प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2$ सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,$\sum

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$\frac{n^2-1}{12}$

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(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2$ सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$\frac{n+1}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right)$$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{4n+2 - 3n-3}{6} \right)$$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n-1}{6} \right)$$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) $\qquad$ है।

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