MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}(\sec x - \tan x)$।
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sec x - \tan x = \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2}{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})} = \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos\frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \tan\frac{x}{2}}{1 + \tan\frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\sec x + \tan x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)} = \frac{\cos(x/2) + \sin(x/2)}{\cos(x/2) - \sin(x/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
अब,$f(x) = \int f^{\prime}(x) dx = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^2 + \pi x}{4}$.
$x = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{1^2 + \pi(1)}{4} = \frac{\pi+1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x = \cos \theta$,तब $\theta = \cos^{-1} x$।
$x = \cos \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin \left(2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)$
सर्वसमिका $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin \left(2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right) = \sin \left(2 \tan^{-1} \left(\cot \frac{\theta}{2}\right)\right)$
चूंकि $\cot \frac{\theta}{2} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)$ है:
$y = \sin \left(2 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)\right) = \sin (\pi - \theta) = \sin \theta$
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ है:
$y = \sqrt{1 - x^2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} \times \frac{d}{dx}(1 - x^2) = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} \times (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

(B) दिया गया है $y=\sec ^{-1}\left(\frac{x+x^{-1}}{x-x^{-1}}\right)$.
$\sec^{-1}$ फलन के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x+x^{-1}}{x-x^{-1}} = \frac{x+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}} = \frac{x^2+1}{x^2-1} = -\frac{1+x^2}{1-x^2}$.
माना $x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1} x$.
यह व्यंजक $-\frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta} = -\frac{1}{\cos 2\theta} = -\sec 2\theta$ बन जाता है।
अतः,$y = \sec^{-1}(-\sec 2\theta)$.
सर्वसमिका $\sec^{-1}(-z) = \pi - \sec^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \pi - \sec^{-1}(\sec 2\theta) = \pi - 2\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = \tan^{-1} x$ वापस रखने पर,$y = \pi - 2\tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\pi) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 0 - 2\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2}{1+x^2}$.

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{4x}{1+5x^2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{3+8x}{8-3x}\right)$.
हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अंदर के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{5x-x}{1+5x \cdot x}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{8}+x}{1-\frac{3}{8} \cdot x}\right)$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ और $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$y = (\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(\frac{3}{8}) + \tan^{-1}(x))$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(\frac{3}{8})$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(5x)) + \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\frac{3}{8}))$.
चूंकि $\tan^{-1}(\frac{3}{8})$ एक अचर है,इसलिए इसका अवकलज $0$ होगा:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(5x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(5x) + 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2}$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1} \left( \frac{5}{13}x + \frac{12}{13}\sqrt{1-x^2} \right)$.
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{5}{13}$,तो $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = \sin^{-1} (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)$
$y = \sin^{-1} (\sin(\theta + \alpha))$
$y = \theta + \alpha$
चूंकि $\theta = \sin^{-1} x$ और $\alpha = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$ (एक स्थिरांक है),
$y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} (\frac{5}{13})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\cos^{-1} (\frac{5}{13}))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) माना $x = \tan \theta$ है। चूँकि $x \in (1, \infty)$,इसलिए $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः $2\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ होगा।
$f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$
$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) + \cos^{-1}(\cos 2\theta)$
चूँकि $2\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = \pi - 2\theta$ और $\cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ होगा।
अतः,$f(x) = (\pi - 2\theta) + 2\theta = \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x) = \pi$ एक अचर फलन है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{5 x+1}{3-x-6 x^2}\right)$.
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y=\tan ^{-1}\left(\frac{(3 x+2)+(2 x-1)}{1-(3 x+2)(2 x-1)}\right)$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(A)+\tan ^{-1}(B)=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y=\tan ^{-1}(3 x+2)+\tan ^{-1}(2 x-1)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(\tan ^{-1}(3 x+2))+\frac{d}{d x}(\tan ^{-1}(2 x-1))$.
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+(3 x+2)^2} \times 3+\frac{1}{1+(2 x-1)^2} \times 2$.
$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+4+1}+\frac{2}{4 x^2-4 x+1+1}$.
$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+5}+\frac{2}{4 x^2-4 x+2}$.
दूसरे पद को सरल करने पर:
$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+5}+\frac{1}{2 x^2-2 x+1}$.

