MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે તર્કના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપેલ પદાવલિને સરળ બનાવીએ છીએ:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$\equiv \{(p \vee \sim p) \wedge q\} \vee (r \wedge \sim q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv t$ (નિરર્થક સત્ય):
$\equiv (t \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
$\equiv q \vee (r \wedge \sim q)$
વિભાજનનો નિયમ $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ લાગુ પાડતા:
$\equiv (q \vee r) \wedge (q \vee \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q) \equiv t$:
$\equiv (q \vee r) \wedge t$
$\equiv q \vee r$

(A) $p \rightarrow q$ સ્વરૂપના વિધાનનું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ થાય છે.
અહીં,$p$ એ '$A \subseteq B$ અને $B \subseteq D$' છે અને $q$ એ '$A \subseteq C$' છે.
નિષેધ $\sim q$ એ '$A \nsubseteq C$' છે.
નિષેધ $\sim p$ એ '$\sim(A \subseteq B \text{ અને } B \subseteq D)$' છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ '$A \nsubseteq B$ અથવા $B \nsubseteq D$' થાય છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: જો $A \nsubseteq C$,તો $A \nsubseteq B$ અથવા $B \nsubseteq D$.

(C) આપેલ છે કે $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q)$ નું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $F$ હોય જ્યારે $A$ એ $T$ હોય અને $B$ એ $F$ હોય.
તેથી,$(p \wedge \sim r)$ એ $T$ છે અને $(\sim p \vee q)$ એ $F$ છે.
$(p \wedge \sim r)$ $T$ હોવા માટે,$p$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
જો $p$ એ $T$ હોય,તો $\sim p$ એ $F$ થાય.
$(\sim p \vee q)$ $F$ હોવા માટે,$\sim p$ $F$ હોવાથી $q$ પણ $F$ હોવું જોઈએ.
$\sim r$ એ $T$ હોવાથી,$r$ એ $F$ થાય.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(D) '$\text{એક માણસ ન તો ખુશ છે કે ન તો શ્રીમંત છે}$' વિધાનનો અર્થ એ છે કે માણસ ખુશ નથી $AND$ માણસ શ્રીમંત નથી.
પ્રતીકાત્મક રીતે,આને $(\sim p \wedge \sim q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim(p \vee q)$.
આમ,સાચું પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપ $\sim(p \vee q)$ છે.

(A) આપણે $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ધારો કે $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$.
તેનું નિષેધ $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\sim P \equiv \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
દ્વિ-નિષેધના નિયમ $\sim (\sim s) \equiv s$ અને ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \equiv s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$.
વધુ સાદું રૂપ આપતા:
$\sim P \equiv s \wedge (r \vee \sim s)$.
વિભાજનના નિયમ $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $(s \wedge \sim s) \equiv F$ (વિરોધાભાસ):
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee F \equiv s \wedge r$.

(D) વિધાન પેટર્ન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
સત્યતા કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ માટેનો સ્તંભ એ $(p \leftrightarrow q)$ માટેના સ્તંભ સમાન છે.
તેથી,વિધાન પેટર્ન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ એ $(p \leftrightarrow q)$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) પ્રથમ,વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરો:
$P: 11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,જે $T$ (સત્ય) છે.
$Q: 7$ એ $176$ નો અવયવ છે. $176 \div 7 = 25.14$ હોવાથી,$7$ અવયવ નથી,તેથી $Q$ એ $F$ (અસત્ય) છે.
$R$: $3$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $21$ છે,જે $T$ (સત્ય) છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv T \vee (\sim F \wedge T) \equiv T \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.
વિકલ્પ $B$: $(\sim P) \wedge (\sim Q \wedge R) \equiv F \wedge (T \wedge T) \equiv F \wedge T \equiv F$.
વિકલ્પ $C$: $(P \wedge Q) \vee (\sim R) \equiv (T \wedge F) \vee F \equiv F \vee F \equiv F$.
વિકલ્પ $D$: $(\sim P) \vee (Q \wedge R) \equiv F \vee (F \wedge T) \equiv F \vee F \equiv F$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ 'હું અભ્યાસ કરું છું' અને $q$ એ 'હું નાપાસ થાઉં છું' વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \vee q$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,વિયોજનનું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ થાય.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'હું અભ્યાસ કરતો નથી' અને $\sim q$ એટલે 'હું નાપાસ થતો નથી'.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન 'હું અભ્યાસ કરતો નથી અને હું નાપાસ થતો નથી' થાય.

(B) દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$S_1: \sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q) \equiv p \wedge q$. તેથી,$S_1$ સાચું છે.
$S_2: (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(p \wedge q)$,જે વિરોધાભાસ છે,નિત્યસત્ય નથી.
$S_3: [p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)]$ $\rightarrow q$ એ આકસ્મિક છે,વિરોધાભાસ નથી.
$S_4: p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ નિત્યસત્ય છે,આકસ્મિક નથી.
તેથી,માત્ર $S_1$ સાચું છે.

(B) શરતી વિધાન $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોય.
$p$ સત્ય હોવાથી,$\sim p$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
$\sim p$ પહેલેથી જ અસત્ય હોવાથી,$q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$p$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $p = F$ અને $q = F$.
પગલું $1$: $(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q)$ નું મૂલ્ય શોધો
$\sim p = \sim F = T$
$\sim p \vee q = T \vee F = T$
$p \wedge q = F \wedge F = F$
$\sim(p \wedge q) = \sim F = T$
તેથી,$(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q) = T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $2$: $\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q)$ નું મૂલ્ય શોધો
$\sim p = T$
$\sim q = \sim F = T$
$p$ $\rightarrow \sim q = F$ $\rightarrow T = T$
તેથી,$\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q) = T \leftrightarrow T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ (converse) $q \rightarrow p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અહીં,$p$ એટલે 'ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચોરસ છે' અને $q$ એટલે 'ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન છે'.
વિધાન $I$ એ $p \rightarrow q$ છે.
વિધાન $II$ એ $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન $II$ એ વિધાન $I$ નું પ્રતીપ છે.

