MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हम तर्क के नियमों का उपयोग करके दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\equiv \{(p \vee \sim p) \wedge q\} \vee (r \wedge \sim q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv t$ (पुनरुक्ति):
$\equiv (t \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
$\equiv q \vee (r \wedge \sim q)$
वितरण नियम $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ लागू करने पर:
$\equiv (q \vee r) \wedge (q \vee \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q) \equiv t$:
$\equiv (q \vee r) \wedge t$
$\equiv q \vee r$

(A) $p \rightarrow q$ के रूप वाले कथन का प्रतिधनात्मक कथन $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$p$ है '$A \subseteq B$ और $B \subseteq D$' और $q$ है '$A \subseteq C$'।
निषेध $\sim q$ है '$A \nsubseteq C$'।
निषेध $\sim p$ है '$\sim(A \subseteq B \text{ और } B \subseteq D)$',जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार '$A \nsubseteq B$ या $B \nsubseteq D$' है।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: यदि $A \nsubseteq C$,तो $A \nsubseteq B$ या $B \nsubseteq D$।

(C) दिया गया है कि $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q)$ का सत्यता मान $F$ है।
एक निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब $F$ होता है जब $A$ का मान $T$ हो और $B$ का मान $F$ हो।
अतः,$(p \wedge \sim r)$ का मान $T$ है और $(\sim p \vee q)$ का मान $F$ है।
$(p \wedge \sim r)$ के $T$ होने के लिए,$p$ का $T$ होना और $\sim r$ का $T$ होना आवश्यक है।
यदि $p$ का मान $T$ है,तो $\sim p$ का मान $F$ होगा।
$(\sim p \vee q)$ के $F$ होने के लिए,चूंकि $\sim p$ का मान $F$ है,इसलिए $q$ का भी $F$ होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim r$ का मान $T$ है,इसलिए $r$ का मान $F$ होगा।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(D) '$\text{एक आदमी न तो खुश है और न ही अमीर है}$' कथन का अर्थ है कि आदमी खुश नहीं है $AND$ आदमी अमीर नहीं है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $(\sim p \wedge \sim q)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim(p \vee q)$।
अतः,सही प्रतीकात्मक रूप $\sim(p \vee q)$ है।

(A) हमें $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करना है।
माना $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ है।
इसका निषेध $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\sim P \equiv \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$।
द्वि-निषेध नियम $\sim (\sim s) \equiv s$ और डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \equiv s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$।
इसे और सरल करने पर:
$\sim P \equiv s \wedge (r \vee \sim s)$।
वितरण नियम $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$।
चूंकि $(s \wedge \sim s) \equiv F$ (एक विरोधाभास):
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee F \equiv s \wedge r$।

(D) कथन पैटर्न $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
सत्यता सारणी से,हम देखते हैं कि $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए कॉलम $(p \leftrightarrow q)$ के कॉलम के समान है।
अतः,कथन पैटर्न $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$,$(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(A) सबसे पहले,कथनों के सत्यता मान निर्धारित करें:
$P: 11$ एक अभाज्य संख्या है,जो $T$ (सत्य) है।
$Q: 7$,$176$ का एक गुणनखंड है। चूँकि $176 \div 7 = 25.14$,$7$ गुणनखंड नहीं है,इसलिए $Q$ का मान $F$ (असत्य) है।
$R$: $3$ और $7$ का ल.स.प. $21$ है,जो $T$ (सत्य) है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प $A$: $P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv T \vee (\sim F \wedge T) \equiv T \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.
विकल्प $B$: $(\sim P) \wedge (\sim Q \wedge R) \equiv F \wedge (T \wedge T) \equiv F \wedge T \equiv F$.
विकल्प $C$: $(P \wedge Q) \vee (\sim R) \equiv (T \wedge F) \vee F \equiv F \vee F \equiv F$.
विकल्प $D$: $(\sim P) \vee (Q \wedge R) \equiv F \vee (F \wedge T) \equiv F \vee F \equiv F$.
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सत्य है।

(D) माना कि $p$ कथन 'मैं अध्ययन करता हूँ' है और $q$ कथन 'मैं असफल हो जाता हूँ' है।
दिया गया कथन $p \vee q$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,वियोजन का निषेध $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'मैं अध्ययन नहीं करता हूँ' और $\sim q$ का अर्थ है 'मैं असफल नहीं होता हूँ'।
अतः,निषेध 'मैं अध्ययन नहीं करता हूँ और मैं असफल नहीं होता हूँ' है।

(B) प्रत्येक कथन का विश्लेषण करते हैं:
$S_1: \sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q) \equiv p \wedge q$. अतः,$S_1$ सही है।
$S_2: (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(p \wedge q)$,जो एक व्याघात है,पुनरुक्ति नहीं।
$S_3: [p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)]$ $\rightarrow q$ एक नैमित्तिक है,व्याघात नहीं।
$S_4: p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ एक पुनरुक्ति है,नैमित्तिक नहीं।
इसलिए,केवल $S_1$ सही है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ सत्य हो और परिणामी $(\sim p \vee q)$ असत्य हो।
चूंकि $p$ सत्य है,इसलिए $\sim p$ असत्य है।
वियोजन $(\sim p \vee q)$ के असत्य होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim p$ पहले से ही असत्य है,इसलिए $q$ को असत्य होना चाहिए।
अतः,$p$ सत्य है और $q$ असत्य है।

(B) दिया गया है कि $p = F$ और $q = F$ है।
चरण $1$: $(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q)$ का मूल्यांकन करें
$\sim p = \sim F = T$
$\sim p \vee q = T \vee F = T$
$p \wedge q = F \wedge F = F$
$\sim(p \wedge q) = \sim F = T$
अतः,$(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q) = T \leftrightarrow T = T$ है।
चरण $2$: $\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q)$ का मूल्यांकन करें
$\sim p = T$
$\sim q = \sim F = T$
$p$ $\rightarrow \sim q = F$ $\rightarrow T = T$
अतः,$\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q) = T \leftrightarrow T = T$ है।
इस प्रकार,सत्यता मान $T, T$ हैं।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम (converse) $q \rightarrow p$ के रूप में परिभाषित होता है।
इस मामले में,मान लें कि $p$ है 'चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है' और $q$ है 'चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ समान हैं'।
कथन $I$ है $p \rightarrow q$।
कथन $II$ है $q \rightarrow p$।
इसलिए,कथन $II$,कथन $I$ का विलोम है।

(D) सबसे पहले,हम दिए गए कथनों के सत्य मान निर्धारित करते हैं:
$p: 25$ एक अभाज्य संख्या है। चूंकि $25 = 5 \times 5$,यह एक भाज्य संख्या है। अतः,$p \equiv F$.
$q: 14$ एक भाज्य संख्या है। चूंकि $14 = 2 \times 7$,यह एक भाज्य संख्या है। अतः,$q \equiv T$.
$r: 64$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है। चूंकि $64 = 8^2$,यह एक पूर्ण वर्ग है। अतः,$r \equiv T$.
अब,विकल्पों की जांच करने पर:
$D: \sim p \vee (q \wedge r) \equiv \sim F \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.