(C) $\text{दिया गया है } f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \\ \tan^{-1} x, & -1 \le x \le 1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & x > 1 \end{cases}$
$\text{अवकलज } f'(x) \text{ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:}$
$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & x < -1 \\ \frac{1}{1+x^2}, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{2}, & x > 1 \end{cases}$
$\text{बिंदु } x = -1 \text{ पर: बायां अवकलज } = -\frac{1}{2}, \text{ दायां अवकलज } = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}. \text{ चूंकि } -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}, \text{ इसलिए } f(x), x = -1 \text{ पर अवकलनीय नहीं है.}$
$\text{बिंदु } x = 1 \text{ पर: बायां अवकलज } = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}, \text{ दायां अवकलज } = \frac{1}{2}. \text{ हालांकि, सांतत्य की जांच करने पर: } f(1) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}, \text{ लेकिन } \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0. \text{ चूंकि } f(x), x = 1 \text{ पर असंतत है, इसलिए यह } x = 1 \text{ पर अवकलनीय नहीं है.}$
$\text{अतः, } f'(x) \text{ का प्रांत } R - \{-1, 1\} \text{ है.}$

(A) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{6 x \sqrt{x}}{1-9 x^3}\right)$ है।
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) के अंदर के पद को $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2(3 x^{3/2})}{1-(3 x^{3/2})^2}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $2 \tan ^{-1}(\theta) = \tan ^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $y = 2 \tan ^{-1}(3 x^{3/2})$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3 x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3 x^{3/2})$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+9 x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+9 x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{1+9 x^3} \cdot \sqrt{x}$.
इसकी तुलना $\sqrt{x} \cdot g(x)$ से करने पर,हमें $g(x) = \frac{9}{1+9 x^3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $y = \sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}$.
चेन रूल का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$.
आंतरिक पद के लिए भागफल नियम (quotient rule) लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) = \frac{(1+\tan x)(-\sec^2 x) - (1-\tan x)(\sec^2 x)}{(1+\tan x)^2} = \frac{-\sec^2 x - \tan x \sec^2 x - \sec^2 x + \tan x \sec^2 x}{(1+\tan x)^2} = \frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}$.
अब,इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}} \cdot \left(\frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\right) = \frac{-\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan x} \cdot (1+\tan x)^{3/2}}$.

(B) दिया गया है $y = \cos(\sin x^2)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x^2)$
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$
अब,$x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin(\frac{\pi}{2})) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए पूरे व्यंजक का मान:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(1) \cdot 0 \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} = 0$।

(B) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$ है।
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
तब $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}$।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ जानते हैं।
दिया गया है $y = \cos^2\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{5x}{2}\right)$,यहाँ $\theta = \frac{5x}{2}$ रखने पर।
अतः,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5\sin(5x)$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -5 \times \cos(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25\cos(5x)$.
चूंकि $y = \cos(5x)$,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = -25y$.

