए:
$y \cos x = \int 6 x dx + c$.
$x$ के सापेक्ष $6x$ का समाकलन करने पर:
$y \cos x = 3 x^2 + c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{1}{x}$ और $Q(x)=\log x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$xy = \int x \log x dx + c$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$।
अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$।
दिया गया है कि $2(y(2)) = \log 4 - 1$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$।
व्यापक हल में $x=2$ रखने पर: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$।
$2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$।
$x=e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$।

(C) दिया गया है $y=e^x(a+bx+x^2)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a+bx+x^2) + e^x(b+2x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b+2x) \quad ...(i)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(b+2x) + e^x(2)$
समीकरण $(i)$ से $e^x(b+2x) = \frac{dy}{dx} - y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) + 2e^x$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - y + 2e^x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 2e^x + y = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
$y^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \tan x = -\sec x$
माना $v = -\frac{1}{y}$,तब $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} + v \tan x = -\sec x$.
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = -\sec x$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
हल $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$v \sec x = \int -\sec x \cdot \sec x dx + c = -\int \sec^2 x dx + c$.
$v \sec x = -\tan x + c$.
$v = -\frac{1}{y}$ रखने पर: $-\frac{1}{y} \sec x = -\tan x + c$.
$-y$ से गुणा करने पर: $\sec x = y(\tan x - c)$.
$-c$ को एक नए स्थिरांक $c$ के रूप में लेने पर: $\sec x = y(\tan x + c)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
यहाँ,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है:
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log x dx = x \log x - x$:
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
चूंकि समीकरण $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है,$x=1$ रखने पर,$\log(1)=0$.
$y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$.
अतः,हल $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर:
$y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$.
चूंकि $\log(e) = 1$:
$y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$.
इसलिए,$y(e) = 2$.

(B) माना किसी समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है।
न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,$\frac{d \theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,जहाँ $k > 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln(\theta - 20) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$ है।
अतः,$\ln(\theta - 20) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -kt$ है।
$t = 15$ मिनट पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -15k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -15k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{15}$ है।
$t = 1$ घंटा $= 60$ मिनट के लिए,हमारे पास $\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -60 \times \frac{\ln(2)}{15} = -4 \ln(2) = \ln\left(\frac{1}{16}\right)$ है।
इसलिए,$\frac{\theta - 20}{80} = \frac{1}{16} \Rightarrow \theta - 20 = 5 \Rightarrow \theta = 25^{\circ} C$ है।

(B) पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 64$ ग्राम है।
अर्ध-आयु काल $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल व्यतीत समय $t = 15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे पदार्थ की मात्रा का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
मान रखने पर: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ ग्राम।
अतः,$15$ वर्ष बाद शेष बची मात्रा $8$ ग्राम है।