(A) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन पैटर्न $(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q)$ के लिए,हम $p$ को $(p \vee q)$ और $q$ को $(p \wedge q)$ मानते हैं।
परिभाषा लागू करने पर,प्रतिलोम $\sim(p \vee q) \rightarrow \sim(p \wedge q)$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ और $\sim(p \wedge q) \equiv (\sim p \vee \sim q)$ होता है।
अतः,प्रतिलोम $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ है।

(A) सबसे पहले,कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ पर विचार करें। यह $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ के समतुल्य है,जो $(\neg p \vee p) \vee \neg q = T \vee \neg q = T$ में सरल हो जाता है। अतः,यह एक पुनरुक्ति है।
अगला,$p \rightarrow (p \vee q)$ पर विचार करें। यह $\neg p \vee (p \vee q)$ के समतुल्य है,जो $(\neg p \vee p) \vee q = T \vee q = T$ में सरल हो जाता है। अतः,यह भी एक पुनरुक्ति है।
अंत में,व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)]$ $\rightarrow [p$ $\rightarrow (p \vee q)]$ का मान $T \rightarrow T$ हो जाता है,जो $T$ है। इसलिए,यह कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(C) मान लीजिए $p$ कथन है: "एक चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है".
मान लीजिए $q$ कथन है: "इसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं".
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है,जिसका अर्थ है: "यदि एक चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ समांतर नहीं हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज नहीं है".
$p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है,जिसका अर्थ है: "यदि एक चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है".
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(C) समीकरण $6x^2+xy-y^2=0$ को $-(y-3x)(y+2x)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो रेखाएं $y=3x$ और $y=-2x$ देती हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं का $x+3y=10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $y=3x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. शीर्ष $(1,3)$ है।
$2$. $y=-2x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. शीर्ष $(-2,4)$ है।
$3$. $y=3x$ और $y=-2x$ का प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $(0,0)$ है।
केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है।

(C) रेखाओं का युग्म $x^2-4xy+y^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है। इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a=1, h=-2, b=1$ है,इसलिए $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-2)^2-1\times 1}}{1+1}\right| = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
चूंकि रेखाएँ $x+y=10$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए मूल बिंदु त्रिभुज का एक शीर्ष है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x+y-10=0$ तक की लंबवत दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है।
$h = \frac{|0+0-10|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$।
एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा की लंबाई $s$ है,के लिए ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,इसलिए $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{200}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{3} = \frac{50}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(A) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और रेखा $y=5$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखा $y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ और $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
अतः,$y - \sqrt{3}x = 0$ और $y + \sqrt{3}x = 0$।
संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ होगा।
$y^2 - 3x^2 = 0$,जिसे $3x^2 - y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2+5 x y+3 y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 x^2+2 x y+3 x y+3 y^2=0$ $\Rightarrow 2 x(x+y)+3 y(x+y)=0$ $\Rightarrow (2 x+3 y)(x+y)=0$.
व्यक्तिगत रेखाएं $2 x+3 y=0$ और $x+y=0$ हैं।
इन रेखाओं के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं $3 x-2 y=0$ और $x-y=0$ हैं।
उनका संयुक्त समीकरण $(3 x-2 y)(x-y)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3 x^2-3 x y-2 x y+2 y^2=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3 x^2-5 x y+2 y^2=0$ हो जाता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
माना ढाल $m$ और $2m$ हैं।
मूलों के योग से,$m + 2m = 3m = -\frac{2/h}{1/b} = -\frac{2b}{h}$,अतः $m = -\frac{2b}{3h}$।
मूलों के गुणनफल से,$m \cdot 2m = 2m^2 = \frac{1/a}{1/b} = \frac{b}{a}$।
गुणनफल समीकरण में $m$ का मान रखने पर: $2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$।
$2 \cdot \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$\frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।
अतः,$ab : h^2 = 9:8$।

(B) माना रेखा $y=x$ की ढाल $m_1 = 1 = \tan 45^\circ$ है। माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है।
सूत्र $\tan \alpha = |\frac{m-1}{1+m}|$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{m-1}{1+m} = \tan \alpha$ या $\frac{m-1}{1+m} = -\tan \alpha$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \tan(45^\circ + \alpha)$ और $m = \tan(45^\circ - \alpha)$।
रेखाओं के समीकरण $y = \tan(45^\circ + \alpha)x$ और $y = \tan(45^\circ - \alpha)x$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y - x\tan(45^\circ + \alpha))(y - x\tan(45^\circ - \alpha)) = 0$ है।
सरल करने पर,$y^2 - xy(\frac{2}{\cos 2\alpha}) + x^2 = 0$।
अतः,$x^2 - 2xy \sec 2\alpha + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष $(0^\circ)$ और धनात्मक $y$-अक्ष $(90^\circ)$ के बीच का क्षेत्र है।
प्रथम चतुर्थांश को समत्रिभाजित करने वाली रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं के समीकरण $y = \tan(30^\circ)x$ और $y = \tan(60^\circ)x$ हैं।
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(C) रेखाओं की प्रवणता $m_1 = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = \tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि रेखाएं मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ हैं।
प्रवणता का मान रखने पर,हमें $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x - \sqrt{3}y = 0$ और $x + \sqrt{3}y = 0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ है।
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $x^2 - (\sqrt{3}y)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त समीकरण $x^2 - 3y^2 = 0$ है।

(B) समघातीय समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^2+3xy+2y^2=0$ के लिए,$a=1$,$2h=3$ (अतः $h=\frac{3}{2}$),और $b=2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2-y^2}{1-2} = \frac{xy}{3/2}$
$\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{3}$
$3(x^2-y^2) = -2xy$
$3x^2-3y^2 = -2xy$
$3x^2+2xy-3y^2=0$.

