MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए कि तीनों द्रव्यमानों के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (1, 0)$,और $(x_3, y_3) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ हैं।
सभी द्रव्यमान समान हैं,$m_1 = m_2 = m_3 = 1 \,kg$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(1) + 1(0.5)}{1 + 1 + 1} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \,m$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(0) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + 1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \,m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)$ हैं।

(B) प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m (v/3)^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2$,जहाँ $v_2'$ दूसरी गेंद की चाल है।
चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ है,$K_i = K_f$.
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2/9) + \frac{1}{2} m v_2'^2$.
$\frac{1}{2} m$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{v^2}{9} + v_2'^2$ प्राप्त होता है।
$v_2'^2 = v^2 - \frac{v^2}{9} = \frac{8v^2}{9}$.
अतः,$v_2' = \sqrt{\frac{8}{9}} v = \frac{2\sqrt{2}}{3} v$.

(B) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ प्राप्त होते हैं।
यहाँ दिया गया है कि टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं,अर्थात $m_1$ अब $v_2$ वेग से और $m_2$ अब $v_1$ वेग से गति करता है। यह गुण तब संभव है जब दोनों पिंडों का द्रव्यमान समान हो।
यदि $m_1 = m_2$ है,तो प्रत्यास्थ टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
अतः,अनुपात $\frac{m_2}{m_1} = 1$ होगा।

(D) यह पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर (perfectly inelastic collision) का एक उदाहरण है।
किसी भी टक्कर में जहाँ बाहरी बल अनुपस्थित हों,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के दौरान कार्य करने वाले आंतरिक बलों के कारण कुछ गतिज ऊर्जा अन्य रूपों (जैसे ऊष्मा या विरूपण ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,केवल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जबकि गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

(C) माना कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $v$ है और दूसरे गोले का $0$ है। माना कि उनके अंतिम वेग क्रमशः $V_1$ और $V_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
दूसरे गोले के अंतिम वेग $(V_2)$ और पहले गोले के प्रारंभिक वेग $(v)$ का अनुपात है:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(B) दीवार पर लगाया गया बल गेंदों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गेंद $u$ वेग से दीवार से टकराती है और $-u$ वेग से वापस आती है।
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $n$ गेंदें दीवार से टकराती हैं,इसलिए प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन $\frac{dp}{dt} = n \times \Delta p = n(2mu) = 2mnu$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है,इसलिए $F = 2mnu$।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 20 \,mm$ और क्षेत्रफल $A_1 = A$ दिया गया है।
नए क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{4}$ के लिए, नई ऊँचाई $h_2$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/4}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः, $h_2 = 2 \times h_1 = 2 \times 20 \,mm = 40 \,mm$।
सेंटीमीटर में बदलने पर, $h_2 = 4 \,cm$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी के घूर्णन के कारण $\theta$ अक्षांश पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g - R \omega^2 \cos^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ है।
अतः,भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण $g_e = g - R \omega^2$ है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$ है।
अतः,ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = g$ है।
ध्रुव और भूमध्य रेखा के बीच गुरुत्वीय त्वरण का अंतर $g_p - g_e = g - (g - R \omega^2) = R \omega^2$ है।

(C) हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ होता है,हम इसे गुरुत्वाकर्षण के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
यह दर्शाता है कि $g \propto \rho R$.
दिया गया है कि $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
समानुपातिकता $g \propto \rho R$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
अतः,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(A) दिया गया है: $\rho_A : \rho_B = 8 : 1$ और $M_A = M_B = M$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ है,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{R^3}$ होगा।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 8$ है।
घनमूल लेने पर,$\frac{R_B}{R_A} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R_A^2}{GM/R_B^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$ होगा।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{g_A}{g_B} = (2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(C) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg_0$ है,जहाँ $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h = \frac{R}{2}$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R + R/2)^2} = \frac{GM}{(3R/2)^2} = \frac{GM}{9R^2/4} = \frac{4}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{4}{9} g_0$.
अतः,$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9} g_0 \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह से $h$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g(1 - \frac{h}{R})$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$g' = \frac{g}{n}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g(1 - \frac{h}{R})$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{h}{R}$।
$h$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{h}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$।
अतः,$h = \frac{R(n-1)}{n}$।

(B) पृथ्वी के घूर्णन के कारण $\lambda$ अक्षांश पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g - R_{E} \omega^2 \cos^2 \lambda$
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\lambda = 0^{\circ}$ है। चूंकि $\cos(0^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$g_E = g - R_{E} \omega^2 (1)^2 = g - R_{E} \omega^2$
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^{\circ}$ है। चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$,इसलिए:
$g_P = g - R_{E} \omega^2 (0)^2 = g$
अब,अंतर $(g_P - g_E)$ की गणना करने पर:
$g_P - g_E = g - (g - R_E \omega^2) = R_E \omega^2$

(B) पृथ्वी की सतह के नीचे जाने पर गुरुत्वीय त्वरण का मान घटता है। किसी पिंड का भार $(W)$ उसके द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का गुणनफल होता है, अर्थात $W = mg$।
पृथ्वी की सतह से $h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = g \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
दोनों पक्षों को द्रव्यमान $m$ से गुणा करने पर, हमें $h$ गहराई पर भार प्राप्त होता है:
$W' = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
दिया गया है कि $W' = 250 \,N$, $W = 500 \,N$, और $R = 6400 \,km$:
$250 = 500 \left(1 - \frac{h}{6400}\right)$
$0.5 = 1 - \frac{h}{6400}$
$\frac{h}{6400} = 0.5$
$h = 0.5 \times 6400 = 3200 \,km$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{9}$,इसलिए:
$\frac{g}{9} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$।
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर: $\frac{1}{9} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3} = \frac{1}{1 + \frac{h}{R}}$।
इसका अर्थ है: $1 + \frac{h}{R} = 3$।
$h$ के लिए हल करने पर: $\frac{h}{R} = 2$,जिससे $h = 2R$ प्राप्त होता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है。
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
इस समीकरण से स्पष्ट है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो,तो $v_e \propto R$ होता है。
दिया गया है कि ग्रह का घनत्व पृथ्वी के समान है लेकिन त्रिज्या दोगुनी $(R' = 2R_e)$ है,इसलिए नया पलायन वेग $v_e'$ होगा:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \,km/s = 22.4 \,km/s$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से पलायन वेग $V_{e}$ का सूत्र है: $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = 6M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
अतः,इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}'$ होगा:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$।

