MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2 \times \sqrt{3} \times 1}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$
હવે,ખૂણા $B$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos B = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{1+1-3}{2} = -\frac{1}{2}$
તેથી $\cos B = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$B = 120^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(a+b+c) = 36k \implies a+b+c = 18k$.
તેથી $a = 18k - 11k = 7k$,$b = 18k - 12k = 6k$,અને $c = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{1}{5}$,$\cos B = \frac{19}{35}$,અને $\cos C = \frac{5}{7}$.
આમ,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(C) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $20$ હોવાથી,આવૃત્તિઓનો સરવાળો $20$ થાય:
$(x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$
$(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$
$2x^2 + 2x - 4 = 20$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
$(x+4)(x-3) = 0$
$x > 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
હવે,$x=3$ ને આવૃત્તિ વિતરણમાં મૂકતા:
ગુણ $(x_i)$: $2, 3, 5, 7$
આવૃત્તિ $(f_i)$: $16, 1, 0, 3$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20}$
$= \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$

(B) ધારો કે બે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
$5$ અવલોકનોનો મધ્યક $4.4$ હોવાથી,અવલોકનોનો સરવાળો $5 \times 4.4 = 22$ થાય.
$1 + 2 + 6 + x + y = 22 \Rightarrow x + y = 13$.
વિચરણ $8.24$ આપેલ છે,તેથી સૂત્ર $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41 + x^2 + y^2}{5} = 27.60$.
$x^2 + y^2 = 97$.
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$ ઉકેલતા,$x^2 - 13x + 36 = 0$ મળે.
તેથી $x = 4$ અથવા $x = 9$.
બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત વિચલન ($S$.$D$.) શોધવાનું સૂત્ર: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$.
અહીં $\sigma = 2$ આપેલ છે,તેથી:
$2 = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{n^2-1}{12}$
$48 = n^2 - 1$
$n^2 = 49$
$n = 7$ (કારણ કે $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે).
આમ,$n$ ની કિંમત $7$ છે.

(B) આપેલ છે: મધ્યક $\bar{x} = 16$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 16$.
ધારો કે $y_i = x_i - 5$.
નવા અવલોકનો $y_i$ નો મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} - 5 = 16 - 5 = 11$ થશે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાંથી અચળ સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી,તેથી $\sigma_y = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma_y^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $16^2 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 11^2$.
$256 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 121$.
$\frac{\sum (x_i-5)^2}{50} = 256 + 121 = 377$.
આમ,$(x_i-5)^2$ નો મધ્યક $377$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sum x = 12$,$\sum x^2 = 16.9$,અને $n = 10$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $S.D. = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\frac{\sum x}{n})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S.D. = \sqrt{\frac{16.9}{10} - (\frac{12}{10})^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - (1.2)^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - 1.44}$
$S.D. = \sqrt{0.25}$
$S.D. = 0.5$.

(A) આપેલ છે $n = 15$,$\sum X^2 = 2830$,અને $\sum X = 170$.
ખોટું અવલોકન $= 20$,સાચું અવલોકન $= 30$.
સુધારેલ $\sum X = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum X^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \left(\frac{\sum X}{n}\right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{15}$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યક $\bar{x} = 10$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 6$.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં $k=8$ જેટલો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $x_i' = x_i + 8$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \bar{x} + 8 = 10 + 8 = 18$ થાય.
વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,તેથી નવો વિચરણ $\sigma'^2 = \sigma^2 = 6$ રહેશે.
તેથી,નવો વિચરણ અને નવો મધ્યક અનુક્રમે $6$ અને $18$ છે.

(C) $3$ ના પ્રથમ $10$ ગુણકો $3, 6, 9, \ldots, 30$ છે.
ધારો કે $x_i = 3i$ જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x} = \frac{3(1+2+\ldots+10)}{10} = \frac{3 \times 10 \times 11}{10 \times 2} = 16.5$.
$\sum x_i^2 = 3^2(1^2+2^2+\ldots+10^2) = 9 \times \frac{10(11)(21)}{6} = 9 \times 385 = 3465$.
$\sigma^2 = \frac{3465}{10} - (16.5)^2 = 346.5 - 272.25 = 74.25$.

(D) આપેલ છે $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,અને $\sum x = 170$.
ખોટું અવલોકન $20$ છે અને સાચું અવલોકન $30$ છે.
સુધારેલ $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
સુધારેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ થાય.
અહીં $A(x, 4, -1)$,$B(3, x, -5)$,$C(2, -2, 3)$,અને $G(2, 1, -1)$ આપેલ છે.
$x$-યામ સરખાવતા: $\frac{x+3+2}{3} = 2$.
$x + 5 = 6$.
$x = 1$.
$y$-યામ માટે ચકાસતા: $\frac{4+x-2}{3} = 1$ $\Rightarrow 2+x = 3$ $\Rightarrow x = 1$.
આમ,$x$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $6x^2+xy-y^2=0$ અને $x-2y=10$ છે.
$6x^2+xy-y^2=0$ નું અવયવીકરણ કરતા,આપણને $(2x+y)(3x-y)=0$ મળે છે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $L_1: 3x-y=0$ અને $L_2: 2x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: x-2y=10$ છે.
ઢાળ તપાસતા: $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -2$ અને $L_3$ નો ઢાળ $m_3 = 1/2$ છે.
કારણ કે $m_2 \times m_3 = -1$,તેથી રેખાઓ $L_2$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર એ $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ છે.
$2x+y=0$ અને $x-2y=10$ ને ઉકેલતા:
$y = -2x$ ને $x-2(-2x)=10$ માં મૂકતા,$5x=10 \Rightarrow x=2$.
તેથી $y = -4$.
લંબકેન્દ્ર $(2,-4)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ થાય.
આપેલ $G = (r, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ને સરખાવતા:
$r = \frac{5+1+1}{3} = \frac{7}{3}$
$-\frac{4}{3} = \frac{1+q-2}{3}$ $\Rightarrow -4 = q-1$ $\Rightarrow q = -3$
$\frac{1}{3} = \frac{p+p+3}{3}$ $\Rightarrow 1 = 2p+3$ $\Rightarrow 2p = -2$ $\Rightarrow p = -1$
આમ,$p = -1, q = -3, r = \frac{7}{3}$ મળે છે.