(D) પ્રથમ,આપણે આપેલા વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરીએ:
$p: 25$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. $25 = 5 \times 5$ હોવાથી,તે વિભાજ્ય છે. તેથી,$p \equiv F$.
$q: 14$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે. $14 = 2 \times 7$ હોવાથી,તે વિભાજ્ય છે. તેથી,$q \equiv T$.
$r: 64$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે. $64 = 8^2$ હોવાથી,તે પૂર્ણ વર્ગ છે. તેથી,$r \equiv T$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$D: \sim p \vee (q \wedge r) \equiv \sim F \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.

(A) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q)$ માટે,$p$ ને $(p \vee q)$ અને $q$ ને $(p \wedge q)$ તરીકે ઓળખીએ.
વ્યાખ્યા લાગુ કરતાં,પ્રતિ-વિધાન $\sim(p \vee q) \rightarrow \sim(p \wedge q)$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ અને $\sim(p \wedge q) \equiv (\sim p \vee \sim q)$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ છે.

(A) પ્રથમ,વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ ધ્યાનમાં લો. આ $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ ને સમતુલ્ય છે,જે $(\neg p \vee p) \vee \neg q = T \vee \neg q = T$ માં સરળ બને છે. આમ,તે એક નિત્યસત્ય છે.
આગળ,$p \rightarrow (p \vee q)$ ધ્યાનમાં લો. આ $\neg p \vee (p \vee q)$ ને સમતુલ્ય છે,જે $(\neg p \vee p) \vee q = T \vee q = T$ માં સરળ બને છે. આમ,તે પણ એક નિત્યસત્ય છે.
અંતે,પદાવલિ $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)]$ $\rightarrow [p$ $\rightarrow (p \vee q)]$ એ $T \rightarrow T$ બને છે,જે $T$ છે. તેથી,આ વિધાન પેટર્ન એક નિત્યસત્ય છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે: "જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર ન હોય,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી".
$p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ-વિધાન $q \rightarrow p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે: "જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે".
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) સમીકરણ $6x^2+xy-y^2=0$ ને $-(y-3x)(y+2x)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય,જે રેખાઓ $y=3x$ અને $y=-2x$ આપે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું $x+3y=10$ સાથે છેદબિંદુ શોધીએ:
$1$. $y=3x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. શિરોબિંદુ $(1,3)$ છે.
$2$. $y=-2x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. શિરોબિંદુ $(-2,4)$ છે.
$3$. $y=3x$ અને $y=-2x$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ છે.

(C) રેખાઓની જોડી $x^2-4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a=1, h=-2, b=1$ છે,તેથી $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-2)^2-1\times 1}}{1+1}\right| = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
કારણ કે રેખાઓ $x+y=10$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,ઉગમબિંદુ એ ત્રિકોણનું એક શિરોબિંદુ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x+y-10=0$ સુધીનું લંબ અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ $h$ છે.
$h = \frac{|0+0-10|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે જેની બાજુની લંબાઈ $s$ છે,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,તેથી $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{200}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{3} = \frac{50}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $y=5$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા $y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ અને $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેથી,$y - \sqrt{3}x = 0$ અને $y + \sqrt{3}x = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ થશે.
$y^2 - 3x^2 = 0$,જેને $3x^2 - y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 x^2+5 x y+3 y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 x^2+2 x y+3 x y+3 y^2=0$ $\Rightarrow 2 x(x+y)+3 y(x+y)=0$ $\Rightarrow (2 x+3 y)(x+y)=0$.
વ્યક્તિગત રેખાઓ $2 x+3 y=0$ અને $x+y=0$ છે.
આ રેખાઓને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $3 x-2 y=0$ અને $x-y=0$ છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3 x-2 y)(x-y)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3 x^2-3 x y-2 x y+2 y^2=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3 x^2-5 x y+2 y^2=0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{a} = 0$ મળે છે.
ધારો કે ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$m + 2m = 3m = -\frac{2/h}{1/b} = -\frac{2b}{h}$,તેથી $m = -\frac{2b}{3h}$.
બીજના ગુણાકાર પરથી,$m \cdot 2m = 2m^2 = \frac{1/a}{1/b} = \frac{b}{a}$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$.
$2 \cdot \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$\frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.
આમ,$ab : h^2 = 9:8$.

(B) ધારો કે રેખા $y=x$ નો ઢાળ $m_1 = 1 = \tan 45^\circ$ છે. ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
સૂત્ર $\tan \alpha = |\frac{m-1}{1+m}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{m-1}{1+m} = \tan \alpha$ અથવા $\frac{m-1}{1+m} = -\tan \alpha$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \tan(45^\circ + \alpha)$ અને $m = \tan(45^\circ - \alpha)$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \tan(45^\circ + \alpha)x$ અને $y = \tan(45^\circ - \alpha)x$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - x\tan(45^\circ + \alpha))(y - x\tan(45^\circ - \alpha)) = 0$ છે.
સરળ બનાવતા,$y^2 - xy(\frac{2}{\cos 2\alpha}) + x^2 = 0$.
આમ,$x^2 - 2xy \sec 2\alpha + y^2 = 0$ મળે છે.

(A) પ્રથમ ચરણ એ ધન $x$-અક્ષ $(0^\circ)$ અને ધન $y$-અક્ષ $(90^\circ)$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
પ્રથમ ચરણના ત્રણ સમાન ભાગ કરતી રેખાઓ ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ અને $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓના સમીકરણો $y = \tan(30^\circ)x$ અને $y = \tan(60^\circ)x$ છે.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$y = \sqrt{3}x \implies \sqrt{3}x - y = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}x^2 - xy - 3xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.

