MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $(\cot \alpha_1)(\cot \alpha_2) \ldots (\cot \alpha_n) = 1$।
इसका अर्थ है $(\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n) = (\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \ldots \sin \alpha_n)$।
माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$।
तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \ldots \cos \alpha_n)(\sin \alpha_1 \ldots \sin \alpha_n)$।
$P^2 = \frac{1}{2^n} (2 \sin \alpha_1 \cos \alpha_1) (2 \sin \alpha_2 \cos \alpha_2) \ldots (2 \sin \alpha_n \cos \alpha_n)$।
$P^2 = \frac{1}{2^n} \sin(2\alpha_1) \sin(2\alpha_2) \ldots \sin(2\alpha_n)$।
चूंकि $\sin(2\alpha_i) \leq 1$ सभी $i$ के लिए,इसलिए $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$।
वर्गमूल लेने पर,$P \leq \frac{1}{\sqrt{2^n}} = \frac{1}{2^{(n/2)}}$।
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{(n/2)}}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$ है।
$\sqrt{3} \sec x = -2$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos x$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,हम $[0, 2\pi]$ में मान ज्ञात करते हैं।
दूसरे चतुर्थांश में: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।
तीसरे चतुर्थांश में: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$।
अतः,मुख्य हल $\frac{5\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ से भाग देने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ और $\cos x$ में बदलने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ से गुणा करने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ और $\cos 2x$ सूत्रों का उपयोग करने पर: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
व्यापक हल: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
स्थिति $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ के लिए,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
स्थिति $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ के लिए,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ के लिए,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
हलों का योग: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
$\therefore \sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$
$\theta \in (0, 2\pi)$ के लिए:
यदि $\sin \theta = \frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$।
यदि $\sin \theta = -1$,तो $\theta = \frac{3\pi}{2}$।
हालाँकि,$\theta = \frac{3\pi}{2}$ पर $\tan \theta$ और $\sec \theta$ अपरिभाषित हैं।
अतः,मान्य हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
इसलिए,हलों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2^{1+|\cos x|+|\cos x|^2+\ldots} = 4$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = |\cos x|$ है,जहाँ $|\cos x| < 1$,योग $\frac{1}{1-|\cos x|}$ है।
अतः,$2^{\frac{1}{1-|\cos x|}} = 2^2$.
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{1}{1-|\cos x|} = 2$.
$1 - |\cos x| = \frac{1}{2} \Rightarrow |\cos x| = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\cos x = \frac{1}{2}$ या $\cos x = -\frac{1}{2}$।
अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,$\cos x = \frac{1}{2}$ के लिए हल $x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$ हैं।
$\cos x = -\frac{1}{2}$ के लिए हल $x = \frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$ हैं।
इसलिए,हलों की कुल संख्या $4$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x)(2 \sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. इसका अर्थ है $x = \frac{3 \pi}{2}$,लेकिन $x = \frac{3 \pi}{2}$ पर $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हैं। इसलिए,यह हल नहीं है।
स्थिति $2$: $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5 \pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हलों की संख्या $2$ है।

(D) माना $y = \cos ^{-1}\left(\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}\right)$.
इनवर्स कोसाइन फलन के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$y = \cos ^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \cos ^{-1}\left(-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$.
गुणधर्म $\cos ^{-1}(-z) = \pi - \cos ^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर:
$y = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan ^{-1} x$:
$y = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)$.
चूंकि $\cos 2\theta = \frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}$,इसलिए:
$y = \pi - \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = \pi - 2\theta = \pi - 2\tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\pi - 2\tan ^{-1} x) = 0 - 2\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{-2}{1+x^2}$.

(D) माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$।
सूत्र $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,इसलिए $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
अतः,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$।

(B) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{3x}{2} - \frac{x^3}{2}\right)$.
हम इस व्यंजक को $y = \sin^{-1}\left(3\left(\frac{x}{2}\right) - 4\left(\frac{x}{2}\right)^3\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\frac{x}{2} = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,$y = \sin^{-1}(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर,$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ का मान वापस रखने पर,$y = 3\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (x/2)^2}} \cdot \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{4-x^2}}$.

