MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $2$ सिक्के उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $\{HH, HT, TH, TT\}$ है।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(X=5) = P(HH) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(TT) = \frac{1}{4}$
हम माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = (5 \times \frac{1}{4}) + (2 \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = (5^2 \times \frac{1}{4}) + (2^2 \times \frac{1}{2}) + (1^2 \times \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} + 2 = \frac{13}{2} + 2 = \frac{17}{2}$ की गणना करते हैं।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{17}{2} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2} - \frac{25}{4} = \frac{34-25}{4} = \frac{9}{4}$।

(C) किसी फलन के प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) होने के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{3} P(X=x) = 1$
$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1$
$K \cdot \frac{2^0}{0!} + K \cdot \frac{2^1}{1!} + K \cdot \frac{2^2}{2!} + K \cdot \frac{2^3}{3!} = 1$
$K \cdot (\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{6}) = 1$
$K \cdot (1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (5 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (\frac{15+4}{3}) = 1$
$K \cdot \frac{19}{3} = 1$
$K = \frac{3}{19}$

(C) माना $X$ निकाले गए राजाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं।
कुल पत्तों की संख्या = $52$।
राजाओं की संख्या = $4$।
एक परीक्षण में राजा निकालने की प्रायिकता,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
एक परीक्षण में राजा न निकालने की प्रायिकता,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$।
चूंकि $n = 2$ परीक्षण हैं,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ का पालन करता है।
प्रायिकता वितरण $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$X = 0$ के लिए: $P(X = 0) = {}^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$।
$X = 1$ के लिए: $P(X = 1) = {}^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$।
$X = 2$ के लिए: $P(X = 2) = {}^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \cdot \frac{1}{169} \cdot 1 = \frac{1}{169}$।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X=0, P(X)=\frac{144}{169}$
$X=1, P(X)=\frac{24}{169}$
$X=2, P(X)=\frac{1}{169}$
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$E(X) = \sum_{x=1}^{10} x P(X=x) = \frac{1}{10} (1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11}{2} = 5.5$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$E(X^2) = \sum_{x=1}^{10} x^2 P(X=x) = \frac{1}{10} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{231}{6} = 38.5$ की गणना करते हैं।
अंत में,$\operatorname{Var}(X) = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$।
चूंकि $8.25 = \frac{33}{4}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) अपेक्षित दैनिक मांग (माध्य) $E(X) = \Sigma P_i x_i$ द्वारा दी जाती है।
$E(X) = (5 \times 0.07) + (6 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (8 \times 0.3) + (9 \times 0.07) + (10 \times 0.06)$
$E(X) = 0.35 + 1.2 + 2.1 + 2.4 + 0.63 + 0.6 = 7.28$.
प्रसरण $Var(X) = \Sigma P_i x_i^2 - (E(X))^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\Sigma P_i x_i^2$ की गणना करें:
$\Sigma P_i x_i^2 = (25 \times 0.07) + (36 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (64 \times 0.3) + (81 \times 0.07) + (100 \times 0.06)$
$\Sigma P_i x_i^2 = 1.75 + 7.2 + 14.7 + 19.2 + 5.67 + 6.0 = 54.52$.
अब,प्रसरण की गणना करें:
$Var(X) = 54.52 - (7.28)^2$
$Var(X) = 54.52 - 52.9984 \approx 1.52$.
अतः,अपेक्षित मांग $7.28$ है और प्रसरण $1.52$ है।

(B) माना बिंदु $\vec{p} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{q} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$m:n = 1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजन के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ का सूत्र है:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$
मान रखने पर:
$\vec{r} = \frac{1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{1 - 2}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{-3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$

(D) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा अक्षों के साथ $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos(\frac{\alpha}{2}), m = \cos(\frac{\beta}{2}), n = \cos(\frac{\gamma}{2})$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\beta}{2}) + \cos^2(\frac{\gamma}{2}) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$,इसलिए $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\frac{1 + \cos \alpha}{2} + \frac{1 + \cos \beta}{2} + \frac{1 + \cos \gamma}{2} = 1$
$\frac{3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{2} = 1$
$3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2$
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 - 3 = -1$.