(C) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = \tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x - \sqrt{3}y = 0$ અને $x + \sqrt{3}y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ છે.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x^2 - (\sqrt{3}y)^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 0$ છે.

(B) સમપરિમાણીય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દુભાજકોની જોડનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2+3xy+2y^2=0$ માટે,$a=1$,$2h=3$ (તેથી $h=\frac{3}{2}$),અને $b=2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{1-2} = \frac{xy}{3/2}$
$\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{3}$
$3(x^2-y^2) = -2xy$
$3x^2-3y^2 = -2xy$
$3x^2+2xy-3y^2=0$.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $Kx^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ છે. તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = K$,$2h = -4 \Rightarrow h = -2$,અને $b = 5$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|m_1 - m_2| = 2$,તેથી:
$2 = \frac{2\sqrt{(-2)^2 - K(5)}}{5}$
$1 = \frac{\sqrt{4 - 5K}}{5}$
$5 = \sqrt{4 - 5K}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 4 - 5K$
$5K = 4 - 25$
$5K = -21$
$K = \frac{-21}{5}$

(C) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ પરથી,આપણી પાસે છે:
ઢાળનો સરવાળો: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 - 2xy \tan \theta - y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = -2 \tan \theta$,અને $b = -1$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m_1 + m_2 = \frac{-(-2 \tan \theta)}{-1} = -2 \tan \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો $4$ છે,તેથી $-2 \tan \theta = 4$.
આથી $\tan \theta = -2$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(-2)$.

(C) બે રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
$kx^2 - 4xy + y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = k$,$h = -2$,અને $b = 1$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \left| \frac{2 \sqrt{(-2)^2 - k(1)}}{k + 1} \right|$.
$\frac{1}{4} = \frac{4(4 - k)}{(k + 1)^2} \Rightarrow (k + 1)^2 = 16(4 - k)$.
$k^2 + 2k + 1 = 64 - 16k \Rightarrow k^2 + 18k - 63 = 0$.
$(k + 21)(k - 3) = 0$.
આમ,$k = 3$ મળે છે.

(D) વિદ્યાર્થીએ કુલ $11$ પ્રશ્નોમાંથી $6$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ થાય.
શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:

$\text{વિભાગ-}I$	$\text{વિભાગ-}II$	$\text{રીતોની સંખ્યા}$
$2$	$4$	$^6C_2 \times ^5C_4 = 15 \times 5 = 75$
$3$	$3$	$^6C_3 \times ^5C_3 = 20 \times 10 = 200$
$4$	$2$	$^6C_4 \times ^5C_2 = 15 \times 10 = 150$

કુલ રીતોની સંખ્યા = $75 + 200 + 150 = 425$.

(B) ધારો કે $P$ તેના મિત્રોમાંથી $l_1$ સ્ત્રીઓ અને $m_1$ પુરુષોને આમંત્રિત કરે છે,અને $Q$ તેના મિત્રોમાંથી $l_2$ સ્ત્રીઓ અને $m_2$ પુરુષોને આમંત્રિત કરે છે.
આપેલ છે કે $P$ $3$ મિત્રોને આમંત્રિત કરે છે,તેથી $l_1 + m_1 = 3$.
આપેલ છે કે $Q$ $3$ મિત્રોને આમંત્રિત કરે છે,તેથી $l_2 + m_2 = 3$.
આમંત્રિત સ્ત્રીઓની કુલ સંખ્યા $l_1 + l_2 = 3$ છે.
આમંત્રિત પુરુષોની કુલ સંખ્યા $m_1 + m_2 = 3$ છે.
આપણી પાસે નીચેના કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $l_1=3, m_1=0$ અને $l_2=0, m_2=3$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^3C_0 \times ^3C_0 \times ^4C_3 = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
કિસ્સો $2$: $l_1=2, m_1=1$ અને $l_2=1, m_2=2$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_2 \times ^3C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_2 = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
કિસ્સો $3$: $l_1=1, m_1=2$ અને $l_2=2, m_2=1$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_1 \times ^3C_2 \times ^3C_2 \times ^4C_1 = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
કિસ્સો $4$: $l_1=0, m_1=3$ અને $l_2=3, m_2=0$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_0 \times ^3C_3 \times ^3C_3 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(C) હારમાં કુલ $9$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે,જે કુલ $5$ છે.
$5$ પુરુષોને આ $5$ એકી સ્થાનો પર $5! = 120$ રીતે બેસાડી શકાય.
બાકીના $4$ બેકી સ્થાનો $(2, 4, 6, 8)$ પર $4$ સ્ત્રીઓને $4! = 24$ રીતે બેસાડી શકાય.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 120 \times 24 = 2880$.

(C) $MACHINE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $3$ સ્વરો $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(M, C, H, N)$.
કુલ $7$ સ્થાનો છે,જે $1$ થી $7$ ક્રમાંકિત છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે,જે કુલ $4$ છે.
આપણે $4$ એકી સ્થાનોમાં $3$ સ્વરોને ગોઠવવાના છે,જે $^4P_3$ રીતે કરી શકાય.
$^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતો.
બાકીના $4$ અક્ષરો (વ્યંજનો) બાકીના $4$ સ્થાનોમાં $^4P_4$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$^4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= ^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$.

(B) આપેલ સંખ્યા $445577888$ છે. અંકો છે: $4, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8$.
અહીં $4$ એકી અંકો $(5, 5, 7, 7)$ અને $5$ બેકી અંકો $(4, 4, 8, 8, 8)$ છે.
કુલ $9$ સ્થાનો છે. બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
$4$ એકી અંકોને આ $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
બાકીના $5$ સ્થાનો (એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$) પર $5$ બેકી અંકો $(4, 4, 8, 8, 8)$ ગોઠવવાના છે.
આ $5$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!3!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 10 = 60$ છે.