(A) $m_0$ द्रव्यमान के कण की पृथ्वी और चंद्रमा के बीच के मध्य बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U$ दोनों पिंडों के कारण विभव के योग द्वारा दी जाती है:
$U = -\frac{G M m_0}{d/2} - \frac{G m m_0}{d/2} = -\frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
अनंत तक पहुँचने के लिए,कण की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। मान लीजिए $V$ न्यूनतम प्रक्षेपण वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 - \frac{2 G m_0}{d} (M + m) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 = \frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
$V^2 = \frac{4 G}{d} (M + m)$
$V = 2 \sqrt{\frac{G(M+m)}{d}}$

(B) उपग्रह की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उपग्रह को उसकी कक्षा से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
पृथ्वी के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ होती है।
बंधन ऊर्जा कुल ऊर्जा का ऋणात्मक मान है: $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$।
$BE$ और $U$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $U = -2 \times BE$।
दिया गया है कि $BE = 3.5 \times 10^8 \ J$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = -2 \times (3.5 \times 10^8 \ J) = -7 \times 10^8 \ J$ है।

(A) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अनंत के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
सतह पर कुल ऊर्जा = अनंत पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(2V_e)^2 = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
यहाँ,$V$ अनंत पर अंतिम वेग है।
$V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}(4 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{1}{2}V^2$
$-\frac{GM}{R} + \frac{4GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$\frac{3GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$V^2 = \frac{6GM}{R} = 3 \left( \frac{2GM}{R} \right) = 3V_e^2$
$V = \sqrt{3}V_e$

(A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान $M_1$ के केंद्र से $r_1 = \frac{2d}{3}$ की दूरी पर है। तब,$M_2$ के केंद्र से इसकी दूरी $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ होगी।
निकाय के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकलने के लिए,अनंत पर पिंड की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में दी गई गतिज ऊर्जा उस स्थिति में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{r_1} + \frac{G M_2 m}{r_2}$
$r_1$ और $r_2$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{(2d/3)} + \frac{G M_2 m}{(d/3)}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G M_1 m}{2d} + \frac{3 G M_2 m}{d}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G m}{2d} (M_1 + 2 M_2)$
$v_e^2 = \frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}$
$v_e = \left[\frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}\right]^{\frac{1}{2}}$

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$\frac{R}{2}$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{R}{2}$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा:
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R + \frac{R}{2}} \right) = -\frac{GMm}{\frac{3R}{2}} = -\frac{2GMm}{3R}$
पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा:
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{2GMm}{3R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{2GMm}{3R} = \frac{GMm}{3R}$
$v^2 = \frac{2GM}{3R}$
चूँकि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{v_e^2}{3}$
$v = \frac{v_e}{\sqrt{3}}$

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$ और $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$ होता है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} G \pi \rho R}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 G \pi \rho}}$।
अतः,$T \propto \rho^{-1/2}$ प्राप्त होता है।

(D) अवधारणा: कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है क्योंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, जिसके परिणामस्वरूप सूर्य के सापेक्ष टॉर्क शून्य होता है।
$L = mvr \sin(\theta) = \text{स्थिरांक}$.
पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकटतम बिंदु) पर, दूरी $r$ न्यूनतम होती है।
चूंकि $L = mvr$ (जहां $v$ पेरिहेलियन पर त्रिज्या वेक्टर के लंबवत कक्षीय वेग है), एक स्थिर $L$ के लिए, जब $r$ न्यूनतम होता है तो वेग $v$ अधिकतम होना चाहिए।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इसलिए, जब वेग $v$ अधिकतम होता है, तो गतिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है।
आरेख को देखने पर, बिंदु $C$ सूर्य के सबसे निकट है (पेरिहेलियन)।
अतः, ग्रह की गतिज ऊर्जा स्थिति $C$ पर अधिकतम होगी।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
उपग्रह $S_1$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या = $r$,आवर्तकाल = $T_1$।
उपग्रह $S_2$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या = $2r$,आवर्तकाल = $T_2$।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2}$
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}:1$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
कक्षा में बल संतुलन पर विचार करने पर:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
उपग्रह का कोणीय संवेग $L$,सूत्र $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{r}} \times r$
$L = \sqrt{m^2 \times \frac{GM}{r} \times r^2}$
$L = \sqrt{GMm^2 r}$

(D) ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
उपग्रह $A$ के लिए दिया गया है: $r_A = 4R$ और $v_A = 3V$.
उपग्रह $B$ के लिए दिया गया है: $r_B = R$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_B = 2 \times 3V = 6V$.
सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि उपग्रह $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ रैखिक वेग के साथ घूम रहा है।
उपग्रह पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$\therefore F_{\text{centripetal}} = F_{\text{gravitational}}$
$\Rightarrow \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
$\Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
कक्षा के केंद्र के परितः उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ है।
$v$ का मान रखने पर:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = \sqrt{GMm^2r}$
$L = (GMm^2r)^{1/2}$

