MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2 \times \sqrt{3} \times 1}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$
अब,कोण $B$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos B = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{1+1-3}{2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos B = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए $B = 120^{\circ}$ है।

(C) माना $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
समीकरणों को जोड़ने पर: $2(a+b+c) = 36k \implies a+b+c = 18k$.
अतः $a = 18k - 11k = 7k$,$b = 18k - 12k = 6k$,और $c = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{1}{5}$,$\cos B = \frac{19}{35}$,और $\cos C = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(C) कुल छात्रों की संख्या $20$ है,इसलिए बारंबारताओं का योग $20$ होगा:
$(x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$
$(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$
$2x^2 + 2x - 4 = 20$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
$(x+4)(x-3) = 0$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 3$ है।
अब,$x=3$ को बारंबारता वितरण में रखने पर:
अंक $(x_i)$: $2, 3, 5, 7$
बारंबारता $(f_i)$: $16, 1, 0, 3$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20}$
$= \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$

(B) माना कि दो अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
$5$ प्रेक्षणों का माध्य $4.4$ है,इसलिए प्रेक्षणों का योग $5 \times 4.4 = 22$ है।
$1 + 2 + 6 + x + y = 22 \Rightarrow x + y = 13$.
प्रसरण $8.24$ दिया गया है,सूत्र $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41 + x^2 + y^2}{5} = 27.60$.
$x^2 + y^2 = 97$.
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$ को हल करने पर,$x^2 - 13x + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x = 4$ या $x = 9$.
अन्य दो प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन ($S$.$D$.) ज्ञात करने का सूत्र है: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$.
यहाँ $\sigma = 2$ दिया गया है,इसलिए:
$2 = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{n^2-1}{12}$
$48 = n^2 - 1$
$n^2 = 49$
$n = 7$ (चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है)।
अतः,$n$ का मान $7$ है।

(B) दिया गया है: माध्य $\bar{x} = 16$ और मानक विचलन $\sigma = 16$ है।
माना $y_i = x_i - 5$ है।
नए प्रेक्षणों $y_i$ का माध्य $\bar{y} = \bar{x} - 5 = 16 - 5 = 11$ होगा।
जब प्रत्येक प्रेक्षण से एक स्थिरांक घटाया जाता है तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $\sigma_y = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma_y^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$ होता है।
मान रखने पर: $16^2 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 11^2$।
$256 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 121$।
$\frac{\sum (x_i-5)^2}{50} = 256 + 121 = 377$।
अतः,$(x_i-5)^2$ का माध्य $377$ है।

(C) दिया गया है $\sum x = 12$,$\sum x^2 = 16.9$,और $n = 10$।
मानक विचलन का सूत्र $S.D. = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\frac{\sum x}{n})^2}$ है।
मान रखने पर:
$S.D. = \sqrt{\frac{16.9}{10} - (\frac{12}{10})^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - (1.2)^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - 1.44}$
$S.D. = \sqrt{0.25}$
$S.D. = 0.5$.

(A) दिया गया है $n = 15$,$\sum X^2 = 2830$,और $\sum X = 170$.
गलत प्रेक्षण $= 20$,सही प्रेक्षण $= 30$.
संशोधित $\sum X = 170 - 20 + 30 = 180$.
संशोधित $\sum X^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \left(\frac{\sum X}{n}\right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(C) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{15}$ हैं।
दिया है,माध्य $\bar{x} = 10$ और प्रसरण $\sigma^2 = 6$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में $k=8$ की वृद्धि की जाती है,तो नए प्रेक्षण $x_i' = x_i + 8$ हो जाते हैं।
नया माध्य $\bar{x}' = \bar{x} + 8 = 10 + 8 = 18$ होगा।
प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है,इसलिए नया प्रसरण $\sigma'^2 = \sigma^2 = 6$ ही रहेगा।
अतः,नया प्रसरण और नया माध्य क्रमशः $6$ और $18$ हैं।

(C) $3$ के प्रथम $10$ गुणज $3, 6, 9, \ldots, 30$ हैं।
माना $x_i = 3i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, 10$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\bar{x} = \frac{3(1+2+\ldots+10)}{10} = \frac{3 \times 10 \times 11}{10 \times 2} = 16.5$.
$\sum x_i^2 = 3^2(1^2+2^2+\ldots+10^2) = 9 \times \frac{10(11)(21)}{6} = 9 \times 385 = 3465$.
$\sigma^2 = \frac{3465}{10} - (16.5)^2 = 346.5 - 272.25 = 74.25$.

(D) दिया गया है $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,और $\sum x = 170$.
गलत प्रेक्षण $20$ है और सही प्रेक्षण $30$ है।
संशोधित $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
संशोधित $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
संशोधित माध्य $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
संशोधित प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(B) त्रिभुज के शीर्षों $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
यहाँ $A(x, 4, -1)$,$B(3, x, -5)$,$C(2, -2, 3)$,और $G(2, 1, -1)$ दिया गया है।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{x+3+2}{3} = 2$.
$x + 5 = 6$.
$x = 1$.
$y$-निर्देशांकों के लिए जाँच करने पर: $\frac{4+x-2}{3} = 1$ $\Rightarrow 2+x = 3$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,$x$ का मान $1$ है।

