MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सुसंगत क्षेत्र में बिंदु ज्ञात करने के लिए,हमें यह जांचना होगा कि कौन सा बिंदु दी गई सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है:
$1$) $x+y \leq 3$
$2$) $2x+5y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
आइए दिए गए विकल्पों की जांच करें:
विकल्प $(A)$ $(2,2)$ के लिए: $2+2 = 4 \not\leq 3$. (असत्य)
विकल्प $(B)$ $(4,2)$ के लिए: $4+2 = 6 \not\leq 3$. (असत्य)
विकल्प $(C)$ $(1,2)$ के लिए: $1+2 = 3 \leq 3$ (सत्य),$2(1)+5(2) = 2+10 = 12 \geq 10$ (सत्य),और $1 \geq 0, 2 \geq 0$ (सत्य)। (सत्य)
विकल्प $(D)$ $(2,1)$ के लिए: $2(2)+5(1) = 4+5 = 9 \not\geq 10$. (असत्य)
अतः,बिंदु $(1,2)$ सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है और सुसंगत क्षेत्र में स्थित है।

(B) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र के लिए प्रत्येक रेखा द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. रेखा $3x + 4y = 18$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ समीकरण $3(0) + 4(0) = 0 \leq 18$ को संतुष्ट करता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र में इस रेखा के सापेक्ष मूल बिंदु शामिल है,इसलिए बाधा $3x + 4y \leq 18$ है।
$2$. रेखा $2x + 3y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $2(0) + 3(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है,इसलिए बाधा $2x + 3y \geq 3$ है।
$3$. रेखा $x - 6y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $0 - 0 = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए बाधा $x - 6y \leq 3$ है।
$4$. रेखा $-x + 2y = 2$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $0 + 0 = 0 \leq 2$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए बाधा $-x + 2y \leq 2$ है।
$5$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,बाधाओं का सही सेट $3x + 4y \leq 18, 2x + 3y \geq 3, x - 6y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(C) किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक के मान के बराबर होता है। हालाँकि,एक पंक्ति के अवयवों का दूसरी पंक्ति के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा शून्य होता है।
विशेष रूप से,आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म यह है कि $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + a_{i3}A_{j3} = 0$ जब $i \neq j$ हो।
यहाँ,हमें $A_{31} + A_{32} + A_{33}$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह $A$ के सारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$।
अब,व्यंजक $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$ पर विचार करें। चूँकि यह प्रथम पंक्ति के अवयवों का तीसरी पंक्ति के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग है,इसलिए यह योग $0$ के बराबर होना चाहिए।
आव्यूह $A$ से $a_{11} = 1$,$a_{12} = 1$,और $a_{13} = 1$ के मान रखने पर:
$1 \cdot A_{31} + 1 \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} = 0$
अतः,$A_{31} + A_{32} + A_{33} = 0$।

(C) माना $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। समीकरण $PAQ = I$ है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
अतः $A = P^{-1} I Q^{-1} = P^{-1} Q^{-1} = (QP)^{-1}$।
सबसे पहले,$QP$ की गणना करें:
$QP = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-3)(2) + (2)(3) & (-3)(1) + (2)(2) \\ (5)(2) + (-3)(3) & (5)(1) + (-3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$।
अब,$A = (QP)^{-1}$ ज्ञात करें। सारणिक $|QP| = (0)(-1) - (1)(1) = -1$ है।
$A = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय के समतुल्य है:
$x + y + z = 0$ $\dots (i)$
$x - 2y - 2z = 3$ $\dots (ii)$
$x + 3y + z = 4$ $\dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$
$y = 2$ को समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $\dots (iv)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $\dots (v)$
समीकरण $(iv)$ से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$
$z = -3$ को समीकरण $(iv)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$
अब,$2x - y + z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2(1) - 2 + (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$