(C) પરિકેન્દ્ર $C$ એ લંબકેન્દ્ર $A(-3, 5)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $B(3, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{2(3) - 1(-3)}{2 - 1} = 9$
$y = \frac{2(3) - 1(5)}{2 - 1} = 1$
તેથી,$C = (9, 1)$.
વર્તુળનો વ્યાસ $AC$ ની લંબાઈ છે.
$AC = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{1}{2} AC = 2\sqrt{10}$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $2x - 3y = 5$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે માંગેલી રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{2}{3}}{1 + m \cdot \frac{2}{3}} \right|$
$1 = \left| \frac{3m - 2}{3 + 2m} \right|$
આથી,$m = 5$ અથવા $m = \frac{-1}{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $(-2, 6)$ અને $(4, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે.
$m_1 = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $(8, 12)$ અને $(x, 24)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(C) રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 5$ અને $\alpha = 210^{\circ}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 5$
$\cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(210^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,
$x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 5$
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}x + y = -10$
$\sqrt{3}x + y + 10 = 0$

(A) આપેલ રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
રેખા ધન $Y$-અક્ષ પર $3$ જેટલો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તે $(0, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$x = 0$ અને $y = 3$ ને $3x + 2y + \lambda = 0$ માં મૂકતા:
$3(0) + 2(3) + \lambda = 0$
$6 + \lambda = 0$
$\lambda = -6$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y - 6 = 0$ છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને લંબપાદ $N(3, -4)$ છે.
રેખાખંડ $ON$ નો ઢાળ $m_{ON} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $ON$ ને લંબ હોવાથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $(m_L)$ એ $m_L \times m_{ON} = -1$ દ્વારા મળે છે.
$m_L \times (-\frac{4}{3}) = -1 \Rightarrow m_L = \frac{3}{4}$.
રેખા $L$ એ બિંદુ $N(3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_L = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y - 25 = 0$.

(A) ધારો કે લંબપાદ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબપાદ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
કિંમતો $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $x - 3y + 7 = 0$ મૂકતા:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 3(2) + 7}{1^2 + (-3)^2}$
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 6 + 7}{1 + 9} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x - 1 = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$y - 2 = -3 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$
આમ,લંબપાદ $\left(\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x+y+3=0$ પરનું બિંદુ $(k, -3-k)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુનું રેખા $x+2y+2=0$ થી લંબ અંતર $\sqrt{5}$ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|k + 2(-3-k) + 2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|k - 6 - 2k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|-k - 4| = 5$
$|k + 4| = 5$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$k + 4 = 5 \Rightarrow k = 1$
$k + 4 = -5 \Rightarrow k = -9$
$k = 1$ માટે,બિંદુ $(1, -3-1) = (1, -4)$ મળે છે.
$k = -9$ માટે,બિંદુ $(-9, -3-(-9)) = (-9, 6)$ મળે છે.

(B) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(D) આપેલ રેખાઓ:
$4ax + 2ay + c = 0$ $(i)$
$5bx + 2by + d = 0$ $(ii)$
$(i)$ ને $b$ વડે અને $(ii)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$4abx + 2aby + bc = 0$
$5abx + 2aby + ad = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$-abx + bc - ad = 0 \Rightarrow x = \frac{bc - ad}{ab}$
$x$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{4ad - 5bc}{2ab}$
બિંદુ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી અને અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$x = -y$.
$\frac{bc - ad}{ab} = -(\frac{4ad - 5bc}{2ab})$
$2bc - 2ad = -4ad + 5bc$
$2ad - 3bc = 0$