(A) આપણી પાસે $6$ પિરિયડ અને $5$ વિષયો છે. દરેક વિષય ઓછામાં ઓછો એકવાર ભણાવવો જરૂરી હોવાથી,એક વિષય બે વાર અને બાકીના $4$ વિષયો એક-એક વાર ભણાવવા પડશે.
પ્રથમ,જે વિષયનું પુનરાવર્તન કરવાનું છે તેને $^5C_1 = 5$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
હવે,આપણી પાસે $6$ પિરિયડમાં ગોઠવવા માટે $6$ વિષયો (પુનરાવર્તન સાથે) છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા: $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5 \times 360 = 1800$ છે.

(A) $20$ પ્રતિનિધિઓને ગોળ ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી $2$ ચોક્કસ પ્રતિનિધિઓ સાથે બેસે,આપણે તે $2$ પ્રતિનિધિઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે અન્ય $18$ પ્રતિનિધિઓ અને $1$ એકમ (જોડી) છે,જે કુલ $19$ એકમો બનાવે છે.
$19$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(19 - 1)! = 18!$ છે.
તે $2$ પ્રતિનિધિઓ તેમની અંદર $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $2! \times 18! = 2 \times 18!$ છે.

(A) પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરુષો $(6-1)! = 5!$ રીતે બેસી શકે છે.
આ $6$ પુરુષોની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ સ્ત્રીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$6$ જગ્યાઓમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times 6!$ છે.

(C) પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ છે.
$2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\text{lcm}(2, 3) = 6$ ના ગુણકો છે.
આ સંખ્યાઓ $\{6, 12, 18, \ldots, 96\}$ છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ છે.
$100$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{100}C_3$ છે.
$16$ ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓમાંથી $6$ વડે વિભાજ્ય $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{^{16}C_3}{^{100}C_3}$ છે.
$P = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{100 \times 99 \times 98} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98}$.
$P = \frac{3360}{970200} = \frac{4}{1155}$.

(C) $5$ પત્રોને $5$ પરબિડીયાઓમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,બધા પત્રો યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ છે.
બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $P(E') = 1 - P(E)$ છે.
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.

(B) ધારો કે $B$ છોકરાને અને $G$ છોકરીને દર્શાવે છે. $3$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું બાળક સમાન લિંગના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે:
$E = \{BBB, BGB, GBG, GGG\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$.
અંતે,$P(A') + P(B') = 2 - 0.8 = 1.2$.

(C) ધારો કે $P(C_1), P(C_2), P(C_3)$ એ ત્રણ વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોવાની સંભાવનાઓ છે.
તરફેણમાં મત હોવાની શક્યતા $(5: 2), (4: 3), (3: 4)$ આપેલ છે,તેથી:
$P(C_1) = \frac{5}{7}, P(\bar{C}_1) = \frac{2}{7}$
$P(C_2) = \frac{4}{7}, P(\bar{C}_2) = \frac{3}{7}$
$P(C_3) = \frac{3}{7}, P(\bar{C}_3) = \frac{4}{7}$
બહુમતી તરફેણમાં હોવા માટે,ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો તરફેણમાં હોવા જોઈએ.
જરૂરી સંભાવના $= P(C_1)P(C_2)P(\bar{C}_3) + P(C_1)P(\bar{C}_2)P(C_3) + P(\bar{C}_1)P(C_2)P(C_3) + P(C_1)P(C_2)P(C_3)$
$= (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7})$
$= \frac{80+45+24+60}{343} = \frac{209}{343}$

(B) $52$ પત્તાને $17, 17, 17$ અને $1$ ના જૂથોમાં વહેંચવા માટે,આપણે મલ્ટિનોમિયલ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$4$ અલગ-અલગ ખેલાડીઓ માટે,કુલ રીતો $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ થશે.
આથી,જવાબ $\frac{52!}{(17!)^3}$ છે.

(A) $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ થાય.
$A$ ની તરફેણમાં ઓડ્સ $4:6$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{2}{5}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $7:3$ છે,એટલે કે $B$ ની તરફેણમાં ઓડ્સ $3:7$ છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$.
$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow \frac{7}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow P(C) = \frac{3}{10}$.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $\frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{7}{3}$ થાય.
આમ,$C$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $7:3$ છે.

(D) કુલ લખોટીઓ = $5$ લાલ + $4$ કાળી + $3$ સફેદ = $12$ લખોટીઓ.
આપણે $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $2$ લાલ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણી પાસે $0$,$1$ અથવા $2$ લાલ લખોટીઓ હોઈ શકે છે.
બિન-લાલ લખોટીઓની સંખ્યા $4 + 3 = 7$ છે.
કિસ્સો $1$: $0$ લાલ લખોટી અને $4$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_0 \times {}^7C_4 = 1 \times 35 = 35$.
કિસ્સો $2$: $1$ લાલ લખોટી અને $3$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_1 \times {}^7C_3 = 5 \times 35 = 175$.
કિસ્સો $3$: $2$ લાલ લખોટી અને $2$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_2 \times {}^7C_2 = 10 \times 21 = 210$.
કુલ રીતો = $35 + 175 + 210 = 420$.

(C) $5$ વિષયોમાંથી દરેક માટે,ઉમેદવાર પાસે $2$ શક્યતાઓ છે: કાં તો પાસ થવું અથવા નાપાસ થવું.
કુલ $5$ વિષયો હોવાથી,શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$ છે.
ઉમેદવાર ત્યારે જ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે જો તે બધા $5$ વિષયોમાં પાસ થાય. આવી માત્ર $1$ જ રીત છે (પાસ,પાસ,પાસ,પાસ,પાસ).
તેથી,ઉમેદવાર નાપાસ થઈ શકે તેવી રીતોની સંખ્યા (એટલે કે,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવું) એ કુલ પરિણામોમાંથી બધા વિષયોમાં પાસ થવાના કિસ્સાને બાદ કરવાથી મળે છે.
નાપાસ થવાની રીતોની સંખ્યા $= 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ મધ્યક અને કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો ગણીએ છીએ.