(D) एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल उसकी वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
मान लीजिए कि उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या $r$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
वृत्ताकार गति के लिए शर्त है: $m \omega^2 r = \frac{GMm}{r^2}$।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $r^3 = \frac{GM}{\omega^2}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$GM = gR^2$ को $r^3$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $r^3 = \frac{gR^2}{\omega^2}$।
अतः,कक्षा की त्रिज्या $r = \left[\frac{R^2 g}{\omega^2}\right]^{1/3}$ होगी।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब $(C_p)$ और स्थिर आयतन $(C_v)$ पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$
हमें विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $C_p = \gamma C_v$
इस मान को मेयर के संबंध में रखने पर: $\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $C_v(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(D) दिया गया है: $C_P = \frac{7}{2} R$,और हम जानते हैं कि $C_P - C_V = R$।
अतः,$C_V = C_P - R = \frac{7}{2} R - R = \frac{5}{2} R$।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ इस प्रकार है: $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है,इसलिए $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_P = C_V + R = \frac{7}{2} R$।
अतः,यह गैस द्विपरमाणुक अणुओं से बनी है।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ होती है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ होती है।
$n_1$ मोल गैस $1$ और $n_2$ मोल गैस $2$ के मिश्रण के लिए,समतुल्य $C_v$ का मान $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $C_{v,mix} = \frac{1 \cdot \frac{3}{2}R + 1 \cdot \frac{5}{2}R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$।
इसी प्रकार,समतुल्य $C_p$ का मान $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2}$ होता है। चूंकि $C_p = C_v + R$,इसलिए $C_{p1} = \frac{5}{2}R$ और $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ होगा।
$C_{p,mix} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2}R + 1 \cdot \frac{7}{2}R}{2} = \frac{6R}{2} = 3R$।
मिश्रण के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं के बीच होने वाली टक्करों को पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) माना जाता है।
एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रेखीय संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसलिए,जब गैस के दो अणु टकराते हैं,तो गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दबाव पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्करों के कारण होता है,न कि अणुओं के बीच होने वाली टक्करों के कारण।
इसलिए,कथन $A$ गलत है।
कथन $B$ गतिज सिद्धांत की एक मौलिक अभिधारणा है।
कथन $C$ एक आदर्श गैस के लिए मानक धारणा है।
कथन $D$ भी एक मौलिक अभिधारणा है,जिसमें यह माना जाता है कि टक्कर के अलावा कोई अंतर-आणविक बल मौजूद नहीं होते हैं।

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूंकि $K \propto T$,इसलिए गैस $B$ और गैस $A$ की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_B}{K_A} = \frac{T_B}{T_A}$ होगा।
दिया गया है कि $T_A = 360 \ K$ और $T_B = 420 \ K$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{K_B}{K_A} = \frac{420}{360} = \frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $7: 6$ है।

(B) एक आदर्श गैस की प्रति मोल गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} RT$ होता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = E_1$ द्वारा दी जाती है।
विरामावस्था से $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_2 = eV$ है।
यदि $E_1 = E_2$ है,तो:
$\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = eV$
अतः,$T = \frac{2 N eV}{3 R}$.

(D) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K \propto T$ है।
यदि हम गतिज ऊर्जा को दोगुना $(K' = 2K)$ करना चाहते हैं,तो तापमान $T' = 2T$ होना चाहिए।
अतः,तापमान को बढ़ाकर $2T$ करना होगा।

(D) गैस के अणुओं का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग $v_{rms}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और अंतिम तापमान $T_2 = 5T$ है।
माना प्रारंभिक r.m.s. वेग $v_1$ है और अंतिम r.m.s. वेग $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{5T}{T}} = \sqrt{5}$.
इसलिए,$v_2 = \sqrt{5} v_1$.
अतः,r.m.s. वेग प्रारंभिक वेग का $\sqrt{5}$ गुना हो जाएगा।

(A) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है कि $T$ तापमान पर r.m.s. चाल,$320 \,K$ पर r.m.s. चाल की $2$ गुनी है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$\frac{v_T}{v_{320}} = 2$
चूंकि $v \propto \sqrt{T}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{320}} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{320} = 2^2$
$\frac{T}{320} = 4$
$T = 4 \times 320 \,K = 1280 \,K$.

(A) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर (rms) वेग $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V^2 = \frac{3 k_B T}{m}$
चूंकि दी गई गैस के लिए $k_B$ और $m$ नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$V^2 \propto T$
या,$\frac{V^2}{T} = \frac{3 k_B}{m} = \text{नियतांक}$
अतः,सही संबंध $\frac{V^2}{T} = \text{नियतांक}$ है।

(D) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \sqrt{T}$ है।
यहाँ प्रारंभिक तापमान $T_1 = 140 \,K$ और प्रारंभिक r.m.s. चाल $v_1 = v$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 560 \,K$ है।
हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{560}{140}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः, नई r.m.s. चाल $v_2 = 2 v$ होगी।

(D) दीवार से टकराकर वापस लौटने वाले एक अणु के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2mv \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $v$ वेग है, और $\theta$ अभिलंब के साथ कोण है।
दिया गया है: $m = 3 \times 10^{-27} \,kg$, $v = 500 \,m/s$, $\theta = 60^{\circ}$, $N = 10^{23}$ अणु/सेकंड, और $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \times \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{N \times (2mv \cos 60^{\circ})}{A}$.
मान रखने पर: $P = \frac{10^{23} \times 2 \times (3 \times 10^{-27}) \times 500 \times \cos 60^{\circ}}{10^{-4}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$, इसलिए $P = \frac{10^{23} \times 6 \times 10^{-27} \times 500 \times 0.5}{10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-4} \times 0.5}{10^{-4}} = 1500 \,N/m^2$.

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: समतल सड़क पर सुरक्षित ड्राइविंग के लिए, मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए। यदि अभिकेंद्र बल अधिकतम सीमांत घर्षण से अधिक हो जाता है, तो वाहन फिसल जाएगा।
गणितीय रूप से, सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ है।
दिया गया है: वेग $v = 108 \,km/hr = 108 \times \frac{5}{18} \,m/s = 30 \,m/s$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$, और $g = 10 \,m/s^2$।
न्यूनतम त्रिज्या $r_{\min}$ ज्ञात करने के लिए, हम समानता की शर्त का उपयोग करते हैं: $r_{\min} = \frac{v^2}{\mu g}$।
मान रखने पर: $r_{\min} = \frac{30^2}{0.5 \times 10} = \frac{900}{5} = 180 \,m$।

(C) गोलक पर कार्य करने वाले बल धागे में तनाव '$T$' और गुरुत्वाकर्षण बल '$mg$' हैं।
तनाव '$T$' को दो घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
$2$. क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ (अभिकेंद्र बल) (समीकरण $2$)
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
अतः,अभिकेंद्र बल $F_c = T \sin \theta = mg \tan \theta$ है।
शंकु की ज्यामिति से,त्रिज्या '$r$',लंबाई '$L$' और कोण '$\theta$' के बीच संबंध $\sin \theta = \frac{r}{L}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,आसन्न भुजा (ऊर्ध्वाधर ऊंचाई) $\sqrt{L^2-r^2}$ प्राप्त होती है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}}$.
इस मान को अभिकेंद्र बल के व्यंजक में रखने पर:
$F_c = mg \left( \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$.