(D) माना $y = \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ और $z = \cos ^{-1}(4x^3 - 3x)$.
$y$ के लिए,$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
$z$ के लिए,$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$z = \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta = 3 \cos^{-1} x$.
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ और $z$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^2}}$.
$\frac{dz}{dx} = 3 \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}$.
अंत में,$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-1/(2\sqrt{1-x^2})}{-3/\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{6}$.

(A) दिया गया है $y=\sin ^2\left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)$.
माना $\theta=\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$,तो $\cot \theta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\cot^2 \theta = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1+\cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\csc^2 \theta = 1 + \frac{1+x}{1-x} = \frac{1-x+1+x}{1-x} = \frac{2}{1-x}$.
चूंकि $\sin^2 \theta = \frac{1}{\csc^2 \theta}$,इसलिए $\sin^2 \theta = \frac{1-x}{2}$.
इस मान को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y = \sin^2 \theta = \frac{1-x}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण $x^2 y^2 = \frac{\pi}{2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x$ से भाग देने पर:
$y^2 + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$(2)^2 + (1)(2) \frac{dy}{dx} = 0$
$4 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$2 \frac{dy}{dx} = -4$
$\frac{dy}{dx} = -2$

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{\log x^2}{1+(\log x)^2}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \log x}{1+(\log x)^2}\right)$.
माना $\log x = \tan \theta$,तो $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
मान वापस रखने पर,$y = 2 \tan^{-1}(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{1+(\log x)^2} \times \frac{1}{x}$.
$x = 1$ पर,$\log 1 = 0$,अतः $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 2 \times \frac{1}{1+0^2} \times \frac{1}{1} = 2 \times 1 \times 1 = 2$.

(B) दिया गया है $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
मान लीजिए $\tan^{-1} x = \theta$,तो $\tan \theta = x$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + x^2$,इसलिए $\sec \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
अतः,$y = \sqrt{1 + x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
$x = 1$ पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{2+3 x}{3-2 x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{1+5 x^2}\right)$
पहले पद को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3} x}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(x)$
दूसरे पद को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\tan ^{-1}\left(\frac{5 x-x}{1+(5 x)(x)}\right) = \tan ^{-1}(5 x) - \tan ^{-1}(x)$
इन दोनों को जोड़ने पर,$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(5 x) - \tan ^{-1}(x)$
सरल करने पर,$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(5 x)$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 0 + \frac{1}{1+(5 x)^2} \cdot \frac{d}{d x}(5 x)$
$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{1+25 x^2}$

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-x}{x^2+2x}$। $x \neq 0$ के लिए,हम इसे $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
माना $y = \frac{x-1}{x+2}$।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y(x+2) = x-1$
$yx + 2y = x - 1$
$yx - x = -1 - 2y$
$x(y-1) = -(1+2y)$
$x = \frac{2y+1}{1-y}$।
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{1-x}$।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f^{-1}(x)$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-x}\right) = \frac{(1-x)(2) - (2x+1)(-1)}{(1-x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1-x)^2} = \frac{3}{(1-x)^2}$।
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))|_{x=2} = \frac{3}{(1-2)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$।
इससे $\log(y + 3) = x + C$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(0) = 2$,अतः $x = 0$ और $y = 2$ को $(i)$ में रखने पर:
$\log(2 + 3) = 0 + C \Rightarrow C = \log 5$।
$C$ का मान $(i)$ में रखने पर,$\log(y + 3) = x + \log 5$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$।
अतः,$y = 5e^x - 3$।
अब,$y(\log 2)$ की गणना करने पर:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(A) दिया गया है $y = A \cos nx + B \sin nx$ ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -An \sin nx + Bn \cos nx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -An^2 \cos nx - Bn^2 \sin nx$
$-n^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 (A \cos nx + B \sin nx)$
समीकरण $(i)$ से $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 y$

(A) दिया गया है $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a(n+1) x^n - bn x^{-n-1}$.
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a(n+1)n x^{n-1} - bn(-n-1) x^{-n-2}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a n(n+1) x^{n-1} + b n(n+1) x^{-n-2}$.
$n(n+1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n-1} + b x^{-n-2}]$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
चूंकि $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,इसलिए $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) y$.