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $Kx^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ है। इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = K$,$2h = -4 \Rightarrow h = -2$,और $b = 5$ प्राप्त होता है।
माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का अंतर $|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|m_1 - m_2| = 2$,इसलिए:
$2 = \frac{2\sqrt{(-2)^2 - K(5)}}{5}$
$1 = \frac{\sqrt{4 - 5K}}{5}$
$5 = \sqrt{4 - 5K}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 4 - 5K$
$5K = 4 - 25$
$5K = -21$
$K = \frac{-21}{5}$

(C) माना दो रेखाओं की ढाल $m$ और $2m$ है।
समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से,हमारे पास है:
ढाल का योग: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ढाल का गुणनफल: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ का मान गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 - 2xy \tan \theta - y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -2 \tan \theta$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
ढालों का योग $m_1 + m_2$ सूत्र $\frac{-2h}{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$m_1 + m_2 = \frac{-(-2 \tan \theta)}{-1} = -2 \tan \theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ढालों का योग $4$ है,इसलिए $-2 \tan \theta = 4$ है।
यह सरल होकर $\tan \theta = -2$ हो जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(-2)$।

(C) दो रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
$kx^2 - 4xy + y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,$a = k$,$h = -2$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2} = \left| \frac{2 \sqrt{(-2)^2 - k(1)}}{k + 1} \right|$.
$\frac{1}{4} = \frac{4(4 - k)}{(k + 1)^2} \Rightarrow (k + 1)^2 = 16(4 - k)$.
$k^2 + 2k + 1 = 64 - 16k \Rightarrow k^2 + 18k - 63 = 0$.
$(k + 21)(k - 3) = 0$.
अतः,$k = 3$ प्राप्त होता है।

(D) छात्र को कुल $11$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों का चयन इस प्रकार करना है कि प्रत्येक खंड से कम से कम $2$ प्रश्न लिए जाएं।
संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:

$\text{खंड-}I$	$\text{खंड-}II$	$\text{तरीकों की संख्या}$
$2$	$4$	$^6C_2 \times ^5C_4 = 15 \times 5 = 75$
$3$	$3$	$^6C_3 \times ^5C_3 = 20 \times 10 = 200$
$4$	$2$	$^6C_4 \times ^5C_2 = 15 \times 10 = 150$

कुल तरीकों की संख्या = $75 + 200 + 150 = 425$.

(B) मान लीजिए $P$ अपने मित्रों में से $l_1$ महिलाओं और $m_1$ पुरुषों को आमंत्रित करता है,और $Q$ अपनी सहेलियों में से $l_2$ महिलाओं और $m_2$ पुरुषों को आमंत्रित करती है।
दिया गया है कि $P$ $3$ मित्रों को आमंत्रित करता है,इसलिए $l_1 + m_1 = 3$ है।
दिया गया है कि $Q$ $3$ मित्रों को आमंत्रित करती है,इसलिए $l_2 + m_2 = 3$ है।
आमंत्रित महिलाओं की कुल संख्या $l_1 + l_2 = 3$ है।
आमंत्रित पुरुषों की कुल संख्या $m_1 + m_2 = 3$ है।
हमारे पास निम्नलिखित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $l_1=3, m_1=0$ और $l_2=0, m_2=3$. तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^3C_0 \times ^3C_0 \times ^4C_3 = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
स्थिति $2$: $l_1=2, m_1=1$ और $l_2=1, m_2=2$. तरीकों की संख्या = $^4C_2 \times ^3C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_2 = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
स्थिति $3$: $l_1=1, m_1=2$ और $l_2=2, m_2=1$. तरीकों की संख्या = $^4C_1 \times ^3C_2 \times ^3C_2 \times ^4C_1 = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
स्थिति $4$: $l_1=0, m_1=3$ और $l_2=3, m_2=0$. तरीकों की संख्या = $^4C_0 \times ^3C_3 \times ^3C_3 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
कुल तरीकों की संख्या = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(C) पंक्ति में कुल $9$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं,जो कुल $5$ हैं।
$5$ पुरुषों को इन $5$ विषम स्थानों पर $5! = 120$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
शेष $4$ सम स्थानों $(2, 4, 6, 8)$ को $4$ महिलाओं द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 120 \times 24 = 2880$.

(C) $MACHINE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(M, C, H, N)$।
कुल $7$ स्थान हैं,जिन्हें $1$ से $7$ तक अंकित किया गया है। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
हमें इन $4$ विषम स्थानों में $3$ स्वरों को व्यवस्थित करना है,जिसे $^4P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीके।
शेष $4$ अक्षरों (व्यंजनों) को शेष $4$ स्थानों में $^4P_4$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$^4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= ^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$।

(B) दी गई संख्या $445577888$ है। अंक हैं: $4, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8$।
यहाँ $4$ विषम अंक $(5, 5, 7, 7)$ और $5$ सम अंक $(4, 4, 8, 8, 8)$ हैं।
कुल $9$ स्थान हैं। सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
$4$ विषम अंकों को इन $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
शेष $5$ स्थानों (विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$) पर $5$ सम अंकों $(4, 4, 8, 8, 8)$ को व्यवस्थित करना है।
इन $5$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2!3!} = 10$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 10 = 60$ है।

(A) हमारे पास $6$ पीरियड और $5$ विषय हैं। चूंकि प्रत्येक विषय को कम से कम एक बार पढ़ाया जाना चाहिए,इसलिए एक विषय को दो बार और अन्य $4$ विषयों को एक-एक बार पढ़ाया जाना चाहिए।
सबसे पहले,जिस विषय को दोहराया जाना है उसे $^5C_1 = 5$ तरीकों से चुना जा सकता है।
अब,हमारे पास $6$ पीरियड में व्यवस्थित करने के लिए $6$ विषय (पुनरावृत्ति सहित) हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या: $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5 \times 360 = 1800$ है।

(A) $20$ प्रतिनिधियों को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि $2$ विशेष प्रतिनिधि एक साथ बैठें,हम उन $2$ प्रतिनिधियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास अन्य $18$ प्रतिनिधि और $1$ इकाई (जोड़ी) है,जो कुल $19$ इकाइयाँ बनाती हैं।
$19$ इकाइयों को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(19 - 1)! = 18!$ हैं।
वे $2$ प्रतिनिधि अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $2! \times 18! = 2 \times 18!$ है।

(A) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुष $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठ सकते हैं।
इन $6$ पुरुषों के बीच $6$ स्थान बनते हैं। हमें $5$ महिलाओं को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें।
$6$ स्थानों में $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीके $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times 6!$ है।

(C) प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याएँ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ हैं।
$2$ और $3$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ $\text{lcm}(2, 3) = 6$ के गुणज हैं।
ये संख्याएँ $\{6, 12, 18, \ldots, 96\}$ हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ हैं।
$100$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{100}C_3$ हैं।
$16$ उपलब्ध संख्याओं में से $6$ से विभाज्य $3$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{16}C_3$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ है।
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{100 \times 99 \times 98} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98}$.
$P = \frac{3360}{970200} = \frac{4}{1155}$.