(B) माना समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है।
यह दिया गया है कि क्षय की दर उपस्थित मात्रा के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dm}{dt} = -km$, जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dm}{m} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\ln m = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $m = 60$, इसलिए $\ln 60 = c$।
अतः, $\ln m = -kt + \ln 60$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600 \text{ years}$ दी गई है, इसलिए $t = 1600$ पर, $m = \frac{60}{2} = 30$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln 30 = -1600k + \ln 60$, जिससे $1600k = \ln 60 - \ln 30 = \ln 2$ प्राप्त होता है।
अतः, $k = \frac{\ln 2}{1600}$।
अब, $t = 3200$ के लिए, मात्रा $m$ इस प्रकार है: $\ln m = -\left(\frac{\ln 2}{1600}\right)(3200) + \ln 60$।
$\ln m = -2 \ln 2 + \ln 60 = -\ln 4 + \ln 60 = \ln \left(\frac{60}{4}\right) = \ln 15$।
इसलिए, $m = 15 \text{ grams}$।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या $x$ है।
वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = kx$ है।
चरों को अलग करके और समाकलन करने पर,हमें $\ln x = kt + c$ प्राप्त होता है,या $x = e^{kt+c} = Ae^{kt}$,जहाँ $A = e^c$ समय $t=0$ पर बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है।
$t=3$ पर,$x = 10^4$,इसलिए $10^4 = Ae^{3k}$ ... $(i)$
$t=5$ पर,$x = 4 \cdot 10^4$,इसलिए $4 \cdot 10^4 = Ae^{5k}$ ... (ii)
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{4 \cdot 10^4}{10^4} = \frac{Ae^{5k}}{Ae^{3k}} \Rightarrow 4 = e^{2k} \Rightarrow e^k = 2$ प्राप्त होता है।
$e^k = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $10^4 = A(e^k)^3 = A(2)^3 = 8A$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \frac{10^4}{8}$।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है:
$\frac{dm}{dt} = -km$,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dm}{m} = -k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln m = -kt + C$
$t = 0$ पर,$m = m_0$,इसलिए $C = \ln m_0$।
अतः,$\ln \left(\frac{m}{m_0}\right) = -kt$।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$m = \frac{m_0}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln \left(\frac{m_0/2}{m_0}\right) = -kh$
$\ln \left(\frac{1}{2}\right) = -kh$
$-\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dm}{dt}$ का मान है:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{t=0} = -k m_0 = -\left(\frac{\ln 2}{h}\right) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$।

(B) आयतन $V$ के परिवर्तन की दर इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ के समानुपाती है।
$dV/dt = -kS$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $S = 4 \pi r^2$,इसलिए $dV/dt = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4 \pi r^2)$।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -k$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$r(t) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3 \ mm$,इसलिए $3 = -k(0) + C \Rightarrow C = 3$।
अतः,$r(t) = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$r = 2 \ mm$,इसलिए $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$।
इसलिए,किसी भी समय $t$ पर त्रिज्या $r(t) = 3 - t$ होगी।

(A) माना $t$ घंटों पर बैक्टीरिया की संख्या $B(t)$ है।
दिया गया है कि वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए अवकल समीकरण: $\frac{dB}{dt} = kB$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर,$B(t) = B_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $B_0$ प्रारंभिक संख्या $N$ है।
$t = 8$ पर,$B(8) = 2N$,इसलिए $2N = N e^{8k}$,जिसका अर्थ है $e^{8k} = 2$।
हमें $t = 24$ घंटों पर बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात करनी है।
$B(24) = N e^{24k} = N (e^{8k})^3$।
$e^{8k} = 2$ रखने पर,हमें $B(24) = N (2)^3 = 8N$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर बर्फ की मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -cx$,जहाँ $c > 0$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $x(t) = x_0 e^{-ct}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $15 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 15$ पर,$x(15) = \frac{1}{2} x_0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} x_0 = x_0 e^{-15c}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-15c} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $30 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा ज्ञात करनी है,जो $x(30) = x_0 e^{-30c}$ है।
$x(30) = x_0 (e^{-15c})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} x_0$ है।
इसे $k x_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $M$ है। क्षय की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{dM}{dt} = -kM$,जहाँ $k > 0$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln M = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$M = m_0$,इसलिए $\ln m_0 = c$ है।
अतः,$\ln M = -kt + \ln m_0$,जिसे $\ln(\frac{M}{m_0}) = -kt$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$M = \frac{m_0}{2}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln(\frac{1}{2}) = -kh \Rightarrow -\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dM}{dt}$ का मान है।
$\frac{dM}{dt} = -k m_0 = -(\frac{\ln 2}{h}) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$।

(D) दिया गया व्यापक हल: $A x^2+B y^2=1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y \frac{d y}{d x} = 0 \dots (i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A + B \left[ \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} \right] = 0 \dots (ii)$
$(i)$ से,$A = -\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x}$। इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x} + B \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + B y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$B$ से भाग देने पर ($B \neq 0$ मानते हुए):
$-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$x$ से गुणा करने पर:
$-y \frac{d y}{d x} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + x y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
अतः,$x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$।

