MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $2$ સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શ અવકાશ $\{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=5) = P(HH) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(TT) = \frac{1}{4}$
આપણે મધ્યક $E(X) = \sum p_i x_i = (5 \times \frac{1}{4}) + (2 \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = (5^2 \times \frac{1}{4}) + (2^2 \times \frac{1}{2}) + (1^2 \times \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} + 2 = \frac{13}{2} + 2 = \frac{17}{2}$ ગણીએ.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{17}{2} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2} - \frac{25}{4} = \frac{34-25}{4} = \frac{9}{4}$.

(C) કોઈપણ વિધેય સંભાવના ઘટત્વ વિધેય (p.m.f.) હોય,તો તેની તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum_{x=0}^{3} P(X=x) = 1$
$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1$
$K \cdot \frac{2^0}{0!} + K \cdot \frac{2^1}{1!} + K \cdot \frac{2^2}{2!} + K \cdot \frac{2^3}{3!} = 1$
$K \cdot (\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{6}) = 1$
$K \cdot (1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (5 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (\frac{15+4}{3}) = 1$
$K \cdot \frac{19}{3} = 1$
$K = \frac{3}{19}$

(C) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે.
કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
રાજાઓની સંખ્યા = $4$.
એક પ્રયત્નમાં રાજા ખેંચવાની સંભાવના,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
એક પ્રયત્નમાં રાજા ન ખેંચવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$.
અહીં $n = 2$ પ્રયત્નો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના વિતરણ $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X = 0$ માટે: $P(X = 0) = {}^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$.
$X = 1$ માટે: $P(X = 1) = {}^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$X = 2$ માટે: $P(X = 2) = {}^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \cdot \frac{1}{169} \cdot 1 = \frac{1}{169}$.
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X=0, P(X)=\frac{144}{169}$
$X=1, P(X)=\frac{24}{169}$
$X=2, P(X)=\frac{1}{169}$
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$E(X) = \sum_{x=1}^{10} x P(X=x) = \frac{1}{10} (1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11}{2} = 5.5$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,$E(X^2) = \sum_{x=1}^{10} x^2 P(X=x) = \frac{1}{10} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{231}{6} = 38.5$ ગણીએ.
છેલ્લે,$\operatorname{Var}(X) = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.
આમ,$8.25 = \frac{33}{4}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અપેક્ષિત દૈનિક માંગ (મધ્યક) $E(X) = \Sigma P_i x_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = (5 \times 0.07) + (6 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (8 \times 0.3) + (9 \times 0.07) + (10 \times 0.06)$
$E(X) = 0.35 + 1.2 + 2.1 + 2.4 + 0.63 + 0.6 = 7.28$.
વિચરણ $Var(X) = \Sigma P_i x_i^2 - (E(X))^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\Sigma P_i x_i^2$ ની ગણતરી કરો:
$\Sigma P_i x_i^2 = (25 \times 0.07) + (36 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (64 \times 0.3) + (81 \times 0.07) + (100 \times 0.06)$
$\Sigma P_i x_i^2 = 1.75 + 7.2 + 14.7 + 19.2 + 5.67 + 6.0 = 54.52$.
હવે,વિચરણની ગણતરી કરો:
$Var(X) = 54.52 - (7.28)^2$
$Var(X) = 54.52 - 52.9984 \approx 1.52$.
આમ,અપેક્ષિત માંગ $7.28$ છે અને વિચરણ $1.52$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $\vec{p} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{q} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$m:n = 1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{1 - 2}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{-3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$

(D) ધારો કે રેખાની દિક્કોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા અક્ષો સાથે $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ ખૂણા બનાવે છે,તેથી $l = \cos(\frac{\alpha}{2}), m = \cos(\frac{\beta}{2}), n = \cos(\frac{\gamma}{2})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\beta}{2}) + \cos^2(\frac{\gamma}{2}) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$,તેથી $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\frac{1 + \cos \alpha}{2} + \frac{1 + \cos \beta}{2} + \frac{1 + \cos \gamma}{2} = 1$
$\frac{3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{2} = 1$
$3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2$
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 - 3 = -1$.