(C) $5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने संबंधित सही लिफाफों में जाते हैं।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में जाने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में न जाने की प्रायिकता $P(E') = 1 - P(E)$ है।
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.

(B) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $3$ बच्चों वाले परिवार के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें सबसे बड़ा और सबसे छोटा बच्चा एक ही लिंग के हैं।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{BBB, BGB, GBG, GGG\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$ होता है।
अतः,$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,हमें $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$।
अंततः,$P(A') + P(B') = 2 - 0.8 = 1.2$।

(C) माना $P(C_1), P(C_2), P(C_3)$ तीन समीक्षकों के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकताएँ हैं।
पक्ष में होने की संभावना $(5: 2), (4: 3), (3: 4)$ दी गई है,अतः:
$P(C_1) = \frac{5}{7}, P(\bar{C}_1) = \frac{2}{7}$
$P(C_2) = \frac{4}{7}, P(\bar{C}_2) = \frac{3}{7}$
$P(C_3) = \frac{3}{7}, P(\bar{C}_3) = \frac{4}{7}$
बहुमत के पक्ष में होने के लिए,कम से कम दो समीक्षकों का पक्ष में होना आवश्यक है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(C_1)P(C_2)P(\bar{C}_3) + P(C_1)P(\bar{C}_2)P(C_3) + P(\bar{C}_1)P(C_2)P(C_3) + P(C_1)P(C_2)P(C_3)$
$= (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7})$
$= \frac{80+45+24+60}{343} = \frac{209}{343}$

(B) $52$ पत्तों को $17, 17, 17$ और $1$ के समूहों में विभाजित करने के लिए,हम मल्टीनोमियल गुणांक का उपयोग करते हैं।
चूंकि $4$ खिलाड़ी अलग-अलग हैं,इसलिए कुल तरीके $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ होंगे।
अतः,सही उत्तर $\frac{52!}{(17!)^3}$ है।

(A) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ होगा।
$A$ के पक्ष में ऑड्स $4:6$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{2}{5}$।
$B$ के विपक्ष में ऑड्स $7:3$ हैं,जिसका अर्थ है कि $B$ के पक्ष में ऑड्स $3:7$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$।
$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow \frac{7}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow P(C) = \frac{3}{10}$।
$C$ के विपक्ष में ऑड्स $\frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{7}{3}$ होंगे।
अतः,$C$ के विपक्ष में ऑड्स $7:3$ हैं।

(D) कुल कंचे = $5$ लाल + $4$ काले + $3$ सफेद = $12$ कंचे।
हमें $4$ कंचे इस प्रकार निकालने हैं कि अधिकतम $2$ लाल हों।
इसका अर्थ है कि हमारे पास $0$,$1$,या $2$ लाल कंचे हो सकते हैं।
गैर-लाल कंचों की संख्या $4 + 3 = 7$ है।
स्थिति $1$: $0$ लाल कंचे और $4$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_0 \times {}^7C_4 = 1 \times 35 = 35$।
स्थिति $2$: $1$ लाल कंचा और $3$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_1 \times {}^7C_3 = 5 \times 35 = 175$।
स्थिति $3$: $2$ लाल कंचे और $2$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_2 \times {}^7C_2 = 10 \times 21 = 210$।
कुल तरीके = $35 + 175 + 210 = 420$।

(C) $5$ विषयों में से प्रत्येक के लिए,उम्मीदवार के पास $2$ संभावनाएं हैं: या तो उत्तीर्ण होना या अनुत्तीर्ण होना।
चूंकि $5$ विषय हैं,इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$ है।
उम्मीदवार परीक्षा में केवल तभी उत्तीर्ण होता है यदि वह सभी $5$ विषयों में उत्तीर्ण हो। ऐसा केवल $1$ तरीका है (उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण)।
इसलिए,उम्मीदवार के अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या (अर्थात,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होना) कुल परिणामों में से सभी विषयों में उत्तीर्ण होने के मामले को घटाने पर प्राप्त होती है।
अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या $= 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य और मानों के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं।

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$5$	$3$	$15$	$75$
$6$	$7$	$42$	$252$
$7$	$4$	$28$	$196$
$8$	$2$	$16$	$128$
$10$	$4$	$40$	$400$
कुल	$N=20$	$\sum f_i x_i = 141$	$\sum f_i x_i^2 = 1051$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1051}{20} - \left(\frac{141}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - (7.05)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - 49.7025$
$\sigma^2 = 2.8475 \approx 2.85$.

(D) प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} - \left(\frac{\sum X}{N}\right)^2$ है।
दिए गए मान $N=60$,$\sum X^2=18000$,और $\sum X=960$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.
अतः,डेटा का प्रसरण $44$ है।

(B) दिया गया है $\angle C=90^{\circ}$,इसलिए $\angle A+\angle B=90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a=k \sin A$ और $b=k \sin B$,जहाँ $k=2R$.
अतः,$\sin A = \frac{a}{k}$ और $\sin B = \frac{b}{k}$.
हम जानते हैं कि $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
चूंकि $\angle B = 90^{\circ}-A$,इसलिए $\cos B = \sin A$ और $\cos A = \sin B$.
अतः,$\sin (A-B) = \sin A \sin A - \sin B \sin B = \sin^2 A - \sin^2 B$.
$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर (क्योंकि $\sin C = \sin 90^{\circ} = 1$ और $c^2=a^2+b^2$):
$\sin (A-B) = (\frac{a}{c})^2 - (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

(D) दी गई व्यंजक $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$= \left(\frac{c+a+b}{c}\right) \left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b}$
$= \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$
कोसाइन नियम $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} = 2 \cos A$.
$= 2 \cos A + 2$
दिया गया है $\angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = 1/2$.
$= 2(1/2) + 2 = 1 + 2 = 3$.