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$5$	$3$	$15$	$75$
$6$	$7$	$42$	$252$
$7$	$4$	$28$	$196$
$8$	$2$	$16$	$128$
$10$	$4$	$40$	$400$
કુલ	$N=20$	$\sum f_i x_i = 141$	$\sum f_i x_i^2 = 1051$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1051}{20} - \left(\frac{141}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - (7.05)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - 49.7025$
$\sigma^2 = 2.8475 \approx 2.85$.

(D) વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} - \left(\frac{\sum X}{N}\right)^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $N=60$,$\sum X^2=18000$,અને $\sum X=960$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.
આમ,માહિતીનું વિચરણ $44$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\angle C=90^{\circ}$,તેથી $\angle A+\angle B=90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a=k \sin A$ અને $b=k \sin B$,જ્યાં $k=2R$.
આમ,$\sin A = \frac{a}{k}$ અને $\sin B = \frac{b}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\angle B = 90^{\circ}-A$ હોવાથી,$\cos B = \sin A$ અને $\cos A = \sin B$.
તેથી,$\sin (A-B) = \sin A \sin A - \sin B \sin B = \sin^2 A - \sin^2 B$.
$\sin A = \frac{a}{c}$ અને $\sin B = \frac{b}{c}$ મૂકતા (કારણ કે $\sin C = \sin 90^{\circ} = 1$ અને $c^2=a^2+b^2$):
$\sin (A-B) = (\frac{a}{c})^2 - (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ છે.
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$= \left(\frac{c+a+b}{c}\right) \left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b}$
$= \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$
કોસાઇન નિયમ $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} = 2 \cos A$.
$= 2 \cos A + 2$
આપેલ છે કે $\angle A = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = 1/2$.
$= 2(1/2) + 2 = 1 + 2 = 3$.

(C) વિધેય $x=4$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ ($L$.$H$.$L$),જમણી બાજુનું લક્ષ ($R$.$H$.$L$) અને વિધેયની કિંમત $f(4)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$L.H.L = \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4-h)-4}{|(4-h)-4|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{|-h|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} + a = -1 + a$
$R.H.L = \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h)-4}{|(4+h)-4|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{|h|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} + b = 1 + b$
$f(4) = a + b$
$L.H.L = R.H.L = f(4)$ સરખાવતા:
$-1 + a = 1 + b = a + b$
$-1 + a = a + b$ પરથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$1 + b = a + b$ પરથી,આપણને $a = 1$ મળે છે.
આમ,$a=1$ અને $b=-1$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & x \leq \frac{1}{2} \\ 3x + 2 & \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \\ ax^2 + bx + 1 & x \geq \frac{5}{2} \end{cases}$
$x = \frac{1}{2}$ આગળ સાતત્ય માટે:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + 1 = 3(\frac{1}{2}) + 2$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} = \frac{5}{2} \implies a + 2b = 10$ ... $(1)$
$x = \frac{5}{2}$ આગળ સાતત્ય માટે:
$a(\frac{5}{2})^2 + b(\frac{5}{2}) + 1 = 3(\frac{5}{2}) + 2$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} + 1 = \frac{15}{2} + 2 = \frac{19}{2}$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} = \frac{17}{2} \implies 25a + 10b = 34$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે ગુણતા: $5a + 10b = 50$ ... $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $20a = -16 \implies a = -\frac{16}{20} = -\frac{4}{5}$
$a = -\frac{4}{5}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $-\frac{4}{5} + 2b = 10 \implies 2b = 10 + \frac{4}{5} = \frac{54}{5} \implies b = \frac{27}{5}$
તેથી,$a + b = -\frac{4}{5} + \frac{27}{5} = \frac{23}{5}$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = a$.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ ગણો:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \cdot \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \cdot 4 = 2 \cdot 1^2 \cdot 4 = 8$.
ત્યારબાદ,જમણી બાજુનું લક્ષ ગણો:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ વડે ગુણતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$.
બંને લક્ષ $8$ હોવાથી,વિધેય સતત રહે તે માટે $a = 8$ થવું જોઈએ.

(B) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ અને $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2} = \frac{3}{2}$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=4$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x=4$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = f(4) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)$
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{|x-4|} + a) = \lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{-(x-4)} + a) = -1 + a$
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{|x-4|} + b) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{x-4} + b) = 1 + b$
$3$. $x=4$ આગળ મૂલ્ય:
$f(4) = a + b$
આને સરખાવતા:
$-1 + a = a + b = 1 + b$
$-1 + a = a + b$ પરથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$a + b = 1 + b$ પરથી,આપણને $a = 1$ મળે છે.
આમ,$a = 1$ અને $b = -1$.