(B) दिया गया है $AX=I$,इसलिए $X=A^{-1}$.
$2 \times 2$ आव्यूह $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $|A|=ad-bc$.
यहाँ,$|A|=(1)(3)-(2)(4)=3-8=-5$.
अतः,$X=A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $X=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $(A-2I)(A-4I)=0$
गुणनफल का विस्तार करने पर: $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $A^2 - 6A + 8I = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A^2 + 8I = 6A$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर (चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है):
$(A^2 + 8I)A^{-1} = 6A A^{-1}$
$A^2 A^{-1} + 8I A^{-1} = 6I$
$A + 8A^{-1} = 6I$
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{6}A + \frac{8}{6}A^{-1} = \frac{6}{6}I$
$\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1} = I$

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ सत्य होता है।
दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = K I$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर हमें $K = |A|$ प्राप्त होता है।
अब,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0)$
$|A| = 1(25) - 3(10) - 2(-15)$
$|A| = 25 - 30 + 30 = 25$.
अतः,$K$ का मान $25$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सखंडज (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}\begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$।

(C) आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार $A \cdot (\text{adj } A) = |A| I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
दिए गए मान $xyz = 60$ और $8x + 4y + 3z = 20$ रखने पर:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$
अतः,$A \cdot (\text{adj } A) = 68 I = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(B) एक आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint) सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है। सहखंड $C_{ij}$ को $(-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$ के लिए,हम सहखंडज आव्यूह की दूसरी और तीसरी पंक्ति के लिए सहखंडों की गणना करते हैं।
विशेष रूप से,$\operatorname{adj} A$ में स्थान $(2, 3)$ पर स्थित अवयव के लिए,हमें सहखंड $C_{32}$ की आवश्यकता है:
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -1(0 - 2) = 2$. अतः,$a = 2$.
$\operatorname{adj} A$ में स्थान $(3, 3)$ पर स्थित अवयव के लिए,हमें सहखंड $C_{33}$ की आवश्यकता है:
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1 - (-2)) = 1$. अतः,$b = 1$.
इस प्रकार,$a = 2$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-3) \times 1) - (-1)(0 \times 3 - (-3) \times 2) + 1(0 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 3) + 1(0 + 6) + 1(0 - 4) = 9 + 6 - 4 = 11$.
दिया गया है $B = \operatorname{adj} A$,हम जानते हैं कि $|B| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।
$|B| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 11^2 = 121$.
अब,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = |B|^2 = 121^2 = 14641$.
दिया गया है $C = 5A$,इसलिए $|C| = |5A| = 5^3 |A| = 125 \times 11 = 1375$.
अंत में,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{14641}{1375} = 10.647$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-12 & 6+3 \\ -8-4 & -12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$= \begin{bmatrix} -24 & 27 \\ -36 & -33 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & 36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
माना $M = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} -21 & -63 \\ 84 & 0 \end{bmatrix}$।