(B) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા $x$ અને $y$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $l = \cos \alpha$ અને $m = \cos \alpha$. ધારો કે $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $n = \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \theta = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \theta) = 1$.
$3 - 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \theta = 1$.
આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = 2 \sin^2 \alpha$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 - 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = 1$.
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 1$.
$4 \sin^2 \alpha = 2$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય = $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ એકમ.

(C) $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ નો સદિશ પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{a} = (7)(3) + (-5)(2) + (-1)(5) = 21 - 10 - 5 = 6$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 2^2 + 5^2 = 9 + 4 + 25 = 38$ શોધો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
સદિશ પ્રક્ષેપ = $\frac{6}{38} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = \frac{3}{19} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(A) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_1} = (2, 2, -1)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(2) + (-1)(2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિક્ગુણોત્તરો $\vec{v_1} = (2, -3, 1)$ અને $\vec{v_2} = (1, 2, -2)$ છે.
જરૂરી રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેના દિક્ગુણોત્તરો $(a, b, c)$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-2) - \hat{j}(-4-1) + \hat{k}(4+3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
આમ,દિક્ગુણોત્તરો $(4, 5, 7)$ છે.
તેનું માન $\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90}$ છે.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\pm \frac{4}{\sqrt{90}}, \pm \frac{5}{\sqrt{90}}, \pm \frac{7}{\sqrt{90}}$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપનું માન $\left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,જરૂરી પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે. રેખા $\langle -1, 2, 2 \rangle$ અને $\langle 0, 2, 1 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ એ આપેલ બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-2-0) = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle -2, 1, -2 \rangle$ અથવા $\langle 2, -1, 2 \rangle$ મળે છે.
સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી દિકકોસાઇન $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ થાય.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ અને $(-3, 2, 5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
આ રેખા બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ છે.

(D) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
આમ,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(C) આપેલી રેખાઓ $x = -y, z = 0$ અને $x = 0, z = 0$ છે.
આપણે આ રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
રેખા $1$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, -1, 0)$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(0) = -1$.
માનની ગણતરી: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.
આમ,$\cos \theta = \left| \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(A) રેખા $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $\vec{b}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,તેની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = \vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ થશે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(-1 - 1) + \hat{k}(2 - 1) = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{r} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ મળે છે.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(3, 5, -7)$ અને $B(-2, 1, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda(-2) + 1(3)}{\lambda + 1} = 0$
$-2\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.
હવે,$3 : 2$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને $y$ અને $z$ યામ શોધીએ:
$y = \frac{3(1) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{3 + 10}{5} = \frac{13}{5}$
$z = \frac{3(8) + 2(-7)}{3 + 2} = \frac{24 - 14}{5} = \frac{10}{5} = 2$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
રેખા બંને સદિશોને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = 1\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
રેખા બિંદુ $(-3, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 3, 5)$ છે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - 1}{5}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+3}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{5}$ થાય છે.

(C) ઉગમબિંદુની આસપાસ યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
તેથી,પરિભ્રમણ પહેલાં $\vec{a}$ નું માન = પરિભ્રમણ પછી $\vec{a}$ નું માન.
$|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3p^2 - 3p + p - 1 = 0$
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$
$(3p+1)(p-1) = 0$
આમ,$p=1$ અથવા $p=-\frac{1}{3}$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a_2} = 0$,અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
હવે,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 6) - \hat{j}(-1 + 6) + \hat{k}(2 + 4) = -8\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 25 + 36} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,અંતર $d = \frac{5\sqrt{5}}{3}$ એકમ થાય.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\overrightarrow{AB}$ ની દિશામાં છે.
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = -2 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k}$.
સમતલ $\overrightarrow{AB}$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ લઈ શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $B(1, -2, -4)$ અને અભિલંબના ઘટકો $(2, 3, 6)$ મૂકતા:
$2(x-1) + 3(y+2) + 6(z+4) = 0$.
$2x - 2 + 3y + 6 + 6z + 24 = 0$.
$2x + 3y + 6z + 28 = 0$.