(D) दिया है: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$x^4+y^4 = t^2+\frac{1}{t^2}$ का मान रखने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$2x^2y^2 = 2 \implies x^2y^2 = 1$.
अतः,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^3y}$.

(A) दिया गया है $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F^{\prime}(x) = 2 f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 2 g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right)$
चूंकि $g(x) = f^{\prime}(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$.
इन मानों को अवकलज समीकरण में रखने पर:
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot (-f\left(\frac{x}{2}\right))$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) - g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = 0$
चूंकि $F^{\prime}(x) = 0$,इसलिए $F(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है $F(5) = 5$,अतः सभी $x$ के लिए $F(x) = 5$ होगा।
इसलिए,$F(10) = 5$।

(D) दिया गया है कि $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = g(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$ होगा।
दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,इन मानों को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h^{\prime}(x) = 0$ है,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(5) = h(10) = 1$ होगा।

(D) दिया गया है $8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5 \dots (i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है $8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से और $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20 \dots (iii)$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15 \dots (iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ घटाने पर:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5 \implies f(x)=\frac{1}{14}\left(4x-\frac{3}{x}+5\right)$
अतः $f'(x)=\frac{1}{14}\left(4+\frac{3}{x^2}\right)$
$x=-1$ पर:
$f(-1)=\frac{1}{14}(-4+3+5)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
$f'(-1)=\frac{1}{14}(4+3)=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
दिया गया है $y=x^2 f(x)$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx}=2x f(x)+x^2 f'(x)$
$x=-1$ पर:
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-1}=2(-1)f(-1)+(-1)^2 f'(-1)$
$= -2\left(\frac{2}{7}\right) + 1\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{7} + \frac{1}{2} = \frac{-8+7}{14} = -\frac{1}{14}$

(B) दिया गया है $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$।
$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = g(x)$,इसलिए $f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime}(x)$ होगा।
दिया गया है $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,अतः $g^{\prime}(x) = -f(x)$ होगा।
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h^{\prime}(x) = 0$,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(5) = h(10) = 1$।

(D) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$।
दिया गया है कि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,इसलिए:
$f(f(1)) = f(1) = 1$ और $f(f(f(1))) = f(1) = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$।

(C) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$।
दिया गया है कि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=5$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 5 + 2(1)(5)$।
चूंकि $f(1)=1$,इसलिए $f(f(1)) = f(1) = 1$।
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 5 + 10$।
$= 5 \cdot 5 \cdot 5 + 10 = 125 + 10 = 135$।