(A) हम जानते हैं कि आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम $A$ के एड्जॉइंट को $\operatorname{adj}(A) = |A| \cdot A^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $|A| = -3$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{adj}(A) = -3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \times 1 & -3 \times 0 & -3 \times 0 \\ -3 \times (-1) & -3 \times \frac{1}{3} & -3 \times 0 \\ -3 \times 3 & -3 \times \frac{2}{3} & -3 \times (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करने के लिए,हम विकर्ण के तत्वों $a$ और $d$ को आपस में बदल देते हैं और अन्य तत्वों $b$ और $c$ के चिह्न बदल देते हैं।
अतः,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A + \operatorname{adj}(A)$ की गणना करते हैं:
$A + \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & -3+3 \\ 4-4 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}$ है। आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3(1 \times 5 - 2 \times 2) - 2(1 \times 5 - 2 \times 2) + 6(1 \times 2 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 4) - 2(5 - 4) + 6(2 - 2) = 3(1) - 2(1) + 6(0) = 3 - 2 = 1$.
$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $(A^{-1})_{32} = \frac{C_{23}}{|A|}$ है,जहाँ $C_{23}$ आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} \times M_{23}$,जहाँ $M_{23}$ स्थान $(2,3)$ पर अवयव का उपसारणिक है।
$M_{23} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = (3 \times 2) - (2 \times 2) = 6 - 4 = 2$.
अतः,$C_{23} = (-1)^5 \times 2 = -2$.
इसलिए,$(A^{-1})_{32} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) एक आव्यूह $A$ के विषम-सममित (skew-symmetric) होने के लिए,इसे $A^T = -A$ को संतुष्ट करना चाहिए।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1+2i & i-2 \\ -1-2i & 0 & K \\ 2-i & -7 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अवयवों $A_{ij} = -A_{ji}$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं:
$A_{12} = 1+2i$ और $A_{21} = -1-2i = -(1+2i)$,जो संगत है।
$A_{13} = i-2$ और $A_{31} = 2-i = -(i-2)$,जो संगत है।
$A_{23} = K$ और $A_{32} = -7$ है।
विषम-सममितता के लिए,$A_{23} = -A_{32}$ होना चाहिए,इसलिए $K = -(-7) = 7$।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि $A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 0$।
विषम कोटि $(3 \times 3)$ के विषम-सममित आव्यूह के लिए,सारणिक हमेशा $0$ होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है,यह शर्त किसी भी $K$ के लिए संतुष्ट होती है जो आव्यूह को विषम-सममित बनाता है।
इसलिए,$K = 7$।

(D) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(3 \times 3 - 4 \times 4) - 2(1 \times 3 - 4 \times 3) + 3(1 \times 4 - 3 \times 3)$
$|A| = 1(9 - 16) - 2(3 - 12) + 3(4 - 9)$
$|A| = 1(-7) - 2(-9) + 3(-5) = -7 + 18 - 15 = -4$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(9-16) = -7, C_{12} = -(3-12) = 9, C_{13} = +(4-9) = -5$
$C_{21} = -(6-12) = 6, C_{22} = +(3-9) = -6, C_{23} = -(4-6) = 2$
$C_{31} = +(8-9) = -1, C_{32} = -(4-3) = -1, C_{33} = +(3-2) = 1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(A) हम जानते हैं कि $A \times A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(7 - 20) - a(7 - 10) + 3(4 - 2) = -13 + 3a + 6 = 3a - 7$.
गुणधर्म $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$A^{-1}$ के $(2, 1)$ स्थान पर स्थित अवयव $-3$ है।
$A$ का सहखंड $C_{12} = -(1 \times 7 - 5 \times 2) = -(7 - 10) = 3$.
चूंकि $(A^{-1})_{21} = \frac{C_{12}}{|A|}$,इसलिए $-3 = \frac{3}{3a - 7}$.
$-3(3a - 7) = 3 \Rightarrow -9a + 21 = 3 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$.
अब,$b$ के लिए,जो $A^{-1}$ के $(2, 2)$ स्थान पर स्थित अवयव है:
$(A^{-1})_{22} = \frac{C_{22}}{|A|}$.
सहखंड $C_{22} = (1 \times 7 - 3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
$b = \frac{1}{3(2) - 7} = \frac{1}{6 - 7} = -1$.
अतः,$a = 2$ और $b = -1$.

