MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 4x}{\sin x} \, dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x \cos 2x}{\sin x} \, dx = 4 \int \cos x \cos 2x \, dx$.
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2x \cos x = \cos(2x+x) + \cos(2x-x) = \cos 3x + \cos x$.
अतः,$I = 2 \int (\cos 3x + \cos x) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 \left( \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right) + C = \frac{2}{3} \sin 3x + 2 \sin x + C$.

(B) माना $I = \int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$.
हर को $x(x^3+1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{2 x^3-1}{x(x^3+1)} \,d x$.
आंशिक भिन्नों या अवलोकन का उपयोग करके,हम $\frac{2x^3-1}{x(x^3+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{3x^2}{x^3+1}$ लिख सकते हैं।
दोनों पदों का समाकलन करने पर:
$I = \int \left( \frac{3x^2}{x^3+1} - \frac{1}{x} \right) \,d x$.
$I = \log|x^3+1| - \log|x| + C$.
$I = \log \left| \frac{x^3+1}{x} \right| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x \,dx}{(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x)^2}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x = \sin ^2 x(\sin ^3 x+\cos ^3 x) + \cos ^2 x(\sin ^3 x+\cos ^3 x) = (\sin ^2 x+\cos ^2 x)(\sin ^3 x+\cos ^3 x) = \sin ^3 x+\cos ^3 x$.
अतः,$I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x \,dx}{(\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2}$.
अंश और हर को $\cos ^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\tan ^2 x \sec ^2 x \,dx}{(\tan ^3 x+1)^2}$.
माना $u = \tan ^3 x+1$,तब $du = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x \,dx$,इसलिए $\tan ^2 x \sec ^2 x \,dx = \frac{du}{3}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-2} \,du = \frac{1}{3} \left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) + C = -\frac{1}{3u} + C$.
$u = \tan ^3 x+1$ वापस रखने पर: $I = \frac{-1}{3(1+\tan ^3 x)}+C$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{\left(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x\right)^2} d x$.
हर का गुणनखंड करने पर: $\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x = \sin ^2 x(\sin ^3 x + \cos ^3 x) + \cos ^2 x(\sin ^3 x + \cos ^3 x) = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^3 x + \cos ^3 x) = (\sin ^3 x + \cos ^3 x)$.
अतः,$I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x + \cos ^3 x)^2} d x$.
अंश और हर को $\cos ^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\tan ^2 x \cdot \sec ^2 x}{(\tan ^3 x + 1)^2} d x$.
माना $t = \tan ^3 x + 1$,तो $dt = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x d x$,इसलिए $\tan ^2 x \sec ^2 x d x = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-2} dt = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{3t} + C$.
$t = \tan ^3 x + 1$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{-1}{3(1 + \tan ^3 x)} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{4 x^2 \cot ^{-1}\left(x^3\right)}{1+x^6} \,d x$.
$t = \cot ^{-1}\left(x^3\right)$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,अवकलन $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{1+(x^3)^2} \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{1+x^6}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{x^2}{1+x^6} dx = -\frac{1}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = 4 \int t \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{4}{3} \int t \,dt$।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{4}{3} \cdot \frac{t^2}{2} + C = -\frac{2}{3} t^2 + C$।
$t = \cot ^{-1}\left(x^3\right)$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{3} \left(\cot ^{-1} x^3\right)^2 + C$।

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$.
$2x-1 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t+1}{2}$ और $dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{\frac{t+1}{2} + 1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} \, dt$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{t+3}{2}}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{4} \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t}} \right) \, dt$
$I = \frac{1}{4} \int (t^{1/2} + 3t^{-1/2}) \, dt$
$I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} + 3 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C$
$I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} + 6 t^{1/2} \right) + C$
$I = \left( \frac{1}{6} t^{3/2} + \frac{3}{2} t^{1/2} \right) + C$
$I = \frac{1}{6} t^{1/2} (t + 9) + C$
$t = 2x-1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x-1+9) + C$
$I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x+8) + C$
$I = \frac{1}{6} \cdot 2(x+4) \sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{3}(x+4) \sqrt{2x-1} + C$
$f(x) \sqrt{2x-1} + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{1}{3}(x+4)$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{d x}{3-2 \cos 2 x}$ है।
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{d x}{3-2 \left(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\right)} = \int \frac{1+\tan^2 x}{3(1+\tan^2 x) - 2(1-\tan^2 x)} \,d x$.
चूंकि $1+\tan^2 x = \sec^2 x$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{3+3\tan^2 x - 2 + 2\tan^2 x} \,d x = \int \frac{\sec^2 x}{5\tan^2 x + 1} \,d x$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \,d x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{5t^2 + 1} = \int \frac{dt}{(\sqrt{5}t)^2 + 1^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5}t) + C$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} \tan x) + C$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में से $x^5$ को बाहर निकालते हैं:
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left[x^5\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)\right]^3} \,d x$
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{x^{15}\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
$I = \int \frac{\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}}{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
माना $t = 1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}$. तब $dt = \left(-\frac{2}{x^3}-\frac{5}{x^6}\right) dx$, जिसका अर्थ है कि $-dt = \left(\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}\right) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{1}{2\left(\frac{x^5+x^3+1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{x^{10}}{2\left(x^5+x^3+1\right)^2} + C$

