MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રણ દળના યામ $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (1, 0)$,અને $(x_3, y_3) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
બધા દળ સમાન છે,$m_1 = m_2 = m_3 = 1 \,kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(1) + 1(0.5)}{1 + 1 + 1} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \,m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(0) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + 1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \,m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)$ છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે બંને દડાનું દળ $m$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m (v/3)^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2$,જ્યાં $v_2'$ એ બીજા દડાની ઝડપ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,$K_i = K_f$.
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2/9) + \frac{1}{2} m v_2'^2$.
$\frac{1}{2} m$ વડે ભાગતા,આપણને $v^2 = \frac{v^2}{9} + v_2'^2$ મળે છે.
$v_2'^2 = v^2 - \frac{v^2}{9} = \frac{8v^2}{9}$.
તેથી,$v_2' = \sqrt{\frac{8}{9}} v = \frac{2\sqrt{2}}{3} v$.

(B) $m_1$ અને $m_2$ દળના બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ મળે છે.
અહીં આપેલ છે કે અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે,એટલે કે $m_1$ એ $v_2$ વેગથી અને $m_2$ એ $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે. આ ગુણધર્મ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને પદાર્થોના દળ સમાન હોય.
જો $m_1 = m_2$ હોય,તો અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = 1$ થાય.

(D) આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત (perfectly inelastic collision) નો કિસ્સો છે.
કોઈપણ સંઘાત જેમાં બાહ્ય બળો ગેરહાજર હોય,ત્યાં તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે,અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,અથડામણ દરમિયાન લાગતા આંતરિક બળોને કારણે કેટલીક ગતિઊર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં (જેમ કે ઉષ્મા અથવા વિરૂપણ ઊર્જા) રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જ્યારે ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(C) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને બીજા ગોળાનો $0$ છે. ધારો કે તેમના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
બીજા ગોળાના અંતિમ વેગ $(V_2)$ અને પ્રથમ ગોળાના પ્રારંભિક વેગ $(v)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(B) દીવાલ પર લાગતું બળ એ દડાઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,દડો $u$ વેગથી દીવાલ સાથે અથડાય છે અને $-u$ વેગથી પાછો ફરે છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ છે.
દર સેકન્ડે $n$ દડાઓ દીવાલ સાથે અથડાતા હોવાથી,દર સેકન્ડે વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $\frac{dp}{dt} = n \times \Delta p = n(2mu) = 2mnu$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,તેથી $F = 2mnu$.

(C) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 20 \,mm$ અને ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ આપેલ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A}{4}$ માટે, નવી ઊંચાઈ $h_2$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/4}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, $h_2 = 2 \times h_1 = 2 \times 20 \,mm = 40 \,mm$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $h_2 = 4 \,cm$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે $\theta$ અક્ષાંશ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime} = g - R \omega^2 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\theta = 0^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_e = g - R \omega^2$ થાય.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\theta = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 90^{\circ} = 0$.
આમ,ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = g$ થાય.
ધ્રુવ અને વિષુવવૃત્ત વચ્ચે ગુરુત્વપ્રવેગનો તફાવત $g_p - g_e = g - (g - R \omega^2) = R \omega^2$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહનું દળ $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ હોવાથી,આપણે તેને ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto \rho R$.
આપેલ છે કે $g_m = \frac{1}{6} g_e$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
પ્રમાણસરતા $g \propto \rho R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
તેથી,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(A) આપેલ છે: $\rho_A : \rho_B = 8 : 1$ અને $M_A = M_B = M$.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{R^3}$ મળે.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 8$.
ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_B}{R_A} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R_A^2}{GM/R_B^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{g_A}{g_B} = (2)^2 = 4$.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg_0$ છે,જ્યાં $g_0 = \frac{GM}{R^2}$.
$h = \frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R + R/2)^2} = \frac{GM}{(3R/2)^2} = \frac{GM}{9R^2/4} = \frac{4}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{4}{9} g_0$.
તેથી,$h$ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9} g_0 \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{h}{R})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g' = \frac{g}{n}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g(1 - \frac{h}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{h}{R}$.
$h$ માટે પદ ગોઠવતા: $\frac{h}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$h = \frac{R(n-1)}{n}$.

(B) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે $\lambda$ અક્ષાંશ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = g - R_{E} \omega^2 \cos^2 \lambda$
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^{\circ}$ છે. કારણ કે $\cos(0^{\circ}) = 1$,તેથી:
$g_E = g - R_{E} \omega^2 (1)^2 = g - R_{E} \omega^2$
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^{\circ}$ છે. કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$,તેથી:
$g_P = g - R_{E} \omega^2 (0)^2 = g$
હવે,તફાવત $(g_P - g_E)$ ની ગણતરી કરતા:
$g_P - g_E = g - (g - R_E \omega^2) = R_E \omega^2$