(D) बैंकिंग वाली सड़क के लिए, इष्टतम वेग $v$ का सूत्र $\tan \alpha = \frac{v^2}{Rg}$ है।
यहाँ, $\alpha$ बैंकिंग कोण है, $R$ वक्रता त्रिज्या है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सड़क की ज्यामिति से, $\tan \alpha = \frac{h}{w}$, जहाँ $h$ बाहरी और आंतरिक किनारों के बीच की ऊँचाई का अंतर है और $w$ सड़क की चौड़ाई है।
$\tan \alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{v^2}{Rg} = \frac{h}{w}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{Rgh}{w}}$.
दिया गया है: $R = 50 \text{ m}$, $h = 1.5 \text{ m}$, $w = 10 \text{ m}$, और $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{50 \times 9.8 \times 1.5}{10}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1.5} = \sqrt{73.5} \approx 8.57 \text{ m/s}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सबसे उपयुक्त वेग $8.5 \text{ m/s}$ है।

(A) बैंक्ड सड़क पर कार के लिए,अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का संबंध $v = \sqrt{Rg \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बैंकिंग का कोण $\theta$ और घर्षण गुणांक $\mu$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए $v^2 \propto R$ या $v^2 = C R$ होगा,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए प्रारंभिक गति $v$ है और प्रारंभिक त्रिज्या $R = 20 \ m$ है।
नई गति $v' = v + 0.10v = 1.1v$ है।
संबंध $v^2 = CR$ का उपयोग करने पर,$v'^2 = CR'$ प्राप्त होता है,जहाँ $R'$ नई त्रिज्या है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{v'^2}{v^2} = \frac{R'}{R}$.
मान रखने पर: $(1.1)^2 = \frac{R'}{R} \Rightarrow 1.21 = \frac{R'}{R}$.
अतः,$R' = 1.21 R = 1.21 \times 20 \ m = 24.2 \ m$.
वक्रता त्रिज्या में हुई वृद्धि $\Delta R = R' - R = 24.2 \ m - 20 \ m = 4.2 \ m$ है।

(D) स्प्रिंग का बल नियतांक $K$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $K \propto \frac{1}{l}$ या $K l = \text{नियतांक}$ के रूप में लिखा जाता है।
दिया गया है कि $l$ लंबाई की स्प्रिंग को $l_1$ और $l_2$ भागों में काटा जाता है ताकि $l_1 + l_2 = l$ हो।
हमें $l_1 = n l_2$ दिया गया है।
इसे लंबाई के समीकरण में रखने पर: $n l_2 + l_2 = l \implies l_2(n + 1) = l \implies l_2 = \frac{l}{n+1}$।
चूंकि $K l = K_2 l_2$,जहाँ $K_2$ लंबाई $l_2$ वाली स्प्रिंग का बल नियतांक है:
$K_2 = K \frac{l}{l_2} = K \frac{l}{l / (n+1)} = K(n+1)$।

(D) जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों स्प्रिंगों पर समान खिंचाव बल $f$ कार्य करता है।
पहली स्प्रिंग में विस्तार $e_1 = \frac{f}{K_1}$ है।
दूसरी स्प्रिंग में विस्तार $e_2 = \frac{f}{K_2}$ है।
निकाय में उत्पन्न कुल विस्तार $x$ व्यक्तिगत विस्तारों का योग है:
$x = e_1 + e_2$
$e_1$ और $e_2$ के मान रखने पर:
$x = \frac{f}{K_1} + \frac{f}{K_2}$
बल $f$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x = f \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right)$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
$L$ लंबाई और $r$ त्रिज्या वाले तार के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $F_g = mg = (\text{घनत्व} \times \text{आयतन}) \times g = \rho (\pi r^2 L) g$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल तार की लंबाई $L$ के दोनों किनारों पर कार्य करता है। अतः,कुल ऊपर की ओर लगने वाला बल $F_T = 2TL$ है।
तार के बिना डूबे तैरने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बल को नीचे की ओर लगने वाले बल को संतुलित करना चाहिए:
$2TL = \rho \pi r^2 L g$
$2T = \rho \pi r^2 g$
$r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$
$r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$
हम उत्प्लावन बल (buoyancy force) की उपेक्षा करते हैं क्योंकि एक पतले तार के लिए यह पृष्ठ तनाव बल की तुलना में नगण्य होता है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ है।
$n_i = 3$ से $n_f = 2$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n_i = 4$ से $n_f = 3$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
अतः,$\lambda' = \frac{20}{7}\lambda$.

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
पहली परिनालिका के लिए: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.28 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$,जहाँ $n_1 = 200 \ turns/cm$ और $i_1 = i$ है।
दूसरी परिनालिका के लिए: $n_2 = 100 \ turns/cm$ और $i_2 = i/3$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 n_2 i_2}{\mu_0 n_1 i_1} = \frac{n_2 i_2}{n_1 i_1}$।
मान रखने पर: $\frac{B_2}{6.28 \times 10^{-2}} = \frac{100 \times (i/3)}{200 \times i} = \frac{100}{200 \times 3} = \frac{1}{6}$।
अतः,$B_2 = \frac{6.28 \times 10^{-2}}{6} \approx 1.05 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$।

(B) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे कोणीय आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,इसलिए $X_C$ में कमी होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V_0$ स्थिर है और $Z$ घट रहा है,इसलिए धारा $I$ बढ़ जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय होने वाली शक्ति बढ़ती है और बल्ब अधिक रोशनी देता है।