(C) किसी फलन के $x=4$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा ($L$.$H$.$L$),दायां सीमा ($R$.$H$.$L$) और फलन का मान $f(4)$ बराबर होने चाहिए।
$L.H.L = \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4-h)-4}{|(4-h)-4|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{|-h|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} + a = -1 + a$
$R.H.L = \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h)-4}{|(4+h)-4|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{|h|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} + b = 1 + b$
$f(4) = a + b$
$L.H.L = R.H.L = f(4)$ को बराबर करने पर:
$-1 + a = 1 + b = a + b$
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$1 + b = a + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=1$ और $b=-1$ सही मान हैं।

(A) फलन इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & x \leq \frac{1}{2} \\ 3x + 2 & \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \\ ax^2 + bx + 1 & x \geq \frac{5}{2} \end{cases}$
$x = \frac{1}{2}$ पर सांतत्य के लिए:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + 1 = 3(\frac{1}{2}) + 2$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} = \frac{5}{2} \implies a + 2b = 10$ ... $(1)$
$x = \frac{5}{2}$ पर सांतत्य के लिए:
$a(\frac{5}{2})^2 + b(\frac{5}{2}) + 1 = 3(\frac{5}{2}) + 2$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} + 1 = \frac{15}{2} + 2 = \frac{19}{2}$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} = \frac{17}{2} \implies 25a + 10b = 34$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से गुणा करने पर: $5a + 10b = 50$ ... $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $20a = -16 \implies a = -\frac{16}{20} = -\frac{4}{5}$
$a = -\frac{4}{5}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $-\frac{4}{5} + 2b = 10 \implies 2b = 10 + \frac{4}{5} = \frac{54}{5} \implies b = \frac{27}{5}$
अतः,$a + b = -\frac{4}{5} + \frac{27}{5} = \frac{23}{5}$.

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = a$.
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \cdot \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \cdot 4 = 2 \cdot 1^2 \cdot 4 = 8$.
इसके बाद,दाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$.
चूँकि दोनों सीमाएँ $8$ के बराबर हैं,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(B) किसी फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ और $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2} = \frac{3}{2}$.

(D) फलन $f(x)$ के $x=4$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=4$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = f(4) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)$
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{|x-4|} + a) = \lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{-(x-4)} + a) = -1 + a$
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{|x-4|} + b) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{x-4} + b) = 1 + b$
$3$. $x=4$ पर मान:
$f(4) = a + b$
इन्हें बराबर करने पर:
$-1 + a = a + b = 1 + b$
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$a + b = 1 + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$ और $b = -1$।

(C) $f(x)$ के सतत होने के लिए,इसे सभी बिंदुओं पर,विशेष रूप से संक्रमण बिंदुओं $x=1, x=3,$ और $x=5$ पर सतत होना चाहिए।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b$. अतः,$a + b = 5$ (समीकरण $i$)।
$x=3$ पर: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$ और $\lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 15$. अतः,$a + 2b = 15$ (समीकरण $ii$)।
$x=5$ पर: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 25$ और $\lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$. अतः,$b + 25 = 30 \Rightarrow b = 5$.
$b=5$ को समीकरण $i$ में रखने पर: $a + 5 = 5 \Rightarrow a = 0$.
$a=0$ और $b=5$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $0 + 2(5) = 10$,लेकिन दाईं ओर $15$ है। चूँकि $10 \neq 15$,समीकरणों का निकाय असंगत है।
अतः,$a$ और $b$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ सतत नहीं है।

(D) माना $f(x) = [x]^2 - [x^2]$। हम पूर्णांक बिंदुओं $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
$x = 0$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} ([x]^2 - [x^2]) = (-1)^2 - 0 = 1$
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
चूँकि $L.H.L. \neq R.H.L.$,$f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
$x = 1$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to 1^-} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
$R.H.L. = \lim_{x \to 1^+} ([x]^2 - [x^2]) = 1^2 - 1 = 0$
$f(1) = [1]^2 - [1^2] = 1 - 1 = 0$
चूँकि $L.H.L. = R.H.L. = f(1)$,$f(x)$,$x = 1$ पर संतत है।
किसी अन्य पूर्णांक $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to n^-} ([x]^2 - [x^2]) = (n-1)^2 - (n^2-1) = 2 - 2n$
$R.H.L. = \lim_{x \to n^+} ([x]^2 - [x^2]) = n^2 - n^2 = 0$
चूँकि $n \neq 1$ के लिए $2 - 2n \neq 0$,फलन $1$ को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर असंतत है।

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = 0 + 5$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$,इसलिए $a + 3 = 5$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
फलन के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए: $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.
$1 + 5 = \sqrt{1^2 + 8} - b$.
$6 = \sqrt{9} - b$.
$6 = 3 - b$,जिससे $b = -3$ प्राप्त होता है।
अंत में,$7a + b + 1 = 7(2) + (-3) + 1 = 14 - 3 + 1 = 12$.

(C) माना $I = \int \cos (\log _e x) dx$.
$\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int e^t \cos t dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t f(t) - \int e^t f'(t) dt$ का उपयोग करने पर:
$I = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t dt$.
पुनः $\int e^t \sin t dt$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर:
$I = e^t \cos t + [e^t \sin t - \int e^t \cos t dt]$.
$I = e^t \cos t + e^t \sin t - I$.
$2I = e^t (\cos t + \sin t)$.
$I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + C$.
$e^t = x$ और $t = \log _e x$ रखने पर:
$I = \frac{x}{2} [\cos (\log _e x) + \sin (\log _e x)] + C$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} dx$ है।
$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\sin x dx$,या $\sin x dx = -dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $t = \cos(0) = 1$ है।
जब $x = \frac{\pi}{2}$ है,तो $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_1^0 \frac{-dt}{1+t^2} = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$।
मानक समाकलन $\int \frac{1}{1+t^2} dt = \tan^{-1} t$ का उपयोग करने पर:
$I = [\tan^{-1} t]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
अतः,समाकलन $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ हो जाता है।
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन $2 \tan \frac{x}{2}$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{2} [2 \tan \frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} = [\tan \frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \frac{3 \pi}{8} - \tan \frac{\pi}{8}$.
चूंकि $\tan \frac{3 \pi}{8} = \cot \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\cot \frac{\pi}{8} - \tan \frac{\pi}{8} = \frac{\cos \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8}} - \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{\cos \frac{\pi}{8}} = \frac{\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}$.
द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4}} = 2 \cot \frac{\pi}{4} = 2(1) = 2$.