(C) $f(x)$ સતત હોય તે માટે,તે તમામ બિંદુઓ પર,ખાસ કરીને $x=1, x=3,$ અને $x=5$ જેવા સંક્રમણ બિંદુઓ પર સતત હોવું જોઈએ.
$x=1$ આગળ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$ અને $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b$. તેથી,$a + b = 5$ (સમીકરણ $i$).
$x=3$ આગળ: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$ અને $\lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 15$. તેથી,$a + 2b = 15$ (સમીકરણ $ii$).
$x=5$ આગળ: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 25$ અને $\lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$. તેથી,$b + 25 = 30 \Rightarrow b = 5$.
$b=5$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $a + 5 = 5 \Rightarrow a = 0$.
$a=0$ અને $b=5$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $0 + 2(5) = 10$,પરંતુ જમણી બાજુ $15$ છે. $10 \neq 15$ હોવાથી,આ સમીકરણોની સંહતિ અસંગત છે.
તેથી,$a$ અને $b$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $f(x)$ સતત નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = [x]^2 - [x^2]$. આપણે પૂર્ણાંક બિંદુઓ $x = n$ પર સાતત્ય ચકાસીએ,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x = 0$ માટે:
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} ([x]^2 - [x^2]) = (-1)^2 - 0 = 1$
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
$L.H.L. \neq R.H.L.$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ પર અસતત છે.
$x = 1$ માટે:
$L.H.L. = \lim_{x \to 1^-} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
$R.H.L. = \lim_{x \to 1^+} ([x]^2 - [x^2]) = 1^2 - 1 = 0$
$f(1) = [1]^2 - [1^2] = 1 - 1 = 0$
$L.H.L. = R.H.L. = f(1)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 1$ પર સતત છે.
અન્ય કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ માટે:
$L.H.L. = \lim_{x \to n^-} ([x]^2 - [x^2]) = (n-1)^2 - (n^2-1) = 2 - 2n$
$R.H.L. = \lim_{x \to n^+} ([x]^2 - [x^2]) = n^2 - n^2 = 0$
$n \neq 1$ માટે $2 - 2n \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $1$ સિવાયના તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે.

(D) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = 0 + 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$,તેથી $a + 3 = 5$,જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
વિધેય $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ: $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.
$1 + 5 = \sqrt{1^2 + 8} - b$.
$6 = \sqrt{9} - b$.
$6 = 3 - b$,જે આપણને $b = -3$ આપે છે.
અંતે,$7a + b + 1 = 7(2) + (-3) + 1 = 14 - 3 + 1 = 12$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos (\log _e x) dx$.
$\log _e x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી,$I = \int e^t \cos t dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) ના સૂત્ર $\int e^t f(t) dt = e^t f(t) - \int e^t f'(t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t dt$.
ફરીથી $\int e^t \sin t dt$ માટે ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$I = e^t \cos t + [e^t \sin t - \int e^t \cos t dt]$.
$I = e^t \cos t + e^t \sin t - I$.
$2I = e^t (\cos t + \sin t)$.
$I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + C$.
$e^t = x$ અને $t = \log _e x$ મૂકતા:
$I = \frac{x}{2} [\cos (\log _e x) + \sin (\log _e x)] + C$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} dx$.
$t = \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = -\sin x dx$,અથવા $\sin x dx = -dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = \cos(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_1^0 \frac{-dt}{1+t^2} = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{1+t^2} dt = \tan^{-1} t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [\tan^{-1} t]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
તેથી,સંકલન $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ બને છે.
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું સંકલન $2 \tan \frac{x}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{2} [2 \tan \frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} = [\tan \frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\tan \frac{3 \pi}{8} - \tan \frac{\pi}{8}$.
$\tan \frac{3 \pi}{8} = \cot \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$\cot \frac{\pi}{8} - \tan \frac{\pi}{8} = \frac{\cos \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8}} - \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{\cos \frac{\pi}{8}} = \frac{\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}$.
દ્વિ-કોણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4}} = 2 \cot \frac{\pi}{4} = 2(1) = 2$.

(D) સંકલન $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તેથી $du = -2x \, dx$,એટલે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} du$:
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + \frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} \, du$
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + [\sqrt{1-x^2}]_0^1$
$I = (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) + (\sqrt{1-1^2} - \sqrt{1-0^2})$
$I = (\frac{\pi}{2} - 0) + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^4 x \, dx$ ની કિંમત શોધવી છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$. તો $du = \sec^2 x \, dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = \tan(0) = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 (1 + u^2) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = [u + \frac{u^3}{3}]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = (1 + \frac{1^3}{3}) - (0 + \frac{0^3}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) $\text{આપણે જાણીએ છીએ કે } 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \text{ અને } \sin 2x = 2 \sin x \cos x \text{ થાય છે.}
\text{તેથી,} 1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 \text{ થાય.}
\text{સંકલન આ મુજબ બનશે: } \int_0^{\pi / 4} \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} \,d x = \int_0^{\pi / 4} |\cos x - \sin x| \,d x.
\text{અંતરાલ } [0, \pi / 4] \text{ માં,} \cos x \geq \sin x \text{ હોવાથી,} |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x \text{ થાય.}
\text{આમ,સંકલન } \int_0^{\pi / 4} (\cos x - \sin x) \,d x = [\sin x + \cos x]_0^{\pi / 4} \text{ થશે.}
\text{સીમાઓ મૂકતા: } (\sin(\pi / 4) + \cos(\pi / 4)) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1.$