(A) चरण $1$: गुणनफल $AB$ ज्ञात करें।
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (2)(1) + (1)(1) & (1)(3) + (2)(2) + (1)(2) \\ (3)(2) + (1)(1) + (3)(1) & (3)(3) + (1)(2) + (3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 10 & 17 \end{bmatrix}$.
चरण $2$: $AB$ का सारणिक ज्ञात करें।
$|AB| = (5)(17) - (9)(10) = 85 - 90 = -5$.
चरण $3$: व्युत्क्रम $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ ज्ञात करें।
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 17 & -9 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-17}{5} & \frac{9}{5} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
फिर,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $(A^{-1})^3 = (A^3)^{-1}$।
एक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ के लिए,$M^{-1} = \frac{1}{ad} \begin{bmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{bmatrix}$ होता है।
यहाँ,$A^3 = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए $a=27, b=26, d=1$।
$(A^3)^{-1} = \frac{1}{27 \times 1} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया समीकरण $A^2 - 4A + 3I = 0$ है।
दोनों पक्षों से $3I$ घटाने पर: $A^2 - 4A = -3I$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}(A^2 - 4A) = A^{-1}(-3I)$।
यह सरल होकर $A - 4I = -3A^{-1}$ हो जाता है।
अतः,$A^{-1} = -\frac{1}{3}(A - 4I) = \frac{1}{3}(4I - A)$।
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ ज्ञात करें।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$।
अब,$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 - (-7) & -3 - 3 \\ 5 - (-5) & -7 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ 10 & -9 \end{bmatrix}$।
$3$ कॉमन लेने पर,हमें $3 \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ \frac{10}{3} & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$।
समीकरण $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ से:
$\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ 3\beta & \alpha + 5\beta \end{bmatrix}$।
तत्वों की तुलना करने पर:
$2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$।
$\alpha + \beta = -5 \Rightarrow \alpha + 1 = -5 \Rightarrow \alpha = -6$।
जाँच: $3\beta = 3(1) = 3$ (सही) और $\alpha + 5\beta = -6 + 5(1) = -1$ (सही)।
अतः,$\alpha + \beta + \alpha\beta = -6 + 1 + (-6)(1) = -5 - 6 = -11$।

(B) दिया गया है $(BA)^{-1} = C$।
व्युत्क्रम आव्यूह के गुणधर्म $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $A^{-1}B^{-1} = C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर $B$ से गुणा करने पर,$A^{-1}B^{-1}B = CB$ प्राप्त होता है।
चूँकि $B^{-1}B = I$,इसलिए $A^{-1} = CB$ होगा।
अब,$CB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$

(D) प्रतिबंध $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ तभी संतुष्ट होता है जब ${r_1, r_2, r_3}$ को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल का समुच्चय ${0, 1, 2}$ हो।
पासे के लिए,$n_0 = 2$ (संख्याएँ $3, 6$),$n_1 = 2$ (संख्याएँ $1, 4$),और $n_2 = 2$ (संख्याएँ $2, 5$) हैं।
शेषफल $0, 1, 2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(0) = \frac{1}{3}, P(1) = \frac{1}{3}, P(2) = \frac{1}{3}$ है।
$\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ के लिए,शेषफल $(0, 1, 2)$ के क्रमचय होने चाहिए।
ऐसे कुल $3! = 6$ क्रमचय संभव हैं।
अतः प्रायिकता $6 \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ है।

(C) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और $p = 0.1$ (या $\frac{1}{10}$),इसलिए $q = 1 - p = 0.9$ (या $\frac{9}{10}$)।
हमें $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{10})^3 \cdot (\frac{9}{10})^2 = 10 \cdot \frac{1}{1000} \cdot \frac{81}{100} = \frac{810}{100000} = 0.00810$
$P(X=4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{1}{10})^4 \cdot (\frac{9}{10})^1 = 5 \cdot \frac{1}{10000} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{100000} = 0.00045$
$P(X=5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{1}{10})^5 \cdot (\frac{9}{10})^0 = 1 \cdot \frac{1}{100000} \cdot 1 = \frac{1}{100000} = 0.00001$
इन संभावनाओं का योग: $0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$।

(A) दिया गया समीकरण $P(A') + P(B') P(A \cup B) = 0.7$ है।
हम जानते हैं कि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$ होता है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A') + P(B') = 2 - (P(A) + P(B)) = 2 - (P(A \cup B) + P(A \cap B))$।
यहाँ $P(A \cap B) = 0.2$ और $P(A \cup B) = 0.7$ लेने पर:
$P(A') + P(B') = 2 - (0.7 + 0.2) = 2 - 0.9 = 1.1$।