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. આપેલી રેખા $x-2y-3=0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ થાય.
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{2m - 1}{2 + m} = 1$ અથવા $\frac{2m - 1}{2 + m} = -1$.
કિસ્સો $1$: $2m - 1 = 2 + m \Rightarrow m = 3$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = 3(x - 3) \Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $2m - 1 = -2 - m \Rightarrow 3m = -1 \Rightarrow m = -1/3$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = -1/3(x - 3) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $3x - y - 7 = 0$ અને $x + 3y - 9 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $E = \cos ^2 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}$.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 20^{\circ}}{2} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \frac{1+\cos 100^{\circ}}{2}$
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 40^{\circ}] + \frac{1}{2} \cos 100^{\circ}$
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} + \frac{1}{2} [\cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ}]$
$\cos C - \cos D$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\tan \theta = -1$ છે,જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi]$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\theta$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{7\pi}{4}$ છે.
$\tan \theta = -1$ માટે,$\theta$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{3\pi}{4}$ અને $\frac{7\pi}{4}$ છે.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતું સામાન્ય મૂલ્ય $\theta = \frac{7\pi}{4}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$. $0 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 \leq \alpha+\beta \leq \frac{\pi}{2}$ મળે,તેથી $\tan (\alpha+\beta)=\frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\sin (\alpha-\beta)=\frac{5}{13}$. $0 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{4} \leq \alpha-\beta \leq \frac{\pi}{4}$ મળે,તેથી $\tan (\alpha-\beta)=\frac{5}{12}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\alpha = (\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$.
તેથી,$\tan 2 \alpha = \tan \{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\} = \frac{\tan (\alpha+\beta)+\tan (\alpha-\beta)}{1-\tan (\alpha+\beta) \cdot \tan (\alpha-\beta)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 2 \alpha = \frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{12}}{1-(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} = \frac{56}{33}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$.
નિત્યસમમાં $\theta = 20^{\circ}$ મૂકતા:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos(3 \times 20^{\circ}) + 3 \cos 20^{\circ}$
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos 60^{\circ} + 3 \cos 20^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \frac{1}{2} + 3 \cos 20^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cot x + \sqrt{3} = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\cot x = -\sqrt{3}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,અને કોટિજ્યા વિધેય બીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોય છે,તેથી:
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{5 \pi}{6}$ અને $\frac{11 \pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. સમીકરણ $2t^2 + 5t - 3 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
તેથી $t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = -3$.
$-1 \le \sin x \le 1$ હોવાથી,$\sin x = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા.
અંતરાલ $[0, 3\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ મળે છે.
કુલ $3$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\cot (A+B) = 0$.
$\cot \theta = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,તેથી $A+B = \frac{\pi}{2}$ (સરળતા માટે $n=0$ લેતા).
આમ,$B = \frac{\pi}{2} - A$.
હવે,$B$ ની કિંમત $\sin (A+2B)$ માં મૂકતા:
$\sin (A + 2(\frac{\pi}{2} - A)) = \sin (A + \pi - 2A) = \sin (\pi - A)$.
નિત્યસમ $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin (\pi - A) = \sin A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\tan 3 \theta = -1$.
$\tan \frac{3 \pi}{4} = -1$ હોવાથી,$\tan 3 \theta = \tan \frac{3 \pi}{4}$.
વ્યાપક ઉકેલ $3 \theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$3$ વડે ભાગતા,$\theta = \frac{n \pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.
મુખ્ય ઉકેલો માટે,$\theta \in [0, 2 \pi)$ લેતા:
$n = 0$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
$n = 1$ માટે,$\theta = \frac{7 \pi}{12}$.
$n = 2$ માટે,$\theta = \frac{11 \pi}{12}$.
$n = 3$ માટે,$\theta = \frac{5 \pi}{4}$.
$n = 4$ માટે,$\theta = \frac{19 \pi}{12}$.
$n = 5$ માટે,$\theta = \frac{23 \pi}{12}$.
આમ,ઉકેલનો ગણ $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{19 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12}\right\}$ છે.

(A) આપેલ છે: $\tan A = \frac{1}{2}$ અને $\tan B = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,$\tan 2B = \frac{2 \tan B}{1 - \tan^2 B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\tan 2B$ શોધો.
$\tan 2B = \frac{2(\frac{1}{3})}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}$.
હવે,$\tan (A + 2B) = \frac{\tan A + \tan 2B}{1 - \tan A \cdot \tan 2B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$\tan (A + 2B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} \operatorname{cosec} x + 2 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\operatorname{cosec} x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે.
$\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ હોવાથી,$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin x$ ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોવાથી,મુખ્ય ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
$x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{4 \pi}{3}$ અને $\frac{5 \pi}{3}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = x+y-1 = 0$ છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $(x_2, y_2) = (\sin \theta, \cos \theta)$ રેખાની એક જ બાજુએ હોય તે માટે,ગુણાકાર $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$ હોવો જોઈએ.
$L(1, 2) = 1+2-1 = 2 > 0$.
તેથી,$L(\sin \theta, \cos \theta) > 0$ હોવું જોઈએ.
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ મળે.
આ અંતરાલમાં,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
આમ,મૂલ્યોનો સમૂહ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\cot \alpha = \frac{1}{2}$,જ્યાં $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (ત્રીજું ચરણ),તેથી $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = 2$.
આપેલ છે કે $\sec \beta = -\frac{5}{3}$,જ્યાં $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ (બીજું ચરણ),તેથી $\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1 = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
બીજા ચરણમાં $\tan \beta$ ઋણ હોય છે,તેથી $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + (-\frac{4}{3})}{1 - (2)(-\frac{4}{3})} = \frac{\frac{6-4}{3}}{1 + \frac{8}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{2}{11}$.