(B) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $(a, 1, 6)$ અને $(3, 4, b)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદબિંદુ નીચે મુજબ મળે છે:
$\left(\frac{3\lambda + a}{\lambda + 1}, \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1}\right) = \left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$.
યામોને સરખાવતા:
$1) \frac{3\lambda + a}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 3\lambda + a = 0 \Rightarrow a = -3\lambda$.
$2) \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{17}{2} \Rightarrow 8\lambda + 2 = 17\lambda + 17 \Rightarrow -9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ને $a = -3\lambda$ માં મૂકતા:
$a = -3\left(-\frac{5}{3}\right) = 5$.
$3) \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{b(-\frac{5}{3}) + 6}{-\frac{5}{3} + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{-\frac{5b}{3} + 6}{-\frac{2}{3}} = -\frac{13}{2}$.
બંને બાજુ $-\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા:
$-\frac{5b}{3} + 6 = \left(-\frac{13}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{3}$.
$-\frac{5b}{3} = \frac{13}{3} - 6 = \frac{13 - 18}{3} = -\frac{5}{3}$.
$b = 1$.
આમ,$a = 5$ અને $b = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{n} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -5 - 4 + 2 = -7$.
તેથી,સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) = -7$ થાય.

(A) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = 90^{\circ}$ થાય છે.

(A) રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x-(-2)}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે રેખા બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ એ $(3, 2, 5)$ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (-2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$ થાય.

(NONE) આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા ગુણોત્તર સમાન છે: $(2, -1, 2)$.
ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (0, 0, 0)$,$\vec{a_2} = (1, 1, 2)$,અને $\vec{b} = (2, -1, 2)$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$d = \frac{\sqrt{29}}{3}$ એકમ થાય છે.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ તરીકે લઈ શકાય.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(0,2,3)$ છે. સદિશ $\vec{PM} = (5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
કારણ કે $PM$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PM}$ અને રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (5, 2, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 5(1)-3 = 2$
$y = 2(1)+1 = 3$
$z = 3(1)-4 = -1$
આમ,લંબપાદના યામ $(2,3,-1)$ છે.

(B) રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે કે કેમ તે તપાસવા માટે,આપણે તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર ($S$.$D$.) ગણીએ છીએ. રેખાઓ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lambda(3, 2, 5)$ અને $\vec{r_2} = (-2, 1, -1) + \mu(4, 3, -2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $S.D. = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ છે.
અહીં,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-2-1, 1-(-1), -1-1) = (-3, 2, -2)$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-15) - \hat{j}(-6-20) + \hat{k}(9-8) = -19\hat{i} + 26\hat{j} + 1\hat{k}$.
હવે,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-3)(-19) + (2)(26) + (-2)(1) = 57 + 52 - 2 = 107$.
કારણ કે લઘુત્તમ અંતર $\frac{107}{\sqrt{(-19)^2 + 26^2 + 1^2}} = \frac{107}{\sqrt{361 + 676 + 1}} = \frac{107}{\sqrt{1038}} \neq 0$ છે,તેથી રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (5\lambda - 3, 2\lambda + 1, 3\lambda - 4)$ છે.
ધારો કે $A = (0, 2, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે. રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 7)$ છે.
$AP$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
લંબપાદ $P = (5(1) - 3, 2(1) + 1, 3(1) - 4) = (2, 3, -1)$ મળે.
લંબની લંબાઈ $AP = \sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(3, 1, 2)$ અને $(-1, 2, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-2}{1-2}$
$\frac{x-3}{-4} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1}$

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $M(-1, -2, 2)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{OM} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $M$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{OM} \cdot \vec{n} = (-1, -2, 2) \cdot (-1, -2, 2) = (-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
તેથી,સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 9$ છે.