(B) दिया गया है $x = \sin t$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \cos t$.
दिया गया है $y = a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}$.
अतः $\frac{dy}{dt} = a \sqrt{2} e^{t \sqrt{2}} - b \sqrt{2} e^{-t \sqrt{2}} = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})}{\cos t}$.
मान लीजिए $y' = \frac{dy}{dx}$. तो $y' \cos t = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' \cos t - y' \sin t = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}) = 2y$.
यहाँ $\cos t = \sqrt{1 - x^2}$ और $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$ का उपयोग करने पर,
$y'' \cos t - y' \frac{\sin t}{\cos t} = 2y \frac{1}{\cos t}$.
$\cos t$ से गुणा करने पर: $y'' \cos^2 t - y' \sin t = 2y$.
$\cos^2 t = 1 - x^2$ और $\sin t = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - x^2) y'' - x y' = 2y$.
अतः,$(1 - x^2) y'' - x y' = ky$ से तुलना करने पर $k = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{x^2+3x+2}$।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$x^2 + 3x + 2 \neq 0$
$(x+1)(x+2) \neq 0$
$x \neq -1$ और $x \neq -2$।
साथ ही,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$x + 3 > 0$
$x > -3$।
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-3, \infty) - \{-1, -2\}$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6} \geq 0$
$\sin^{-1}(2x) \geq -\frac{\pi}{6}$
साथ ही,$\sin^{-1}(\theta)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \leq 2x \leq 1$,जिसका अर्थ है $-0.5 \leq x \leq 0.5$।
$\sin^{-1}(2x)$ का परिसर (range) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{\pi}{6} \leq \sin^{-1}(2x) \leq \frac{\pi}{2}$।
सभी पदों का ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) \leq 2x \leq \sin(\frac{\pi}{2})$
$-\frac{1}{2} \leq 2x \leq 1$
$2$ से भाग देने पर:
$-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$
अतः,प्रांत $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में आधार $2$ का लघुगणक लेने पर,$y = \log_2(2 - 2^x)$ प्राप्त होता है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है $2^x < 2$।
चूंकि $2 = 2^1$,इसलिए $2^x < 2^1$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए असमिका $x < 1$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $2 - 2^x$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$2 - 2^x > 0$
$2^x < 2$
$2^x < 2^1$
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका इस प्रकार होगी:
$x < 1$।
अतः,फलन का प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) दिया गया समीकरण: $[x]^2-5[x]+6=0$
माना $[x] = a$ है।
तब समीकरण $a^2-5a+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a-2)(a-3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $a=2$ या $a=3$ मिलता है।
$[x]=a$ वापस रखने पर,$[x]=2$ या $[x]=3$ प्राप्त होता है।
$[x]=2$ के लिए,$x$ का अंतराल $x \in [2,3)$ है।
$[x]=3$ के लिए,$x$ का अंतराल $x \in [3,4)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2,3) \cup [3,4) = [2,4)$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए और $\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1$. हर के लिए: $9 - x^2 > 0$ $\Rightarrow x^2 < 9$ $\Rightarrow -3 < x < 3 \dots (i)$.
$2$. अंश के लिए: $-1 \leq x - 3 \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4 \dots (ii)$.
$3$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $2 \leq x < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $[2, 3)$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}$.
$y(x^2+x+1) = x^2+x+2$
$(y-1)x^2 + (y-1)x + (y-2) = 0$.
$x \in R$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (y-1)^2 - 4(y-1)(y-2) \geq 0$.
$(y-1)(-3y+7) \geq 0$.
$(y-1)(3y-7) \leq 0$.
अतः,$1 < y \leq \frac{7}{3}$.
चूंकि $x^2+x+1 > 0$,$y$ कभी भी $1$ नहीं हो सकता है।
इसलिए,परिसर $\left(1, \frac{7}{3}\right]$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
हमें $f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $x$ के स्थान पर $\frac{2x}{1+x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \log_{e}\left(\frac{1-\frac{2x}{1+x^2}}{1+\frac{2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}\right)$
$= \log_{e}\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2\right)$
$= 2\log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$= 2f(x)$.

(D) दिया गया है कि $g(x)=x^2+x-1$ और $(g \circ f)(x)=4 x^2-10 x+5$ है।
परिभाषा के अनुसार,$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ होता है।
अतः,$(f(x))^2 + f(x) - 1 = 4x^2 - 10x + 5$।
$f(2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(2)^2 - 10(2) + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(4) - 20 + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 16 - 20 + 5$।
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 1$।
$(f(2))^2 + f(2) - 2 = 0$।
माना $y = f(2)$,तब $y^2 + y - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$।
इस प्रकार,$y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$-2$ विकल्प $D$ में दिया गया है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.
सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।
$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.
निरीक्षण करने पर,यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g(1) = 0$.
हम जानते हैं कि $g(f(x)) = x$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$.
$g^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$g^{\prime}(f(0)) \cdot f^{\prime}(0) = 1 \Rightarrow g^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(0) = 1$.
अब,$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.
$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2-x}$ और $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$।
सबसे पहले,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x}{2-x} + 1}{\frac{x}{2-x} + 2} = \frac{\frac{x+2-x}{2-x}}{\frac{x+4-2x}{2-x}} = \frac{2}{4-x}$ ज्ञात करें।
अब,$(g \circ g \circ f)(x) = g((g \circ f)(x)) = g\left(\frac{2}{4-x}\right)$ ज्ञात करें।
$g(x) = \frac{x+1}{x+2}$ में $x = \frac{2}{4-x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ g \circ f)(x) = \frac{\frac{2}{4-x} + 1}{\frac{2}{4-x} + 2} = \frac{\frac{2 + 4 - x}{4-x}}{\frac{2 + 8 - 2x}{4-x}} = \frac{6-x}{10-2x}$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\alpha x}{x+1}$ है।
हमें $f(f(x))$ ज्ञात करना है:
$f(f(x)) = f\left(\frac{\alpha x}{x+1}\right) = \frac{\alpha \left(\frac{\alpha x}{x+1}\right)}{\frac{\alpha x}{x+1} + 1}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x+1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x+1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$
दिया गया है कि $f(f(x)) = x$,इसलिए:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
मान लीजिए $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और अचर पद $1$ होना चाहिए:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$
अचर पद की जाँच करने पर: $(-1)^2 = 1$,जो सत्य है।
अतः,$\alpha = -1$।