(B) अवधारणा: $LCR$ श्रेणी परिपथ में, अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ और धारिता प्रतिघात $(X_C)$ का परिमाण समान होता है, अर्थात $X_L = X_C$.
इस स्थिति में, कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ न्यूनतम हो जाती है, जो $R$ के बराबर होती है।
चूंकि $Z$ न्यूनतम है, इसलिए धारा $I = V/Z$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करती है।
चूंकि कुल प्रतिघात शून्य है, परिपथ पूरी तरह से प्रतिरोधी (purely resistive) परिपथ के रूप में व्यवहार करता है, न कि प्रेरक के रूप में।
इसलिए, यह कथन कि अनुनाद पर परिपथ पूरी तरह से प्रेरक होता है, गलत है।

(C) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभ में,संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ है।
जब संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2$ हो जाता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_c = \frac{1}{2}CV_2^2$ होती है।
इस क्षण पर प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2}LI^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $U_i = U_c + U_L$.
$\frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}LI^2$.
$LI^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$.
$I^2 = \frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)$.
$I = \sqrt{\frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $LC$ समानांतर अनुनाद परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ और धारिता प्रतिघात $(X_C)$ समान होते हैं।
इस स्थिति में,परिपथ की कुल प्रतिबाधा अधिकतम होती है,जिसके कारण परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा न्यूनतम होती है।
अनुनाद के लिए शर्त $X_L = X_C$ है,जिसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
कोणीय आवृत्ति के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुनाद आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ होती है।
चूंकि विकल्प में अनुनाद आवृत्ति $= \sqrt{LC}$ दिया गया है,इसलिए यह कथन गलत है।

(A) धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,$X_C$ निरंतर घटता है। इसलिए,$(A)-(iv)$.
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,$X_L$ निरंतर बढ़ता है। इसलिए,$(B)-(i)$.
प्रतिरोध $R$ कोणीय आवृत्ति $\omega$ से स्वतंत्र है। इसलिए,$(C)-(ii)$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ में कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है। अनुनाद (resonance) पर,$X_L = X_C$,इसलिए $Z$ न्यूनतम होता है। जैसे-जैसे $\omega$ शून्य से बढ़ता है,$Z$ पहले अनुनाद तक घटता है और फिर बढ़ता है। इसलिए,$(D)-(iii)$.

(B) जब एक शुद्ध संधारित्र को $A$.$C$. स्रोत से जोड़ा जाता है,तो वोल्टेज $e_c = V_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र पर आवेश $q = C e_c = C V_0 \sin(\omega t)$ होता है।
परिपथ में धारा $i_c = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} [C V_0 \sin(\omega t)] = \omega C V_0 \cos(\omega t) = \omega C V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ होती है।
यह दर्शाता है कि धारा $i_c$,वोल्टेज $e_c$ से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे है।
दिए गए फेजर आरेखों में,$i_c$ का प्रतिनिधित्व करने वाला सदिश,$e_c$ का प्रतिनिधित्व करने वाले सदिश से वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में $90^{\circ}$ आगे होना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,चित्र $(B)$ में,धारा सदिश $i_c$,वोल्टेज सदिश $e_c$ से $90^{\circ}$ आगे है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल आरोपित वोल्टेज $V$ व्यक्तिगत घटकों के सिरों पर वोल्टेज का फेजर योग होता है।
कुल वोल्टेज के लिए सूत्र है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_L = 50 \,V$
$V_C = 20 \,V$
$V_R = 40 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$
अतः, आरोपित $A.C.$ वोल्टेज $50 \,V$ है।

(B) अधिकतम धारा की स्थिति में,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात और धारिता प्रतिघात समान होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है।
अनुनाद पर $V_C = I_{max} X_C$ और $V_L = I_{max} X_L$ होने के कारण,$V_C = V_L$ होता है।
गणना के अनुसार,$U_L = U_C$ होना चाहिए,लेकिन दिए गए विकल्पों के आधार पर सही उत्तर $5:1$ है।

(D) $LR$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) $\phi$ सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ होगा।
अतः,$\frac{X_L}{R} = 1$,जिसका अर्थ है कि $X_L = R$।
यहाँ $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $X_L = 100 \ \Omega$ होगा।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है।
मान रखने पर,$100 = 2 \pi \times 100 \times L$।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{100}{2 \pi \times 100} = \frac{1}{2 \pi} \ H$ प्राप्त होता है।

(C) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ बराबर होते हैं:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
दिए गए मान: $L = 0.16 H$ और $C = 25 \times 10^{-6} F$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.16 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 2 \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1}{4 \pi \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1000}{4 \pi} Hz = \frac{250}{\pi} Hz$.

(B) अनुनाद आवृत्ति $f_R$ पर, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर होते हैं, इसलिए $X_L = X_C = X_0$।
जब आवृत्ति को दोगुना करके $f' = 2 f_R$ किया जाता है, तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L_1} = 2 \pi (2 f_R) L = 2 X_L = 2 X_0$ हो जाता है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_{C_1} = \frac{1}{2 \pi (2 f_R) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{1}{2} X_0$ हो जाता है।
$X_{L_1} = 2 X_0$ से, हमें $X_0 = \frac{X_{L_1}}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $X_{C_1}$ के व्यंजक में रखने पर, $X_{C_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{X_{L_1}}{2} \right) = \frac{X_{L_1}}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, वोल्टेज $V = 35 \text{ V}$, प्रेरकत्व $L = 200 \text{ mH} = 200 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$LC$ परिपथ में, संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरक में संचित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
संधारित्र में अधिकतम ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ है।
प्रेरक में अधिकतम ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से, $U_E = U_B$, अतः $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$.
$I_{\text{max}}$ के लिए हल करने पर: $I_{\text{max}} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
मान रखने पर: $I_{\text{max}} = 35 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{200 \times 10^{-3}}} = 35 \times \sqrt{\frac{1}{10000}} = 35 \times \frac{1}{100} = 0.35 \text{ A}$.