(B) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$ और $m = \cos \alpha$ है। मान लीजिए $z$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए $n = \cos \theta$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \theta = 1$।
सर्वसमिका $\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \theta) = 1$।
$3 - 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \theta = 1$।
दिया गया है कि $\sin^2 \theta = 2 \sin^2 \alpha$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$3 - 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = 1$।
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 1$।
$4 \sin^2 \alpha = 2$।
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$ है।
प्रक्षेप का परिमाण = $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ इकाई।

(C) $\vec{a}$ पर $\vec{b}$ का सदिश प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{a} = (7)(3) + (-5)(2) + (-1)(5) = 21 - 10 - 5 = 6$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 2^2 + 5^2 = 9 + 4 + 25 = 38$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
सदिश प्रक्षेप = $\frac{6}{38} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = \frac{3}{19} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$।

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (2, 2, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(2) + (-1)(2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$।

(B) माना कि दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{v_1} = (2, -3, 1)$ और $\vec{v_2} = (1, 2, -2)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ सदिश गुणनफल $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-2) - \hat{j}(-4-1) + \hat{k}(4+3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(4, 5, 7)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90}$ है।
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $\pm \frac{4}{\sqrt{90}}, \pm \frac{5}{\sqrt{90}}, \pm \frac{7}{\sqrt{90}}$ हैं।

(B) माना $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,अभीष्ट प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई है।

(B) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं। चूंकि रेखा $\langle -1, 2, 2 \rangle$ और $\langle 0, 2, 1 \rangle$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए सदिश $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ दिए गए दोनों सदिशों के सदिश गुणनफल (cross product) के समांतर है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-2-0) = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $\langle -2, 1, -2 \rangle$ या $\langle 2, -1, 2 \rangle$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
इसलिए दिक्-कोसाइन $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ हैं।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूँकि रेखा $(1, 2, 3)$ और $(-3, 2, 5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ के मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ से भाग देने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यह रेखा बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरती है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ होगा,जिसे सरल करने पर $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(C) दी गई रेखाएँ $x = -y, z = 0$ और $x = 0, z = 0$ हैं।
हम इन रेखाओं को सममित रूप में लिख सकते हैं:
रेखा $1$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$,अतः दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -1, 0)$ है।
रेखा $2$: $\frac{x}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$,अतः दिशा सदिश $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \left| \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(0) = -1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.
अतः,$\cos \theta = \left| \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(A) रेखा उस बिंदु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $\vec{b}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(-1 - 1) + \hat{k}(2 - 1) = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(3, 5, -7)$ और $B(-2, 1, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda(-2) + 1(3)}{\lambda + 1} = 0$
$-2\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3 : 2$ है।
अब,$3 : 2$ अनुपात का उपयोग करके $y$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \frac{3(1) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{3 + 10}{5} = \frac{13}{5}$
$z = \frac{3(8) + 2(-7)}{3 + 2} = \frac{24 - 14}{5} = \frac{10}{5} = 2$
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ है।

(C) माना दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखा दोनों सदिशों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = 1\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
रेखा बिंदु $(-3, 0, 1)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 3, 5)$ हैं।
कार्तीय समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - 1}{5}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x+3}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{5}$ मिलता है।

(C) मूल बिंदु के परितः निर्देशांक निकाय के घूर्णन के दौरान सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
अतः,घूर्णन से पहले $\vec{a}$ का परिमाण = घूर्णन के बाद $\vec{a}$ का परिमाण।
$|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3p^2 - 3p + p - 1 = 0$
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$
$(3p+1)(p-1) = 0$
अतः,$p=1$ या $p=-\frac{1}{3}$।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a_2} = 0$,और $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
अब,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 6) - \hat{j}(-1 + 6) + \hat{k}(2 + 4) = -8\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$।
इसका परिमाण $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 25 + 36} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,दूरी $d = \frac{5\sqrt{5}}{3}$ इकाई है।

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\overrightarrow{AB}$ की दिशा में है।
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = -2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}$.
चूँकि समतल $\overrightarrow{AB}$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ लिया जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $B(1, -2, -4)$ और अभिलंब के घटकों $(2, 3, 6)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x-1) + 3(y+2) + 6(z+4) = 0$.
$2x - 2 + 3y + 6 + 6z + 24 = 0$.
$2x + 3y + 6z + 28 = 0$.