(B) मान लीजिए $S_1$ पहली अलमारी चुनने की घटना है और $S_2$ दूसरी अलमारी चुनने की घटना है। चूंकि अलमारी यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(S_1) = P(S_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $P$ भौतिकी की पुस्तक निकालने की घटना है।
पहली अलमारी से भौतिकी की पुस्तक निकालने की प्रायिकता $P(P|S_1) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$ है।
दूसरी अलमारी से भौतिकी की पुस्तक निकालने की प्रायिकता $P(P|S_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता है:
$P(P) = P(S_1) \cdot P(P|S_1) + P(S_2) \cdot P(P|S_2)$
$P(P) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{5}{8}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(P) = \frac{5}{16} + \frac{1}{3} = \frac{15+16}{48} = \frac{31}{48}$.

(B) माना $S$ $50$ टिकटों का प्रतिदर्श समष्टि है: $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
माना $E_1$ वह घटना है कि अंकों का योग $8$ है: $E_1 = \{08, 17, 26, 35, 44\}$,इसलिए $n(E_1) = 5$.
माना $E_2$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल शून्य है। यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो: $E_2 = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$,इसलिए $n(E_2) = 14$.
सर्वनिष्ठ $E_1 \cap E_2$ उन टिकटों का समूह है जहाँ योग $8$ और गुणनफल $0$ है: $E_1 \cap E_2 = \{08\}$,इसलिए $n(E_1 \cap E_2) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{1}{14}$ है।

(A) मान लीजिए $p$ एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता है,तो $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $q$ छक्का न आने की प्रायिकता है,तो $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
$X$ दो उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X = 0) = P(\text{कोई छक्का नहीं}) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$P(X = 1) = P(\text{एक छक्का}) = pq + qp = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$P(X = 2) = P(\text{दो छक्के}) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(x_i)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(D) प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$\frac{c}{1^3} + \frac{c}{2^3} + \frac{c}{3^3} = 1$
$c \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} \right) = 1$
$c \left( \frac{216 + 27 + 8}{216} \right) = 1$
$c \left( \frac{251}{216} \right) = 1 \implies c = \frac{216}{251}$
अब,अपेक्षित मान $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:
$E(X) = 1 \cdot \frac{c}{1^3} + 2 \cdot \frac{c}{2^3} + 3 \cdot \frac{c}{3^3}$
$E(X) = c \left( 1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{27} \right) = c \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)$
$E(X) = c \left( \frac{36 + 9 + 4}{36} \right) = c \left( \frac{49}{36} \right)$
$c = \frac{216}{251}$ रखने पर:
$E(X) = \frac{216}{251} \times \frac{49}{36} = 6 \times \frac{49}{251} = \frac{294}{251}$

(A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $5 + 3 = 8$ है।
हमें प्रतिस्थापन के बिना दो बार गेंद चुनने पर एक लाल और एक हरी गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: (लाल फिर हरी) या (हरी फिर लाल)।
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = P(R_1 \cap G_2) + P(G_1 \cap R_2)$
$= P(R_1) \cdot P(G_2 | R_1) + P(G_1) \cdot P(R_2 | G_1)$
$= \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}\right)$
$= \frac{15}{56} + \frac{15}{56}$
$= \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

(C) मान लीजिए $X$ दो प्रयासों में प्राप्त राजाओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
एक बार में राजा प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E[X] = np$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
माध्य $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 3 = 7$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{3}{7}$.
लाल गेंद (काली नहीं) निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
चूंकि गेंद को वापस रखा जाता है,इसलिए प्रयास स्वतंत्र हैं और हम द्विपद वितरण $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n = 3$.
$X = 0$ के लिए: $P(X = 0) = {}^3C_0 (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$X = 1$ के लिए: $P(X = 1) = {}^3C_1 (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} (\frac{4}{7})^2$.
$X = 2$ के लिए: $P(X = 2) = {}^3C_2 (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} (\frac{3}{7})^2$.
$X = 3$ के लिए: $P(X = 3) = {}^3C_3 (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = (\frac{3}{7})^3$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ गणना किए गए वितरण से मेल खाता है।