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નીચે જતાં ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે। પદાર્થનું વજન $(W)$ એ તેના દળ $(m)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નો ગુણાકાર છે, એટલે કે $W = mg$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
બંને બાજુ દળ $m$ વડે ગુણતા, આપણને $h$ ઊંડાઈએ વજન મળે છે:
$W' = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
અહીં $W' = 250 \,N$, $W = 500 \,N$, અને $R = 6400 \,km$ આપેલ છે:
$250 = 500 \left(1 - \frac{h}{6400}\right)$
$0.5 = 1 - \frac{h}{6400}$
$\frac{h}{6400} = 0.5$
$h = 0.5 \times 6400 = 3200 \,km$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{9}$,તેથી:
$\frac{g}{9} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$.
બંને બાજુથી $g$ દૂર કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3} = \frac{1}{1 + \frac{h}{R}}$.
આથી: $1 + \frac{h}{R} = 3$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $\frac{h}{R} = 2$,જે દર્શાવે છે કે $h = 2R$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $v_e \propto R$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ છે પરંતુ ત્રિજ્યા બમણી $(R' = 2R_e)$ છે,તેથી નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \,km/s = 22.4 \,km/s$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}$ નું સૂત્ર: $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
તેથી,આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}'$ નીચે મુજબ થશે:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(A) $m_0$ દળના કણની પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $U$ બંને પદાર્થોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\frac{G M m_0}{d/2} - \frac{G m m_0}{d/2} = -\frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
અનંત સુધી પહોંચવા માટે,કણની કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. ધારો કે $V$ એ લઘુત્તમ પ્રક્ષેપણ વેગ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 - \frac{2 G m_0}{d} (M + m) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 = \frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
$V^2 = \frac{4 G}{d} (M + m)$
$V = 2 \sqrt{\frac{G(M+m)}{d}}$

(B) ઉપગ્રહની બંધન ઉર્જા $(BE)$ એટલે ઉપગ્રહને તેની ભ્રમણકક્ષામાંથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
બંધન ઉર્જા એ કુલ ઉર્જાનું ઋણ મૂલ્ય છે: $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$.
$BE$ અને $U$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = -2 \times BE$.
આપેલ છે કે $BE = 3.5 \times 10^8 \ J$,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U = -2 \times (3.5 \times 10^8 \ J) = -7 \times 10^8 \ J$ થાય.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને અનંત અંતર વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(2V_e)^2 = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
અહીં,$V$ એ અનંત અંતરે અંતિમ વેગ છે.
$V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}(4 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{1}{2}V^2$
$-\frac{GM}{R} + \frac{4GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$\frac{3GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$V^2 = \frac{6GM}{R} = 3 \left( \frac{2GM}{R} \right) = 3V_e^2$
$V = \sqrt{3}V_e$

(A) ધારો કે $m$ દળ $M_1$ ના કેન્દ્રથી $r_1 = \frac{2d}{3}$ અંતરે છે. તેથી,$M_2$ ના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ થશે.
સિસ્ટમના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી બહાર નીકળવા માટે,અનંત અંતરે પદાર્થની કુલ ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થાને આપેલી ગતિ ઉર્જા તે સ્થાને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{r_1} + \frac{G M_2 m}{r_2}$
$r_1$ અને $r_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{(2d/3)} + \frac{G M_2 m}{(d/3)}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G M_1 m}{2d} + \frac{3 G M_2 m}{d}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G m}{2d} (M_1 + 2 M_2)$
$v_e^2 = \frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}$
$v_e = \left[\frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}\right]^{\frac{1}{2}}$

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ કુલ ઉર્જા:
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R + \frac{R}{2}} \right) = -\frac{GMm}{\frac{3R}{2}} = -\frac{2GMm}{3R}$
પૃથ્વીની સપાટી પર કુલ ઉર્જા:
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{2GMm}{3R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{2GMm}{3R} = \frac{GMm}{3R}$
$v^2 = \frac{2GM}{3R}$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{v_e^2}{3}$
$v = \frac{v_e}{\sqrt{3}}$

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$ અને $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$ થાય.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} G \pi \rho R}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 G \pi \rho}}$.
આમ,$T \propto \rho^{-1/2}$ મળે છે.

(D) ખ્યાલ: કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે, જેના કારણે સૂર્યની સાપેક્ષમાં ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
$L = mvr \sin(\theta) = \text{અચળ}$.
પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ) પર, અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય છે.
$L = mvr$ હોવાથી (જ્યાં $v$ એ પેરિહેલિયન પર ત્રિજ્યા સદિશને લંબ રૂપે કક્ષીય વેગ છે), અચળ $L$ માટે, જ્યારે $r$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે વેગ $v$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
તેથી, જ્યારે વેગ $v$ મહત્તમ હોય, ત્યારે ગતિઊર્જા પણ મહત્તમ હોય છે.
આકૃતિ જોતા, બિંદુ $C$ સૂર્યની સૌથી નજીક છે (પેરિહેલિયન).
આમ, ગ્રહની ગતિઊર્જા સ્થાન $C$ પર મહત્તમ હશે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
ઉપગ્રહ $S_1$ માટે: ત્રિજ્યા = $r$,આવર્તકાળ = $T_1$.
ઉપગ્રહ $S_2$ માટે: ત્રિજ્યા = $2r$,આવર્તકાળ = $T_2$.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2}$
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}:1$ થાય છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
કક્ષામાં બળનું સંતુલન ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{r}} \times r$
$L = \sqrt{m^2 \times \frac{GM}{r} \times r^2}$
$L = \sqrt{GMm^2 r}$

(D) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ઉપગ્રહ $A$ માટે આપેલ છે: $r_A = 4R$ અને $v_A = 3V$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $r_B = R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_B = 2 \times 3V = 6V$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ઉપગ્રહ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ રેખીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે.
ઉપગ્રહ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વી દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$\therefore F_{\text{centripetal}} = F_{\text{gravitational}}$
$\Rightarrow \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
$\Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
કક્ષાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = \sqrt{GMm^2r}$
$L = (GMm^2r)^{1/2}$