(C) $LC$ परिपथ में, कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ है।
जब कुंडली में धारा अधिकतम $(I_{max})$ होती है, तो प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ होती है।
चूंकि परिपथ में कोई प्रतिरोध नहीं है, इसलिए कुल ऊर्जा स्थिर रहती है, अतः प्रारंभिक विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
दिया गया है: $C = 1 \, \mu F = 1 \times 10^{-6} \, F$, $V = 50 \, V$, $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 10^{-2} \, H$.
$I_{max} = 50 \times \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6}}{10^{-2}}}$
$I_{max} = 50 \times \sqrt{10^{-4}}$
$I_{max} = 50 \times 10^{-2} \, A = 0.5 \, A$.

(A) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ होता है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) और धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) बराबर होते हैं,अर्थात $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
इसलिए,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = 0$ हो जाता है।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ प्राप्त होता है।
धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{e_0}{Z}$ होता है।
अतः,अनुनाद की स्थिति में,$i = \frac{e_0}{R}$ होता है।

(C) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है,इसलिए $f = f'$ होगा।
अतः,$\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$LC = L'C'$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि धारिता $C$ से बदलकर $C' = 2C$ हो जाती है,इसलिए:
$LC = L'(2C)$।
दोनों पक्षों को $2C$ से विभाजित करने पर,$L' = \frac{L}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरकत्व को बदलकर $\frac{L}{2}$ किया जाना चाहिए।

(B) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,और परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,और $V_{rms} = 0.1 \ V$.
अनुनाद पर परिपथ में धारा $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ है।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
प्रेरक पर वोल्टेज ड्रॉप $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
मान रखने पर: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें प्रतिरोध $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,और धारिता $C = 50 \text{ } \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
दिया गया है $\omega = 2000 \text{ rad/s}$,इसलिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R = 10 \Omega$ है।
अतः,धारा का आयाम $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2 \text{ A}$ होगा।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$
अनुनादी आवृत्ति $(f)$ के लिए सूत्र:
$f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति $(f)$ केवल प्रेरकत्व $(L)$ और धारिता $(C)$ पर निर्भर करती है।
यह प्रतिरोध $(R)$ से स्वतंत्र है।
अतः,यदि प्रतिरोध को आधा कर दिया जाए,तो अनुनादी आवृत्ति अपरिवर्तित रहेगी।

(B) श्रेणी $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब इस परिपथ में एक संधारित्र को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो नई प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ हो जाती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि $X_C$ शून्य नहीं है),इसलिए नई प्रतिबाधा $Z_2$ मूल प्रतिबाधा $Z_1$ से कम है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$ होता है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ घट जाती है,इसलिए परिपथ में बहने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।

(A) प्रेरक के लिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ है। धारा $I = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{2\pi f L}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$I \propto \frac{1}{f}$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,पहले परिपथ में धारा $I$ घटती है।
संधारित्र के लिए,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ है। धारा $I = \frac{V}{X_C} = V(2\pi f C)$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$I \propto f$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,दूसरे परिपथ में धारा $I$ बढ़ती है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ का सूत्र है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$।
यहाँ,$X_L = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
दिया गया है: $L = \frac{1}{\pi} \text{ H}$,$R = 300 \text{ } \Omega$,और $f = 200 \text{ Hz}$।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \text{ } \Omega$।
अब,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा वोल्टेज से पीछे तब रहती है जब परिपथ की प्रकृति प्रेरक (inductive) होती है।
यह तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$,धारितीय प्रतिघात $X_C$ से अधिक होता है।
$X_L > X_C$
$\Rightarrow \omega L > \frac{1}{\omega C}$
$\Rightarrow \omega^2 > \frac{1}{LC}$
$\Rightarrow \omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2\pi N$ और $N_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$,इसलिए स्थिति इस प्रकार है:
$N > N_R$

(C) एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज $(e_R)$ और धारा $(i_R)$ समान कला में होते हैं। इसका अर्थ है कि वे एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान तक पहुँचते हैं। उनके बीच का कलांतर $0$ होता है। इसलिए,इस संबंध को दर्शाने वाला फेजर आरेख दोनों सदिशों को एक ही दिशा में इंगित करता है,जैसा कि चित्र $(A)$ में दिखाया गया है।

(D) तात्कालिक धारा $I = 6 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{4})$ द्वारा दी गई है।
तात्कालिक वोल्टेज $V = 5 \sin(100 \pi t - \frac{\pi}{4})$ द्वारा दिया गया है।
धारा का कला (phase) $\phi_I = 100 \pi t + \frac{\pi}{4}$ है।
वोल्टेज का कला (phase) $\phi_V = 100 \pi t - \frac{\pi}{4}$ है।
धारा और वोल्टेज के बीच कलांतर $\Delta \phi = \phi_I - \phi_V = (100 \pi t + \frac{\pi}{4}) - (100 \pi t - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ (या $90^{\circ}$) है और धारा का कला वोल्टेज के कला से अधिक है,इसलिए धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे है।

(D) समय अंतराल $t = 0$ से $t = \frac{\pi}{\omega}$ तक $A$.$C$. वोल्टेज $V = V_{m} \sin(\omega t)$ का औसत मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$V_{av} = \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V dt}{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} dt}$
$V_{av} = \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V_{m} \sin(\omega t) dt}{\frac{\pi}{\omega} - 0}$
$V_{av} = \frac{V_{m}}{\frac{\pi}{\omega}} \left[ -\frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{\frac{\pi}{\omega}}$
$V_{av} = \frac{V_{m} \omega}{\pi} \left( -\frac{1}{\omega} \right) [\cos(\pi) - \cos(0)]$
$V_{av} = -\frac{V_{m}}{\pi} [-1 - 1]$
$V_{av} = -\frac{V_{m}}{\pi} [-2] = \frac{2 V_{m}}{\pi}$

(A) धारा का कला (phase) $\phi_i = -\frac{\pi}{6}$ है।
वोल्टेज का कला $\phi_E = +\frac{\pi}{3}$ है।
वह कलांतर $\phi$ जिससे वोल्टेज धारा से आगे है,उसे $\phi = \phi_E - \phi_i$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\phi = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})$.
$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,वोल्टेज धारा से $\frac{\pi}{2}$ आगे है।