(D) રેખાઓ $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ અને $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3-3, -7-8, 6-3) = (-6, -15, 3)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-2) - \hat{j}(12+3) + \hat{k}(6-3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
તેથી,$d = \frac{|270|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ એકમ.

(C) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ છે.
સમતલ એ $1, 0, -1$ અને $-1, 1, 0$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ અને $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = c$ અને $a = b$,તેથી $a = b = c$.
સમતલના સમીકરણમાં $a=b=c$ મૂકતા,આપણને $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ થાય છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
આમ,$A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ અને $(0, 0, 3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ઘન એકમ થાય.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
સમતલ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $X$-અક્ષ (દિશા સદિશ $\vec{i} = (1, 0, 0)$) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $y-3z+6=0$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $ax + by + cz = d$ પરના લંબના લંબપાદ $(x, y, z)$ ના યામ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = \frac{-(ax_1 + by_1 + cz_1 - d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$,$a = 2$,$b = 6$,$c = -3$,અને $d = 63$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-0}{-3} = \frac{-(2(0) + 6(0) - 3(0) - 63)}{2^2 + 6^2 + (-3)^2}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{-(-63)}{4 + 36 + 9}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{6} = \frac{z}{-3} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}$
હવે,$x, y, z$ માટે ઉકેલતા:
$x = 2 \times \frac{9}{7} = \frac{18}{7}$
$y = 6 \times \frac{9}{7} = \frac{54}{7}$
$z = -3 \times \frac{9}{7} = \frac{-27}{7}$
આમ,લંબપાદના યામ $(\frac{18}{7}, \frac{54}{7}, \frac{-27}{7})$ છે.

(D) સમતલો $P_1: x+2y-3z+1=0$ અને $P_2: 3x-2y+4z+3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y-3z+1) + \lambda(3x-2y+4z+3) = 0 \quad \dots(1)$
આ સમતલ બિંદુ $(2,2,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણ $(1)$ માં $x=2, y=2, z=1$ મૂકીએ:
$(2 + 2(2) - 3(1) + 1) + \lambda(3(2) - 2(2) + 4(1) + 3) = 0$
$(2 + 4 - 3 + 1) + \lambda(6 - 4 + 4 + 3) = 0$
$4 + 9\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{4}{9}$
હવે $\lambda = -\frac{4}{9}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(x+2y-3z+1) - \frac{4}{9}(3x-2y+4z+3) = 0$
$9(x+2y-3z+1) - 4(3x-2y+4z+3) = 0$
$9x + 18y - 27z + 9 - 12x + 8y - 16z - 12 = 0$
$-3x + 26y - 43z - 3 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $3x - 26y + 43z + 3 = 0$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $3x + 2y + 6z - 56 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{6} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k, 2k, 6k)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,આપણે તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(3k) + 2(2k) + 6(6k) = 56$
$9k + 4k + 36k = 56$
$49k = 56$
$k = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$
હવે $k$ ની કિંમત $(3k, 2k, 6k)$ માં મૂકતા:
$x = 3 \times \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$
$y = 2 \times \frac{8}{7} = \frac{16}{7}$
$z = 6 \times \frac{8}{7} = \frac{48}{7}$
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{24}{7}, \frac{16}{7}, \frac{48}{7}\right)$ છે.