(B) નિશ્ચિત સંકલન $I = \int_0^1 |5x - 3| \, dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $5x - 3 = 0$ જ્યારે $x = \frac{3}{5}$ હોય.
અહીં $\frac{3}{5} \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીશું:
$I = \int_0^{3/5} -(5x - 3) \, dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) \, dx$
$I = \int_0^{3/5} (3 - 5x) \, dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) \, dx$
પ્રથમ ભાગનું સંકલન:
$\left[ 3x - \frac{5x^2}{2} \right]_0^{3/5} = (3(\frac{3}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{9}{25})) - 0 = \frac{9}{5} - \frac{9}{10} = \frac{9}{10}$.
બીજા ભાગનું સંકલન:
$\left[ \frac{5x^2}{2} - 3x \right]_{3/5}^1 = (\frac{5}{2} - 3) - (\frac{5}{2}(\frac{9}{25}) - 3(\frac{3}{5})) = (-\frac{1}{2}) - (\frac{9}{10} - \frac{9}{5}) = -\frac{1}{2} + \frac{9}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
કુલ સરવાળો:
$I = \frac{9}{10} + \frac{4}{10} = \frac{13}{10}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-3}^0 x \sqrt{x+4} \, dx$.
$x+4 = t$ આદેશ લેતા,તેથી $x = t-4$ અને $dx = dt$.
જ્યારે $x = -3$,ત્યારે $t = 1$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_1^4 (t-4) \sqrt{t} \, dt = \int_1^4 (t^{3/2} - 4t^{1/2}) \, dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - 4 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_1^4 = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{8}{3} t^{3/2} \right]_1^4$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( \frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{8}{3}(4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5}(1)^{5/2} - \frac{8}{3}(1)^{3/2} \right)$.
$I = \left( \frac{2}{5}(32) - \frac{8}{3}(8) \right) - \left( \frac{2}{5} - \frac{8}{3} \right)$.
$I = \left( \frac{64}{5} - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{6-40}{15} \right) = \left( \frac{192-320}{15} \right) - \left( \frac{-34}{15} \right) = \frac{-128}{15} + \frac{34}{15} = -\frac{94}{15}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^6 \left(\frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2} \, dx$
ધારો કે $t = \sin \frac{x}{2}$. તેથી $dt = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $2 \, dt = \cos \frac{x}{2} \, dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin(0) = 0$.
જ્યારે $x = \pi / 2$,ત્યારે $t = \sin(\pi / 4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 2 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 (2 \, dt) = 4 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 \, dt$
$I = 4 \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac{4}{7} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^7$
કારણ કે $(\sqrt{2})^7 = 2^3 \cdot \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$,તેથી:
$I = \frac{4}{7 \cdot 8 \sqrt{2}} = \frac{1}{7 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{14 \sqrt{2}}$.

(D) આપેલ છે: $\int_a^b x^3 dx = 0$ અને $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$.
પગલું $1$: પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય મેળવો: $\left[ \frac{x^4}{4} \right]_a^b = 0 \implies \frac{b^4 - a^4}{4} = 0 \implies b^4 = a^4 \implies b^2 = a^2$ અથવા $b = -a$.
પગલું $2$: બીજા સંકલનનું મૂલ્ય મેળવો: $\left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{2}{3} \implies \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{2}{3} \implies b^3 - a^3 = 2$.
પગલું $3$: બીજા સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $(-a)^3 - a^3 = 2 \implies -a^3 - a^3 = 2 \implies -2a^3 = 2 \implies a^3 = -1 \implies a = -1$.
પગલું $4$: કારણ કે $b = -a$,તેથી $b = -(-1) = 1$.
આમ,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=-1$ અને $b=2$ છે,તેથી $a+b = 1$ મળે.
તેથી,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$.
કારણ કે $f(1-x) = f(x)$ છે,આ સમીકરણ $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$ બને છે.
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$.
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
અહીં $R_2$ એ $y=f(x)$,$x=-1$,$x=2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
આમ,$2 R_1 = R_2$.

(B) ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int_0^1 x(1-x)^n dx = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$
$= \int_0^1 (1-x)x^n dx$
$= \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$
$= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

(B) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_0^k \frac{d x}{2+8 x^2} = \frac{\pi}{16}$
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{2} \int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{16}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{8}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{1+u^2} = \tan^{-1}(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 2x$ અને $du = 2dx$:
$\frac{1}{2} [\tan^{-1}(2x)]_0^k = \frac{\pi}{16}$
$\tan^{-1}(2k) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{8}$
$\tan^{-1}(0) = 0$ હોવાથી: $\tan^{-1}(2k) = \frac{\pi}{8}$
આથી $2k = \tan(\frac{\pi}{8})$.
$\tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$ હોવાથી,$2k = \sqrt{2}-1$ મળે,એટલે કે $k = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
નોંધ: વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો પ્રશ્નમાં $\frac{\pi}{16}$ ને બદલે યોગ્ય કિંમત હોય તો $k = \frac{1}{2}$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx$.
નોંધો કે $\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = -\log 2$.
તેથી,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)$.
ચકાસો કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે: $f(-x) = \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) = \sin \left(\frac{\frac{1}{e^{x}}-1}{\frac{1}{e^{x}}+1}\right) = \sin \left(\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}\right) = \sin \left(-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -\sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -f(x)$.
કારણ કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-\log 2, \log 2]$ સંમિત છે,તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} d x$.
સંકલ્યને સરળ બનાવતા: $\frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x+1}$.
હવે,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\cos x} d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\cos x - 1}{1+\cos x} \right) d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{1+\cos x} \right) d x$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2} \right) d x$.
સંકલન કરતા,$I = \left[ x - \tan \frac{x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4} \right) - (0 - \tan 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.
આને $\frac{1}{2}(\pi - 2)$ તરીકે લખી શકાય.
$m(\pi+n)$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{1}{2}$ અને $n = -2$ મળે છે.
તેથી,$m \cdot n = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.

(A) સંકલન $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યનું સંમેયીકરણ કરીએ:
અંશ અને છેદને $\sqrt{1-x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તેથી $du = -2x \, dx$,એટલે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
પ્રથમ ભાગ $\left[ \sin^{-1}(x) \right]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બીજો ભાગ $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_0^1 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = 1$ છે.
આમ,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$ છે.
અહીં $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = \sin |-x| + \cos |-x| = \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,તેથી આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$|x| = x$,તેથી સંકલન $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = 2 [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = 2 [(-\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0 + \sin 0)]$.
$I = 2 [(0 + 1) - (-1 + 0)] = 2 [1 + 1] = 2(2) = 4$.