(B) दिया गया फलन $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x} - 2e^{-x}$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 16e^{4x} + 2e^{-x}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + A\frac{dy}{dx} + By = 0$ में रखने पर:
$(16e^{4x} + 2e^{-x}) + A(4e^{4x} - 2e^{-x}) + B(e^{4x} + 2e^{-x}) = 0$.
$e^{4x}$ और $e^{-x}$ के पदों को समूहित करने पर:
$(16 + 4A + B)e^{4x} + (2 - 2A + 2B)e^{-x} = 0$.
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$16 + 4A + B = 0$ (समीकरण $1$)
$2 - 2A + 2B = 0 \Rightarrow 1 - A + B = 0 \Rightarrow B = A - 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $B = A - 1$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$16 + 4A + (A - 1) = 0 \Rightarrow 5A + 15 = 0 \Rightarrow A = -3$.
अतः $B = -3 - 1 = -4$.
इस प्रकार,$A = -3$ और $B = -4$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2[2x - 5] - 1 = 7$ \\
पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$[2x - 5] = [2x] - 5$ प्राप्त होता है \\
समीकरण में मान रखने पर: $2([2x] - 5) - 1 = 7$ \\
$2[2x] - 10 - 1 = 7$ \\
$2[2x] - 11 = 7$ \\
$2[2x] = 18$ \\
$[2x] = 9$ \\
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[y] = n \Rightarrow n \leq y < n + 1$ \\
अतः,$9 \leq 2x < 10$ \\
$2$ से भाग देने पर,$\frac{9}{2} \leq x < 5$ प्राप्त होता है \\
अतः,$x \in \left[\frac{9}{2}, 5\right)$

(D) फलन $f(x) = e^{|x| \sin x}$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए परिभाषित है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $\mathbb{R}$ है।
चूँकि $|x| \sin x$ का मान $-\infty$ से $\infty$ तक कुछ भी हो सकता है,इसलिए व्यंजक $e^{|x| \sin x}$ हमेशा $0$ से बड़ा होगा।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $(0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x-1)(x+1) > 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $x(x-1)(x+1) > 0$ का हल $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ है।
शर्तों $x \neq \pm 2$ और $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ को संयोजित करने पर,हम $(1, \infty)$ से $x = 2$ को हटा देते हैं।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
अवकलज $f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ है।
फलन $x = 1$ पर व्यवहार बदलता है,इसलिए $f'(1) = 0$.
$3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 0$
$3 - 6a + 12 + 3a = 0$
$-3a + 15 = 0 \Rightarrow a = 5$.
$a = 5$ रखने पर,$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$.
अब,$\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ को हल करने पर,$x \neq 1$.
$f(x) - 14 = 0 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x - 1)^2(x - 7) = 0$.
मूल $x = 1$ और $x = 7$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $x \neq 1$,इसलिए मूल $x = 7$ है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = e^{|x|}$ और $g(x) = \log x$ हैं।
संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को $g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(g \circ f)(x) = g(e^{|x|}) = \log(e^{|x|})$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करते हुए और यह जानते हुए कि $\log e = 1$,हमें मिलता है:
$(g \circ f)(x) = |x| \log e = |x| \times 1 = |x|$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
हमें दिया गया है कि $(f \circ f)(x) = x$.
$f(f(x)) = f\left(\frac{a-x}{a+x}\right) = \frac{a - \left(\frac{a-x}{a+x}\right)}{a + \left(\frac{a-x}{a+x}\right)} = x$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - a(a-1) = 0$
$(a-1)(x^2 + (a+1)x - a) = 0$
$(a-1)(x+a)(x-1) = 0$
चूंकि यह सभी $x \neq -a$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $a-1 = 0$ होना चाहिए,अर्थात $a = 1$.
अतः,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
अब,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(B) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है जो $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित है।
एक फलन के एकैकी (injective) होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$ है।
चूंकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
एक फलन के आच्छादक (surjective) होने के लिए,उसका परिसर उसके सह-प्रांत के बराबर होना चाहिए।
सह-प्रांत $R$ (सभी वास्तविक संख्याएँ) है,लेकिन $f(x) = |x|$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
चूंकि परिसर $[0, \infty) \neq R$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x-1}$।
एकैकी फलन की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$।
चूंकि प्रत्येक $x \in A$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन $f$ निरंतर ह्रासमान है,जिसका अर्थ है कि $f$ एकैकी है।
आच्छादक फलन की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = y$। तब $y = \frac{2x}{x-1} \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$।
यदि $f$ आच्छादक है,तो प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$A$ में एक ऐसा $x$ होना चाहिए कि $f(x) = y$।
यदि $y = 2$ है,तो $x = \frac{2}{0}$ प्राप्त होता है जो अपरिभाषित है। अतः,$2$ का $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
इसके अलावा,यदि $y = 4$ है,तो $x = \frac{4}{4-2} = 2$। लेकिन $2$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $2 \notin A$।
चूंकि सह-प्रांत $R$ में ऐसे अवयव मौजूद हैं जिनका $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) फलन $f(x)$ के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को $f(x)$ के परिसर (range) के बराबर होना चाहिए।
माना $y = \frac{x^2}{1-x^2}$ है।
$x^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(1-x^2) = x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y - yx^2 = x^2$,अतः $y = x^2(1+y)$।
इस प्रकार,$x^2 = \frac{y}{1+y}$।
चूंकि $x^2 \geq 0$ और $x \neq \pm 1$,इसलिए $\frac{y}{1+y} \geq 0$ होना चाहिए और $x^2 \neq 1$ (जिसका अर्थ है $\frac{y}{1+y} \neq 1$,जो हमेशा सत्य है)।
असमिका $\frac{y}{1+y} \geq 0$ तब सत्य होती है जब $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ हो।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ है,जिसे $R - [-1, 0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$A = R - [-1, 0)$।

