मान लीजिए $AD$ और $BC$ क्षैतिज जमीन पर क्रमशः $A$ और $B$ पर स्थित दो ऊर्ध्वाधर खंभे हैं। यदि $AD = 8 \ m$,$BC = 11 \ m$ और $AB = 10 \ m$ है,तो $AB$ पर स्थित बिंदु $M$ की बिंदु $A$ से वह दूरी (मीटर में) ज्ञात कीजिए जिसके लिए $MD^2 + MC^2$ न्यूनतम हो।

सिद्ध कीजिए कि $h$ ऊँचाई और $\alpha$ अर्ध-शीर्ष कोण वाले एक लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई शंकु की ऊँचाई की एक-तिहाई होती है और बेलन का अधिकतम आयतन $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ है।

मान लीजिए $S=(-1, \infty)$ और $f: S \rightarrow R$ को $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $p$,$x$ के उन मानों के वर्गों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) प्राप्त करता है,और $q$,$x$ के उन मानों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) प्राप्त करता है। तब,$p^2+2q$ का मान है

ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए कि $\lambda$ के सभी धनात्मक मानों का समुच्चय,जिसके लिए फलन $f(x) = 1 + x(\lambda^2 - x^2)$ का स्थानीय न्यूनतम बिंदु $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ को संतुष्ट करता है,$(\alpha, \beta)$ है। तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।