यदि x neq 0 के लिए f(x) = log(sec^2 x)^{cot^2 | vedclass

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Question

(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = K+1$.हम सीमा का मूल्यांकन कर

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(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = K+1$.हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x ightarrow 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$.लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,$L = \lim_{x ightarrow 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$.चूंकि $\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$,हमारे पास $L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\log(1 + 	an^2 x)}{	an^2 x}$ है।मान लीजिए $u = 	an^2 x$ है। जैसे $x ightarrow 0$,$u ightarrow 0$ होता है। सीमा $\lim_{u ightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u}$ बन जाती है।मानक सीमा $\lim_{u ightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $L = 1$ प्राप्त होता है।सीमा को $f(0)$ के बराबर रखने पर,$1 = K+1$ प्राप्त होता है।अतः,$K = 0$।

यदि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$ और $x=0$ के लिए $f(x) = K+1$ है और यह $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है,है

यदि $f(x) = \begin{cases} 1 + \cos x, & x \le 0 \\ a - x, & 0 < x < 2 \\ (x - b)^2, & x \ge 2 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर सतत है,तो $a^2+b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $e^k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$,$x > 0$ के लिए। तो:

यदि फलन $f(x)$ जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर सतत है,तो $k = . . . . . .$

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