(A) माना $y = f(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$.
अंश और हर को $a^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1}$.
अब,$y$ के पदों में $x$ के लिए हल करने पर:
$y(a^{2x} + 1) = a^{2x} - 1$
$y \cdot a^{2x} + y = a^{2x} - 1$
$1 + y = a^{2x} - y \cdot a^{2x}$
$1 + y = a^{2x}(1 - y)$
$a^{2x} = \frac{1+y}{1-y}$.
दोनों पक्षों का आधार $a$ पर लघुगणक लेने पर:
$2x = \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए $y$ को $x$ से बदलने पर:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_a \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$।
हमें व्यंजक $E = f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \left( f\left(\frac{x}{y}\right) + f(xy) \right)$ का मान ज्ञात करना है।
फलन की परिभाषा प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log(x/y)) + \cos(\log(xy)) \right)$।
लघुगणक के गुणों $\log(x/y) = \log x - \log y$ और $\log(xy) = \log x + \log y$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y) \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log y$:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( 2 \cos(\log x) \cos(\log y) \right)$।
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) = 0$।

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0) \cdot f(0) = 2 f(0) \cdot f^{\prime}(0)$.
चूंकि $f(0)=1$,हमारे पास $1 = 2(1) \cdot f^{\prime}(0)$ है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.
अब,$x$ को चर के रूप में रखते हुए और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+0)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x) \cdot f(0)$.
$f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$ प्राप्त होता है।
यह $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} f(x)$ या $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$,जिसका परिणाम $\log(f(x)) = \frac{1}{2}x + C$ है।
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,$\log(1) = 0 + C$,इसलिए $C=0$.
अतः,$\log(f(x)) = \frac{1}{2}x$.
$x=4$ के लिए,$\log(f(4)) = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(C) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम $\frac{5x}{2} = 2x + \frac{x}{2}$ लिखते हैं।
$I = \int \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$.
$I = \int (\sin 2x \cot \frac{x}{2} + \cos 2x) dx$.
वैकल्पिक रूप से,योग-से-गुणन सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \cos 2x + \sin 2x \cot \frac{x}{2}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cot \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2x \cot \frac{x}{2} = 2 \sin x \cos x \cdot \frac{1+\cos x}{\sin x} = 2 \cos x(1+\cos x) = 2 \cos x + 2 \cos^2 x$.
चूंकि $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$,इसलिए:
$\cos 2x + 2 \cos x + 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
समाकलन करने पर: $\int (1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x) dx = x + 2 \sin x + \sin 2x + C$.