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ધારો કે ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટેની શરત છે: $m \omega^2 r = \frac{GMm}{r^2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $r^3 = \frac{GM}{\omega^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ને $r^3$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $r^3 = \frac{gR^2}{\omega^2}$.
તેથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \left[\frac{R^2 g}{\omega^2}\right]^{1/3}$ થશે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે $(C_p)$ અને અચળ કદે $(C_v)$ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_v = R$
આપણને વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $C_p = \gamma C_v$
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા: $\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ સામાન્ય લેતા: $C_v(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(D) આપેલ છે: $C_P = \frac{7}{2} R$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P - C_V = R$.
તેથી,$C_V = C_P - R = \frac{7}{2} R - R = \frac{5}{2} R$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ નીચે મુજબ મળે છે: $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે,તેથી $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_P = C_V + R = \frac{7}{2} R$.
આમ,આ વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(A) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ છે.
$n_1$ મોલ વાયુ $1$ અને $n_2$ મોલ વાયુ $2$ ના મિશ્રણ માટે,સમતુલ્ય $C_v$ એ $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C_{v,mix} = \frac{1 \cdot \frac{3}{2}R + 1 \cdot \frac{5}{2}R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
તે જ રીતે,સમતુલ્ય $C_p$ એ $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2}$ છે. $C_p = C_v + R$ હોવાથી,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ મળે.
$C_{p,mix} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2}R + 1 \cdot \frac{7}{2}R}{2} = \frac{6R}{2} = 3R$.
મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$ થાય.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક (perfectly elastic) માનવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,જ્યારે વાયુના બે અણુઓ અથડાય છે,ત્યારે ગતિઊર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે હોય છે,અણુઓ વચ્ચે થતી અથડામણને કારણે નહીં.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
વિધાન $B$ એ ગતિવાદનું મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે.
વિધાન $C$ એ આદર્શ વાયુ માટેની પ્રમાણભૂત ધારણા છે.
વિધાન $D$ પણ એક મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે,જેમાં માનવામાં આવે છે કે અથડામણ સિવાય કોઈ આંતર-આણ્વિય બળો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $K \propto T$ હોવાથી,વાયુ $B$ અને વાયુ $A$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_B}{K_A} = \frac{T_B}{T_A}$ થશે.
આપેલ છે કે $T_A = 360 \ K$ અને $T_B = 420 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{K_B}{K_A} = \frac{420}{360} = \frac{7}{6}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $7: 6$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની પ્રતિ મોલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} RT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = E_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_2 = eV$ છે.
જો $E_1 = E_2$ હોય,તો:
$\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = eV$
તેથી,$T = \frac{2 N eV}{3 R}$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K \propto T$.
જો આપણે ગતિઊર્જાને બમણી $(K' = 2K)$ કરવા માંગતા હોઈએ,તો તાપમાન $T' = 2T$ હોવું જોઈએ.
તેથી,તાપમાન વધારીને $2T$ કરવું પડે.

(D) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ $v_{rms}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 5T$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક r.m.s. વેગ $v_1$ છે અને અંતિમ r.m.s. વેગ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{5T}{T}} = \sqrt{5}$.
આમ,$v_2 = \sqrt{5} v_1$.
તેથી,r.m.s. વેગ પ્રારંભિક વેગ કરતા $\sqrt{5}$ ગણો થશે.

(A) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
અહીં આપેલ છે કે $T$ તાપમાને r.m.s. ઝડપ એ $320 \,K$ તાપમાને રહેલી r.m.s. ઝડપ કરતા $2$ ગણી છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{v_T}{v_{320}} = 2$
કારણ કે $v \propto \sqrt{T}$,તેથી:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{320}} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{320} = 2^2$
$\frac{T}{320} = 4$
$T = 4 \times 320 \,K = 1280 \,K$.

(A) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$V^2 = \frac{3 k_B T}{m}$
આપેલ વાયુ માટે $k_B$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V^2 \propto T$
અથવા,$\frac{V^2}{T} = \frac{3 k_B}{m} = \text{અચળ}$
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{V^2}{T} = \text{અચળ}$ છે.

(D) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
અહીં પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 140 \,K$ અને પ્રારંભિક r.m.s. ઝડપ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 560 \,K$ છે.
આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{560}{140}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, નવી r.m.s. ઝડપ $v_2 = 2 v$ થશે.

(D) દીવાલ સાથે અથડાઈને પાછા ફરતા એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = 2mv \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $v$ એ વેગ છે અને $\theta$ એ લંબ સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $m = 3 \times 10^{-27} \,kg$, $v = 500 \,m/s$, $\theta = 60^{\circ}$, $N = 10^{23}$ અણુઓ/સેકન્ડ, અને $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \times \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{N \times (2mv \cos 60^{\circ})}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{10^{23} \times 2 \times (3 \times 10^{-27}) \times 500 \times \cos 60^{\circ}}{10^{-4}}$.
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી, $P = \frac{10^{23} \times 6 \times 10^{-27} \times 500 \times 0.5}{10^{-4}} = \frac{3000 \times 10^{-4} \times 0.5}{10^{-4}} = 1500 \,N/m^2$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: સમતલ રસ્તા પર સુરક્ષિત ડ્રાઇવિંગ માટે, વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવવું જોઈએ. જો કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સીમિત ઘર્ષણ કરતાં વધી જાય, તો વાહન લપસી જશે.
ગાણિતિક રીતે, સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ છે.
આપેલ છે: વેગ $v = 108 \,km/hr = 108 \times \frac{5}{18} \,m/s = 30 \,m/s$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r_{\min}$ શોધવા માટે, આપણે સમાનતાની શરતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $r_{\min} = \frac{v^2}{\mu g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r_{\min} = \frac{30^2}{0.5 \times 10} = \frac{900}{5} = 180 \,m$.