(A) समाकलन $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है कि $dx = 2t \, dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \cos(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \cos t \, dt$।
अब,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ है।
मान लीजिए $u = t$ और $dv = \cos t \, dt$ है। तब $du = dt$ और $v = \sin t$ होगा।
$I = 2 [t \sin t - \int \sin t \, dt]$।
$I = 2 [t \sin t - (-\cos t)] + C$।
$I = 2 [t \sin t + \cos t] + C$।
$t = \sqrt{x}$ का मान वापस रखने पर:
$I = 2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$।

(B) माना $I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x}} \, dx$.
अंश और हर को $e^{\frac{x}{2}}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x} \cdot e^{\frac{x}{2}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{\frac{1}{e^x} \cdot e^x - e^x \cdot e^x}} \, dx$ (यह विधि सरल है).
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\frac{1-e^{2x}}{e^x}}} \, dx = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{e^x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \, dx$.
माना $t = e^x$,तब $dt = e^x \, dx$.
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C = \sin^{-1}(e^x) + C$.
$\sin^{-1}(f(x)) + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = e^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(2) = e^2$.

(A) माना $t = \log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x\right) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
इस प्रकार,$dt = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}} \,dx = \int t \,dt = \frac{t^2}{2} + C$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{2}(g(x))^2 + C$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{1}{2}(g(x))^2 = \frac{1}{2} \left(\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right)^2$.
अतः,$g(x) = \log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} \,dx$.
हम समाकलन को $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^4} \,dx = \int \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^3} \,dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\frac{1}{x^2}-1 = t$. तब $-\frac{2}{x^3} \,dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x^3} \,dx = -\frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} \,dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} + c$.
अब $t = \frac{1-x^2}{x^2}$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + c = -\frac{1}{3} \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{(x^2)^{3/2}} + c = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + c$.
इसे $A(x)(\sqrt{1-x^2})^m + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ और $m = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(A) समाकलन $\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+1)(x-2)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $3x-2 = A(x-2)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x+1)$.
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)-2 = A(-1-2)^2 \implies -5 = 9A \implies A = -\frac{5}{9}$.
$x = 2$ रखने पर: $3(2)-2 = C(2+1) \implies 4 = 3C \implies C = \frac{4}{3}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + B \implies B = -A = \frac{5}{9}$.
अतः,$\int \left( \frac{-5/9}{x+1} + \frac{5/9}{x-2} + \frac{4/3}{(x-2)^2} \right) dx = -\frac{5}{9} \log |x+1| + \frac{5}{9} \log |x-2| - \frac{4}{3(x-2)} + C$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} \right) dx$ है।
सर्वसमिकाओं $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}} dx$
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) dx$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) dx$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) dx$
$I = \int \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + C$.

(C) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{1}{\log x} dx - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$.
प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ के अनुसार:
$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} \right) dx$
$= \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$.
इस मान को मूल व्यंजक $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = \frac{x}{\log x} + C$.

(A) $\int \sin \sqrt{x} \,d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\sqrt{x} = t$।
तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $d x = 2t \,d t$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \sin \sqrt{x} \,d x = \int \sin t (2t \,d t) = 2 \int t \sin t \,d t$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \,dv = uv - \int v \,du$,मान लीजिए $u = t$ और $dv = \sin t \,d t$।
तब $du = d t$ और $v = -\cos t$।
$2 \int t \sin t \,d t = 2 \left[ t(-\cos t) - \int (-\cos t) \,d t \right]$
$= 2 [-t \cos t + \int \cos t \,d t]$
$= 2 [-t \cos t + \sin t] + C$।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) + C$।

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx$.
माना $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = (4 \cdot 2 \sin x \cos x - 9 \cdot 2 \cos x \sin x) \, dx$.
$dt = (4 \sin 2x - 9 \sin 2x) \, dx$.
$dt = -5 \sin 2x \, dx$.
अतः,$\sin 2x \, dx = -\frac{1}{5} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{5} dt}{t} = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt$.
$I = -\frac{1}{5} \log |t| + C$.
$t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{5} \log |4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x| + C$.