(A) हम जानते हैं कि दो $n$-घातों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+a^{n-1}) = x^n - a^n$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int(x^n - a^n)dx$.
$x$ के सापेक्ष पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$\int x^n dx - \int a^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} - a^n x + C$.

(C) माना $I = \int \frac{(\log x-1)^2}{\left\{1+(\log x)^2\right\}^2} dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{(t-1)^2}{(1+t^2)^2} e^t dt = \int e^t \left( \frac{t^2-2t+1}{(1+t^2)^2} \right) dt$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int e^t \left( \frac{t^2+1-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$.
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1+t^2)^2}$ है।
इस प्रकार,$I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + C$.
$t = \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + C = \frac{x}{1+(\log x)^2} + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,d x$.
माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$.
स्थिरांकों को हल करने पर,हमें $A=1, B=-1, C=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \log |t| - \log |1+t| + \frac{1}{1+t} + C$.
$I = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + \frac{1}{1+t} + C$.
$t = x e^x$ वापस रखने पर:
$I = \log \left( \frac{x e^x}{1+x e^x} \right) + \frac{1}{1+x e^x} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}$ है।
$\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sec ^2 \theta d \theta}{\frac{\sin 2 \theta+1}{\cos 2 \theta}} = \int \frac{\cos 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta}{1+\sin 2 \theta}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ और $1 + \sin 2\theta = (\cos \theta + \sin \theta)^2$ है,इसलिए:
$I = \int \frac{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) \sec^2 \theta d \theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} = \int \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan \theta$,तब $dt = \sec^2 \theta d\theta$:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} dt = \int \left(-1 + \frac{2}{1+t}\right) dt = -t + 2 \log |1+t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = \tan \theta$ का मान रखने पर:
$I = -\tan \theta + 2 \log |1+\tan \theta| + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\lambda \tan \theta + 2 \log |f(\theta)| + C$ से करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $f(\theta) = 1+\tan \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \, dx$.
अंश और हर को $\sqrt{1-\sqrt{x}}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \sqrt{\frac{(1-\sqrt{x})^2}{1-x}} \, dx = \int \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, dx - \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx$.
पहला भाग $-2\sqrt{1-x}$ है।
दूसरे भाग के लिए,माना $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $dx = -2 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$.
$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = -2 \int \cos^2 \theta \, d\theta = -\int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = -(\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) = -\theta - \sin \theta \cos \theta$.
मान वापस रखने पर: $I = -2\sqrt{1-x} - (-\theta - \sin \theta \cos \theta) + C = -2\sqrt{1-x} + \theta + \sin \theta \cos \theta + C$.
चूँकि $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $\theta = \cos^{-1} \sqrt{x}$,$\cos \theta = \sqrt{x}$,और $\sin \theta = \sqrt{1-x}$.
अतः,$I = -2\sqrt{1-x} + \cos^{-1} \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} + C$.