(A) दी गई रेखाएँ $6x^2+xy-y^2=0$ और $x-2y=10$ हैं।
$6x^2+xy-y^2=0$ का गुणनखंड करने पर,हमें $(2x+y)(3x-y)=0$ प्राप्त होता है।
इससे दो रेखाएँ मिलती हैं: $L_1: 3x-y=0$ और $L_2: 2x+y=0$।
तीसरी रेखा $L_3: x-2y=10$ है।
ढाल (slopes) देखने पर: $L_2$ की ढाल $m_2 = -2$ है और $L_3$ की ढाल $m_3 = 1/2$ है।
चूंकि $m_2 \times m_3 = -1$,इसलिए रेखाएँ $L_2$ और $L_3$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2x+y=0$ और $x-2y=10$ को हल करने पर:
$y = -2x$ को $x-2(-2x)=10$ में रखने पर,$5x=10 \Rightarrow x=2$ प्राप्त होता है।
अतः $y = -4$।
लंबकेंद्र $(2,-4)$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए $G = (r, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ की तुलना करने पर:
$r = \frac{5+1+1}{3} = \frac{7}{3}$
$-\frac{4}{3} = \frac{1+q-2}{3}$ $\Rightarrow -4 = q-1$ $\Rightarrow q = -3$
$\frac{1}{3} = \frac{p+p+3}{3}$ $\Rightarrow 1 = 2p+3$ $\Rightarrow 2p = -2$ $\Rightarrow p = -1$
अतः,$p = -1, q = -3, r = \frac{7}{3}$ है।

(C) परिकेंद्र $C$,लंबकेंद्र $A(-3, 5)$ और केंद्रक $B(3, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{2(3) - 1(-3)}{2 - 1} = 9$
$y = \frac{2(3) - 1(5)}{2 - 1} = 1$
अतः,$C = (9, 1)$।
वृत्त का व्यास $AC$ की लंबाई है।
$AC = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$।
वृत्त की त्रिज्या $\frac{1}{2} AC = 2\sqrt{10}$ होगी।

(A) माना दी गई रेखा $2x - 3y = 5$ की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{2}{3}}{1 + m \cdot \frac{2}{3}} \right|$
$1 = \left| \frac{3m - 2}{3 + 2m} \right|$
अतः,$m = 5$ या $m = \frac{-1}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $(-2, 6)$ और $(4, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1$ है।
$m_1 = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
माना $(8, 12)$ और $(x, 24)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(C) रेखा के अभिलंब रूप का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 5$ और $\alpha = 210^{\circ}$ दिया गया है।
समीकरण में मान रखने पर:
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 5$
चूँकि $\cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(210^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,
$x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 5$
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}x + y = -10$
$\sqrt{3}x + y + 10 = 0$

(A) दी गई रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $3x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि रेखा धनात्मक $Y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड बनाती है,यह बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
$x = 0$ और $y = 3$ को $3x + 2y + \lambda = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(0) + 2(3) + \lambda = 0$
$6 + \lambda = 0$
$\lambda = -6$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x + 2y - 6 = 0$ है।

(C) माना मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और लंब का पाद $N(3, -4)$ है।
रेखाखंड $ON$ की ढाल $m_{ON} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ है।
चूँकि रेखा $L$,$ON$ पर लंब है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $(m_L)$ $m_L \times m_{ON} = -1$ द्वारा दी जाती है।
$m_L \times (-\frac{4}{3}) = -1 \Rightarrow m_L = \frac{3}{4}$।
रेखा $L$,बिंदु $N(3, -4)$ से होकर गुजरती है और इसकी ढाल $m_L = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,रेखा $L$ का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y - 25 = 0$।

(A) माना लंब का पाद $(x, y)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब के पाद का सूत्र:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
मान $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $x - 3y + 7 = 0$ रखने पर:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 3(2) + 7}{1^2 + (-3)^2}$
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 6 + 7}{1 + 9} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$x - 1 = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$y - 2 = -3 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$
अतः,लंब का पाद $\left(\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)$ है।

(B) माना रेखा $x+y+3=0$ पर स्थित बिंदु $(k, -3-k)$ है।
दिया गया है कि इस बिंदु की रेखा $x+2y+2=0$ से लंबवत दूरी $\sqrt{5}$ है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|k + 2(-3-k) + 2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|k - 6 - 2k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|-k - 4| = 5$
$|k + 4| = 5$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$k + 4 = 5 \Rightarrow k = 1$
$k + 4 = -5 \Rightarrow k = -9$
$k = 1$ के लिए,बिंदु $(1, -3-1) = (1, -4)$ है।
$k = -9$ के लिए,बिंदु $(-9, -3-(-9)) = (-9, 6)$ है।

(B) रेखाओं के संगामी होने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$4ax + 2ay + c = 0$ $(i)$
$5bx + 2by + d = 0$ $(ii)$
$(i)$ को $b$ से और $(ii)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$4abx + 2aby + bc = 0$
$5abx + 2aby + ad = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$-abx + bc - ad = 0 \Rightarrow x = \frac{bc - ad}{ab}$
$x$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$y = \frac{4ad - 5bc}{2ab}$
चूँकि बिंदु $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है और अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $x = -y$।
$\frac{bc - ad}{ab} = -(\frac{4ad - 5bc}{2ab})$
$2bc - 2ad = -4ad + 5bc$
$2ad - 3bc = 0$