(B) दिया गया हल: $y=(C_1+C_2) e^x+C_3 e^{x+C_4}$
हम इस व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$y = (C_1+C_2) e^x + C_3 e^x \cdot e^{C_4}$
मान लीजिए $A = C_1+C_2$ और $B = C_3 e^{C_4}$ है।
तब समीकरण $y = Ae^x + Be^x = (A+B) e^x$ बन जाता है।
मान लीजिए $D = A+B$,जहाँ $D$ एक स्वेच्छ अचर है।
इस प्रकार,समीकरण $y = De^x$ में सरल हो जाता है।
चूँकि हल के अंतिम रूप में केवल एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$.
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\cos y \,dy = \frac{x e^x \log x + e^x}{x} dx$
$\cos y \,dy = (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
हम देखते हैं कि दाहिना पक्ष $e^x \log x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज है।
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx}(e^x \log x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos y \,dy = \int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
$\sin y = e^x \log x + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

(D) माना $g(x) = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(f(f(x)))$ का अवकलज $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ होगा।
दिया गया है $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,मान रखने पर:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
अतः,$x=1$ पर $f(f(f(x)))$ का अवकलज $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ है।
$(f(x))^2$ का अवकलज $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ है।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.

(D) दिया गया है $y=a \sin x+b \cos x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=a \cos x-b \sin x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ पर विचार करें:
$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x+b \cos x)^2+(a \cos x-b \sin x)^2$
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\cos^2 x + \sin^2 x)$
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2+b^2$।
चूँकि $a$ और $b$ स्थिरांक हैं,इसलिए $a^2+b^2$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ एक स्थिरांक है।

(B) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है।
चूंकि यह $x$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$
$8a - 4b + 2c = 5$ ... $(i)$
साथ ही,$x=-2$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$ ... $(ii)$
वक्र $y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$ प्राप्त होता है,अतः $Q=(0,5)$।
$Q$ पर प्रवणता $3$ है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3
\Rightarrow 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 3
\Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर:
$(i) \Rightarrow 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1$ ... $(iii)$
$(ii) \Rightarrow 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3$ ... $(iv)$
$(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1)
4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1
-4 - 4b = -1
-4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a+b+c = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 = \frac{-2-3+12}{4} = \frac{7}{4}$.

(A) दिया गया है कि $f(x) = \cos^{-1} x$ और $g(x) = e^x$ है।
हम $h(x) = g(f(x)) = e^{\cos^{-1} x}$ को परिभाषित करते हैं।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{\cos^{-1} x}) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$h'(x) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$।
अब,हम अनुपात $\frac{h'(x)}{h(x)}$ की गणना करते हैं:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{e^{\cos^{-1} x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x)=e^x$ और $g(x)=\sin ^{-1} x$ है।
$h(x)=f(g(x))=e^{\sin ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(e^{\sin ^{-1} x}) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अब,अनुपात $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ पर विचार करें:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{\sin ^{-1} x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अंत में,परिणाम का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \frac{1}{1-x^2}$।

(A) दिया गया त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 8 - \frac{t}{5} \text{ cm/s}^2$ है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$v = \int (8 - \frac{t}{5}) dt = 8t - \frac{t^2}{10} + C$।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $t = 0$ पर $v = 0$ है।
$0 = 8(0) - \frac{0^2}{10} + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,वेग फलन $v(t) = 8t - \frac{t^2}{10}$ है।
त्वरण शून्य तब होता है जब $8 - \frac{t}{5} = 0$,जिससे $t = 40 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
वेग समीकरण में $t = 40$ रखने पर:
$v = 8(40) - \frac{(40)^2}{10} = 320 - \frac{1600}{10} = 320 - 160 = 160 \text{ cm/s}$।

(B) दिया गया गति का समीकरण $s = at^2 + bt + c$ है।
$1 \text{ s}$ के बाद विस्थापन $20 \text{ m}$ है,इसलिए $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20 \dots (i)$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
$2 \text{ s}$ के बाद वेग $30 \text{ m/s}$ है,इसलिए $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30 \dots (ii)$.
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a$.
दिया गया त्वरण $10 \text{ m/s}^2$ है,इसलिए $2a = 10 \implies a = 5$.
समीकरण $(ii)$ में $a = 5$ रखने पर: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
समीकरण $(i)$ में $a = 5$ और $b = 10$ रखने पर: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर: $a + c = 5 + 5 = 10$ और $b = 10$.
अतः,$a + c = b$.