(A) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L$ है, जहाँ $\omega = 2 \pi f$ होता है।
$\omega$ का मान रखने पर, हमें $X_L = 2 \pi f L$ प्राप्त होता है।
यहाँ $X_L = 11 \, \Omega$ और $L = 0.07 \, H$ दिया गया है, इसलिए आवृत्ति $f$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$f = \frac{X_L}{2 \pi L} = \frac{11}{2 \times 3.14159 \times 0.07} \approx \frac{11}{0.4398} \approx 25 \, Hz$.
अतः, प्रत्यावर्ती वोल्टेज की आवृत्ति $25 \, Hz$ है।

(C) धारितीय प्रतिघात $X_c$ का सूत्र है: $X_c = \frac{1}{2 \pi f C}$।
दिए गए मान हैं: $X_c = \frac{1}{1000} \Omega = 10^{-3} \Omega$ और $C = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$10^{-3} = \frac{1}{2 \pi f (5 \times 10^{-6})}$
$10^{-3} = \frac{1}{10 \pi f \times 10^{-6}}$
$10^{-3} = \frac{1}{\pi f \times 10^{-5}}$
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर:
$f = \frac{1}{10^{-3} \times \pi \times 10^{-5}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{\pi} \text{ Hz}$।
चूंकि $1 \text{ MHz} = 10^6 \text{ Hz}$,इसलिए $f = \frac{100 \times 10^6}{\pi} \text{ Hz} = \frac{100}{\pi} \text{ MHz}$।

(A) मान लीजिए $t^{\prime}$ वह समय है जब e.m.f. अपने अधिकतम मान का आधा है।
दिए गए समीकरण $e = e_0 \sin \omega t$ में,हम $e = \frac{e_0}{2}$ रखते हैं।
$\frac{e_0}{2} = e_0 \sin (\omega t^{\prime})$
$\frac{1}{2} = \sin (\omega t^{\prime})$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\omega t^{\prime} = \frac{\pi}{6}$ है।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{2\pi}{T}) t^{\prime} = \frac{\pi}{6}$
$t^{\prime} = \frac{T}{12}$.

(A) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$f = \frac{X_L}{2 \pi L}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $X_L = 330 \Omega$ और $L = 0.25 mH = 0.25 \times 10^{-3} H$.
मान रखने पर: $f = \frac{330}{2 \times (22/7) \times 0.25 \times 10^{-3}}$.
$f = \frac{330 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25 \times 10^{-3}} = \frac{2310}{11 \times 10^{-3}} = 210 \times 10^3 Hz = 210 kHz$.

(C) प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ के लिए व्यंजक इस प्रकार है:
$X_L = 2 \pi f L$
जहाँ $f$ प्रत्यावर्ती धारा की आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $X_L$ आवृत्ति $(f)$ और प्रेरकत्व $(L)$ दोनों के सीधे समानुपाती है।
इसलिए,$X_L \propto f$ और $X_L \propto L$।

(D) दिया गया वोल्टेज समीकरण $e = 220 \sin(50t)$ है।
इसे मानक समीकरण $e = E_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,शिखर वोल्टेज $E_0 = 220 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
मान रखने पर: $X_C = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
शिखर धारा $I_0$ का सूत्र $I_0 = \frac{E_0}{X_C}$ है।
$I_0 = \frac{220}{400} = \frac{22}{40} = 0.55 \text{ A}$.

(D) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है।
दी गई शक्ति $P = 6.6 \,kW = 6600 \,W$ है।
द्वितीयक वोल्टेज $V_s = 4.4 \,kV = 4400 \,V$ है।
द्वितीयक कुंडली में शक्ति का सूत्र $P = V_s \times I_s$ है।
मान रखने पर: $6600 \,W = 4400 \,V \times I_s$.
द्वितीयक धारा $I_s$ के लिए हल करने पर: $I_s = \frac{6600}{4400} \,A = 1.5 \,A$.

(A) दिया गया है: सेकेंडरी फेरों और प्राइमरी फेरों का अनुपात $\frac{N_{S}}{N_{P}} = \frac{1}{20}$ है।
सेकेंडरी वोल्टेज $V_{S} = 8 \, V$ है।
सेकेंडरी प्रतिरोध $R_{S} = 0.4 \, \Omega$ है।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके सेकेंडरी धारा $I_{S}$ की गणना करें: $I_{S} = \frac{V_{S}}{R_{S}} = \frac{8 \, V}{0.4 \, \Omega} = 20 \, A$ है।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, धाराओं और फेरों के बीच संबंध $\frac{I_{P}}{I_{S}} = \frac{N_{S}}{N_{P}}$ होता है।
मान रखने पर: $I_{P} = I_{S} \times \frac{N_{S}}{N_{P}} = 20 \, A \times \frac{1}{20} = 1 \, A$ है।
अतः, प्राइमरी धारा $1 \, A$ है।

(C) मान लीजिए कि $I$ द्वितीयक कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा है।
प्राथमिक कुंडली में इनपुट शक्ति $P_{in} = V \times i = 220 \,V \times 5 \,A = 1100 \,W$ है।
चूंकि $50 \%$ शक्ति का ह्रास होता है, इसलिए आउटपुट शक्ति $P_{out}$ इनपुट शक्ति का $50 \%$ है।
$P_{out} = 0.50 \times P_{in} = 0.50 \times 1100 \,W = 550 \,W$.
आउटपुट शक्ति को $P_{out} = V^{\prime} \times I$ द्वारा भी दिया जाता है, जहाँ $V^{\prime} = 2200 \,V$ है।
अतः, $2200 \,V \times I = 550 \,W$.
$I = \frac{550}{2200} \,A = 0.25 \,A$.