(A) यह समस्या द्विपद वितरण का पालन करती है जहाँ $n = 5$ परीक्षण हैं और सफलता की प्रायिकता $p = 0.3$ (विज्ञान का छात्र) है। असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.7$ है।
$x = 2$ विज्ञान के छात्रों के होने की प्रायिकता सूत्र $P(X = x) = {}^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3$.
गणना करने पर:
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$(0.3)^2 = 0.09$.
$(0.7)^3 = 0.343$.
अतः,$P(X = 2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.9 \times 0.343 = 0.3087$.

(D) यहाँ,$n=5$,$p=\frac{1}{2}$,$q=\frac{1}{2}$ है।
कम से कम $4$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$.
अतः,$P(X \ge 4) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

(C) द्विपद वितरण के लिए,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,परीक्षणों की संख्या $n = 500$ है।
एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
छक्का न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sigma = \sqrt{500 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{2500}{36}}$
$\sigma = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

(C) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=6$,इसलिए $P(X=4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ और $P(X=2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$9 P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर: $9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$।
चूँकि ${}^6C_4 = 15$ और ${}^6C_2 = 15$ है,समीकरण इस प्रकार होगा:
$9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$9 p^2 = q^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $3p = q$।
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p = 1-q$ रखने पर:
$3(1-q) = q \Rightarrow 3 - 3q = q \Rightarrow 4q = 3 \Rightarrow q = \frac{3}{4}$।

(A) दिया गया है $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,अतः $n=8$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=1-p=\frac{1}{2}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
यह असमिका $-2 \leq X-4 \leq 2$ के बराबर है,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाती है।
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$.
वैकल्पिक रूप से,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=7) + P(X=8)]$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{8}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^8$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
योग $= \frac{1+8+8+1}{256} = \frac{18}{256} = \frac{9}{128}$.
इसलिए,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - \frac{9}{128} = \frac{119}{128}$.

(D) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=4$ और समीकरण $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ है:
$2 \times {4 \choose 3} p^3 q^1 = 3 \times {4 \choose 2} p^2 q^2$
चूँकि ${4 \choose 3} = 4$ और ${4 \choose 2} = 6$ है,इसलिए:
$2 \times 4 \times p^3 q = 3 \times 6 \times p^2 q^2$
$8 p^3 q = 18 p^2 q^2$
दोनों पक्षों को $2 p^2 q$ से विभाजित करने पर:
$4 p = 9 q$
$p = 1-q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1-q) = 9q$
$4 - 4q = 9q$
$4 = 13q$
$q = \frac{4}{13}$

(C) दिया गया है कि द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(X=0)$ सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$X=0$ के लिए,$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ है।
किसी घटना $E$ के पक्ष में ऑड्स $P(E) : (1 - P(E))$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$X=0$ के पक्ष में ऑड्स $\frac{1}{16} : (1 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{16} : \frac{15}{16} = 1 : 15$ हैं।

(C) माना $n = 100$ परीक्षणों की संख्या है,$p = \frac{1}{2}$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है,और $q = \frac{1}{2}$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता है।
विषम संख्या में चित प्राप्त करने की प्रायिकता $r = 1, 3, 5, \dots, 99$ के लिए प्रायिकताओं का योग है।
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} p^r q^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} \left(\frac{1}{2}\right)^r \left(\frac{1}{2}\right)^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r}$
हम जानते हैं कि विषम $r$ के लिए द्विपद गुणांकों का योग $2^{n-1}$ होता है। अतः,$\sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} = 2^{100-1} = 2^{99}$।
इसलिए,$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$।