(A) दिया गया है $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}[2f(x) + 2]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4 \cdot f(2f(x) + 2) \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 4 \cdot f(2f(0) + 2) \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
दिया गया है $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4 \cdot f(2(-1) + 2) \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot (1)$
$g'(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f'(0) \cdot 1$
$g'(0) = 4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 1 = -4$.

(D) $y=\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}\right)$
$= \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}\right)$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \left[ \frac{(1+\sin ^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(1-\sin ^{-1} x) - (1-\sin ^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(1+\sin ^{-1} x)}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \left[ \frac{(1+\sin ^{-1} x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} - (1-\sin ^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \left[ \frac{-1-\sin ^{-1} x - 1 + \sin ^{-1} x}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+\sin ^{-1} x)^2}$
$= \frac{-\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-\sin ^{-1} x} \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot (1+\sin ^{-1} x)^2}$
$x=0$ रखने पर,$\sin^{-1}(0) = 0$:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{-\sqrt{1+0}}{\sqrt{1-0} \cdot \sqrt{1-0} \cdot (1+0)^2} = \frac{-1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = -1$

(A) दिया गया है $y = e^{4x} \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$\ln y = \ln \left( e^{4x} \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}} \right)$
$\ln y = \ln(e^{4x}) + \ln \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}}$
$\ln y = 4x + \frac{3}{4} [\ln(x-4) - \ln(x+3)]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+3} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{(x+3) - (x-4)}{(x-4)(x+3)} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{7}{(x-4)(x+3)} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{21}{4(x-4)(x+3)}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ 4 + \frac{21}{4(x-4)(x+3)} \right]$.

(D) माना $u = \sin ^2 x$ और $v = e^{\cos x}$ है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x$.
इसके बाद,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\cos x}) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dv} = \frac{\frac{du}{dx}}{\frac{dv}{dx}} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-\sin x \cdot e^{\cos x}}$.
अंश और हर से $\sin x$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{du}{dv} = \frac{2 \cos x}{-e^{\cos x}} = \frac{-2 \cos x}{e^{\cos x}}$.

(C) दिया गया है $x = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$ और $y = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$.
सबसे पहले,$\frac{dx}{d\theta}$ और $\frac{dy}{d\theta}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)$
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 2 \cos \theta - 2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2(1 + \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 2(1 - \cos \theta)(1 + 2 \cos \theta)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2(1 - \cos \theta)(1 + 2 \cos \theta)}{2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)} = \tan(3\theta/2)$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan(3\theta/2)) = \frac{d}{d\theta}(\tan(3\theta/2)) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{3}{2} \sec^2(3\theta/2) \cdot \frac{1}{2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)}$.
सरलीकरण करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \sec^2 \frac{3 \theta}{2}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है कि $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$ है।
चूँकि $y = (\sin \theta)^3$,हम $x = \sin \theta$ को प्रतिस्थापित करके $y = x^3$ प्राप्त कर सकते हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$।
जब $\theta = \frac{\pi}{2}$ है,तो $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ होगा।
अतः $x = 1$ रखने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{x=1} = 6(1) = 6$।

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log_{e} x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log_{e} x)}{2 \log x}$।
अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log_{e} x)) \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$
चूंकि $\log_{e} x = \log x$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log_{e} x)}{x}}{(\log x)^2} \right] = \frac{1 - \log(\log_{e} x)}{2x(\log x)^2}$।
$x = e$ रखने पर,$\log_{e} e = 1$ और $\log(\log_{e} e) = \log(1) = 0$।
$f^{\prime}(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$।