(C) ગોળા પર લાગતા બળો દોરીમાં રહેલું તણાવ '$T$' અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ '$mg$' છે.
તણાવ '$T$' ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = mg$ (સમીકરણ $1$)
$2$. સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ (કેન્દ્રગામી બળ) (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
આમ,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = T \sin \theta = mg \tan \theta$ થાય.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,ત્રિજ્યા '$r$',લંબાઈ '$L$' અને ખૂણા '$\theta$' વચ્ચેનો સંબંધ $\sin \theta = \frac{r}{L}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પાસેની બાજુ (શિરોલંબ ઊંચાઈ) $\sqrt{L^2-r^2}$ મળે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}}$.
આ કિંમતને કેન્દ્રગામી બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F_c = mg \left( \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$.

(D) બેંકિંગ વાળા રસ્તા માટે, શ્રેષ્ઠ વેગ $v$ નું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{v^2}{Rg}$ છે.
અહીં, $\alpha$ એ બેંકિંગ ખૂણો છે, $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે, અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
રસ્તાની ભૂમિતિ પરથી, $\tan \alpha = \frac{h}{w}$, જ્યાં $h$ એ બહારની અને અંદરની ધાર વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે અને $w$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
$\tan \alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{v^2}{Rg} = \frac{h}{w}$.
$v$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $v = \sqrt{\frac{Rgh}{w}}$.
આપેલ છે: $R = 50 \text{ m}$, $h = 1.5 \text{ m}$, $w = 10 \text{ m}$, અને $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{50 \times 9.8 \times 1.5}{10}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1.5} = \sqrt{73.5} \approx 8.57 \text{ m/s}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સૌથી યોગ્ય વેગ $8.5 \text{ m/s}$ છે.

(A) બેંકિંગવાળા રસ્તા પર કાર માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ એ $v = \sqrt{Rg \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ અને ઘર્ષણાંક $\mu$ અચળ હોવાથી,$v^2 \propto R$ અથવા $v^2 = C R$ મળે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 20 \ m$ છે.
નવી ઝડપ $v' = v + 0.10v = 1.1v$ છે.
સંબંધ $v^2 = CR$ નો ઉપયોગ કરતા,$v'^2 = CR'$ મળે,જ્યાં $R'$ નવી ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v'^2}{v^2} = \frac{R'}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.1)^2 = \frac{R'}{R} \Rightarrow 1.21 = \frac{R'}{R}$.
તેથી,$R' = 1.21 R = 1.21 \times 20 \ m = 24.2 \ m$.
વક્રતા ત્રિજ્યામાં થતો વધારો $\Delta R = R' - R = 24.2 \ m - 20 \ m = 4.2 \ m$ છે.

(D) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $K$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{l}$ અથવા $K l = \text{અચળ}$.
આપેલ છે કે $l$ લંબાઈની સ્પ્રિંગને $l_1$ અને $l_2$ ભાગમાં કાપવામાં આવે છે જેથી $l_1 + l_2 = l$.
આપણને $l_1 = n l_2$ આપેલ છે.
આ કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $n l_2 + l_2 = l \implies l_2(n + 1) = l \implies l_2 = \frac{l}{n+1}$.
કારણ કે $K l = K_2 l_2$,જ્યાં $K_2$ એ $l_2$ લંબાઈની સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે:
$K_2 = K \frac{l}{l_2} = K \frac{l}{l / (n+1)} = K(n+1)$.

(D) જ્યારે બે સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન ખેંચાણ બળ $f$ લાગે છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગમાં થતું વિસ્તરણ $e_1 = \frac{f}{K_1}$ છે.
બીજી સ્પ્રિંગમાં થતું વિસ્તરણ $e_2 = \frac{f}{K_2}$ છે.
તંત્રમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ વિસ્તરણ $x$ એ વ્યક્તિગત વિસ્તરણોનો સરવાળો છે:
$x = e_1 + e_2$
$e_1$ અને $e_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{f}{K_1} + \frac{f}{K_2}$
બળ $f$ ને સામાન્ય લેતા:
$x = f \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right)$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$L$ લંબાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તાર માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = mg = (\text{ઘનતા} \times \text{કદ}) \times g = \rho (\pi r^2 L) g$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ તારની લંબાઈ $L$ ની બંને બાજુઓ પર લાગે છે. તેથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_T = 2TL$ છે.
તાર ડૂબ્યા વિના તરે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગતા બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$2TL = \rho \pi r^2 L g$
$2T = \rho \pi r^2 g$
$r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$
$r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$
પાતળા તાર માટે પૃષ્ઠતાણ બળની સરખામણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ નગણ્ય હોવાથી આપણે તેને અવગણીએ છીએ.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ છે.
$n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n_i = 4$ થી $n_f = 3$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{7}\lambda$.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
પ્રથમ સોલેનોઈડ માટે: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.28 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$,જ્યાં $n_1 = 200 \ turns/cm$ અને $i_1 = i$.
બીજા સોલેનોઈડ માટે: $n_2 = 100 \ turns/cm$ અને $i_2 = i/3$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 n_2 i_2}{\mu_0 n_1 i_1} = \frac{n_2 i_2}{n_1 i_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_2}{6.28 \times 10^{-2}} = \frac{100 \times (i/3)}{200 \times i} = \frac{100}{200 \times 3} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$B_2 = \frac{6.28 \times 10^{-2}}{6} \approx 1.05 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ મળે છે.
જેમ જેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,તેથી $X_C$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $V_0$ અચળ હોવાથી અને $Z$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વ્યય થતા પાવર $P = I^2 R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વ્યય થતો પાવર વધે છે અને બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થાય છે.