(A) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
माना $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,हमें $xy = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - xy + 1 = 0$.
$x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
चूंकि प्रांत $x \in [1, \infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ लेते हैं,तो $y=2$ के लिए $x=1$ प्राप्त होता है,लेकिन $y > 2$ के लिए यह मान $1$ से कम हो जाएगा।
इसलिए,हम धनात्मक मूल चुनते हैं: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$.

(A) दिया गया है: $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$।
चूंकि $(f \circ f)(x)=x$,इसलिए:
$f(f(x)) = \frac{a-f(x)}{a+f(x)} = x$
$f(x) = \frac{a-x}{a+x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a-\frac{a-x}{a+x}}{a+\frac{a-x}{a+x}} = x$
$\frac{a(a+x)-(a-x)}{a(a+x)+(a-x)} = x$
$\frac{a^2+ax-a+x}{a^2+ax+a-x} = x$
$a^2+ax-a+x = x(a^2+ax+a-x)$
$a^2+ax-a+x = a^2x+ax^2+ax-x^2$
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - (a^2-a) = 0$
$(a-1)x^2 + (a-1)(a+1)x - a(a-1) = 0$
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,$a-1=0$ होना चाहिए,अतः $a=1$।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$।
अब,$f\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1-(-1/5)}{1+(-1/5)} = \frac{1+1/5}{1-1/5} = \frac{6/5}{4/5} = \frac{6}{4} = 1.5$।

(B) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1$ जहाँ $x \geqslant -1$ है।
चूँकि $x \geqslant -1$ के लिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x) = f^{-1}(x)$ के हल वही होंगे जो $f(x) = x$ के हल हैं।
$f(x) = x$ रखने पर:
$(x+1)^2 - 1 = x$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान $x \geqslant -1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $[x]^2-5[x]+6=0$
माना $[x] = a$ है।
तब समीकरण $a^2 - 5a + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a-2)(a-3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $a = 2$ या $a = 3$ मिलता है।
$[x] = a$ वापस रखने पर,हमें $[x] = 2$ या $[x] = 3$ प्राप्त होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
यदि $[x] = 2$ है,तो $x \in [2, 3)$।
यदि $[x] = 3$ है,तो $x \in [3, 4)$।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-y^2=9$ है,जिसे $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a=3$ और $b=3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{9}} = \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब $x=ae = 3\sqrt{2}$ पर स्थित है।
प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ है।
चूंकि अतिपरवलय दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ होगा।
सूत्र $\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\log|x+\sqrt{x^2-9}| \right]_{3}^{3\sqrt{2}}$.
$= 18[\sqrt{2}-\log(\sqrt{2}+1)]$ वर्ग इकाई।

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$.
माना $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$.
चूंकि समाकलन $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,
$I = e^x (-\cot \frac{x}{2}) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx$.
अंश को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^2+1 = (x^2+2x+1) - 2x = (x+1)^2 - 2x$.
अतः,$I = \int \frac{(x+1)^2 - 2x}{(x+1)^2} dx = \int 1 dx - \int \frac{2x}{(x+1)^2} dx$.
दूसरे समाकलन के लिए,$2x = 2(x+1) - 2$ लिखें।
$I = x - \int \frac{2(x+1)-2}{(x+1)^2} dx = x - 2 \int \frac{1}{x+1} dx + 2 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$.
इन पदों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = x - 2 \log |x+1| + 2 \left( -\frac{1}{x+1} \right) + c$.
$I = x - 2 \log |x+1| - \frac{2}{x+1} + c$.