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि शर्त $x \geq 0$ है,इसलिए $x = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,एकमात्र हल $x = \frac{1}{6}$ है।
इसलिए,यह समुच्चय एक एकल समुच्चय (singleton set) है।

(C) माना $\theta = \sin ^{-1} 0.8$ है। तब $\sin \theta = 0.8$ होगा।
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,पहले हम $\cos \theta$ ज्ञात करते हैं।
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$ है।
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(2\theta) = 2 \times 0.8 \times 0.6 = 0.96$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{2 \pi}{3}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करेंगे।
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \frac{\pi}{3}$

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$
चूंकि $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$,हम लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1} = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$
माना $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \theta$. तब $\tan \theta = \sqrt{x^2+x}$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x^2+x)}}$.
अतः,$\cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$.
तर्कों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} = \sqrt{x^2+x+1}$
$1 = x^2+x+1$
$x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = -1$.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ के प्रांत के लिए,$0 \le x^2+x+1 \le 1$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x^2+x \le 0$.
$x=0$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)। $x=-1$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)।
हालाँकि,$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}$ के लिए $x^2+x \ge 0$ आवश्यक है।
इस प्रकार,$x^2+x=0$ ही एकमात्र समाधान है,जिससे $x=0$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि तर्क $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ऋणात्मक है,हम गुणधर्म $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।
हम जानते हैं कि $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x = \tan \theta$ और $y = \tan \phi$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \sin ^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \frac{1}{2} \sin ^{-1} (\sin 2 \theta) = \frac{1}{2} (2 \theta) = \theta$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} (\cos 2 \phi) = \frac{1}{2} (2 \phi) = \phi$.
अब,व्यंजक $\tan (\theta + \phi)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x + y}{1 - xy}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
चूंकि $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
सर्वसमिका $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$
चूंकि $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \theta$,इसलिए:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
अतः,$x = \frac{1}{5}$.

(D) माना $x = \tan \theta$ है। चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $\theta \in (0, \frac{\pi}{4})$ है।
सबसे पहले,$A = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ पर विचार करें।
सूत्र $\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $A = 2(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$B = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ पर विचार करें।
सूत्र $\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ का उपयोग करते हुए।
अंत में,$A - B = (\frac{\pi}{2} + 2\theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \times \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान जानते हैं:
$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
समान हर $(12)$ प्राप्त करने पर:
$\frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

(C) हमें दिया गया समीकरण है: $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$.
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right)$.
इसे दिए गए समीकरण में लागू करने पर: $\tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$.
चूंकि $\tan \pi = 0$ होता है,इसलिए: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$.
इसका अर्थ है कि अंश शून्य होना चाहिए: $a+b+c-abc = 0$.
अतः,$a+b+c = abc$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan ^{-1} x$ होगा।
समीकरण में $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)=\frac{1}{2} \theta$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right)=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}-\theta=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}=\frac{3 \theta}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{6}$
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(B) $\sin ^{-1} x$ का मुख्य मान परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया है कि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y + \sin ^{-1} z = \frac{3 \pi}{2}$।
चूंकि प्रत्येक $\sin ^{-1}$ पद का अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए योग $\frac{3 \pi}{2}$ तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद अपने अधिकतम मान के बराबर हो।
अतः,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को $x^{100} + y^{100} + z^{100}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x=1-6 x^2$
$6 x^2+5 x-1=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(6 x-1)(x+1)=0$
अतः,$x=\frac{1}{6}$ या $x=-1$.
मानों की जाँच करने पर: यदि $x=-1$ लेते हैं,तो $\tan ^{-1}(-2)+\tan ^{-1}(-3)$ ऋणात्मक प्राप्त होता है,जो $\frac{\pi}{4}$ नहीं हो सकता।
इसलिए,$x=\frac{1}{6}$ ही सही हल है।

(B) दिया गया है $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
सूत्र $\cos ^{-1} A - \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB + \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left( x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \right) = \alpha$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$\frac{xy}{2} + \frac{\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)}}{2} = \cos \alpha$.
$\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)} = 2 \cos \alpha - xy$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-x^2)(4-y^2) = (2 \cos \alpha - xy)^2$.
$4 - y^2 - 4x^2 + x^2y^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha + x^2y^2$.
दोनों पक्षों से $x^2y^2$ घटाने पर:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos ^2 \alpha$.
चूंकि $1 - \cos ^2 \alpha = \sin ^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin ^2 \alpha$.