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। दी गई रेखा $x-2y-3=0$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ होगा।
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $\frac{2m - 1}{2 + m} = 1$ या $\frac{2m - 1}{2 + m} = -1$.
स्थिति $1$: $2m - 1 = 2 + m \Rightarrow m = 3$.
रेखा का समीकरण $y - 2 = 3(x - 3) \Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ है।
स्थिति $2$: $2m - 1 = -2 - m \Rightarrow 3m = -1 \Rightarrow m = -1/3$.
रेखा का समीकरण $y - 2 = -1/3(x - 3) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x - y - 7 = 0$ और $x + 3y - 9 = 0$ हैं।

(C) माना $E = \cos ^2 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 20^{\circ}}{2} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \frac{1+\cos 100^{\circ}}{2}$
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 40^{\circ}] + \frac{1}{2} \cos 100^{\circ}$
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} + \frac{1}{2} [\cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ}]$
$\cos C - \cos D$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} = \frac{3}{4}$.

(C) दिए गए समीकरण $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = -1$ हैं,जहाँ $\theta \in [0, 2\pi]$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\theta$ के संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{4}$ हैं।
$\tan \theta = -1$ के लिए,$\theta$ के संभावित मान $\frac{3\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{4}$ हैं।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ मान $\theta = \frac{7\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया है $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$। चूँकि $0 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{4}$,हमारे पास $0 \leq \alpha+\beta \leq \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\tan (\alpha+\beta)=\frac{3}{4}$।
दिया गया है $\sin (\alpha-\beta)=\frac{5}{13}$। चूँकि $0 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{4}$,हमारे पास $-\frac{\pi}{4} \leq \alpha-\beta \leq \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\tan (\alpha-\beta)=\frac{5}{12}$।
हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$।
अतः,$\tan 2 \alpha = \tan \{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\} = \frac{\tan (\alpha+\beta)+\tan (\alpha-\beta)}{1-\tan (\alpha+\beta) \cdot \tan (\alpha-\beta)}$।
मान रखने पर: $\tan 2 \alpha = \frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{12}}{1-(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} = \frac{56}{33}$।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$.
सर्वसमिका में $\theta = 20^{\circ}$ रखने पर:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos(3 \times 20^{\circ}) + 3 \cos 20^{\circ}$
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos 60^{\circ} + 3 \cos 20^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \frac{1}{2} + 3 \cos 20^{\circ}$.

(A) दिया गया समीकरण $\cot x + \sqrt{3} = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cot x = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,और कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए:
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
अतः,मुख्य हल $\frac{5 \pi}{6}$ और $\frac{11 \pi}{6}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ है।
माना $t = \sin x$. समीकरण $2t^2 + 5t - 3 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
अतः $t = \frac{1}{2}$ या $t = -3$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $\sin x = -3$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin x = \frac{1}{2}$ को हल करने पर।
अंतराल $[0, 3\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
कुल $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है $\cot (A+B) = 0$.
चूंकि $\cot \theta = 0$ तब होता है जब $\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,इसलिए $A+B = \frac{\pi}{2}$ (सरलता के लिए $n=0$ लेने पर)।
अतः,$B = \frac{\pi}{2} - A$.
अब,$B$ का मान $\sin (A+2B)$ में रखने पर:
$\sin (A + 2(\frac{\pi}{2} - A)) = \sin (A + \pi - 2A) = \sin (\pi - A)$.
सर्वसमिका $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin (\pi - A) = \sin A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\tan 3 \theta = -1$.
चूँकि $\tan \frac{3 \pi}{4} = -1$,इसलिए $\tan 3 \theta = \tan \frac{3 \pi}{4}$.
व्यापक हल $3 \theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$3$ से भाग देने पर,$\theta = \frac{n \pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.
मुख्य हलों के लिए,$\theta \in [0, 2 \pi)$ पर विचार करें।
$n = 0$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
$n = 1$ के लिए,$\theta = \frac{7 \pi}{12}$.
$n = 2$ के लिए,$\theta = \frac{11 \pi}{12}$.
$n = 3$ के लिए,$\theta = \frac{5 \pi}{4}$.
$n = 4$ के लिए,$\theta = \frac{19 \pi}{12}$.
$n = 5$ के लिए,$\theta = \frac{23 \pi}{12}$.
अतः,हलों का समुच्चय $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{19 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12}\right\}$ है।

(A) दिया गया है: $\tan A = \frac{1}{2}$ और $\tan B = \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,$\tan 2B = \frac{2 \tan B}{1 - \tan^2 B}$ सूत्र का उपयोग करके $\tan 2B$ ज्ञात करें।
$\tan 2B = \frac{2(\frac{1}{3})}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}$.
अब,$\tan (A + 2B) = \frac{\tan A + \tan 2B}{1 - \tan A \cdot \tan 2B}$ सूत्र का उपयोग करें।
$\tan (A + 2B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2$.