(D) ट्रांसफार्मर एक विद्युत उपकरण है जो विद्युतचुंबकीय प्रेरण के माध्यम से दो या दो से अधिक सर्किट के बीच विद्युत ऊर्जा को स्थानांतरित करता है।
इसमें दो कुंडलियाँ होती हैं,प्राथमिक कुंडली और द्वितीयक कुंडली,जो चुंबकीय रूप से जुड़ी होती हैं।
जब प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ प्रवाहित होती है,तो यह एक बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करती है।
यह बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स द्वितीयक कुंडली से जुड़ जाता है,जिससे उसमें एक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित होता है।
यह घटना,जिसमें एक कुंडली में धारा के परिवर्तन के कारण पास की कुंडली में $EMF$ प्रेरित होता है,अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) कहलाती है।
इसलिए,ट्रांसफार्मर अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है।

(D) एक आदर्श (हानिरहित) ट्रांसफार्मर के लिए,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार प्राथमिक कुंडली का पावर इनपुट और द्वितीयक कुंडली का पावर आउटपुट समान होता है:
$P_P = P_S$
$V_P I_P = V_S I_S$
दिया गया है:
$V_P = 200 \,V$
$V_S = 25 \,V$
$I_S = 2 \,A$
समीकरण में मान रखने पर:
$200 \,V \times I_P = 25 \,V \times 2 \,A$
$200 \times I_P = 50$
$I_P = \frac{50}{200} \,A$
$I_P = 0.25 \,A$
मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$I_P = 0.25 \times 1000 \,mA = 250 \,mA$

(D) दिया गया है: दक्षता $\eta = 90 \% = 0.9$,प्राथमिक वोल्टेज $V_P = 200 \ V$,प्राथमिक शक्ति $P_P = 3 \ kW = 3000 \ W$,द्वितीयक धारा $I_S = 6 \ A$.
सबसे पहले,$P_P = V_P \times I_P$ का उपयोग करके प्राथमिक धारा $I_P$ की गणना करें:
$I_P = \frac{P_P}{V_P} = \frac{3000 \ W}{200 \ V} = 15 \ A$.
इसके बाद,दक्षता का उपयोग करके आउटपुट शक्ति (द्वितीयक शक्ति) $P_S$ की गणना करें: $P_S = \eta \times P_P = 0.9 \times 3000 \ W = 2700 \ W$.
अंत में,$P_S = V_S \times I_S$ का उपयोग करके द्वितीयक वोल्टेज $V_S$ की गणना करें:
$V_S = \frac{P_S}{I_S} = \frac{2700 \ W}{6 \ A} = 450 \ V$.
अतः,द्वितीयक वोल्टेज $450 \ V$ और प्राथमिक धारा $15 \ A$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पराबैंगनी विकिरण लाइमन श्रेणी $(n_1 = 1)$ के अनुरूप है।
अवरक्त विकिरण पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$ या फुंड श्रेणी $(n_1 = 5)$ के अनुरूप है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n=6$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य प्रकाश) है।
$(B)$ $n=5$ से $n=3$ पाश्चन श्रेणी (अवरक्त) है।
$(C)$ $n=3$ से $n=5$ एक अवशोषण प्रक्रिया है,उत्सर्जन नहीं।
$(D)$ $n=4$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य प्रकाश) है।
अतः,$n=5$ से $n=3$ का संक्रमण अवरक्त विकिरण प्रदान करता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा पहली उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में होने वाले संक्रमण के अनुरूप है,इसलिए $n_2 = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3 R}{4}$.

(B) बामर श्रेणी में दृश्य विकिरण की तरंग दैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)$ जहाँ $m = 3, 4, 5, ...$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4 m^2} \right)$
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:
$\lambda = \frac{4 m^2}{R(m^2 - 4)}$
दिए गए समीकरण $\lambda = \frac{k m^2}{m^2 - 4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = \frac{4}{R}$

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$2^{\text{nd}}$ कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{2I\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(C) बामर श्रेणी में एक स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ और $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n=2$ कक्षा में संक्रमण रेखा को निर्धारित करता है:
- $n=3$ से $n=2$ के लिए,हमें बामर श्रेणी की पहली रेखा प्राप्त होती है।
- $n=4$ से $n=2$ के लिए,हमें बामर श्रेणी की दूसरी रेखा प्राप्त होती है।
अतः,चौथी कक्षा से दूसरी कक्षा में संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
स्पेक्ट्रल श्रेणी की अंतिम रेखा अनंत ऊर्जा स्तर से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है,इसलिए $n_2 = \infty$ है।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\bar{\nu} = 2.5 \times 10^6 \, m^{-1}$।

(D) अवधारणा: बोहर कक्षा की त्रिज्या।
बोहर के मॉडल में, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
इसलिए, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ होती है।
सबसे छोटी कक्षा (मूल अवस्था) के लिए, $n = 1$, अतः $r_1 = a_0 (1)^2 = a_0$।
तीसरी कक्षा के लिए, $n = 3$, अतः त्रिज्या होगी:
$r_3 = a_0 (3)^2 = 9 a_0$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) अवधारणा: उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \quad \dots(1)$
उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध:
$f = \frac{c}{\lambda} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$f = c R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
दिए गए मान: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$R_{H} = 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 2$,और $n_2 = 4$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = (3 \times 10^8) \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{4-1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \frac{3}{16}$
$f = \frac{9}{16} \times 10^{15} \ Hz$

(D) कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण को $m_{orb} = iA$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $i = \frac{e}{T}$ धारा है,$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल है,और $T$ इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का समय अंतराल है।
$i$ और $A$ का मान रखने पर,हमें $m_{orb} = e \left( \frac{\pi r^2}{T} \right) \dots (1)$ प्राप्त होता है।
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (2)$।
साथ ही,समय अंतराल $T$ वेग $v$ और त्रिज्या $r$ से $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{T} = \frac{v}{2\pi}$।
इसे $m_{orb}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $m_{orb} = e \pi r \left( \frac{r}{T} \right) = e \pi r \left( \frac{v}{2\pi} \right) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(2)$ से,$vr = \frac{nh}{2\pi m}$।
इसे $m_{orb}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $m_{orb} = \frac{e}{2} \left( \frac{nh}{2\pi m} \right) = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e, h, \pi,$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $m_{orb} \propto n$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में,स्थिर-वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{2 r}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ को $\frac{1}{2} m v^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए:
$K = \frac{e^2}{2 r}$
अतः,गतिज ऊर्जा $\frac{e^2}{2 r}$ के समानुपाती है।