(D) माना $\theta = \cot^{-1} x$,तो $\cot \theta = x$. चूँकि $\cot \theta = \frac{x}{1}$,हमें $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
अब,माना $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)$,तो $\tan \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
हमें $\cos \phi$ ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec^2 \phi = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{x^2+1}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos^2 \phi = \frac{x^2+1}{x^2+2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \phi = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
गुणधर्म $\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक बन जाता है:
$\cos \left(\cos ^{-1} x+\frac{\pi}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= -\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
चूँकि $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,इसलिए:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x=\frac{1}{5}$ रखने पर:
$= -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,पदों को समूहबद्ध करें:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
पहली जोड़ी के लिए सूत्र लागू करें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
दूसरी जोड़ी के लिए सूत्र लागू करें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
अब परिणामों को जोड़ें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) हम $|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ की गणना करें।
अब,$\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को $\tan ^{-1}$ में बदलें। मान लीजिए $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,तो $\cos \theta = \frac{3}{5}$। चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$। अतः,$\tan \theta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।
व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ बन जाता है।
$x > 0$ के लिए $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(1/x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3/4}\right) = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,पदों को समूहबद्ध करें:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
पहले जोड़े के लिए सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
दूसरे जोड़े के लिए सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
अब,परिणामों को जोड़ने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) जब $xy > 1$ होता है,तब हम $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 2$ और $y = 3$ है। चूँकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,हम सूत्र लागू करते हैं:
$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} (-1)$
चूँकि $\tan ^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
इसलिए,$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,व्यंजक $\tan \left[ \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan ^{-1} (1) \right]$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12} \times 1} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{17}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right)$.
अंत में,$\tan \left[ \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right) \right] = -\frac{7}{17}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$,क्योंकि एक समकोण त्रिभुज में आधार $4$ और कर्ण $5$ होने पर,लंब $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$
सूत्र $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$

(B) $x = 4$ पर बायाँ सीमा: $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = [4^{-}] - [\frac{4^{-}}{4}] = 3 - 0 = 3$.
$x = 4$ पर दायाँ सीमा: $\lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = [4^{+}] - [\frac{4^{+}}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ पर फलन का मान: $f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4) = 3$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 4$ पर संतत है।

(C) निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P \cdot e^{rt}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$r$ वार्षिक ब्याज दर है,और $t$ वर्षों में समय है।
दिया गया है: $P = 10000$,$r = 4 \% = 0.04$,और $t = 10$ वर्ष।
मान रखने पर: $A = 10000 \times e^{(0.04 \times 10)} = 10000 \times e^{0.4}$।
दिए गए मान $e^{0.4} = 1.49182$ का उपयोग करने पर:
$A = 10000 \times 1.49182 = 14918.2$।
निकटतम पूर्णांक में,राशि $Rs. 14918$ है।

(D) दी गई असमिकाओं का निकाय है:
$x+y \leq 70$
$x+2y \leq 100$
$2x+y \leq 120$
$x \geq 0, y \geq 0$
चूंकि सभी असमिकाएं $x+y \leq 70$,$x+2y \leq 100$,और $2x+y \leq 120$ मूल बिंदु $(0,0)$ द्वारा संतुष्ट होती हैं (क्योंकि $0+0 \leq 70$,$0+0 \leq 100$,और $0+0 \leq 120$ सभी सत्य हैं),इसलिए सुसंगत क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में मूल बिंदु की ओर होना चाहिए।
रेखाओं और प्रतिबंधों $x \geq 0, y \geq 0$ का विश्लेषण करने पर,सामान्य छायांकित क्षेत्र जो इन सभी शर्तों को पूरा करता है,वह चित्र $3$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) सुसंगत क्षेत्र अवरोधों $2x+3y \leq 12$,$2x+y \leq 8$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(4, 0)$,$(3, 2)$ और $(0, 4)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $z=4x+5y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 0)$ पर: $z = 4(0) + 5(0) = 0$
$(4, 0)$ पर: $z = 4(4) + 5(0) = 16$
$(3, 2)$ पर: $z = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22$
$(0, 4)$ पर: $z = 4(0) + 5(4) = 20$
अतः,$z$ का अधिकतम मान बिंदु $(3, 2)$ पर $22$ है।

