एक वृत्ताकार सेक्टर के रूप में फूलों की क्यारी को घेरने के लिए $20$ मीटर तार उपलब्ध है। तो फूलों की क्यारी का अधिकतम क्षेत्रफल ($sq.m$ में) क्या होगा?

$\frac{\log x}{x}$ का स्थानीय अधिकतम मान क्या है?

फलन $f(x) = x e^{-x}$ सभी $x \in R$ के लिए $x = k$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है, तो $k = $

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

यदि फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$,जहाँ $a > 0$,अपने स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान क्रमशः $p$ और $q$ पर प्राप्त करता है,इस प्रकार कि $p^2=q$,तो $f(3)$ का मान क्या है?

$22 \; m$ लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाना है। एक टुकड़े से एक वर्ग और दूसरे से एक समबाहु त्रिभुज बनाया जाना है। तो,समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई क्या होगी,ताकि वर्ग और समबाहु त्रिभुज का संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम हो?