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} \operatorname{cosec} x + 2 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\operatorname{cosec} x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
चूंकि $\sin x$ तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए मुख्य हल हैं:
$x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$
अतः,मुख्य हल $\frac{4 \pi}{3}$ और $\frac{5 \pi}{3}$ हैं।

(A) माना रेखा $L(x, y) = x+y-1 = 0$ है।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $(x_2, y_2) = (\sin \theta, \cos \theta)$ के रेखा के एक ही ओर स्थित होने के लिए,गुणनफल $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$ होना चाहिए।
$L(1, 2) = 1+2-1 = 2 > 0$ है।
अतः,$L(\sin \theta, \cos \theta) > 0$ होना चाहिए।
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ है।
इस अंतराल में,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ तब होता है जब:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
अतः,मानों का समुच्चय $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है।

(D) दिया गया है $\cot \alpha = \frac{1}{2}$,चूँकि $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (तीसरा चतुर्थांश),इसलिए $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = 2$.
दिया गया है $\sec \beta = -\frac{5}{3}$,चूँकि $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ (दूसरा चतुर्थांश),इसलिए $\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1 = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
दूसरे चतुर्थांश में $\tan \beta$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + (-\frac{4}{3})}{1 - (2)(-\frac{4}{3})} = \frac{\frac{6-4}{3}}{1 + \frac{8}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{2}{11}$.

(D) सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 48^{\circ} - \sin^2 12^{\circ} = \cos(48^{\circ} + 12^{\circ}) \cos(48^{\circ} - 12^{\circ})$
$= \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = 1 - 2\sin^2 18^{\circ}$:
$= \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{16} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} \right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^2(-160^{\circ})}{\sin ^2 70^{\circ}} + \frac{\sin (180^{\circ}-\theta)}{\sin \theta}$
चूँकि $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$,इसलिए $\sin^2(-160^{\circ}) = (-\sin 160^{\circ})^2 = \sin^2 160^{\circ}$ है।
साथ ही,$\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{\sin^2 160^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2(180^{\circ}-20^{\circ})}{\sin^2 70^{\circ}} + 1$ हो जाता है।
चूँकि $\sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha$,इसलिए $\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ है।
इस प्रकार,$\frac{\sin^2 20^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + 1 = \frac{\sin^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}} + 1 = \tan^2 20^{\circ} + 1 = \sec^2 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan 160^{\circ} - \tan 110^{\circ}}{1 + \tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}} = \tan(160^{\circ} - 110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$
चूँकि $\tan 50^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 40^{\circ}) = \cot 40^{\circ} = \frac{1}{\tan 40^{\circ}}$
डबल एंगल सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = 20^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 40^{\circ} = \frac{2\tan 20^{\circ}}{1 - \tan^2 20^{\circ}} = \frac{2p}{1 - p^2}$
अतः,$\frac{1}{\tan 40^{\circ}} = \frac{1 - p^2}{2p}$.

(A) माना $a=7k, b=8k, c=9k$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(8k)^2+(9k)^2-(7k)^2}{2(8k)(9k)} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$।
इसी प्रकार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(7k)^2+(9k)^2-(8k)^2}{2(7k)(9k)} = \frac{49+81-64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$।
और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(7k)^2+(8k)^2-(9k)^2}{2(7k)(8k)} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$।
अब,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{2}{3} : \frac{11}{21} : \frac{2}{7}$।
$21$ से गुणा करने पर,हमें $14 : 11 : 6$ प्राप्त होता है।

(C) वर्गों का विस्तार करने पर: $(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 = (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
पदों को समूहित करने पर: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ और $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर: $1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
सरल करने पर: $2 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर: $2 \times 2\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = 4\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

(A) हम जानते हैं कि $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ होता है।
इन मानों को $b \cos 2 \theta + a \sin 2 \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= b \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + a \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{a}{b}$,इसलिए:
$= b \left( \frac{1 - \frac{a^2}{b^2}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right) + a \left( \frac{2 \frac{a}{b}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right)$
$= b \left( \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} \right) + \frac{2a^2 b}{b^2 + a^2}$
$= \frac{b^3 - a^2 b + 2a^2 b}{b^2 + a^2} = \frac{b(b^2 + a^2)}{b^2 + a^2} = b$.

(D) $\triangle ABC$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:\\ $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$\\ दिया गया है कि $a^2+b^2-c^2=ab$,इसलिए:\\ $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$\\ चूँकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $C = \frac{\pi}{3}$ (या $60^{\circ}$) है।