(D) નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 48^{\circ} - \sin^2 12^{\circ} = \cos(48^{\circ} + 12^{\circ}) \cos(48^{\circ} - 12^{\circ})$
$= \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 36^{\circ} = 1 - 2\sin^2 18^{\circ}$ હોવાથી:
$= \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{16} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} \right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^2(-160^{\circ})}{\sin ^2 70^{\circ}} + \frac{\sin (180^{\circ}-\theta)}{\sin \theta}$
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ હોવાથી,$\sin^2(-160^{\circ}) = (-\sin 160^{\circ})^2 = \sin^2 160^{\circ}$ થાય.
વળી,$\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\frac{\sin^2 160^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2(180^{\circ}-20^{\circ})}{\sin^2 70^{\circ}} + 1$ બને છે.
$\sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ થાય.
આમ,$\frac{\sin^2 20^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + 1 = \frac{\sin^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}} + 1 = \tan^2 20^{\circ} + 1 = \sec^2 20^{\circ}$ મળે.

(C) સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan 160^{\circ} - \tan 110^{\circ}}{1 + \tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}} = \tan(160^{\circ} - 110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$
કારણ કે $\tan 50^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 40^{\circ}) = \cot 40^{\circ} = \frac{1}{\tan 40^{\circ}}$
ડબલ એંગલ સૂત્ર $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\theta = 20^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan 40^{\circ} = \frac{2\tan 20^{\circ}}{1 - \tan^2 20^{\circ}} = \frac{2p}{1 - p^2}$
તેથી,$\frac{1}{\tan 40^{\circ}} = \frac{1 - p^2}{2p}$.

(A) ધારો કે $a=7k, b=8k, c=9k$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(8k)^2+(9k)^2-(7k)^2}{2(8k)(9k)} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$.
તે જ રીતે,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(7k)^2+(9k)^2-(8k)^2}{2(7k)(9k)} = \frac{49+81-64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$.
અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(7k)^2+(8k)^2-(9k)^2}{2(7k)(8k)} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$.
હવે,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{2}{3} : \frac{11}{21} : \frac{2}{7}$.
$21$ વડે ગુણતા,આપણને $14 : 11 : 6$ મળે છે.

(C) વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 = (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ અને $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
સાદુરૂપ આપતા: $2 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \times 2\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = 4\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
આ કિંમતોને $b \cos 2 \theta + a \sin 2 \theta$ માં મૂકતા:
$= b \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + a \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{a}{b}$,તેથી:
$= b \left( \frac{1 - \frac{a^2}{b^2}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right) + a \left( \frac{2 \frac{a}{b}}{1 + \frac{a^2}{b^2}} \right)$
$= b \left( \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2} \right) + \frac{2a^2 b}{b^2 + a^2}$
$= \frac{b^3 - a^2 b + 2a^2 b}{b^2 + a^2} = \frac{b(b^2 + a^2)}{b^2 + a^2} = b$.

(D) $\triangle ABC$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:\\ $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$\\ આપેલ છે કે $a^2+b^2-c^2=ab$,તેથી:\\ $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$\\ $\cos C = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $C = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $60^{\circ}$) થાય.