(D) समाकल $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य का परिमेयकरण करते हैं:
$I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
समाकल को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = 1-x^2$,तब $du = -2x \, dx$,अर्थात $x \, dx = -\frac{1}{2} du$:
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + \frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} \, du$
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + [\sqrt{1-x^2}]_0^1$
$I = (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) + (\sqrt{1-1^2} - \sqrt{1-0^2})$
$I = (\frac{\pi}{2} - 0) + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^4 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करके,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx$.
माना $u = \tan x$. तब $du = \sec^2 x \, dx$.
जब $x = 0$,तब $u = \tan(0) = 0$.
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $u = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 (1 + u^2) \, du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = [u + \frac{u^3}{3}]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = (1 + \frac{1^3}{3}) - (0 + \frac{0^3}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) $\text{हम जानते हैं कि } 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \text{ और } \sin 2x = 2 \sin x \cos x \text{ होता है।}
\text{अतः,} 1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 \text{ होगा।}
\text{समाकलन इस प्रकार होगा: } \int_0^{\pi / 4} \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} \,d x = \int_0^{\pi / 4} |\cos x - \sin x| \,d x\text{।}
\text{अंतराल } [0, \pi / 4] \text{ में,} \cos x \geq \sin x \text{ होता है,इसलिए } |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x \text{ होगा।}
\text{इस प्रकार,समाकलन } \int_0^{\pi / 4} (\cos x - \sin x) \,d x = [\sin x + \cos x]_0^{\pi / 4} \text{ होगा।}
\text{सीमाओं का मान रखने पर: } (\sin(\pi / 4) + \cos(\pi / 4)) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1\text{।}$

(B) निश्चित समाकलन $I = \int_0^1 |5x - 3| \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $5x - 3 = 0$ जब $x = \frac{3}{5}$ हो।
चूंकि $\frac{3}{5} \in [0, 1]$,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{3/5} -(5x - 3) \, dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) \, dx$
$I = \int_0^{3/5} (3 - 5x) \, dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) \, dx$
प्रथम भाग का समाकलन:
$\left[ 3x - \frac{5x^2}{2} \right]_0^{3/5} = (3(\frac{3}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{9}{25})) - 0 = \frac{9}{5} - \frac{9}{10} = \frac{9}{10}$.
द्वितीय भाग का समाकलन:
$\left[ \frac{5x^2}{2} - 3x \right]_{3/5}^1 = (\frac{5}{2} - 3) - (\frac{5}{2}(\frac{9}{25}) - 3(\frac{3}{5})) = (-\frac{1}{2}) - (\frac{9}{10} - \frac{9}{5}) = -\frac{1}{2} + \frac{9}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
कुल योग:
$I = \frac{9}{10} + \frac{4}{10} = \frac{13}{10}$.

(A) माना $I = \int_{-3}^0 x \sqrt{x+4} \, dx$.
$x+4 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t-4$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = -3$,तब $t = 1$.
जब $x = 0$,तब $t = 4$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_1^4 (t-4) \sqrt{t} \, dt = \int_1^4 (t^{3/2} - 4t^{1/2}) \, dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - 4 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_1^4 = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{8}{3} t^{3/2} \right]_1^4$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{8}{3}(4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5}(1)^{5/2} - \frac{8}{3}(1)^{3/2} \right)$.
$I = \left( \frac{2}{5}(32) - \frac{8}{3}(8) \right) - \left( \frac{2}{5} - \frac{8}{3} \right)$.
$I = \left( \frac{64}{5} - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{6-40}{15} \right) = \left( \frac{192-320}{15} \right) - \left( \frac{-34}{15} \right) = \frac{-128}{15} + \frac{34}{15} = -\frac{94}{15}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$ है।
सर्वसमिका $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^6 \left(\frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2} \, dx$
माना $t = \sin \frac{x}{2}$ है। तब $dt = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$,जिसका अर्थ है $2 \, dt = \cos \frac{x}{2} \, dx$।
जब $x = 0$,तब $t = \sin(0) = 0$।
जब $x = \pi / 2$,तब $t = \sin(\pi / 4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 2 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 (2 \, dt) = 4 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 \, dt$
$I = 4 \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac{4}{7} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^7$
चूँकि $(\sqrt{2})^7 = 2^3 \cdot \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$,इसलिए:
$I = \frac{4}{7 \cdot 8 \sqrt{2}} = \frac{1}{7 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{14 \sqrt{2}}$।

(D) दिया गया है: $\int_a^b x^3 dx = 0$ और $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$.
चरण $1$: पहले समाकलन का मूल्यांकन करें: $\left[ \frac{x^4}{4} \right]_a^b = 0 \implies \frac{b^4 - a^4}{4} = 0 \implies b^4 = a^4 \implies b^2 = a^2$ या $b = -a$.
चरण $2$: दूसरे समाकलन का मूल्यांकन करें: $\left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{2}{3} \implies \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{2}{3} \implies b^3 - a^3 = 2$.
चरण $3$: दूसरे समीकरण में $b = -a$ प्रतिस्थापित करें: $(-a)^3 - a^3 = 2 \implies -a^3 - a^3 = 2 \implies -2a^3 = 2 \implies a^3 = -1 \implies a = -1$.
चरण $4$: चूंकि $b = -a$,इसलिए $b = -(-1) = 1$.
अतः,$a = -1$ और $b = 1$ है।

(A) दिया गया है $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=-1$ और $b=2$ है,अतः $a+b = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$ होगा।
चूँकि $f(1-x) = f(x)$ है,यह समीकरण $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$ बन जाता है।
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$.
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
यहाँ $R_2$,$y=f(x)$,$x=-1$,$x=2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,इसलिए $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है।
अतः,$2 R_1 = R_2$।

(B) गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\int_0^1 x(1-x)^n dx = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$
$= \int_0^1 (1-x)x^n dx$
$= \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$
$= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