(B) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $(a, 1, 6)$ और $(3, 4, b)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$\left(\frac{3\lambda + a}{\lambda + 1}, \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1}\right) = \left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{3\lambda + a}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 3\lambda + a = 0 \Rightarrow a = -3\lambda$.
$2) \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{17}{2} \Rightarrow 8\lambda + 2 = 17\lambda + 17 \Rightarrow -9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ को $a = -3\lambda$ में रखने पर:
$a = -3\left(-\frac{5}{3}\right) = 5$.
$3) \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{b(-\frac{5}{3}) + 6}{-\frac{5}{3} + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{-\frac{5b}{3} + 6}{-\frac{2}{3}} = -\frac{13}{2}$.
दोनों पक्षों को $-\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर:
$-\frac{5b}{3} + 6 = \left(-\frac{13}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{3}$.
$-\frac{5b}{3} = \frac{13}{3} - 6 = \frac{13 - 18}{3} = -\frac{5}{3}$.
$b = 1$.
अतः,$a = 5$ और $b = 1$ है।

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
वांछित समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ $\vec{a} \cdot \vec{n} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -5 - 4 + 2 = -7$ है।
अतः,समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -7$ है।

(A) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = 90^{\circ}$ है।

(A) रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x-(-2)}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{5}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि रेखा बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, 5)$ से गुजरती है।
दिक् अनुपात $(a, b, c)$ का मान $(3, 2, 5)$ है।
एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और जो सदिश $\vec{b}$ के समानांतर है,उस रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ है।
अतः,रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (-2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$ है।

(NONE) दी गई रेखाएं समांतर हैं क्योंकि उनके दिक अनुपात समान हैं: $(2, -1, 2)$।
मान लीजिए रेखाएं $L_1: \vec{r} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a_1} = (0, 0, 0)$,$\vec{a_2} = (1, 1, 2)$,और $\vec{b} = (2, -1, 2)$ है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
परिमाण $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
अतः,$d = \frac{\sqrt{29}}{3}$ इकाई है।

(B) माना कि दी गई रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु को $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ के रूप में लिया जा सकता है।
माना $P$ बिंदु $(0,2,3)$ है। सदिश $\vec{PM} = (5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ है।
चूंकि $PM$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{PM}$ और रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (5, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$।
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5(1)-3 = 2$
$y = 2(1)+1 = 3$
$z = 3(1)-4 = -1$
अतः,लंब का पाद $(2,3,-1)$ है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम उनके बीच की न्यूनतम दूरी ($S$.$D$.) की गणना करते हैं। रेखाएँ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lambda(3, 2, 5)$ और $\vec{r_2} = (-2, 1, -1) + \mu(4, 3, -2)$ द्वारा दी गई हैं।
न्यूनतम दूरी का सूत्र $S.D. = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ है।
यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-2-1, 1-(-1), -1-1) = (-3, 2, -2)$.
सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-15) - \hat{j}(-6-20) + \hat{k}(9-8) = -19\hat{i} + 26\hat{j} + 1\hat{k}$.
अब,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-3)(-19) + (2)(26) + (-2)(1) = 57 + 52 - 2 = 107$.
चूँकि न्यूनतम दूरी $\frac{107}{\sqrt{(-19)^2 + 26^2 + 1^2}} = \frac{107}{\sqrt{361 + 676 + 1}} = \frac{107}{\sqrt{1038}} \neq 0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(B) माना दी गई रेखा $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P = (5\lambda - 3, 2\lambda + 1, 3\lambda - 4)$ है।
माना $A = (0, 2, 3)$ दिया गया बिंदु है। रेखा $AP$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 7)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
लंबपाद $P = (5(1) - 3, 2(1) + 1, 3(1) - 4) = (2, 3, -1)$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $AP = \sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, 1, 2)$ और $(-1, 2, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-2}{1-2}$
$\frac{x-3}{-4} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1}$

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $M(-1, -2, 2)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = \vec{OM} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
बिंदु $M$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{OM} \cdot \vec{n} = (-1, -2, 2) \cdot (-1, -2, 2) = (-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
इसलिए,समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 9$ है।