(A) समाकलन $I = \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $(1+x)$ से गुणा करते हैं:
$I = \int \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} \, dx$
$I = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
पहले भाग के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$ होता है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = 1-x^2$,तो $du = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} du$:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = -\sqrt{1-x^2}$.
इन दोनों को जोड़ने पर,हमें $I = \sin^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$।
अंश को $x^2 + 1 - 1 + \sin^2 x = (1 + x^2) - (1 - \sin^2 x) = (1 + x^2) - \cos^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$f(x) = \int \frac{(1 + x^2) - \cos^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$
$f(x) = \int \left( 1 - \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$
$f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{\cos^2 x \cdot \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$
चूंकि $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x + C$।
$f(0) = 0$ दिया गया है:
$0 = \tan(0) - \tan^{-1}(0) + C \implies 0 = 0 - 0 + C \implies C = 0$।
अतः,$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x$।
इसलिए,$f(1) = \tan(1) - \tan^{-1}(1) = \tan(1) - \frac{\pi}{4}$।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x e^{2x}}{(1+2x)^2} dx$ दिया गया है।
माना $2x = t$,तब $2 dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(t/2) e^t}{(1+t)^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int \frac{t e^t}{(1+t)^2} dt$।
अंश $t$ को $(t+1-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है:
$I = \frac{1}{4} \int e^t \left( \frac{t+1-1}{(1+t)^2} \right) dt = \frac{1}{4} \int e^t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$:
$I = \frac{1}{4} e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$।
$t = 2x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{e^{2x}}{4(1+2x)} + C$।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$.
हम जानते हैं कि $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
अतः,$I = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}}} = \int \frac{dx}{\cos x \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sec x}}$.
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$,इसलिए $I = \int \frac{\sec x \cdot \sec x}{\sqrt{1-\tan^2 x}} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan^2 x}} \, dx$.
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \sin^{-1}(\tan x) + C$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{3 x^{13}+2 x^{11}}{\left(2 x^4+3 x^2+1\right)^4} d x$.
अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{3 x^{-3}+2 x^{-5}}{\left(2+3 x^{-2}+x^{-4}\right)^4} d x$.
माना $u = 2+3 x^{-2}+x^{-4}$.
तब $du = (-6 x^{-3}-4 x^{-5}) d x = -2(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x$.
अतः,$(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x = -\frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-1/2}{u^4} du = -\frac{1}{2} \int u^{-4} du = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-3}}{-3} \right) + C = \frac{1}{6 u^3} + C$.
$u$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6(2+3 x^{-2}+x^{-4})^3} + C = \frac{1}{6(\frac{2x^4+3x^2+1}{x^4})^3} + C = \frac{x^{12}}{6(2 x^4+3 x^2+1)^3} + C$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 1 + 2x^7)^2} dx$.
समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$. तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{x^7}{1 + x^2 + 2x^7} + C$.
दिया गया है $f(0) = 0$,इसलिए $0 = \frac{0}{1} + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$f(x) = \frac{x^7}{x^2 + 1 + 2x^7}$.
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1^7}{1^2 + 1 + 2(1)^7} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया है $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + C$.
माना $I = \int e^{x^2} \cdot x^2 \cdot x \, dx$.
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$,अतः $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int t e^t \, dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$u = t$ और $dv = e^t \, dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = e^t$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} [t e^t - \int e^t \, dt] = \frac{1}{2} [t e^t - e^t] + C = \frac{1}{2} e^t (t - 1) + C$.
$t = x^2$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
$e^{x^2} f(x) + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$ प्राप्त होता है।
$f(1) = \frac{1}{2} (1^2 - 1) = 0$ जो सही है।
अतः,$f(2) = \frac{1}{2} (2^2 - 1) = \frac{1}{2} (4 - 1) = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\tan x}$ और $g(x) = \sin x \cdot \cos x$।
हमें समाकलन $I = \int \frac{f(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात करना है।
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x} dx$।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \cdot \sec^2 x dx$।
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$।
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$।
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-1/2} du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$।
$u = \tan x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = 2\sqrt{\tan x} + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $t = e^x$,तब $dt = e^x dx$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{dt}{(t+2)(t+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{(t+2)(t+1)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t+1}$.
$1 = A(t+1) + B(t+2)$.
$t = -1$ के लिए,$B = 1$.
$t = -2$ के लिए,$A = -1$.
अतः,$\int (\frac{-1}{t+2} + \frac{1}{t+1}) dt = -\log|t+2| + \log|t+1| + C$.
$= \log|\frac{t+1}{t+2}| + C$.
$t = e^x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log \left(\frac{e^x+1}{e^x+2}\right) + C$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{5(x^6+1)}{x^2+1} \, dx$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=x^2$ और $b=1$,हम लिख सकते हैं कि $x^6+1 = (x^2)^3+1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{5(x^2+1)(x^4-x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
$I = 5 \int (x^4-x^2+1) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = 5 \left( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x \right) + C$
$I = x^5 - \frac{5x^3}{3} + 5x + C$.