(A) माना $I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) d x$
सर्वसमिकाओं $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}}\right) d x$
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}\right) d x$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}}\right) d x$
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) d x$
$I = \int \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) d x$
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + c$

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx$ है।
अंश को हर के पदों में व्यवस्थित करने पर:
$4 e^x - 25 = A(2 e^x - 5) + B(2 e^x)$.
$4 e^x - 25 = (2A + 2B) e^x - 5A$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$-5A = -25 \implies A = 5$.
$2A + 2B = 4 \implies 10 + 2B = 4 \implies 2B = -6 \implies B = -3$.
अतः,$\int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx = \int \left( 5 - 3 \frac{2 e^x}{2 e^x-5} \right) dx = 5x - 3 \log|2 e^x - 5| + c$.
इस प्रकार,$A=5$ और $B=-3$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} \,d x$
$I = \int (x^2+x+1) \,d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=4 x^3-3 x^{-4}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$f(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + c$
$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} + c$
दिया गया है कि $f(2) = 0$,$x = 2$ रखने पर:
$0 = (2)^4 + \frac{1}{2^3} + c$
$0 = 16 + \frac{1}{8} + c$
$0 = \frac{128+1}{8} + c$
$c = -\frac{129}{8}$
अतः,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$।

(C) $\text{सबसे पहले, समाकल्य } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} \text{ पर बहुपद विभाजन करें।}
x^3-7x+6 \text{ को } x^2+3x \text{ से विभाजित करने पर भागफल } (x-3) \text{ और शेषफल } (2x+6) \text{ प्राप्त होता है।}
\text{अतः, } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} = x-3 + \frac{2x+6}{x^2+3x}.
\text{शेषफल पद को सरल करने पर: } \frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2(x+3)}{x(x+3)} = \frac{2}{x} \text{ (जहाँ } x \neq -3).
\text{अब, व्यंजक का समाकलन करने पर: } \int (x-3+\frac{2}{x}) dx.
= \int x dx - \int 3 dx + \int \frac{2}{x} dx.
= \frac{x^2}{2} - 3x + 2 \log |x| + c.$

(C) माना $I = \int 3^{3^x} \cdot 3^x \, dx$.
$t = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = 3^x \log 3 \, dx$,जिसका अर्थ है कि $3^x \, dx = \frac{1}{\log 3} \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int 3^t \cdot \frac{1}{\log 3} \, dt$.
$I = \frac{1}{\log 3} \int 3^t \, dt$.
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{3^t}{\log 3} + c$.
$I = \frac{3^t}{(\log 3)^2} + c$.
$t = 3^x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{3^{3^x}}{(\log 3)^2} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$ है।
हम जानते हैं कि $\log \sqrt{x} = \log (x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} \,d x = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} \,d x$ प्राप्त होता है।
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \,d x$ होगा।
अब समाकलन $I = \frac{1}{6} \int u \,du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{12} + c$ हो जाएगा।
$u = \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{12} (\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left(x^4(1 + \frac{1}{x^4})\right)^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$.
तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = -\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{1/4} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$.
$2x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t^2+1}{2}$ और $dx = t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः $x+1 = \frac{t^2+1}{2} + 1 = \frac{t^2+3}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(\frac{t^2+3}{2}) t \, dt}{t} = \int \frac{t^2+3}{2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + c = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + c$.
$\frac{t}{6}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{t}{6} (t^2 + 9) + c$.
$t = \sqrt{2x-1}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x-1+9) + c = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x+8) + c$.
$I = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{2(x+4)}{6} + c = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{x+4}{3} + c$.
$f(x) \sqrt{2x-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x+4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int(2x+4)\sqrt{x-1}dx$.
$t = x-1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t+1$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int(2(t+1)+4)\sqrt{t}dt = \int(2t+6)\sqrt{t}dt$.
$I = \int(2t^{3/2} + 6t^{1/2})dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{t^{5/2}}{5/2} + 6 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c$.
$I = \frac{4}{5}t^{5/2} + 4t^{3/2} + c$.
$t = x-1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{4}{5}(x-1)^{5/2} + 4(x-1)^{3/2} + c$.
इसकी तुलना $a(x-1)^{5/2} + b(x-1)^{3/2} + c$ से करने पर,हमें $a = \frac{4}{5}$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(\frac{4}{5}) + 4 = \frac{8}{5} + 4 = \frac{8+20}{5} = \frac{28}{5}$.