$8$ पुरुषों तथा $5$ महिलाओं में से $11$ सदस्यों की एक कमेटी बनाई जानी है। यदि कम से कम $6$ पुरुषों वाली कमेटी बनाने के $m$ तरीके हैं तथा कम से कम $3$ महिलाओं वाली कमेटी बनाने के $n$ तरीके हैं, तो

${ }^{n-1} C_r=\left(k^2-8\right){ }^n C_{r+1}$ है यदि और केवल यदि :

$22$ खिलाड़ियों में से $10$ खिलाड़ियों की एक टीम कितने प्रकार से बनाई जा सकती है, जबकि $6$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम में सम्मिलित रहें तथा $4$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम से बाहर रहें

किसी परीक्षा के एक प्रश्नपत्र में $12$ प्रश्न हैं जो क्रमश: $5$ तथा $7$ प्रश्नों वाले दो खंडों में विभक्त हैं अर्थात् खंड $I$ और खंड $II$. एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम $3$ प्रश्नों का चयन करते हुए कुल $8$ प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?

सभी अंको $1,1,2,2,2,2,3,4,4$ को एक साथ लेकर सभी संभव संख्यायें बनाई गई है। इस प्रकार की संख्याओं, जिनमें विषम अंक सम स्थानों पर हैं, की संख्या है 

किसी परीक्षा में तीन वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं तथा प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं। उन तरीकों की संख्या जिसमें कोई विद्यार्थी  सभी प्रश्नों का उत्तर सही न दे सके, है