(D) दिए गए शीर्ष $A \equiv(0,3,0), B \equiv(0,0,4)$,और $C \equiv(0,3,4)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0+9+0} = 3$
$b = CA = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+0+16} = 4$
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5$
अब,अंतःकेंद्र $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1+bz_2+cz_3}{a+b+c}\right)$:
$I = \left(\frac{3(0)+4(0)+5(0)}{3+4+5}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{3+4+5}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{3+4+5}\right)$
$I = \left(\frac{0}{12}, \frac{9+0+15}{12}, \frac{0+16+20}{12}\right) = \left(0, \frac{24}{12}, \frac{36}{12}\right) = (0, 2, 3)$
केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+0+0}{3}, \frac{3+0+3}{3}, \frac{0+4+4}{3}\right) = \left(0, \frac{6}{3}, \frac{8}{3}\right) = \left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$
अतः,अंतःकेंद्र और केंद्रक क्रमशः $(0, 2, 3)$ और $\left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$ हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{d y}{d x} = -\cos x$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{d y}{y+1} = \int \frac{-\cos x}{2+\sin x} d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C_1$
इसे सरल करने पर: $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C_1$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C_1$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $(y+1)(2+\sin x) = C$
चूंकि $y(0)=1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2+0) = C \Rightarrow C=4$
अतः,समीकरण है: $(y+1)(2+\sin x) = 4$
$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$x=\frac{\pi}{2}$ रखने पर: $(y+1)(2+\sin\frac{\pi}{2}) = 4$
$(y+1)(2+1) = 4 \Rightarrow 3(y+1) = 4 \Rightarrow y+1 = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} + x^2 e^{x^3+y}$
पदों को अलग करने पर: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + x^2 e^{x^3})$
चरों को पृथक करने पर: $e^{-y} dy = (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
समाकलन हल करने पर: $-e^{-y} = e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} + C$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = -C$
चूंकि $-C$ भी एक स्थिरांक है,इसलिए: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{2y} \cos x$.
चरों को पृथक करने पर: $e^{-2y} dy = \cos x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-2y} dy = \int \cos x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x + C$.
शर्त $y(\frac{\pi}{6}) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{6}$ और $y = 0$ रखने पर:
$-\frac{1}{2} e^{0} = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$.
$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C$,जिसका अर्थ है $C = -1$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x - 1$.
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर: $e^{-2y} = -2 \sin x + 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 \sin x + e^{-2y} - 2 = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(y^3+y)(x^2+1) dy = x(y^4+2y^2) dx$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y^3+y}{y^4+2y^2} dy = \frac{x}{x^2+1} dx$.
बाईं ओर के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2} \int \frac{2y^3+2y}{y^4+2y^2} dy = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
माना $u = y^4+2y^2$,तो $du = (4y^3+4y) dy = 2(2y^3+2y) dy$,इसलिए $(2y^3+2y) dy = \frac{1}{2} du$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2u} du = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
$\frac{1}{4} \ln|y^4+2y^2| = \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + \ln|C_1|$.
$4$ से गुणा करने पर:
$\ln|y^4+2y^2| = 2 \ln|x^2+1| + 4 \ln|C_1| = \ln|(x^2+1)^2| + \ln|C_1^4|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$y^4+2y^2 = C(x^2+1)^2$,जहाँ $C = C_1^4$.
$y^2(y^2+2) = C(x^2+1)^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 3x + 4y$ है।
दोनों पक्षों में घातांक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = e^{3x + 4y} = e^{3x} \cdot e^{4y}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-4y} \, dy = e^{3x} \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-4y} \, dy = \int e^{3x} \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} + C$ मिलता है।
शर्त $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\frac{e^{0}}{-4} = \frac{e^{0}}{3} + C \Rightarrow -\frac{1}{4} = \frac{1}{3} + C$.
$C = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{12}$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} - \frac{7}{12}$.
पूरे समीकरण को $-12$ से गुणा करने पर: $3e^{-4y} = -4e^{3x} + 7$.
अतः,$3e^{-4y} + 4e^{3x} = 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+y^2}{y^2} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
चूंकि $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए: $\int (y^{-2} + 1) dy = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{y} + y = \log(1+e^x) + C$
$y$ से गुणा करने पर: $y^2 - 1 = y \log(1+e^x) + Cy$
$y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) + C)$
वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=1$ रखने पर:
$1^2 - 1 = 1(\log(1+e^0) + C) \Rightarrow 0 = \log(2) + C \Rightarrow C = -\log(2)$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) - \log(2))$
$y^2 - 1 = y \log(\frac{1+e^x}{2})$
$y^2 = 1 + y \log(\frac{1+e^x}{2})$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2(y+1) dx + y^2(x-1) dy = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{x^2}{x-1} dx + \frac{y^2}{y+1} dy = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{x^2}{x-1} dx + \int \frac{y^2}{y+1} dy = C'$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर: $\frac{x^2}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$ और $\frac{y^2}{y+1} = y-1 + \frac{1}{y+1}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int (x+1 + \frac{1}{x-1}) dx + \int (y-1 + \frac{1}{y+1}) dy = C'$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $(\frac{x^2}{2} + x + \log |x-1|) + (\frac{y^2}{2} - y + \log |y+1|) = C'$.
$2$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C'$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C' + 2$.
$(x+1)^2 + (y-1)^2 + 2 \log |(x-1)(y+1)| = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y^2 + xy^2$
दाईं ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2} + C$
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ दी गई है: $\tan^{-1}(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + C \Rightarrow C = 0$
अतः,विशिष्ट हल है: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2}$
इसलिए: $y = \tan \left(x + \frac{x^2}{2}\right)$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 - x + y - xy$
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 - x) + y(1 - x) = (1 - x)(1 + y)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 - x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 - x) dx$
जिससे प्राप्त होता है: $\log(1 + y) = x - \frac{x^2}{2} + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\cos y \,dy = \left(e^x \log x + \frac{e^x}{x}\right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos y \,dy = \int e^x \left(\log x + \frac{1}{x}\right) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर, जहाँ $f(x) = \log x$ और $f'(x) = \frac{1}{x}$:
$\sin y = e^x \log x + C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log_{e}(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \log_{e}(x+1) dx$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log_{e}(x+1)$ और $dv = dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x+1} dx$ और $v = x+1$ प्राप्त होता है।
$\int \log_{e}(x+1) dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$।
अतः,$y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर,$x=0$ और $y=5$ रखने पर:
$5 = (0+1) \log_{e}(0+1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 1 \cdot \log_{e}(1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 0 - 0 + C
\Rightarrow C = 5$।
अतः,हल $y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + 5$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) y \,dx + (1-y) x \,dy = 0$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1+x}{x} \,dx + \frac{1-y}{y} \,dy = 0$
$(\frac{1}{x} + 1) \,dx + (\frac{1}{y} - 1) \,dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\frac{1}{x} + 1) \,dx + \int (\frac{1}{y} - 1) \,dy = C_1$
$\log|x| + x + \log|y| - y = C_1$
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log|xy| + x - y = C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{y}{1+y^2} dy = \frac{x}{1+x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{y}{1+y^2} dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx$
समाकलन को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int \frac{2y}{1+y^2} dy = \int \frac{2x}{1+x^2} dx$
परिणाम: $\ln|1+y^2| = \ln|1+x^2| + \ln C$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln(1+y^2) = \ln(C(1+x^2))$
अतः: $1+y^2 = C(1+x^2)$
$x=2$ और $y=1$ रखने पर: $1+(1)^2 = C(1+(2)^2) \Rightarrow 2 = 5C \Rightarrow C = \frac{2}{5}$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $1+y^2 = \frac{2}{5}(1+x^2)$
$5$ से गुणा करने पर: $5(1+y^2) = 2(1+x^2)$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+y}{x-y}$ है।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,मान लीजिए $y=vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3x+vx}{x-vx} = \frac{3+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{3+v}{1-v} - v = \frac{3+v-v+v^2}{1-v} = \frac{3+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{1-v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{3+v^2} dv - \int \frac{v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{v}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log(3+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(3+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{3x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \log\left(\frac{y^2+3x^2}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = \log|x| + C$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)}=3^x$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = \log_e(3^x)$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = x \log_e 3$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x \log_e 3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int (2 \log_e 3) x \, dx$
$y = (2 \log_e 3) \frac{x^2}{2} + C$
$y = x^2 \log_e 3 + C$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$
मान लीजिए $1-v^2 = t$,तो $-2v dv = dt$,अतः $2v dv = -dt$.
$-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$
$\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$
$\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2-y^2 = Cx$ प्राप्त होता है (जहाँ $C = 1/C_1$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है)।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 2y + 3)dx - (x - y + 1)dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2(x - y) + 3}{x - y + 1}$
माना $v = x - y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{2v + 3}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{2v + 3}{v + 1} = \frac{v + 1 - 2v - 3}{v + 1} = \frac{-(v + 2)}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{v + 1}{v + 2} dv = -dx$
$\Rightarrow \int \left(1 - \frac{1}{v + 2}\right) dv = \int -dx$
$\Rightarrow v - \log|v + 2| = -x + C$
$v = x - y$ रखने पर: $(x - y) - \log|x - y + 2| = -x + C$
$\Rightarrow 2x - y - \log|x - y + 2| = C$
$x = 0, y = 1$ रखने पर: $2(0) - 1 - \log|0 - 1 + 2| = C \Rightarrow -1 - \log(1) = C \Rightarrow C = -1$
अतः,विशिष्ट हल $2x - y - \log(x - y + 2) = -1$ या $2x - y - \log(x - y + 2) + 1 = 0$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx}{x + \sqrt{x^2v}} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}} - v = \frac{-v\sqrt{v}}{1 + \sqrt{v}}$.
चरों को पृथक करने पर: $-\frac{1 + \sqrt{v}}{v\sqrt{v}} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow -(\frac{1}{v^{3/2}} + \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int (v^{-3/2} + v^{-1}) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$-(-2v^{-1/2} - \ln|v|) = \ln|x| + C$.
$2\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln|v| = \ln|x| + C$.
$v = y/x$ रखने पर,$2\sqrt{x/y} + \ln(y/x) = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} - e^x = y e^x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = y e^x + e^x = (y+1) e^x$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int e^x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |y+1| = e^x + C$
प्रारंभिक स्थिति $x = 0$ और $y = 1$ दी गई है:
$\log |1+1| = e^0 + C$
$\log 2 = 1 + C \Rightarrow C = \log 2 - 1$
$C$ का मान सामान्य हल में रखने पर:
$\log (y+1) = e^x + \log 2 - 1$
$\log (y+1) - \log 2 = e^x - 1$
$\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{y+1}{2}\right) = e^x - 1$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dy = xy dx$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ के लिए: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