(D) रेखाएं $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ और $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ द्वारा दी गई हैं।
दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3-3, -7-8, 6-3) = (-6, -15, 3)$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-2) - \hat{j}(12+3) + \hat{k}(6-3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
अतः,$d = \frac{|270|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ इकाई।

(C) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल $1, 0, -1$ और $-1, 1, 0$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ और $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$।
इसका अर्थ है कि $a = c$ और $a = b$,इसलिए $a = b = c$।
समतल के समीकरण में $a=b=c$ रखने पर,हमें $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y + z = 3$ हो जाता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ और $(0, 0, 3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ घन इकाई है।

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि समतल $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $X$-अक्ष (दिशा सदिश $\vec{i} = (1, 0, 0)$) के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $y-3z+6=0$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $ax + by + cz = d$ पर लंब के पाद $(x, y, z)$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = \frac{-(ax_1 + by_1 + cz_1 - d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$,$a = 2$,$b = 6$,$c = -3$,और $d = 63$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-0}{-3} = \frac{-(2(0) + 6(0) - 3(0) - 63)}{2^2 + 6^2 + (-3)^2}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{-(-63)}{4 + 36 + 9}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}$
अब,$x, y, z$ के लिए हल करने पर:
$x = 2 \times \frac{9}{7} = \frac{18}{7}$
$y = 6 \times \frac{9}{7} = \frac{54}{7}$
$z = -3 \times \frac{9}{7} = \frac{-27}{7}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(\frac{18}{7}, \frac{54}{7}, \frac{-27}{7})$ हैं।

(D) समतलों $P_1: x+2y-3z+1=0$ और $P_2: 3x-2y+4z+3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-3z+1) + \lambda(3x-2y+4z+3) = 0 \quad \dots(1)$
चूंकि समतल बिंदु $(2,2,1)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(1)$ में $x=2, y=2, z=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + 2(2) - 3(1) + 1) + \lambda(3(2) - 2(2) + 4(1) + 3) = 0$
$(2 + 4 - 3 + 1) + \lambda(6 - 4 + 4 + 3) = 0$
$4 + 9\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{4}{9}$
अब $\lambda = -\frac{4}{9}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(x+2y-3z+1) - \frac{4}{9}(3x-2y+4z+3) = 0$
$9(x+2y-3z+1) - 4(3x-2y+4z+3) = 0$
$9x + 18y - 27z + 9 - 12x + 8y - 16z - 12 = 0$
$-3x + 26y - 43z - 3 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $3x - 26y + 43z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल $3x + 2y + 6z - 56 = 0$ पर लंब रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{6} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k, 2k, 6k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए हम इसे समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(3k) + 2(2k) + 6(6k) = 56$
$9k + 4k + 36k = 56$
$49k = 56$
$k = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$
अब $k$ का मान $(3k, 2k, 6k)$ में रखने पर:
$x = 3 \times \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$
$y = 2 \times \frac{8}{7} = \frac{16}{7}$
$z = 6 \times \frac{8}{7} = \frac{48}{7}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{24}{7}, \frac{16}{7}, \frac{48}{7}\right)$ हैं।

(C) $O(0,0,0), P(1,2,1)$ और $Q(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल $OPQ$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
$x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$.
समतल $OPQ$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$P(1,2,1), Q(2,1,3)$ और $R(-1,1,2)$ से गुजरने वाले समतल $PQR$ का समीकरण:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1) - 5(y-2) - 3(z-1) = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$.
समतल $PQR$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(D) $X$-अक्ष के समांतर समतल का सामान्य समीकरण $by + cz + d = 0$ होता है।
चूंकि समतल बिंदुओं $(2, 3, 1)$ और $(4, -5, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए ये बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
बिंदु $(2, 3, 1)$ के लिए: $b(3) + c(1) + d = 0 \implies 3b + c + d = 0$.
बिंदु $(4, -5, 3)$ के लिए: $b(-5) + c(3) + d = 0 \implies -5b + 3c + d = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(3b + c + d) - (-5b + 3c + d) = 0 \implies 8b - 2c = 0 \implies c = 4b$.
$c = 4b$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3b + 4b + d = 0 \implies d = -7b$.
समीकरण $by + (4b)z - 7b = 0$ प्राप्त होता है।
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ मानते हुए),हमें $y + 4z = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) माना रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर है,इसलिए इसका दिक सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होगा।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ हैं।
दिक सदिश $\vec{v}$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-3)) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।
रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए कार्तीय समीकरण $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ है।