(D) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 80)$,$(14, 33)$ और $(80, 0)$ हैं।
प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y$ का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $(0, 80)$ पर: $Z = 4(0) + 6(80) = 480$
$2$. $(14, 33)$ पर: $Z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$
$3$. $(80, 0)$ पर: $Z = 4(80) + 6(0) = 320$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान $254$ है,जो बिंदु $(14, 33)$ पर प्राप्त होता है।

(A) $Z = 5x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं:
$1$. $2x - y \geq 2$
$2$. $x + 2y \leq 8$
$3$. $x, y \geq 0$
सीमा रेखाएं $2x - y = 2$ और $x + 2y = 8$ हैं।
- $2x - y = 2$ के लिए,अंतःखंड $(1, 0)$ और $(0, -2)$ हैं।
- $x + 2y = 8$ के लिए,अंतःखंड $(8, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
$2x - y = 2$ और $x + 2y = 8$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 2y = 4$।
इसे $x + 2y = 8$ में जोड़ने पर,हमें $5x = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2.4$।
$x = 2.4$ को $2x - y = 2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2.4) - y = 2 \implies 4.8 - y = 2 \implies y = 2.8$।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(1, 0)$,$(8, 0)$,और $(2.4, 2.8)$ हैं।
अब,इन शीर्षों पर $Z = 5x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(1, 0)$ पर: $Z = 5(1) + 2(0) = 5$
- $(8, 0)$ पर: $Z = 5(8) + 2(0) = 40$
- $(2.4, 2.8)$ पर: $Z = 5(2.4) + 2(2.8) = 12 + 5.6 = 17.6$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $(8, 0)$ पर $40$ है।

(D) रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक इष्टतम समाधान मौजूद है,तो यह सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) में से किसी एक पर होना चाहिए। यदि उद्देश्य फलन दो कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु भी एक इष्टतम समाधान होता है। इसलिए,उद्देश्य फलन हमेशा कम से कम एक कोणीय बिंदु पर अपना इष्टतम मान प्राप्त करता है।

(D) $z=50x+15y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान ज्ञात करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(20, 0)$,$(10, 50)$ और $(0, 60)$ हैं।
प्रत्येक बिंदु पर $z$ का मान:
$1$. $(0, 0)$ पर: $z = 50(0) + 15(0) = 0$
$2$. $(20, 0)$ पर: $z = 50(20) + 15(0) = 1000$
$3$. $(10, 50)$ पर: $z = 50(10) + 15(50) = 500 + 750 = 1250$
$4$. $(0, 60)$ पर: $z = 50(0) + 15(60) = 900$
अतः,अधिकतम मान $1250$ है,जो बिंदु $(10, 50)$ पर प्राप्त होता है।

(D) छायांकित क्षेत्र के लिए रैखिक अवरोधों को निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक सीमा रेखा का विश्लेषण करते हैं:
$1$. रेखा $x+2y=6$ के लिए छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है (क्योंकि बिंदु $(7, 6)$,$7+12=19 \geq 6$ को संतुष्ट करता है)। अतः,अवरोध $x+2y \geq 6$ है।
$2$. रेखा $5x+3y=15$ के लिए छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है (क्योंकि बिंदु $(7, 6)$,$35+18=53 \geq 15$ को संतुष्ट करता है)। अतः,अवरोध $5x+3y \geq 15$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x=7$ के लिए छायांकित क्षेत्र इसके बाईं ओर है,इसलिए $x \leq 7$ है।
$4$. क्षैतिज रेखा $y=6$ के लिए छायांकित क्षेत्र इसके नीचे है,इसलिए $y \leq 6$ है।
$5$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
इन सबको मिलाकर,अवरोध $x+2y \geq 6, 5x+3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ हैं।

(B) सुसंगत क्षेत्र रेखाओं $x+y=5$,$4x+3y=24$,$x=0$,और $y=0$ द्वारा परिबद्ध है।
कोणीय बिंदुओं को खोजने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के शीर्षों की पहचान करते हैं:
$1$. $x=0$ और $4x+3y=24$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 8)$ देता है।
$2$. $x=0$ और $x+y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 5)$ देता है।
$3$. ग्राफ को देखने पर,शीर्ष $(0, 5)$,$(0, 8)$,$(6, 0)$ और $(5, 0)$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z=2x+y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 5)$ पर,$Z = 2(0) + 5 = 5$.
$(0, 8)$ पर,$Z = 2(0) + 8 = 8$.
$(5, 0)$ पर,$Z = 2(5) + 0 = 10$.
$(6, 0)$ पर,$Z = 2(6) + 0 = 12$.
अधिकतम मान $12$ है जो $(6, 0)$ बिंदु पर प्राप्त होता है।