(D) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A \equiv(0,3,0), B \equiv(0,0,4)$,અને $C \equiv(0,3,4)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0+9+0} = 3$
$b = CA = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+0+16} = 4$
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5$
હવે,અંતઃકેન્દ્ર $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1+bz_2+cz_3}{a+b+c}\right)$:
$I = \left(\frac{3(0)+4(0)+5(0)}{3+4+5}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{3+4+5}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{3+4+5}\right)$
$I = \left(\frac{0}{12}, \frac{9+0+15}{12}, \frac{0+16+20}{12}\right) = \left(0, \frac{24}{12}, \frac{36}{12}\right) = (0, 2, 3)$
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+0+0}{3}, \frac{3+0+3}{3}, \frac{0+4+4}{3}\right) = \left(0, \frac{6}{3}, \frac{8}{3}\right) = \left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$
આમ,અંતઃકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર અનુક્રમે $(0, 2, 3)$ અને $\left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{d y}{d x} = -\cos x$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{d y}{y+1} = \int \frac{-\cos x}{2+\sin x} d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C_1$
આને સાદું રૂપ આપતા: $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C_1$
લઘુગણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C_1$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $(y+1)(2+\sin x) = C$
$y(0)=1$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2+0) = C \Rightarrow C=4$
તેથી,સમીકરણ: $(y+1)(2+\sin x) = 4$
$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ શોધવા માટે,$x=\frac{\pi}{2}$ મૂકતા: $(y+1)(2+\sin\frac{\pi}{2}) = 4$
$(y+1)(2+1) = 4 \Rightarrow 3(y+1) = 4 \Rightarrow y+1 = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} + x^2 e^{x^3+y}$
પદોને અલગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + x^2 e^{x^3})$
ચલને અલગ કરતા: $e^{-y} dy = (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
સંકલન કરતા: $-e^{-y} = e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} + C$
પદોને વ્યવસ્થિત કરતા: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = -C$
કારણ કે $-C$ પણ એક અચળાંક છે,તેથી: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = C$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{2y} \cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-2y} dy = \cos x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-2y} dy = \int \cos x dx$.
આથી મળે: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x + C$.
શરત $y(\frac{\pi}{6}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\pi}{6}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$-\frac{1}{2} e^{0} = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$.
$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -1$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x - 1$.
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા: $e^{-2y} = -2 \sin x + 2$.
પદોને ગોઠવતા: $2 \sin x + e^{-2y} - 2 = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y^3+y)(x^2+1) dy = x(y^4+2y^2) dx$ છે.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y^3+y}{y^4+2y^2} dy = \frac{x}{x^2+1} dx$.
ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2} \int \frac{2y^3+2y}{y^4+2y^2} dy = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
ધારો કે $u = y^4+2y^2$,તો $du = (4y^3+4y) dy = 2(2y^3+2y) dy$,તેથી $(2y^3+2y) dy = \frac{1}{2} du$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2u} du = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
$\frac{1}{4} \ln|y^4+2y^2| = \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + \ln|C_1|$.
$4$ વડે ગુણતા:
$\ln|y^4+2y^2| = 2 \ln|x^2+1| + 4 \ln|C_1| = \ln|(x^2+1)^2| + \ln|C_1^4|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$y^4+2y^2 = C(x^2+1)^2$,જ્યાં $C = C_1^4$.
$y^2(y^2+2) = C(x^2+1)^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 3x + 4y$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$\frac{dy}{dx} = e^{3x + 4y} = e^{3x} \cdot e^{4y}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-4y} \, dy = e^{3x} \, dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-4y} \, dy = \int e^{3x} \, dx$.
તેથી,$\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} + C$ મળે.
શરત $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\frac{e^{0}}{-4} = \frac{e^{0}}{3} + C \Rightarrow -\frac{1}{4} = \frac{1}{3} + C$.
$C = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{12}$.
હવે $C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} - \frac{7}{12}$.
આખા સમીકરણને $-12$ વડે ગુણતા: $3e^{-4y} = -4e^{3x} + 7$.
તેથી,$3e^{-4y} + 4e^{3x} = 7$ મળે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+y^2}{y^2} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
કારણ કે $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,તેથી: $\int (y^{-2} + 1) dy = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\frac{1}{y} + y = \log(1+e^x) + C$
$y$ વડે ગુણતા: $y^2 - 1 = y \log(1+e^x) + Cy$
$y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) + C)$
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0, y=1$ મુકતા:
$1^2 - 1 = 1(\log(1+e^0) + C) \Rightarrow 0 = \log(2) + C \Rightarrow C = -\log(2)$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મુકતા: $y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) - \log(2))$
$y^2 - 1 = y \log(\frac{1+e^x}{2})$
$y^2 = 1 + y \log(\frac{1+e^x}{2})$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2(y+1) dx + y^2(x-1) dy = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{x^2}{x-1} dx + \frac{y^2}{y+1} dy = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{x^2}{x-1} dx + \int \frac{y^2}{y+1} dy = C'$.
બહુપદી ભાગાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^2}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$ અને $\frac{y^2}{y+1} = y-1 + \frac{1}{y+1}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $\int (x+1 + \frac{1}{x-1}) dx + \int (y-1 + \frac{1}{y+1}) dy = C'$.
પદવાર સંકલન કરતા: $(\frac{x^2}{2} + x + \log |x-1|) + (\frac{y^2}{2} - y + \log |y+1|) = C'$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C'$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C' + 2$.
$(x+1)^2 + (y-1)^2 + 2 \log |(x-1)(y+1)| = C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y^2 + xy^2$
જમણી બાજુના પદોને અવયવ પાડતા: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2} + C$
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ આપેલ છે: $\tan^{-1}(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + C \Rightarrow C = 0$
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2}$
આમ: $y = \tan \left(x + \frac{x^2}{2}\right)$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 1 - x + y - xy$
જમણી બાજુના પદોને અવયવ પાડતા: $\frac{dy}{dx} = (1 - x) + y(1 - x) = (1 - x)(1 + y)$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{1 + y} = (1 - x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 - x) dx$
જેથી મળે છે: $\log(1 + y) = x - \frac{x^2}{2} + C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$\cos y \,dy = \left(e^x \log x + \frac{e^x}{x}\right) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos y \,dy = \int e^x \left(\log x + \frac{1}{x}\right) dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $f(x) = \log x$ અને $f'(x) = \frac{1}{x}$:
$\sin y = e^x \log x + C$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\frac{dy}{dx} = \log_{e}(x+1)$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = \int \log_{e}(x+1) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log_{e}(x+1)$ અને $dv = dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x+1} dx$ અને $v = x+1$ મળે.
$\int \log_{e}(x+1) dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$.
તેથી,$y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=5$ મૂકતા:
$5 = (0+1) \log_{e}(0+1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 1 \cdot \log_{e}(1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 0 - 0 + C
\Rightarrow C = 5$.
આમ,ઉકેલ $y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + 5$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x) y \,dx + (1-y) x \,dy = 0$
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા:
$\frac{1+x}{x} \,dx + \frac{1-y}{y} \,dy = 0$
$(\frac{1}{x} + 1) \,dx + (\frac{1}{y} - 1) \,dy = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (\frac{1}{x} + 1) \,dx + \int (\frac{1}{y} - 1) \,dy = C_1$
$\log|x| + x + \log|y| - y = C_1$
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log|xy| + x - y = C$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{y}{1+y^2} dy = \frac{x}{1+x^2} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{y}{1+y^2} dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx$
સંકલન સરળ બનાવવા માટે બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int \frac{2y}{1+y^2} dy = \int \frac{2x}{1+x^2} dx$
પરિણામ: $\ln|1+y^2| = \ln|1+x^2| + \ln C$
લઘુગણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1+y^2) = \ln(C(1+x^2))$
તેથી: $1+y^2 = C(1+x^2)$
$x=2$ અને $y=1$ મુકતા: $1+(1)^2 = C(1+(2)^2) \Rightarrow 2 = 5C \Rightarrow C = \frac{2}{5}$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મુકતા: $1+y^2 = \frac{2}{5}(1+x^2)$
$5$ વડે ગુણતા: $5(1+y^2) = 2(1+x^2)$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+y}{x-y}$ છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ હોવાથી,ધારો કે $y=vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3x+vx}{x-vx} = \frac{3+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{3+v}{1-v} - v = \frac{3+v-v+v^2}{1-v} = \frac{3+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{1-v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{3+v^2} dv - \int \frac{v}{3+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{v}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log(3+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(3+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \log\left(\frac{3x^2+y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{y}{x\sqrt{3}}\right) - \log\left(\frac{y^2+3x^2}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = \log|x| + C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)}=3^x$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = \log_e(3^x)$
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = x \log_e 3$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\frac{dy}{dx} = 2x \log_e 3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y = \int (2 \log_e 3) x \, dx$
$y = (2 \log_e 3) \frac{x^2}{2} + C$
$y = x^2 \log_e 3 + C$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$
પદોને ગોઠવતા: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $1-v^2 = t$,તો $-2v dv = dt$,તેથી $2v dv = -dt$.
$-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$
$\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$
$v = y/x$ મૂકતા: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$
$\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$
ગોઠવતા $x^2-y^2 = Cx$ મળે છે (જ્યાં $C = 1/C_1$ એ સ્વૈર અચળાંક છે).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 2y + 3)dx - (x - y + 1)dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2(x - y) + 3}{x - y + 1}$
ધારો કે $v = x - y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{2v + 3}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{2v + 3}{v + 1} = \frac{v + 1 - 2v - 3}{v + 1} = \frac{-(v + 2)}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{v + 1}{v + 2} dv = -dx$
$\Rightarrow \int \left(1 - \frac{1}{v + 2}\right) dv = \int -dx$
$\Rightarrow v - \log|v + 2| = -x + C$
$v = x - y$ મૂકતા: $(x - y) - \log|x - y + 2| = -x + C$
$\Rightarrow 2x - y - \log|x - y + 2| = C$
$x = 0, y = 1$ લેતા: $2(0) - 1 - \log|0 - 1 + 2| = C \Rightarrow -1 - \log(1) = C \Rightarrow C = -1$
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $2x - y - \log(x - y + 2) = -1$ અથવા $2x - y - \log(x - y + 2) + 1 = 0$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx}{x + \sqrt{x^2v}} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}} - v = \frac{-v\sqrt{v}}{1 + \sqrt{v}}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $-\frac{1 + \sqrt{v}}{v\sqrt{v}} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow -(\frac{1}{v^{3/2}} + \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int (v^{-3/2} + v^{-1}) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
$-(-2v^{-1/2} - \ln|v|) = \ln|x| + C$.
$2\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln|v| = \ln|x| + C$.
$v = y/x$ મૂકતા,$2\sqrt{x/y} + \ln(y/x) = \ln|x| + C$ મળે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} - e^x = y e^x$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = y e^x + e^x = (y+1) e^x$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int e^x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log |y+1| = e^x + C$
પ્રારંભિક શરત $x = 0$ અને $y = 1$ આપેલ છે:
$\log |1+1| = e^0 + C$
$\log 2 = 1 + C \Rightarrow C = \log 2 - 1$
$C$ ની કિંમત સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા:
$\log (y+1) = e^x + \log 2 - 1$
$\log (y+1) - \log 2 = e^x - 1$
$\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{y+1}{2}\right) = e^x - 1$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ માટે: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે બરફનો જથ્થો $x(t)$ છે. ઓગળવાનો દર બરફના જથ્થાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -cx$,જ્યાં $c > 0$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $x(t) = x_0 e^{-ct}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $15 \text{ મિનિટ}$ માં અડધો બરફ ઓગળી જાય છે,તેથી $t = 15$ સમયે,$x(15) = \frac{1}{2} x_0$.
તેથી,$\frac{1}{2} x_0 = x_0 e^{-15c}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-15c} = \frac{1}{2}$.
આપણે $30 \text{ મિનિટ}$ પછી બાકી રહેલા બરફનો જથ્થો શોધવાનો છે,જે $x(30) = x_0 e^{-30c}$ છે.
$x(30) = x_0 (e^{-15c})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} x_0$.
આને $k x_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $t$ સમયે સંપત્તિ $x$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = k \sqrt{x}$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = k dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int x^{-1/2} dx = \int k dt$,જે $2 \sqrt{x} = kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,$x = 9$,તેથી $2 \sqrt{9} = k(0) + C \Rightarrow C = 6$.
આમ,$2 \sqrt{x} = kt + 6$.
$t = 2$ સમયે,$x = 16$,તેથી $2 \sqrt{16} = k(2) + 6 \Rightarrow 8 = 2k + 6 \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1$.
સમીકરણ $2 \sqrt{x} = t + 6$ બને છે.
વધુ $5$ વર્ષ પછી,$t = 2 + 5 = 7$.
$t = 7$ મૂકતા,$2 \sqrt{x} = 7 + 6 = 13$.
$\sqrt{x} = 6.5$.
$x = (6.5)^2 = 42.25$ કરોડ.