(B) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_0^k \frac{d x}{2+8 x^2} = \frac{\pi}{16}$
हर से $2$ कॉमन लेने पर: $\frac{1}{2} \int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{16}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{8}$
सूत्र $\int \frac{dx}{1+u^2} = \tan^{-1}(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 2x$ और $du = 2dx$:
$\frac{1}{2} [\tan^{-1}(2x)]_0^k = \frac{\pi}{16}$
$\tan^{-1}(2k) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{8}$
चूँकि $\tan^{-1}(0) = 0$,इसलिए: $\tan^{-1}(2k) = \frac{\pi}{8}$
इसका अर्थ है $2k = \tan(\frac{\pi}{8})$।
$\tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$ होता है,अतः $2k = \sqrt{2}-1$,जिससे $k = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ प्राप्त होता है।
नोट: विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न में मान $\frac{\pi}{16}$ के स्थान पर उपयुक्त हो,तो $k = \frac{1}{2}$ सही उत्तर है।

(D) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx$.
ध्यान दें कि $\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = -\log 2$.
अतः,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)$.
जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है: $f(-x) = \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) = \sin \left(\frac{\frac{1}{e^{x}}-1}{\frac{1}{e^{x}}+1}\right) = \sin \left(\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}\right) = \sin \left(-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -\sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\log 2, \log 2]$ सममित है,इसलिए समाकलन का मान $0$ होगा।

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} d x$.
समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x+1}$.
अब,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\cos x} d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\cos x - 1}{1+\cos x} \right) d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{1+\cos x} \right) d x$.
सर्वसमिका $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2} \right) d x$.
समाकलन करने पर,$I = \left[ x - \tan \frac{x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4} \right) - (0 - \tan 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.
इसे $\frac{1}{2}(\pi - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$m(\pi+n)$ से तुलना करने पर,$m = \frac{1}{2}$ और $n = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \cdot n = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.

(A) समाकल $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकल्य का परिमेयकरण करते हैं:
अंश और हर को $\sqrt{1-x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
दूसरे समाकल के लिए,मान लीजिए $u = 1-x^2$,तब $du = -2x \, dx$,अर्थात $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
पहला भाग $\left[ \sin^{-1}(x) \right]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ है।
दूसरा भाग $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_0^1 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = 1$ है।
अतः,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$ है।
चूँकि $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin |-x| + \cos |-x| = \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए समाकलन $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$ हो जाता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = 2 [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$।
सीमाओं को रखने पर: $I = 2 [(-\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0 + \sin 0)]$।
$I = 2 [(0 + 1) - (-1 + 0)] = 2 [1 + 1] = 2(2) = 4$.

(C) माना $f(x) = \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right)$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \log \left(\frac{2-(-x)}{2+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+x}{2-x}\right)$।
गुणधर्म $\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
विषम फलन के लिए,निश्चित समाकलन का गुणधर्म कहता है कि $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) d x = 0$।

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ --- $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1+\alpha^{-x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\frac{1}{\alpha^x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\alpha^x \cos^2 x}{\alpha^x + 1} \, dx$ --- $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x + \alpha^x \cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x(1+\alpha^x)}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
चूँकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

(D) समाकल $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हर में द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें:
$3+2x-x^2 = 4 - (x^2-2x+1) = 2^2 - (x-1)^2$.
अतः,समाकल इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2^2 - (x-1)^2}}$.
मानक समाकल सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2}\right) \right]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{1-1}{2}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{0-1}{2}\right) = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
चूंकि $\sin^{-1}(0) = 0$ और $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$,इसलिए:
$I = 0 - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.

(B) $\int_0^2 [2x] \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकल को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $2x$ एक पूर्णांक है,अर्थात $2x = 0, 1, 2, 3, 4$। इसके लिए $x = 0, 1/2, 1, 3/2, 2$ प्राप्त होते हैं।
समाकल इस प्रकार होगा:
$\int_0^{1/2} 0 \, dx + \int_{1/2}^1 1 \, dx + \int_1^{3/2} 2 \, dx + \int_{3/2}^2 3 \, dx$
$= 0 \cdot (1/2 - 0) + 1 \cdot (1 - 1/2) + 2 \cdot (3/2 - 1) + 3 \cdot (2 - 3/2)$
$= 0 + 1/2 + 2(1/2) + 3(1/2)$
$= 0 + 0.5 + 1 + 1.5 = 3$.

(A) माना $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \log \left(\frac{1+(-x)}{1-(-x)}\right) = \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$।
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx$.
समाकल्य $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1}$ पर विचार करें।
हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^x(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{x \sin x}{2 \sinh x}$.
अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{e^{-x} - e^x} = \frac{(-x)(-\sin x)}{-(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{-(e^x - e^{-x})} = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^3(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि फलन $|\sin x|$ का व्यवहार $x = \pi$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होता है।
अंतराल $[\pi, 2 \pi]$ में,$\sin x \le 0$ है,इसलिए $|\sin x| = -\sin x$ होता है।
अतः,$I = \int_0^{\pi} (\sin x + \sin x) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x - \sin x) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} 0 \, dx$.
$I = 2 [-\cos x]_0^{\pi} + 0$.
$I = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [-(-1) - (-1)] = 2 [1 + 1] = 4$.

(A) दिया गया है कि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$.
हमें $g(x+\pi) = \int_0^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$ ज्ञात करना है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, $\int_0^{x+\pi} f(t) \,dt = \int_0^x f(t) \,dt + \int_x^{x+\pi} f(t) \,dt$.
अतः, $g(x+\pi) = g(x) + \int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$.
चूंकि $\cos^4 t$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है, इसलिए $\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन $[0, \pi]$ पर समाकलन के बराबर होता है।
इसलिए, $\int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt = \int_0^\pi \cos^4 t \,dt = g(\pi)$.
अतः, $g(x+\pi) = g(x) + g(\pi)$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $[3x]$ का मान $x = \frac{n}{3}$ बिंदुओं पर बदलता है। अंतराल $[1, 2]$ में,असंतत बिंदु $x = \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ हैं।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_1^{4/3} |2x - 3| dx + \int_{4/3}^{5/3} |2x - 4| dx + \int_{5/3}^2 |2x - 5| dx$
चूंकि $x \in [1, 4/3]$ के लिए $2x < 3$,$x \in [4/3, 5/3]$ के लिए $2x < 4$,और $x \in [5/3, 2]$ के लिए $2x < 5$ है,इसलिए:
$I = \int_1^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^2 (5 - 2x) dx$
$I = [3x - x^2]_1^{4/3} + [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} + [5x - x^2]_{5/3}^2$
$I = (4 - 16/9) - (3 - 1) + (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) + (10 - 4) - (25/3 - 25/9)$
$I = (20/9 - 2) + (35/9 - 32/9) + (6 - 50/9) = 20/9 - 18/9 + 3/9 + 54/9 - 50/9 = 9/9 = 1$.