(C) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर बर्फ की मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -cx$,जहाँ $c > 0$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $x(t) = x_0 e^{-ct}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $15 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 15$ पर,$x(15) = \frac{1}{2} x_0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} x_0 = x_0 e^{-15c}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-15c} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $30 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा ज्ञात करनी है,जो $x(30) = x_0 e^{-30c}$ है।
$x(30) = x_0 (e^{-15c})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} x_0$ है।
इसे $k x_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर संपत्ति $x$ है। दिया गया है $\frac{dx}{dt} = k \sqrt{x}$।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int x^{-1/2} dx = \int k dt$,जिससे $2 \sqrt{x} = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = 9$,इसलिए $2 \sqrt{9} = k(0) + C \Rightarrow C = 6$।
अतः,$2 \sqrt{x} = kt + 6$।
$t = 2$ पर,$x = 16$,इसलिए $2 \sqrt{16} = k(2) + 6 \Rightarrow 8 = 2k + 6 \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1$।
समीकरण $2 \sqrt{x} = t + 6$ बन जाता है।
$5$ और वर्षों के बाद,$t = 2 + 5 = 7$।
$t = 7$ रखने पर,$2 \sqrt{x} = 7 + 6 = 13$।
$\sqrt{x} = 6.5$।
$x = (6.5)^2 = 42.25$ करोड़।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 10^{\circ} C$ परिवेश का तापमान है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-Kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 110^{\circ} C$ और $T_s = 10^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $T(t) = 10 + 100e^{-Kt}$ बन जाता है।
$t = 1 \text{ घंटा}$ पर,$T = 60^{\circ} C$:
$60 = 10 + 100e^{-K(1)} \Rightarrow 50 = 100e^{-K} \Rightarrow e^{-K} = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \log 2$.
अब,$T = 30^{\circ} C$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक कुल समय $t$ ज्ञात करते हैं:
$30 = 10 + 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow 20 = 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-(\log 2)t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\log 5 = -(\log 2)t \Rightarrow t = \frac{\log 5}{\log 2}$.
आवश्यक अतिरिक्त समय $t - 1 = \frac{\log 5}{\log 2} - 1 \text{ घंटे}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = |\log 2 - \sin x|$। चूँकि $\log 2 \approx 0.693$ और $x=0$ के निकट $\sin x$ छोटा है,इसलिए $x=0$ के पड़ोस में $\log 2 - \sin x > 0$ है।
अतः,$x=0$ के निकट $f(x) = \log 2 - \sin x$ है।
तब $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$।
चूँकि $g(x)$,$x=0$ के निकट अवकलनीय फलनों का संयोजन है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय है।
अब,$g^{\prime}(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$।
$x=0$ पर मान रखने पर: $g^{\prime}(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$।