(C) ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 10^{\circ} C$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-Kt}$.
અહીં $T_0 = 110^{\circ} C$ અને $T_s = 10^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $T(t) = 10 + 100e^{-Kt}$ બને છે.
$t = 1 \text{ કલાક}$ પર,$T = 60^{\circ} C$:
$60 = 10 + 100e^{-K(1)} \Rightarrow 50 = 100e^{-K} \Rightarrow e^{-K} = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \log 2$.
હવે,$T = 30^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી કુલ સમય $t$ શોધીએ:
$30 = 10 + 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow 20 = 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-(\log 2)t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\log 5 = -(\log 2)t \Rightarrow t = \frac{\log 5}{\log 2}$.
જરૂરી વધારાનો સમય $t - 1 = \frac{\log 5}{\log 2} - 1 \text{ કલાક}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |\log 2 - \sin x|$. કારણ કે $\log 2 \approx 0.693$ અને $x=0$ ની નજીક $\sin x$ નાનું છે,તેથી $x=0$ ની આસપાસ $\log 2 - \sin x > 0$ થાય.
આથી,$x=0$ ની આસપાસ $f(x) = \log 2 - \sin x$ થાય.
તેથી $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$.
$g(x)$ એ $x=0$ ની નજીક વિકલનીય વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી,તે $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
હવે,$g^{\prime}(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$.
$x=0$ મુકતા: $g^{\prime}(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$.