(D) हमें $I = \int_0^2 [x] \, dx + \int_0^2 |x-1| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चरण $1$: $\int_0^2 [x] \, dx$ का मूल्यांकन करें।
चूंकि $0 \le x < 1$ के लिए $[x] = 0$ और $1 \le x < 2$ के लिए $[x] = 1$ है,इसलिए:
$\int_0^2 [x] \, dx = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx = 0 + [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$.
चरण $2$: $\int_0^2 |x-1| \, dx$ का मूल्यांकन करें।
चूंकि $0 \le x < 1$ के लिए $|x-1| = -(x-1)$ और $1 \le x \le 2$ के लिए $|x-1| = (x-1)$ है,इसलिए:
$\int_0^2 |x-1| \, dx = \int_0^1 (1-x) \, dx + \int_1^2 (x-1) \, dx$.
$= [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 = (1 - \frac{1}{2}) - 0 + (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें।
$I = 1 + 1 = 2$.

(A) क्षेत्रफल $R_1$ को $\int_0^b (1-x)^2 \, dx$ द्वारा और क्षेत्रफल $R_2$ को $\int_b^1 (1-x)^2 \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,अतः:
$\int_0^b (1-x)^2 \, dx - \int_b^1 (1-x)^2 \, dx = \frac{1}{4}$
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_0^b - \left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{-(1-b)^3}{3} - \frac{-(1-0)^3}{3} \right) - \left( \frac{-(1-1)^3}{3} - \frac{-(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{1 - (1-b)^3}{3} \right) - \left( \frac{(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(C) सारणिकों के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,आव्यूह $A$ के लिए,$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0$ जहाँ $i \neq k$ है।
इस प्रश्न में,हम $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ की गणना कर रहे हैं।
यहाँ,अवयव पहली पंक्ति $(i=1)$ से हैं और सहखंड दूसरी पंक्ति $(k=2)$ से हैं।
चूँकि $i \neq k$,इसलिए योग $0$ के बराबर है।

(B) व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के बराबर होता है।
$|A| = 3(4 \times 3 - 1 \times 6) - 2(1 \times 3 - 1 \times 2) + 4(1 \times 6 - 4 \times 2)$
$|A| = 3(12 - 6) - 2(3 - 2) + 4(6 - 8)$
$|A| = 3(6) - 2(1) + 4(-2)$
$|A| = 18 - 2 - 8 = 8$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = 8$.

(B) व्यंजक $a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}$ आव्यूह $A$ के तीसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार दर्शाता है,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(8 - 2) - 3(-4 - 2) + 3(-1 - 2)$
$|A| = 1(6) - 3(-6) + 3(-3)$
$|A| = 6 + 18 - 9 = 15$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2} = 8 \frac{d^2y}{dx^2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घात को हटाना होगा:
$\left[\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2}\right]^2 = \left[8 \frac{d^2y}{dx^2}\right]^2$
$\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^5 = 64 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2$ है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,हम दोनों पक्षों को $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) की घात तक बढ़ाते हैं:
$\left(\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^6$
$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया वक्रों का कुल: $y^2 = 2C(x + \sqrt{C}) \quad \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2C$
$\Rightarrow C = y \frac{dy}{dx} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ से $C$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \left( y \frac{dy}{dx} \right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $3$ हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
मान लीजिए $u = 1-y^2$,तब $du = -2y dy$,अर्थात $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन में यह मान रखने पर: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
यह वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(-C, 0)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
चूँकि $C$ एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए केंद्र $(-C, 0)$ $X$-अक्ष पर बदलता रहता है,जबकि त्रिज्या $1$ इकाई स्थिर रहती है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy = y dx$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर ($x, y \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + C$
लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,स्थिरांक $C$ को $\ln|c|$ के रूप में लिखा जा सकता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|y| = \ln|cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$
यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का एक परिवार दर्शाता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 25^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 100^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T(t) = 25 + 75e^{-kt}$।
$t = 10 \text{ मिनट}$ पर,$T = 80^{\circ} C$:
$80 = 25 + 75e^{-10k} \Rightarrow 55 = 75e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{55}{75} = \frac{11}{15}$।
$t = 20 \text{ मिनट}$ पर,$T = 25 + 75e^{-20k} = 25 + 75(e^{-10k})^2$।
मान रखने पर: $T = 25 + 75 \times (\frac{11}{15})^2 = 25 + 75 \times \frac{121}{225} = 25 + \frac{121}{3} = 25 + 40.33 = 65.33^{\circ} C$।

(A) दिया गया समीकरण $y=c^2+\frac{c}{x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{c}{x^2} = -\frac{c}{x^2}$.
इससे,हम स्थिरांक $c$ को $x$ और $\frac{dy}{dx}$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$c = -x^2\frac{dy}{dx}$.
अब,$c$ के इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (-x^2\frac{dy}{dx})^2 + \frac{-x^2\frac{dy}{dx}}{x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx}$.
अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx} - y = 0$.

(B) दिया गया है कि स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ और $y$-निर्देशांक का गुणनफल $x$-निर्देशांक के बराबर है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$\frac{dy}{dx} \cdot y = x$
चरों को अलग करने पर:
$y \, dy = x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$
वक्र बिंदु $(0, -2)$ से गुजरता है। $x = 0$ और $y = -2$ रखने पर:
$\frac{(-2)^2}{2} = \frac{0^2}{2} + C$
$\frac{4}{2} = 0 + C \Rightarrow C = 2$
$C = 2$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$y^2 = x^2 + 4$
$y^2 - x^2 = 4$

(A) $x$-अंतःखंड $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए हम समीकरण का दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 0$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
चूंकि $b \neq 0$,इसलिए हमें $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin^3 x \frac{dx}{dy} = \sin y$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \sin^3 x \, dx = \int \sin y \, dy$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,$\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,$\int \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \, dx = \int \sin y \, dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{3}{4} (-\cos x) - \frac{1}{4} (-\frac{\cos 3x}{3}) = -\cos y + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $-\frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = -\cos y + C$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos y - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = C$ प्राप्त होता है।