समाकल int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$. हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_{-2}^0 ((x + 1)^3 + 4 + (

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$8$

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(D) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$. हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_{-2}^0 ((x + 1)^3 + 4 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$. $t = x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है। जब $x = -2$,तब $t = -1$ और जब $x = 0$,तब $t = 1$। अतः,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 4 + t \cos t) \, dt$. हम जानते हैं कि $t^3$ और $t \cos t$ विषम फलन हैं,और सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकल $0$ होता है। इसलिए,$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 4 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$. $I = 0 + \int_{-1}^1 4 \, dt + 0$. $I = 4 [t]_{-1}^1 = 4(1 - (-1)) = 4(2) = 8$. सही उत्तर $8$ है।

समाकल $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ का मान है

यदि $I = \int_0^\pi x \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$ है,तो $[I] = \ldots$ ज्ञात कीजिए। यहाँ,$[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

मान लीजिए $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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