(D) ધારો કે $\sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}} = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} = z$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$y - z = z^2 \Rightarrow y = z^2 + z$
$x + z = z^2 \Rightarrow x = z^2 - z$
હવે,$z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dz} = 2z + 1$
$\frac{dx}{dz} = 2z - 1$
ચેઈન રૂલ મુજબ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dz}{dx/dz} = \frac{2z+1}{2z-1}$.
સમીકરણો $y = z^2 + z$ અને $x = z^2 - z$ ની બાદબાકી કરતા:
$y - x = (z^2 + z) - (z^2 - z) = 2z$.
$2z = y - x$ ની કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(y-x) + 1}{(y-x) - 1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(B) આપેલ છે કે $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,જે સૂચવે છે કે $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2 = 4x^2$,તેથી $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}} = 4x^2-2$ ... $(1)$
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{m} y^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{m} y^{-\frac{1}{m}-1} = 2 \frac{dx}{dy}$ મળે.
$my$ વડે ગુણતા,$y^{\frac{1}{m}} - y^{-\frac{1}{m}} = 2my \frac{dx}{dy} = \frac{2my}{dy/dx}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y^{\frac{1}{m}}-y^{-\frac{1}{m}})^2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ ... $(2)$ થાય.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$(y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2) - (y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2) = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4 = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4$ વડે ભાગતા,$1 = x^2 - \frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2} = x^2-1$ મળે.
તેથી,$(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2 = m^2y^2$.

(C) આપેલ છે કે $x^y = e^{x-y}$.
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા,આપણને મળે છે:
$y \log x = x - y$
$y(1 + \log x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \log x} \quad \dots(1)$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^x + e^y = e^{x+y}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(e^{x+y})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$e^y \cdot \frac{dy}{dx} - e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^{x+y}) = e^{x+y} - e^x$
કારણ કે $e^{x+y} = e^x + e^y$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (e^y - (e^x + e^y)) = (e^x + e^y) - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^x - e^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} (-e^x) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y}{e^x} = -e^{y-x}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ થાય,જ્યાં $u \in \mathbb{R}$.
આપેલ સમીકરણ $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ માં આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $xy = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે છે.
બિંદુ $(4, 2)$ પર તેની કિંમત શોધતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4,2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \log (xy) + 3$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log (\frac{a}{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log (x+y) - \log (xy) = 3$
$\log \left(\frac{x+y}{xy}\right) = 3$
લઘુગણક સ્વરૂપને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{x+y}{xy} = e^3$
$\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = e^3$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (y^{-1}) + \frac{d}{dx} (x^{-1}) = \frac{d}{dx} (e^3)$
$-y^{-2} \frac{dy}{dx} - x^{-2} = 0$
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2} = -\left(\frac{y}{x}\right)^2$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \log (xy) + a$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\log (x+y) - \log (xy) = a$
$\log \left( \frac{x+y}{xy} \right) = a$
$\frac{x+y}{xy} = e^a$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^a$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2}$
$x=2$ અને $y=4$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4^2}{2^2} = -\frac{16}{4} = -4$