(B) ખ્યાલ: $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય, એટલે કે $X_L = X_C$.
આ સ્થિતિમાં, કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ લઘુત્તમ બને છે, જે $R$ જેટલું હોય છે.
$Z$ લઘુત્તમ હોવાથી, પ્રવાહ $I = V/Z$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવાથી, પરિપથ સંપૂર્ણપણે અવરોધક (purely resistive) તરીકે વર્તે છે, ઇન્ડક્ટિવ તરીકે નહીં.
તેથી, અનુનાદ સમયે પરિપથ સંપૂર્ણપણે ઇન્ડક્ટિવ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ થાય છે,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_c = \frac{1}{2}CV_2^2$ છે.
આ ક્ષણે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2}LI^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $U_i = U_c + U_L$.
$\frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}LI^2$.
$LI^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$.
$I^2 = \frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)$.
$I = \sqrt{\frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $LC$ સમાંતર રેઝોનન્સ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ સમાન હોય.
આ સ્થિતિમાં,સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ હોય છે,જેના પરિણામે સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ લઘુત્તમ હોય છે.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $X_L = X_C$ છે,જેનો અર્થ છે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
કોણીય આવૃત્તિ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મળે છે.
તેથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ વિકલ્પમાં રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $= \sqrt{LC}$ આપેલ હોવાથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ $X_C$ સતત ઘટે છે. તેથી,$(A)-(iv)$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ $X_L$ સતત વધે છે. તેથી,$(B)-(i)$.
અવરોધ $R$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$(C)-(ii)$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. રેઝોનન્સ સમયે,$X_L = X_C$,તેથી $Z$ ન્યૂનતમ હોય છે. જેમ $\omega$ શૂન્યથી વધે છે,તેમ $Z$ પહેલા રેઝોનન્સ સુધી ઘટે છે અને પછી વધે છે. તેથી,$(D)-(iii)$.

(B) જ્યારે શુદ્ધ કેપેસિટરને $A$.$C$. સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વોલ્ટેજ $e_c = V_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C e_c = C V_0 \sin(\omega t)$ છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i_c = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} [C V_0 \sin(\omega t)] = \omega C V_0 \cos(\omega t) = \omega C V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ $i_c$ એ વોલ્ટેજ $e_c$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન જેટલો કળામાં આગળ છે.
આપેલ ફેઝર આકૃતિઓમાં,$i_c$ દર્શાવતો સદિશ એ $e_c$ દર્શાવતા સદિશ કરતા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $90^{\circ}$ આગળ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,આકૃતિ $(B)$ માં,પ્રવાહ સદિશ $i_c$ એ વોલ્ટેજ સદિશ $e_c$ કરતા $90^{\circ}$ આગળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ વ્યક્તિગત ઘટકોની આસપાસના વોલ્ટેજનો ફેઝર સરવાળો છે.
કુલ વોલ્ટેજ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 50 \,V$
$V_C = 20 \,V$
$V_R = 40 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $A.C.$ વોલ્ટેજ $50 \,V$ છે.

(B) મહત્તમ પ્રવાહની સ્થિતિમાં,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે.
અનુનાદ પર $V_C = I_{max} X_C$ અને $V_L = I_{max} X_L$ હોવાથી,$V_C = V_L$ થાય છે.
ગણતરી મુજબ,$U_L = U_C$ હોવું જોઈએ,પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $5:1$ છે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$ થાય.
તેથી,$\frac{X_L}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = R$.
અહીં $R = 100 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $X_L = 100 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$100 = 2 \pi \times 100 \times L$.
$L$ માટે ગણતરી કરતા,$L = \frac{100}{2 \pi \times 100} = \frac{1}{2 \pi} \ H$ મળે છે.

(C) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ સમાન હોય છે:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આપેલ કિંમતો: $L = 0.16 H$ અને $C = 25 \times 10^{-6} F$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.16 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 2 \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1}{4 \pi \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1000}{4 \pi} Hz = \frac{250}{\pi} Hz$.

(B) અનુનાદ આવૃત્તિ $f_R$ પર, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ સમાન હોય છે, તેથી $X_L = X_C = X_0$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરીને $f' = 2 f_R$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L_1} = 2 \pi (2 f_R) L = 2 X_L = 2 X_0$ થાય છે.
નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C_1} = \frac{1}{2 \pi (2 f_R) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{1}{2} X_0$ થાય છે.
$X_{L_1} = 2 X_0$ પરથી, આપણને $X_0 = \frac{X_{L_1}}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત $X_{C_1}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, $X_{C_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{X_{L_1}}{2} \right) = \frac{X_{L_1}}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, વોલ્ટેજ $V = 35 \text{ V}$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 200 \text{ mH} = 200 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$LC$ સર્કિટમાં, કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $U_E = U_B$, તેથી $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$.
$I_{\text{max}}$ માટે ઉકેલતા: $I_{\text{max}} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\text{max}} = 35 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{200 \times 10^{-3}}} = 35 \times \sqrt{\frac{1}{10000}} = 35 \times \frac{1}{100} = 0.35 \text{ A}$.

(C) $LC$ સર્કિટમાં, કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે। કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
જ્યારે કોઈલમાં પ્રવાહ મહત્તમ $(I_{max})$ હોય, ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ હોય છે.
સર્કિટમાં કોઈ અવરોધ ન હોવાથી, કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે, તેથી પ્રારંભિક વિદ્યુત ઉર્જા મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આપેલ છે: $C = 1 \, \mu F = 1 \times 10^{-6} \, F$, $V = 50 \, V$, $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 10^{-2} \, H$.
$I_{max} = 50 \times \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6}}{10^{-2}}}$
$I_{max} = 50 \times \sqrt{10^{-4}}$
$I_{max} = 50 \times 10^{-2} \, A = 0.5 \, A$.