(C) माना $I = \int_2^3 \frac{\log x}{x} d x$.
$u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 2$,तब $u = \log 2$.
जब $x = 3$,तब $u = \log 3$.
अतः,$I = \int_{\log 2}^{\log 3} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{\log 2}^{\log 3}$.
$I = \frac{1}{2} \left( (\log 3)^2 - (\log 2)^2 \right)$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} (\log 3 + \log 2)(\log 3 - \log 2)$.
चूंकि $\log a + \log b = \log(ab)$ और $\log a - \log b = \log(\frac{a}{b})$,
$I = \frac{1}{2} \log(3 \times 2) \log(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \log 6 \log \frac{3}{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 e^{2x}+3}{3 e^{2x}+4} d x$.
अंश को हर और उसके अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर:
$2 e^{2x} + 3 = A_1(3 e^{2x} + 4) + B_1 \frac{d}{dx}(3 e^{2x} + 4)$.
$2 e^{2x} + 3 = 3 A_1 e^{2x} + 4 A_1 + 6 B_1 e^{2x}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$3 A_1 + 6 B_1 = 2$ और $4 A_1 = 3 \implies A_1 = \frac{3}{4}$.
$A_1$ का मान रखने पर: $3(\frac{3}{4}) + 6 B_1 = 2 \implies \frac{9}{4} + 6 B_1 = 2 \implies 6 B_1 = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} \implies B_1 = -\frac{1}{24}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{24} \frac{6 e^{2x}}{3 e^{2x} + 4} \right) d x$.
$I = \frac{3}{4} x - \frac{1}{24} \log(3 e^{2x} + 4) + C$.
$Ax + B \log(3 e^{2x} + 4) + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{4}$ और $B = -\frac{1}{24}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5+4 \cos x}$.
$\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5 + 4 \left( \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2(x/2) dx}{5(1+\tan^2(x/2)) + 4(1-\tan^2(x/2))}$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2(x/2) dx}{9 + \tan^2(x/2)}$.
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,अर्थात $2 dt = \sec^2(x/2) dx$.
जब $x=0, t=0$. जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\tan(\frac{\pi}{4})=1$.
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{9 + t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{3^2 + t^2} = 2 \left[ \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{t}{3} \right) \right]_0^1$
$I = \frac{2}{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) - \tan^{-1}(0) \right) = \frac{2}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं:
$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,यह $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
$I = \int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है।
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

(C) माना $I = \int(3-x) \sqrt{4-x} \, dx$.
$u = 4-x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = -dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dx = -du$.
साथ ही,$x = 4-u$,इसलिए $3-x = 3-(4-u) = u-1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int (u-1) \sqrt{u} (-du) = \int (1-u) \sqrt{u} \, du$
$I = \int (u^{1/2} - u^{3/2}) \, du$
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{5/2}}{5/2} + C$
$I = \frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} + C$
अब $u = 4-x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} (4-x)^{3/2} - \frac{2}{5} (4-x)^{5/2} + C$.

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ को हल करने के लिए,हम $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \int \frac{1+\tan^2(x/2)}{2(1+\tan^2(x/2)) + 1-\tan^2(x/2)} dx$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2)}{3+\tan^2(x/2)} dx$.
माना $u = \tan(x/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2(x/2) dx = 2 du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 du}{3+u^2} = 2 \int \frac{du}{(\sqrt{3})^2 + u^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{x}{\sqrt{1-2 x^4}} \, dx$.
$u = \sqrt{2} x^2$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $du = 2 \sqrt{2} x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{du}{2 \sqrt{2}}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du = \sin^{-1}(u) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \sin^{-1}(u) + C = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \sin^{-1}(\sqrt{2} x^2) + C$.