(D) द्विपद बंटन के लिए,$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $n=6$ और संबंध $4 P(X=4) = P(X=2)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^{6-4} = {}^6C_2 p^2 q^{6-2}$।
$4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$।
चूँकि ${}^6C_4 = {}^6C_2 = 15$,हमारे पास है:
$4 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$4 p^2 = q^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $2p = q$।
चूँकि $p + q = 1$,$q = 2p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 2p = 1 \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X) = 1$.
$K + \frac{1}{6} + \frac{3}{8} + 2K + \frac{1}{12} = 1$
$K$ वाले पदों और अचर भिन्नों को जोड़ने पर:
$3K + (\frac{1}{6} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12}) = 1$
भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर $24$ लेने पर:
$3K + (\frac{4}{24} + \frac{9}{24} + \frac{2}{24}) = 1$
$3K + \frac{15}{24} = 1$
$3K + \frac{5}{8} = 1$
$3K = 1 - \frac{5}{8}$
$3K = \frac{3}{8}$
$K = \frac{1}{8}$

(D) जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है।
यहाँ,$X$ पट (tails) की संख्या को दर्शाता है।
$X=0$ (कोई पट नहीं) के लिए,परिणाम $\{HH\}$ है,इसलिए $P(X=0) = 1/4$ है।
$X=1$ (एक पट) के लिए,परिणाम $\{HT, TH\}$ हैं,इसलिए $P(X=1) = 2/4 = 1/2$ है।
$X=2$ (दो पट) के लिए,परिणाम $\{TT\}$ है,इसलिए $P(X=2) = 1/4$ है।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X=x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = k + 3k + 5k + 7k + 9k + 11k + 13k = 49k = 1$
अतः,$k = \frac{1}{49}$।
हमें $P(X \ge 2)$ ज्ञात करना है।
$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2)$
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = k + 3k = 4k$
$P(X \ge 2) = 1 - 4k = 1 - 4(\frac{1}{49}) = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$।

(C) प्रथम $6$ धनात्मक पूर्णांकों में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X=2$ के लिए: युग्म $(1,2)$ हैं,अतः $P(X=2) = \frac{1}{15}$।
$X=3$ के लिए: युग्म $(1,3), (2,3)$ हैं,अतः $P(X=3) = \frac{2}{15}$।
$X=4$ के लिए: युग्म $(1,4), (2,4), (3,4)$ हैं,अतः $P(X=4) = \frac{3}{15}$।
$X=5$ के लिए: युग्म $(1,5), (2,5), (3,5), (4,5)$ हैं,अतः $P(X=5) = \frac{4}{15}$।
$X=6$ के लिए: युग्म $(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)$ हैं,अतः $P(X=6) = \frac{5}{15}$।
$E(X) = \sum x_i P_i = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15}) = \frac{2+6+12+20+30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = 4(\frac{1}{15}) + 9(\frac{2}{15}) + 16(\frac{3}{15}) + 25(\frac{4}{15}) + 36(\frac{5}{15}) = \frac{4+18+48+100+180}{15} = \frac{350}{15} = \frac{70}{3}$।
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{70}{3} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{70}{3} - \frac{196}{9} = \frac{210-196}{9} = \frac{14}{9}$।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(x) = k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
अब,प्रत्याशित मान $E(x)$ की गणना $\sum x_i P(x_i)$ के रूप में की जाती है:
$E(x) = (0 \times k) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 2k)$
$k = 0.1$ रखने पर:
$E(x) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 0.2)$
$E(x) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(x) = 2.45$

(D) यादृच्छिक चर $X$ प्रत्येक $i$ के लिए $p_i = \frac{1}{n}$ प्रायिकता के साथ $1, 2, \ldots, n$ मान लेता है।
प्रत्याशित मान $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
प्रसरण $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum p_i x_i^2 - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$V(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$.
दिया गया अनुपात $\frac{V(X)}{E(X)} = 4$ है,इसलिए $\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$.
$\frac{(n-1)(n+1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$.
$\frac{n-1}{6} = 4 \Rightarrow n-1 = 24 \Rightarrow n = 25$.