(A) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
તેથી,પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = 0$ થાય છે.
આ કિંમત ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{e_0}{Z}$ છે.
આમ,અનુનાદ સમયે,$i = \frac{e_0}{R}$ થાય છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી બદલાતી ન હોવાથી,$f = f'$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$LC = L'C'$ મળે.
અહીં કેપેસીટન્સ $C$ થી બદલીને $C' = 2C$ કરવામાં આવે છે,તેથી:
$LC = L'(2C)$.
બંને બાજુ $2C$ વડે ભાગતા,$L' = \frac{L}{2}$ મળે.
આમ,ઇન્ડક્ટન્સને બદલીને $\frac{L}{2}$ કરવું જોઈએ.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,અને પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,અને $V_{rms} = 0.1 \ V$.
અનુનાદ સમયે પરિપથમાં પ્રવાહ $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) આ પરિપથ એક $LCR$ શ્રેણી પરિપથ છે જેમાં અવરોધ $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 50 \text{ } \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આપેલ છે કે $\omega = 2000 \text{ rad/s}$,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ થાય.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ થાય.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R = 10 \Omega$ મળે.
આમ,પ્રવાહનું કંપનવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2 \text{ A}$ થાય.

(D) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલો હોય છે.
$X_L = X_C$
$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ $(f)$ માટે સૂત્ર મેળવતા:
$f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અનુનાદિત આવૃત્તિ $(f)$ માત્ર ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ અને કેપેસિટન્સ $(C)$ પર આધાર રાખે છે.
તે અવરોધ $(R)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો અવરોધ અડધો કરવામાં આવે,તો અનુનાદિત આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહેશે.

(B) શ્રેણી $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ સર્કિટમાં કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય છે.
કારણ કે $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (ધારી લઈએ કે $X_C$ શૂન્ય નથી),તેથી નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2$ એ મૂળ ઈમ્પીડન્સ $Z_1$ કરતા ઓછો છે.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{Z}$.
જેમ કે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે,તેથી સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ વધે છે.

(A) ઇન્ડક્ટર માટે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ છે. પ્રવાહ $I = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{2\pi f L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$I \propto \frac{1}{f}$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ પ્રથમ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
કેપેસિટર માટે,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે. પ્રવાહ $I = \frac{V}{X_C} = V(2\pi f C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$I \propto f$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ બીજી સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ વધે છે.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં,$X_L = \omega L = 2 \pi f L$ થાય.
આપેલ છે: $L = \frac{1}{\pi} \text{ H}$,$R = 300 \text{ } \Omega$,અને $f = 200 \text{ Hz}$.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \text{ } \Omega$.
હવે,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જ્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ સ્વભાવનો હોય ત્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા વધારે હોય.
$X_L > X_C$
$\Rightarrow \omega L > \frac{1}{\omega C}$
$\Rightarrow \omega^2 > \frac{1}{LC}$
$\Rightarrow \omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$
કારણ કે $\omega = 2\pi N$ અને $N_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$,તેથી શરત નીચે મુજબ બને છે:
$N > N_R$

(C) શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,વોલ્ટેજ $(e_R)$ અને પ્રવાહ $(i_R)$ સમાન કળામાં હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે. તેથી,આ સંબંધને દર્શાવતો ફેઝર ડાયાગ્રામ બંને સદિશોને એક જ દિશામાં દર્શાવે છે,જે આકૃતિ $(A)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) તત્કાલિન પ્રવાહ $I = 6 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{4})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલિન વોલ્ટેજ $V = 5 \sin(100 \pi t - \frac{\pi}{4})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_I = 100 \pi t + \frac{\pi}{4}$ છે.
વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_V = 100 \pi t - \frac{\pi}{4}$ છે.
પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\Delta \phi = \phi_I - \phi_V = (100 \pi t + \frac{\pi}{4}) - (100 \pi t - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
અહીં $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ (અથવા $90^{\circ}$) છે અને પ્રવાહનો ફેઝ વોલ્ટેજના ફેઝ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ છે.

(D) સમયગાળા $t = 0$ થી $t = \frac{\pi}{\omega}$ માટે $A$.$C$. વોલ્ટેજ $V = V_{m} \sin(\omega t)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$V_{av} = \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V dt}{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} dt}$
$V_{av} = \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} V_{m} \sin(\omega t) dt}{\frac{\pi}{\omega} - 0}$
$V_{av} = \frac{V_{m}}{\frac{\pi}{\omega}} \left[ -\frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{\frac{\pi}{\omega}}$
$V_{av} = \frac{V_{m} \omega}{\pi} \left( -\frac{1}{\omega} \right) [\cos(\pi) - \cos(0)]$
$V_{av} = -\frac{V_{m}}{\pi} [-1 - 1]$
$V_{av} = -\frac{V_{m}}{\pi} [-2] = \frac{2 V_{m}}{\pi}$

(A) પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_i = -\frac{\pi}{6}$ છે.
વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_E = +\frac{\pi}{3}$ છે.
વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા જેટલા ફેઝ તફાવત $\phi$ થી આગળ છે તે $\phi = \phi_E - \phi_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\phi = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})$.
$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ છે.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L$ છે, જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $X_L = 2 \pi f L$ મળે છે.
અહીં $X_L = 11 \, \Omega$ અને $L = 0.07 \, H$ આપેલ છે, તેથી આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે:
$f = \frac{X_L}{2 \pi L} = \frac{11}{2 \times 3.14159 \times 0.07} \approx \frac{11}{0.4398} \approx 25 \, Hz$.
આમ, ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ $25 \, Hz$ છે.