(D) माना $\sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}} = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} = z$.
चूंकि व्यंजक अनंत हैं,हम लिख सकते हैं:
$y - z = z^2 \Rightarrow y = z^2 + z$
$x + z = z^2 \Rightarrow x = z^2 - z$
अब,$z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dz} = 2z + 1$
$\frac{dx}{dz} = 2z - 1$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dz}{dx/dz} = \frac{2z+1}{2z-1}$.
समीकरणों $y = z^2 + z$ और $x = z^2 - z$ को घटाने पर:
$y - x = (z^2 + z) - (z^2 - z) = 2z$.
$2z = y - x$ का मान अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(y-x) + 1}{(y-x) - 1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(B) दिया गया है $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,जिसका अर्थ है $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2 = 4x^2$,इसलिए $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}} = 4x^2-2$ ... $(1)$
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{m} y^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{m} y^{-\frac{1}{m}-1} = 2 \frac{dx}{dy}$ प्राप्त होता है।
$my$ से गुणा करने पर,$y^{\frac{1}{m}} - y^{-\frac{1}{m}} = 2my \frac{dx}{dy} = \frac{2my}{dy/dx}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}-y^{-\frac{1}{m}})^2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ ... $(2)$ हो जाता है।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$(y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2) - (y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2) = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4 = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4$ से विभाजित करने पर,$1 = x^2 - \frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2} = x^2-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2 = m^2y^2$.

(C) दिया गया है $x^y = e^{x-y}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \log x = x - y$
$y(1 + \log x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \log x} \quad \dots(1)$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2}$

(A) दिया गया समीकरण: $e^x + e^y = e^{x+y}$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(e^{x+y})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$e^y \cdot \frac{dy}{dx} - e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^{x+y}) = e^{x+y} - e^x$
चूंकि $e^{x+y} = e^x + e^y$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (e^y - (e^x + e^y)) = (e^x + e^y) - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^x - e^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} (-e^x) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y}{e^x} = -e^{y-x}$

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होती है,जहाँ $u \in \mathbb{R}$ है।
दिए गए समीकरण $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ में इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $xy = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ मिलता है।
बिंदु $(4, 2)$ पर इसका मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4,2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \log (xy) + 3$
लघुगणक के गुणधर्म $\log a - \log b = \log (\frac{a}{b})$ का उपयोग करने पर:
$\log (x+y) - \log (xy) = 3$
$\log \left(\frac{x+y}{xy}\right) = 3$
लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में बदलने पर:
$\frac{x+y}{xy} = e^3$
$\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = e^3$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (y^{-1}) + \frac{d}{dx} (x^{-1}) = \frac{d}{dx} (e^3)$
$-y^{-2} \frac{dy}{dx} - x^{-2} = 0$
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2} = -\left(\frac{y}{x}\right)^2$

(A) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \log (xy) + a$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\log (x+y) - \log (xy) = a$
$\log \left( \frac{x+y}{xy} \right) = a$
$\frac{x+y}{xy} = e^a$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^a$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2}$
$x=2$ और $y=4$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4^2}{2^2} = -\frac{16}{4} = -4$

(A) दिया गया है $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
हम जानते हैं कि $(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4(\sec^n \theta \cdot \cos^n \theta) = y^2 + 4$।
इसी प्रकार,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = x^2 + 4$।
अब,$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta \cdot \sec \theta \tan \theta - n \cos^{n-1} \theta \cdot (-\sin \theta) = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$।
और $\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = n \frac{\sec^n \theta + \cos^n \theta}{\sec \theta + \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = n^2 \frac{(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2} = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$।