(C) समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $\bar{n} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 12 \hat{k}$ और $d = 8$ है।
मूलबिंदु से समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $p = \frac{|d|}{|\bar{n}|}$ है।
यहाँ,$|\bar{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः,लंब की लंबाई $p = \frac{8}{13}$ इकाई है।

(A) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(-1, 4, 2)$ और $(3, 1, 1)$ का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -1-1 & 4-2 & 2-3 \\ 3-1 & 1-2 & 1-3 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)[(2)(-2) - (-1)(-1)] - (y-2)[(-2)(-2) - (2)(-1)] + (z-3)[(-2)(-1) - (2)(2)] = 0$
$(x-1)[-4 - 1] - (y-2)[4 + 2] + (z-3)[2 - 4] = 0$
$-5(x-1) - 6(y-2) - 2(z-3) = 0$
$-5x + 5 - 6y + 12 - 2z + 6 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(A) दो समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश $\bar{n}_1$ और $\bar{n}_2$ समानुपाती हों,अर्थात $\bar{n}_1 = k \bar{n}_2$।
दिए गए अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ हैं।
समतलों के समांतर होने के लिए,अभिलंब सदिशों के घटकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \lambda$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = \frac{1}{2}$।
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है,अतः $\mu = 2$।
अतः,$\lambda = \frac{1}{2}$ और $\mu = 2$ है।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(4, -2, -5)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = \langle 4 - 0, -2 - 0, -5 - 0 \rangle = \langle 4, -2, -5 \rangle$.
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$.
विस्तार करने पर,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$.
$4x - 2y - 5z - 45 = 0$,जिसे सरल करने पर $4x - 2y - 5z = 45$ प्राप्त होता है।

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$,$x$-अक्ष के दिशा सदिश $\vec{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$.
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$.
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $y - 3z + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए सदिश $\bar{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है क्योंकि यह निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है।
दिया गया परिमाण $|\bar{n}| = 3\sqrt{3}$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 3$.
अतः,$\bar{n} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
बिंदु $\vec{a} = (1, -1, 2)$ से गुजरने वाले और $\bar{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \bar{n} = \vec{a} \cdot \bar{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1)(3) + (-1)(3) + (2)(3) = 3 - 3 + 6 = 6$.
इसलिए,समीकरण $\bar{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 6$ है।

(B) यह रेखा $A(4, -1, 2)$ और $B(-3, 2, 3)$ बिंदुओं से गुजरती है। चूंकि रेखा समतल के लंबवत है,इसलिए रेखा के दिक अनुपात ही समतल के अभिलंब के दिक अनुपात होंगे।
रेखा के दिक अनुपात $\langle 4 - (-3), -1 - 2, 2 - 3 \rangle = \langle 7, -3, -1 \rangle$ हैं।
समतल $(-10, 5, 4)$ बिंदु से गुजरता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $\langle a, b, c \rangle$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर:
$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7(x + 10) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$
$7x - 3y - z + 89 = 0$.

(B) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda:1$ है। बिंदुओं $\vec{a} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\lambda\vec{b} + 1\vec{a}}{\lambda+1}$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{r} = \frac{\lambda(3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}) + (-2\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{(3\lambda-2)\hat{i} + (-5\lambda+4)\hat{j} + (8\lambda+7)\hat{k}}{\lambda+1}$.
चूंकि यह बिंदु समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = 17$ पर स्थित है,हम घटकों को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{(3\lambda-2)(1) + (-5\lambda+4)(-2) + (8\lambda+7)(3)}{\lambda+1} = 17$.
$(3\lambda-2) + (10\lambda-8) + (24\lambda+21) = 17(\lambda+1)$.
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$.
$20\lambda = 6$.
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:10$ है।