(C) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_c$ નું સૂત્ર: $X_c = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $X_c = \frac{1}{1000} \Omega = 10^{-3} \Omega$ અને $C = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$10^{-3} = \frac{1}{2 \pi f (5 \times 10^{-6})}$
$10^{-3} = \frac{1}{10 \pi f \times 10^{-6}}$
$10^{-3} = \frac{1}{\pi f \times 10^{-5}}$
આવૃત્તિ $f$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$f = \frac{1}{10^{-3} \times \pi \times 10^{-5}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{\pi} \text{ Hz}$.
કારણ કે $1 \text{ MHz} = 10^6 \text{ Hz}$,તેથી $f = \frac{100 \times 10^6}{\pi} \text{ Hz} = \frac{100}{\pi} \text{ MHz}$.

(A) ધારો કે $t^{\prime}$ એ સમય છે જ્યારે e.m.f. તેના મહત્તમ મૂલ્યના અડધા જેટલું હોય.
આપેલ સમીકરણ $e = e_0 \sin \omega t$ માં,આપણે $e = \frac{e_0}{2}$ મૂકીએ.
$\frac{e_0}{2} = e_0 \sin (\omega t^{\prime})$
$\frac{1}{2} = \sin (\omega t^{\prime})$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\omega t^{\prime} = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{2\pi}{T}) t^{\prime} = \frac{\pi}{6}$
$t^{\prime} = \frac{T}{12}$.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$f = \frac{X_L}{2 \pi L}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $X_L = 330 \Omega$ અને $L = 0.25 mH = 0.25 \times 10^{-3} H$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{330}{2 \times (22/7) \times 0.25 \times 10^{-3}}$.
$f = \frac{330 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25 \times 10^{-3}} = \frac{2310}{11 \times 10^{-3}} = 210 \times 10^3 Hz = 210 kHz$.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_L = 2 \pi f L$
જ્યાં $f$ એ અલ્ટરનેટિંગ કરંટની આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $X_L$ એ આવૃત્તિ $(f)$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ બંનેના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$X_L \propto f$ અને $X_L \propto L$.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $e = 220 \sin(50t)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_C = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $I_0$ નું સૂત્ર $I_0 = \frac{E_0}{X_C}$ છે.
$I_0 = \frac{220}{400} = \frac{22}{40} = 0.55 \text{ A}$.

(D) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, પાવર ઇનપુટ એ પાવર આઉટપુટ જેટલું હોય છે。
આપેલ પાવર $P = 6.6 \,kW = 6600 \,W$ છે。
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 4.4 \,kV = 4400 \,V$ છે。
સેકન્ડરી કોઈલમાં પાવરનું સૂત્ર $P = V_s \times I_s$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $6600 \,W = 4400 \,V \times I_s$.
સેકન્ડરી કરંટ $I_s$ માટે ઉકેલતા: $I_s = \frac{6600}{4400} \,A = 1.5 \,A$.

(A) આપેલ છે: સેકન્ડરી આંટા અને પ્રાઈમરી આંટાનો ગુણોત્તર $\frac{N_{S}}{N_{P}} = \frac{1}{20}$.
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_{S} = 8 \, V$.
સેકન્ડરી અવરોધ $R_{S} = 0.4 \, \Omega$.
સૌ પ્રથમ, ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડરી પ્રવાહ $I_{S}$ શોધો: $I_{S} = \frac{V_{S}}{R_{S}} = \frac{8 \, V}{0.4 \, \Omega} = 20 \, A$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, પ્રવાહ અને આંટા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{I_{P}}{I_{S}} = \frac{N_{S}}{N_{P}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{P} = I_{S} \times \frac{N_{S}}{N_{P}} = 20 \, A \times \frac{1}{20} = 1 \, A$.
તેથી, પ્રાઈમરી પ્રવાહ $1 \, A$ છે.

(C) ધારો કે $I$ એ સેકન્ડરી કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રાઈમરી કોઈલમાં ઇનપુટ પાવર $P_{in} = V \times i = 220 \,V \times 5 \,A = 1100 \,W$ છે.
કારણ કે $50 \%$ પાવરનો વ્યય થાય છે, તેથી આઉટપુટ પાવર $P_{out}$ એ ઇનપુટ પાવરના $50 \%$ છે.
$P_{out} = 0.50 \times P_{in} = 0.50 \times 1100 \,W = 550 \,W$.
આઉટપુટ પાવર $P_{out} = V^{\prime} \times I$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V^{\prime} = 2200 \,V$ છે.
તેથી, $2200 \,V \times I = 550 \,W$.
$I = \frac{550}{2200} \,A = 0.25 \,A$.

(D) ટ્રાન્સફોર્મર એ એક વિદ્યુત ઉપકરણ છે જે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ દ્વારા બે કે તેથી વધુ સર્કિટ વચ્ચે વિદ્યુત ઊર્જાનું સ્થાનાંતર કરે છે.
તેમાં બે ગૂંચળાં હોય છે,પ્રાથમિક ગૂંચળું અને ગૌણ ગૂંચળું,જે ચુંબકીય રીતે જોડાયેલા હોય છે.
જ્યારે પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ગૌણ ગૂંચળા સાથે જોડાયેલું હોય છે,જે તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત કરે છે.
આ ઘટના,જેમાં એક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે નજીકના ગૂંચળામાં $EMF$ પ્રેરિત થાય છે,તેને અન્યોન્ય પ્રેરણ (mutual induction) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(D) આદર્શ (લોસલેસ) ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ પ્રાઇમરી કોઈલનો પાવર ઇનપુટ અને સેકન્ડરી કોઈલનો પાવર આઉટપુટ સમાન હોય છે:
$P_P = P_S$
$V_P I_P = V_S I_S$
આપેલ છે:
$V_P = 200 \,V$
$V_S = 25 \,V$
$I_S = 2 \,A$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$200 \,V \times I_P = 25 \,V \times 2 \,A$
$200 \times I_P = 50$
$I_P = \frac{50}{200} \,A$
$I_P = 0.25 \,A$
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા:
$I_P = 0.25 \times 1000 \,mA = 250 \,mA$