(A) આપેલ છે કે $x = \sec \theta - \cos \theta$ અને $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4(\sec^n \theta \cdot \cos^n \theta) = y^2 + 4$.
તે જ રીતે,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = x^2 + 4$.
હવે,$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta \cdot \sec \theta \tan \theta - n \cos^{n-1} \theta \cdot (-\sin \theta) = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$.
અને $\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = n \frac{\sec^n \theta + \cos^n \theta}{\sec \theta + \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = n^2 \frac{(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2} = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t$.
આમ,$y = \sqrt{a^{\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t}} = \sqrt{\frac{a^{\pi/2}}{a^{\sin^{-1} t}}} = \frac{\sqrt{a^{\pi/2}}}{\sqrt{a^{\sin^{-1} t}}} = \frac{k}{x}$,જ્યાં $k = \sqrt{a^{\pi/2}}$ એ અચળાંક છે.
હવે,$xy = k$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$.
$x \frac{dy}{dx} = -y$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(C) ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $\theta = \tan^{-1} t$.
$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$.
અહીં $x = \theta$ અને $y = \theta$ હોવાથી,$y = x$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) આપેલ છે કે $x = t + \frac{1}{t}$ અને $y = t - \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t + t^{-1}) = 1 - t^{-2} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1}) = 1 - (-t^{-2}) = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2}$.
હવે,પ્રચલિત વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 + 1)/t^2}{(t^2 - 1)/t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$.

(D) આપેલ છે કે $y = (x^x)^x$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $y = x^{x \cdot x} = x^{x^2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = \log(x^{x^2}) = x^2 \log x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (2x) = x + 2x \log x$.
$\frac{dy}{dx} = y(x + 2x \log x) = x^{x^2} \cdot x(1 + 2 \log x)$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x \cdot x^{x^2}(1 + 2 \log x)$.

(C) આપેલ છે કે $x = e^{(x/y)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log x = \frac{x}{y}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $y \log x = x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} \cdot \log x + y \cdot \frac{1}{x} = 1$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y = x$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x - y$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x \log x}$.

(C) આપેલ છે કે $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -3 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + 4 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x y_1 = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા):
$1 \cdot y_1 + x \cdot y_2 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x y_1 + x^2 y_2 = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$.
જમણી બાજુથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$x^2 y_2 + x y_1 = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$.
કારણ કે $y = 3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x)$,તેથી:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$.

(B) આપેલ છે: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2y \log(2x) = \log 4 + 2x - 2y$
$2y \log(2x) = 2 \log 2 + 2x - 2y$
$2$ વડે ભાગતા:
$y \log(2x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log 2x) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}$ ... $(1)$
હવે,$y \log(2x) = \log 2 + x - y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + y \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = 0 + 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + \frac{y}{x} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x - \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log 2x) - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x + x \log 2x - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
બંને બાજુ $(1 + \log 2x)$ વડે ગુણતા:
$(1 + \log 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x}$

(A) આપેલ છે કે $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \{ \log(1+\sin x) - \log(1-\sin x) \}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos x}{1+\sin x} - \frac{-\cos x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1-\sin x} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{1-\sin^2 x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{\cos^2 x} \right) = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2$.

(D) ધારો કે $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} [\log(1+\sin x) - \log(1-\sin x)]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+\sin x} \cdot \cos x - \frac{1}{1-\sin x} \cdot (-\cos x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{\cos x}{1-\sin x} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{2}{1-\sin^2 x} \right] = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \sec x$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}) = b \cdot a \cdot e^{ax} + a \cdot b \cdot e^{bx} = ab(e^{ax} + e^{bx})$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab \cdot e^{ax} + ab \cdot e^{bx}) = ab \cdot a \cdot e^{ax} + ab \cdot b \cdot e^{bx} = a^2b \cdot e^{ax} + ab^2 \cdot e^{bx}$.
હવે,$x = 0$ માટે કિંમત મેળવો:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2b \cdot e^{a(0)} + ab^2 \cdot e^{b(0)} = a^2b(1) + ab^2(1) = a^2b + ab^2$.
$ab$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y \cdot y^x = 16$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
હવે,$(2, 2)$ બિંદુ મૂકતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(B) ધારો કે $x = a \cos^3 t$ અને $y = a \sin^3 t$. આપણે $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ અને $\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx}$ શોધો.
કારણ કે $\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t}$.
તેથી,$\frac{d^2 y}{dx^2} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4 \sqrt{2}}{3a}$.

(A) ધારો કે $u = \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ અને $v = \tan ^{-1} x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,જ્યાં $\theta = \tan ^{-1} x$.
$-1 < x < 1$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$.
તેથી $u = \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
હવે,આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(2 \tan ^{-1} x)$ શોધવાનું છે.
$v = \tan ^{-1} x$ હોવાથી,$u = 2v$ થાય.
તેથી,$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(2v) = 2$.

(B) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.
ધારો કે $x = \sin\theta$,તો $\theta = \sin^{-1}x$.
અહીં $\frac{1}{2} < x < 1$ હોવાથી,$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી $3\theta$ એ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં આવે છે.
આ અંતરાલમાં,$\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = \pi - 3\theta$ થાય.
આમ,$y = \pi - 3\sin^{-1}x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\pi - 3\sin^{-1}x) = 0 - 3 \times \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) આપેલ છે કે $y = e^{\cos ^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log _e y = \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left( \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{d x} \cos ^{-1}(u) = \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$,જ્યાં $u = \sqrt{1-x^2}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (1-x^2)^{1/2} \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2}} \cdot \left( \frac{1}{2} (1-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.
ધારો કે $x > 0$,તેથી $|x| = x$,એટલે કે $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$
$y = \tan^{-1} \left( \cot \frac{x}{2} \right)$
કારણ કે $\cot \frac{x}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right)$,તેથી:
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.