(C) સમતલ $OPQ$ જે $O(0,0,0), P(1,2,1)$ અને $Q(2,1,3)$ માંથી પસાર થાય છે તેનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
$x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$.
સમતલ $OPQ$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $PQR$ જે $P(1,2,1), Q(2,1,3)$ અને $R(-1,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે તેનું સમીકરણ:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1) - 5(y-2) - 3(z-1) = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$.
સમતલ $PQR$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(D) $X$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $by + cz + d = 0$ છે.
આ સમતલ બિંદુઓ $(2, 3, 1)$ અને $(4, -5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
બિંદુ $(2, 3, 1)$ માટે: $b(3) + c(1) + d = 0 \implies 3b + c + d = 0$.
બિંદુ $(4, -5, 3)$ માટે: $b(-5) + c(3) + d = 0 \implies -5b + 3c + d = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(3b + c + d) - (-5b + 3c + d) = 0 \implies 8b - 2c = 0 \implies c = 4b$.
$c = 4b$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3b + 4b + d = 0 \implies d = -7b$.
સમીકરણ $by + (4b)z - 7b = 0$ બને છે.
$b$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારતા),આપણને $y + 4z = 7$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) ધારો કે રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે. રેખા સમતલો $x - y + 2z = 5$ અને $3x + y + z = 6$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો દિક સદિશ બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ હશે.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ છે.
દિક સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-3)) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-3, 5, 4)$ છે.
રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ થાય.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ સ્વરૂપમાં આપેલું છે,જ્યાં $\bar{n} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 12 \hat{k}$ અને $d = 8$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $p = \frac{|d|}{|\bar{n}|}$ છે.
અહીં,$|\bar{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ થાય.
તેથી,લંબની લંબાઈ $p = \frac{8}{13}$ એકમ છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(-1, 4, 2)$ અને $(3, 1, 1)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -1-1 & 4-2 & 2-3 \\ 3-1 & 1-2 & 1-3 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)[(2)(-2) - (-1)(-1)] - (y-2)[(-2)(-2) - (2)(-1)] + (z-3)[(-2)(-1) - (2)(2)] = 0$
$(x-1)[-4 - 1] - (y-2)[4 + 2] + (z-3)[2 - 4] = 0$
$-5(x-1) - 6(y-2) - 2(z-3) = 0$
$-5x + 5 - 6y + 12 - 2z + 6 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(A) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1$ અને $\bar{n}_2$ પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\bar{n}_1 = k \bar{n}_2$.
અહીં આપેલા અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ છે.
સમતલો સમાંતર હોવા માટે,અભિલંબ સદિશોના ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$
$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \lambda$ મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{1}{2}$.
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{2} = \frac{1}{\mu}$ મળે છે,તેથી $\mu = 2$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{2}$ અને $\mu = 2$ છે.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(4, -2, -5)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = \langle 4 - 0, -2 - 0, -5 - 0 \rangle = \langle 4, -2, -5 \rangle$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$.
$4x - 2y - 5z - 45 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y - 5z = 45$ થાય છે.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $x$-અક્ષના દિશા સદિશ $\vec{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$.
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$.
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $y - 3z + 6 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\bar{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે,કારણ કે તે યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ માન $|\bar{n}| = 3\sqrt{3}$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3a^2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 3$.
આમ,$\bar{n} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a} = (1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને $\bar{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \bar{n} = \vec{a} \cdot \bar{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (1)(3) + (-1)(3) + (2)(3) = 3 - 3 + 6 = 6$.
તેથી,સમીકરણ $\bar{r} \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 6$ છે.

(B) આ રેખા $A(4, -1, 2)$ અને $B(-3, 2, 3)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર થશે.
રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle 4 - (-3), -1 - 2, 2 - 3 \rangle = \langle 7, -3, -1 \rangle$ છે.
સમતલ $(-10, 5, 4)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $\langle a, b, c \rangle$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7(x + 10) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$
$7x - 3y - z + 89 = 0$.

(B) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda:1$ છે. બિંદુઓ $\vec{a} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\lambda\vec{b} + 1\vec{a}}{\lambda+1}$ દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,$\vec{r} = \frac{\lambda(3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}) + (-2\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{(3\lambda-2)\hat{i} + (-5\lambda+4)\hat{j} + (8\lambda+7)\hat{k}}{\lambda+1}$.
આ બિંદુ સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = 17$ પર હોવાથી,આપણે ઘટકોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{(3\lambda-2)(1) + (-5\lambda+4)(-2) + (8\lambda+7)(3)}{\lambda+1} = 17$.
$(3\lambda-2) + (10\lambda-8) + (24\lambda+21) = 17(\lambda+1)$.
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$.
$20\lambda = 6$.
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $3:10$ છે.