(D) આપેલ છે: કાર્યક્ષમતા $\eta = 90 \% = 0.9$,પ્રાથમિક વોલ્ટેજ $V_P = 200 \ V$,પ્રાથમિક પાવર $P_P = 3 \ kW = 3000 \ W$,ગૌણ પ્રવાહ $I_S = 6 \ A$.
પ્રથમ,$P_P = V_P \times I_P$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક પ્રવાહ $I_P$ શોધો:
$I_P = \frac{P_P}{V_P} = \frac{3000 \ W}{200 \ V} = 15 \ A$.
ત્યારબાદ,કાર્યક્ષમતાનો ઉપયોગ કરીને આઉટપુટ પાવર (ગૌણ પાવર) $P_S$ શોધો: $P_S = \eta \times P_P = 0.9 \times 3000 \ W = 2700 \ W$.
છેલ્લે,$P_S = V_S \times I_S$ નો ઉપયોગ કરીને ગૌણ વોલ્ટેજ $V_S$ શોધો:
$V_S = \frac{P_S}{I_S} = \frac{2700 \ W}{6 \ A} = 450 \ V$.
આમ,ગૌણ વોલ્ટેજ $450 \ V$ અને પ્રાથમિક પ્રવાહ $15 \ A$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ લાયમન શ્રેણી $(n_1 = 1)$ ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_1 = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_1 = 4)$ અથવા ફંડ શ્રેણી $(n_1 = 5)$ ને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n=6$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય પ્રકાશ) છે.
$(B)$ $n=5$ થી $n=3$ એ પાશ્ચન શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ) છે.
$(C)$ $n=3$ થી $n=5$ એ શોષણ પ્રક્રિયા છે,ઉત્સર્જન નથી.
$(D)$ $n=4$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય પ્રકાશ) છે.
તેથી,$n=5$ થી $n=3$ નું સંક્રમણ ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ આપે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવસ્થિતિમાં થાય છે,તેથી $n_1 = 1$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાથી ધરાવસ્થિતિમાં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = 2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3 R}{4}$.

(B) બામર શ્રેણીમાં દ્રશ્યમાન વિકિરણની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)$ જ્યાં $m = 3, 4, 5, ...$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4 m^2} \right)$
$\lambda$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા:
$\lambda = \frac{4 m^2}{R(m^2 - 4)}$
આપેલ સમીકરણ $\lambda = \frac{k m^2}{m^2 - 4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$k = \frac{4}{R}$

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^{\text{nd}}$ કક્ષા માટે,$n = 2$,તેથી $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{2I\pi^2}$ મળે છે.

(C) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ અને $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n=2$ કક્ષામાં થતું સંક્રમણ રેખા નક્કી કરે છે:
- $n=3$ થી $n=2$ માટે,આપણને બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા મળે છે.
- $n=4$ થી $n=2$ માટે,આપણને બામર શ્રેણીની બીજી રેખા મળે છે.
તેથી,ચોથી કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં થતું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(A) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
વર્ણપટ શ્રેણીની છેલ્લી રેખા અનંત ઉર્જા સ્તરથી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = \infty$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,આપણને મળે છે: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\bar{\nu} = 2.5 \times 10^6 \, m^{-1}$.

(D) ખ્યાલ: બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા.
બોહરના મોડેલમાં, $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
તેથી, $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ થાય.
સૌથી નાની કક્ષા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) માટે, $n = 1$, તેથી $r_1 = a_0 (1)^2 = a_0$.
ત્રીજી કક્ષા માટે, $n = 3$, તેથી ત્રિજ્યા:
$r_3 = a_0 (3)^2 = 9 a_0$ થાય.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ખ્યાલ: ઉત્સર્જિત થતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \quad \dots(1)$
ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ:
$f = \frac{c}{\lambda} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$f = c R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
આપેલ કિંમતો: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$R_{H} = 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f = (3 \times 10^8) \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{4-1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \frac{3}{16}$
$f = \frac{9}{16} \times 10^{15} \ Hz$

(D) ઓર્બિટલ ચુંબકીય મોમેન્ટને $m_{orb} = iA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $i = \frac{e}{T}$ એ પ્રવાહ છે,$A = \pi r^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $T$ એ ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
$i$ અને $A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m_{orb} = e \left( \frac{\pi r^2}{T} \right) \dots (1)$ મળે છે.
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (2)$.
વળી,સમયગાળો $T$ એ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r}{T} = \frac{v}{2\pi}$.
આને $m_{orb}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $m_{orb} = e \pi r \left( \frac{r}{T} \right) = e \pi r \left( \frac{v}{2\pi} \right) = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$vr = \frac{nh}{2\pi m}$.
આને $m_{orb}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $m_{orb} = \frac{e}{2} \left( \frac{nh}{2\pi m} \right) = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$ મળે છે.
અહીં $e, h, \pi,$ અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $m_{orb} \propto n$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,સ્થિત-વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{2 r}$
ગતિઊર્જા $K$ ને $\frac{1}{2} m v^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી:
$K = \frac{e^2}{2 r}$
આમ,ગતિઊર્જા $\frac{e^2}{2 r}$ ના પ્રમાણમાં છે.