(A) दिया गया है $y = \log \left[e^{5x} \left(\frac{3x-4}{x+5}\right)^{\frac{4}{3}}\right]$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$:
$y = \log(e^{5x}) + \log\left(\left(\frac{3x-4}{x+5}\right)^{\frac{4}{3}}\right)$
$y = 5x \log e + \frac{4}{3} \log\left(\frac{3x-4}{x+5}\right)$
$y = 5x + \frac{4}{3} [\log(3x-4) - \log(x+5)]$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x) + \frac{4}{3} \left[ \frac{d}{dx}(\log(3x-4)) - \frac{d}{dx}(\log(x+5)) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 5 + \frac{4}{3} \left[ \frac{1}{3x-4} \cdot 3 - \frac{1}{x+5} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 5 + \frac{4}{3x-4} - \frac{4}{3(x+5)}$.

(A) दिया गया फलन $y=a \log x+b x^2+x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x}=\frac{a}{x}+2 b x+1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन का चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर है,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-1$ पर: $\frac{a}{-1}+2 b(-1)+1=0 \Rightarrow -a-2 b+1=0 \Rightarrow a+2 b=1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ पर: $\frac{a}{2}+2 b(2)+1=0 \Rightarrow \frac{a}{2}+4 b+1=0 \Rightarrow a+8 b=-2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(a+8 b)-(a+2 b)=-2-1 \Rightarrow 6 b=-3 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}$।
$b=-\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर: $a+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow a-1=1 \Rightarrow a=2$।
अतः,$a+b=2+(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$।

(D) दिया गया है $y = ((x+1)(4x+1)(9x+1) \ldots (n^2x+1))^2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = 2[\log(x+1) + \log(4x+1) + \log(9x+1) + \ldots + \log(n^2x+1)]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{4}{4x+1} + \frac{9}{9x+1} + \ldots + \frac{n^2}{n^2x+1} \right]$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2y \left[ \frac{1^2}{x+1} + \frac{2^2}{4x+1} + \frac{3^2}{9x+1} + \ldots + \frac{n^2}{n^2x+1} \right]$.
$x=0$ पर,$y(0) = ((0+1)(0+1) \ldots (0+1))^2 = 1^2 = 1$.
अवकलज के व्यंजक में $x=0$ रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 2(1) [1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2]$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \sin (x+y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = \cos (x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \left(\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)\right) = 0$
चूंकि $\log (x+y) = \sin (x+y)$,पद $\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)$ डोमेन के सभी $x, y$ के लिए शून्य नहीं हो सकता है।
इसलिए,हमारे पास होना चाहिए:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$

(A) दिया गया समीकरण: $\log (x+y)=2xy \quad ...(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y^{\prime}) = 2(x y^{\prime} + y)$
$y^{\prime}$ के लिए हल करने पर:
$1 + y^{\prime} = 2(x+y)(x y^{\prime} + y)$
$1 + y^{\prime} = 2x^2 y^{\prime} + 2xy + 2xy y^{\prime} + 2y^2$
$y^{\prime}(1 - 2x^2 - 2xy) = 2xy + 2y^2 - 1$
$y^{\prime} = \frac{2xy + 2y^2 - 1}{1 - 2x^2 - 2xy}$
अब,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखकर $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\log(0+y) = 2(0)y$
$\log(y) = 0$
$y = e^0 = 1$
अब $x=0$ और $y=1$ को $y^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर:
$y^{\prime}(0) = \frac{2(0)(1) + 2(1)^2 - 1}{1 - 2(0)^2 - 2(0)(1)}$
$y^{\prime}(0) = \frac{0 + 2 - 1}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(D) दिया गया है $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(f(x)) = \ln(1+x) + \ln(1+x^2) + \ln(1+x^4) + \ln(1+x^8)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2} + \frac{4x^3}{1+x^4} + \frac{8x^7}{1+x^8}$.
$x=1$ पर,$f(1) = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
अवकलज समीकरण में $x=1$ रखने पर:
$\frac{f^{\prime}(1)}{f(1)} = \frac{1}{1+1} + \frac{2(1)}{1+1^2} + \frac{4(1)^3}{1+1^4} + \frac{8(1)^7}{1+1^8} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} = \frac{1+2+4+8}{2} = \frac{15}{2}$.
अतः,$f^{\prime}(1) = f(1) \times \frac{15}{2} = 16 \times \frac{15}{2} = 8 \times 15 = 120$.