(D) दिया गया है कि $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$.
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t$.
अतः,$y = \sqrt{a^{\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t}} = \sqrt{\frac{a^{\pi/2}}{a^{\sin^{-1} t}}} = \frac{\sqrt{a^{\pi/2}}}{\sqrt{a^{\sin^{-1} t}}} = \frac{k}{x}$,जहाँ $k = \sqrt{a^{\pi/2}}$ एक स्थिरांक है।
अब,$xy = k$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$.
$x \frac{dy}{dx} = -y$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(C) माना $t = \tan \theta$ है। तब $\theta = \tan^{-1} t$ होगा।
$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$.
चूंकि $x = \theta$ और $y = \theta$ है,इसलिए $y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) दिया गया है $x = t + \frac{1}{t}$ और $y = t - \frac{1}{t}$.
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t + t^{-1}) = 1 - t^{-2} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1}) = 1 - (-t^{-2}) = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2}$.
अब,प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 + 1)/t^2}{(t^2 - 1)/t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$.

(D) दिया गया है $y = (x^x)^x$.
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{mn}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = x^{x \cdot x} = x^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = \log(x^{x^2}) = x^2 \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (2x) = x + 2x \log x$.
$\frac{dy}{dx} = y(x + 2x \log x) = x^{x^2} \cdot x(1 + 2 \log x)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = x \cdot x^{x^2}(1 + 2 \log x)$.

(C) दिया गया है $x = e^{(x/y)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log x = \frac{x}{y}$.
इसका अर्थ है $y \log x = x$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} \cdot \log x + y \cdot \frac{1}{x} = 1$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y = x$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x - y$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x \log x}$.

(C) दिया गया है $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -3 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + 4 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x y_1 = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$1 \cdot y_1 + x \cdot y_2 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x y_1 + x^2 y_2 = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$.
दाईं ओर से $-1$ कॉमन लेने पर:
$x^2 y_2 + x y_1 = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$.
चूंकि $y = 3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x)$,इसलिए:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$.

(B) दिया गया है: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2y \log(2x) = \log 4 + 2x - 2y$
$2y \log(2x) = 2 \log 2 + 2x - 2y$
$2$ से विभाजित करने पर:
$y \log(2x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log 2x) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}$ ... $(1)$
अब,$y \log(2x) = \log 2 + x - y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + y \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = 0 + 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + \frac{y}{x} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(1)$ से $y$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x - \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log 2x) - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x + x \log 2x - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
दोनों पक्षों को $(1 + \log 2x)$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x}$

(A) दिया गया है $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \{ \log(1+\sin x) - \log(1-\sin x) \}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos x}{1+\sin x} - \frac{-\cos x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1-\sin x} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{1-\sin^2 x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{\cos^2 x} \right) = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2$.

(D) माना $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} [\log(1+\sin x) - \log(1-\sin x)]$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+\sin x} \cdot \cos x - \frac{1}{1-\sin x} \cdot (-\cos x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{\cos x}{1-\sin x} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{2}{1-\sin^2 x} \right] = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \sec x$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}) = b \cdot a \cdot e^{ax} + a \cdot b \cdot e^{bx} = ab(e^{ax} + e^{bx})$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab \cdot e^{ax} + ab \cdot e^{bx}) = ab \cdot a \cdot e^{ax} + ab \cdot b \cdot e^{bx} = a^2b \cdot e^{ax} + ab^2 \cdot e^{bx}$.
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2b \cdot e^{a(0)} + ab^2 \cdot e^{b(0)} = a^2b(1) + ab^2(1) = a^2b + ab^2$.
$ab$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(D) दिया गया समीकरण: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(A) दिया गया समीकरण $x^y \cdot y^x = 16$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
अब,बिंदु $(2, 2)$ का मान रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(B) माना $x = a \cos^3 t$ और $y = a \sin^3 t$ है। हमें $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ और $\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$ है।
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx}$ ज्ञात करें।
चूंकि $\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$ है,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t}$ होगा।
अतः,$\frac{d^2 y}{dx^2} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4 \sqrt{2}}{3a}$।

(A) माना $u = \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ और $v = \tan ^{-1} x$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\theta = \tan ^{-1} x$ है।
चूँकि $-1 < x < 1$ है,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ है।
अतः $u = \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$ है।
अब,हमें $\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(2 \tan ^{-1} x)$ ज्ञात करना है।
चूँकि $v = \tan ^{-1} x$ है,इसलिए $u = 2v$ है।
अतः,$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(2v) = 2$ है।

(B) माना $y = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$.
हम जानते हैं कि $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.
माना $x = \sin\theta$,तो $\theta = \sin^{-1}x$.
चूंकि $\frac{1}{2} < x < 1$,इसलिए $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
अतः $3\theta$ का मान $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ के बीच होगा।
इस अंतराल में,$\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = \pi - 3\theta$ होता है।
अतः,$y = \pi - 3\sin^{-1}x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\pi - 3\sin^{-1}x) = 0 - 3 \times \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) दिया गया है $y = e^{\cos ^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log _e y = \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left( \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{d x} \cos ^{-1}(u) = \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = \sqrt{1-x^2}$ है।
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (1-x^2)^{1/2} \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2}} \cdot \left( \frac{1}{2} (1-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.
मान लीजिए $x > 0$,तो $|x| = x$,अतः $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$
$y = \tan^{-1} \left( \cot \frac{x}{2} \right)$
चूंकि $\cot \frac{x}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right)$,इसलिए:
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.