(A) दिया गया है $y=(\sin x)^{\tan x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \tan x \cdot \log(\sin x)$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$।
चूंकि $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$,इसलिए $\tan x \cdot \cot x = 1$।
अतः,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \log(\sin x) + 1$।
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = y[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$।
$y = (\sin x)^{\tan x}$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x}[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$।

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log x)}{2 \log x}$.
अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log x)) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{2x(\log x)^2}$.
$x = e$ पर,$\log x = \log e = 1$ और $\log(\log x) = \log(1) = 0$.
इन मानों को रखने पर:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$.

(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\ln y = 2[\ln(x+1) + \ln(2x+1) + \ln(3x+1) + \ldots + \ln(nx+1)]$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2y \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$।
$x=0$ पर,$y = [(0+1)(0+1)(0+1) \ldots (0+1)]^2 = 1^2 = 1$।
$x=0$ और $y=1$ का मान $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 2(1) \left[ \frac{1}{0+1} + \frac{2}{0+1} + \frac{3}{0+1} + \ldots + \frac{n}{0+1} \right]$।
$= 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$।

(C) माना $u = e^x$ और $v = \sqrt{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष $u$ और $v$ का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{du}{dx} = e^x$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज है:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{e^x}{1/(2\sqrt{x})} = 2\sqrt{x} e^x$.

(A) दिया गया अनंत सतत भिन्न: $y = \frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{1 + y}}$.
दोनों पक्षों को $(1 + y + \cos x)$ से गुणा करने पर: $y(1 + y + \cos x) = \sin x(1 + y)$.
$y + y^2 + y \cos x = \sin x + y \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x) = \cos x(1 + y) + \sin x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx}(1 + 2y + \cos x - \sin x) = \cos x + y \cos x + y \sin x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin x + (1 + y) \cos x}{1 + 2y + \cos x - \sin x}$.

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)$ और $z = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin ^{-1} x$।
तब,$y = \sin ^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \sin ^{-1} x$।
इसी प्रकार,$z = \sin ^{-1}\left(3 \sin \theta - 4 \sin ^3 \theta\right) = \sin ^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta = 3 \sin ^{-1} x$।
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ और $z$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ और $\frac{dz}{dx} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$।
अंत में,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{2/\sqrt{1-x^2}}{3/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1+(3^x)^2}\right)$.
मान लीजिए $3^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(3^x)$.
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(3^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = 2 \cdot \frac{1}{1+(3^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = \frac{2 \cdot 3^x \log 3}{1+9^x}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर,$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot 3^{1/2} \log 3}{1+9^{1/2}} = \frac{2 \sqrt{3} \log 3}{1+3} = \frac{2 \sqrt{3} \log 3}{4} = \frac{\sqrt{3} \log 3}{2} = \sqrt{3} \log(3^{1/2}) = \sqrt{3} \log(\sqrt{3})$.

(B) दिया गया है $y = \tan ^{-1}\left(\frac{3+2 x}{2-3 x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{3 x}{1+4 x^2}\right)$।
प्रथम पद में अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}+x}{1-\frac{3}{2} x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-x}{1+(4 x)(x)}\right)$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ और $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) + \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (4 x) - \tan ^{-1} x$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) + \tan ^{-1} (4 x)$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 0 + \frac{1}{1+(4 x)^2} \cdot \frac{d}{d x}(4 x)$
$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1+16 x^2}$