(C) ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right)$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય એકી છે કે બેકી તે તપાસો:
$f(-x) = \log \left(\frac{2-(-x)}{2+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+x}{2-x}\right)$.
$\log(a/b) = -\log(b/a)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) = -f(x)$.
જેથી $f(-x) = -f(x)$,આથી વિધેય એકી વિધેય છે.
એકી વિધેય માટે,નિશ્ચિત સંકલનનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$.
તેથી,$\int_{-1}^1 \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) d x = 0$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ --- $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1+\alpha^{-x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\frac{1}{\alpha^x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\alpha^x \cos^2 x}{\alpha^x + 1} \, dx$ --- $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x + \alpha^x \cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x(1+\alpha^x)}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
$\cos^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

(D) સંકલન $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,છેદમાં રહેલી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$3+2x-x^2 = 4 - (x^2-2x+1) = 2^2 - (x-1)^2$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2^2 - (x-1)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2}\right) \right]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{1-1}{2}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{0-1}{2}\right) = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
કારણ કે $\sin^{-1}(0) = 0$ અને $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$,તેથી:
$I = 0 - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.

(B) $\int_0^2 [2x] \, dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીશું જ્યાં $2x$ પૂર્ણાંક બને છે,એટલે કે $2x = 0, 1, 2, 3, 4$. આ માટે $x = 0, 1/2, 1, 3/2, 2$ મળે છે.
સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_0^{1/2} 0 \, dx + \int_{1/2}^1 1 \, dx + \int_1^{3/2} 2 \, dx + \int_{3/2}^2 3 \, dx$
$= 0 \cdot (1/2 - 0) + 1 \cdot (1 - 1/2) + 2 \cdot (3/2 - 1) + 3 \cdot (2 - 3/2)$
$= 0 + 1/2 + 2(1/2) + 3(1/2)$
$= 0 + 0.5 + 1 + 1.5 = 3$.

(A) ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય એકી છે કે બેકી તે તપાસો:
$f(-x) = \log \left(\frac{1+(-x)}{1-(-x)}\right) = \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
$\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(-x) = -\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -f(x)$.
જેથી $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ એકી વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ એકી વિધેય હોય તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx$.
વિધેય $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1}$ લો.
આપણે $f(x)$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^x(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{x \sin x}{2 \sinh x}$.
હવે,$f(-x)$ શોધીને ચકાસો કે વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ:
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{e^{-x} - e^x} = \frac{(-x)(-\sin x)}{-(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{-(e^x - e^{-x})} = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^3(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે વિધેય $|\sin x|$ એ $x = \pi$ આગળ તેનું વર્તન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_0^{\pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,$\sin x \ge 0$ છે,તેથી $|\sin x| = \sin x$ થાય.
અંતરાલ $[\pi, 2 \pi]$ માં,$\sin x \le 0$ છે,તેથી $|\sin x| = -\sin x$ થાય.
આમ,$I = \int_0^{\pi} (\sin x + \sin x) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x - \sin x) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} 0 \, dx$.
$I = 2 [-\cos x]_0^{\pi} + 0$.
$I = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [-(-1) - (-1)] = 2 [1 + 1] = 4$.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$.
આપણે $g(x+\pi) = \int_0^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$ શોધવાનું છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $\int_0^{x+\pi} f(t) \,dt = \int_0^x f(t) \,dt + \int_x^{x+\pi} f(t) \,dt$.
તેથી, $g(x+\pi) = g(x) + \int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$.
કારણ કે $\cos^4 t$ એ $\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે, તેથી $\pi$ લંબાઈના કોઈપણ અંતરાલ પરનું સંકલન $[0, \pi]$ પરના સંકલન જેટલું જ થાય.
તેથી, $\int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt = \int_0^\pi \cos^4 t \,dt = g(\pi)$.
આમ, $g(x+\pi) = g(x) + g(\pi)$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_1^2 |2x - [3x]| dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેય $[3x]$ એ $x = \frac{n}{3}$ બિંદુઓ પર તેનું મૂલ્ય બદલે છે. અંતરાલ $[1, 2]$ માં,અસતત બિંદુઓ $x = \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ છે.
આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_1^{4/3} |2x - 3| dx + \int_{4/3}^{5/3} |2x - 4| dx + \int_{5/3}^2 |2x - 5| dx$
કારણ કે $x \in [1, 4/3]$ માટે $2x < 3$,$x \in [4/3, 5/3]$ માટે $2x < 4$,અને $x \in [5/3, 2]$ માટે $2x < 5$ છે,તેથી:
$I = \int_1^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^2 (5 - 2x) dx$
$I = [3x - x^2]_1^{4/3} + [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} + [5x - x^2]_{5/3}^2$
$I = (4 - 16/9) - (3 - 1) + (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) + (10 - 4) - (25/3 - 25/9)$
$I = (20/9 - 2) + (35/9 - 32/9) + (6 - 50/9) = 20/9 - 18/9 + 3/9 + 54/9 - 50/9 = 9/9 = 1$.

(D) આપણે $I = \int_0^2 [x] \, dx + \int_0^2 |x-1| \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પગલું $1$: $\int_0^2 [x] \, dx$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $0 \le x < 1$ માટે $[x] = 0$ અને $1 \le x < 2$ માટે $[x] = 1$ છે,તેથી:
$\int_0^2 [x] \, dx = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx = 0 + [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$.
પગલું $2$: $\int_0^2 |x-1| \, dx$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $0 \le x < 1$ માટે $|x-1| = -(x-1)$ અને $1 \le x \le 2$ માટે $|x-1| = (x-1)$ છે,તેથી:
$\int_0^2 |x-1| \, dx = \int_0^1 (1-x) \, dx + \int_1^2 (x-1) \, dx$.
$= [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 = (1 - \frac{1}{2}) - 0 + (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$I = 1 + 1 = 2$.

(A) ક્ષેત્રફળ $R_1$ એ $\int_0^b (1-x)^2 \, dx$ દ્વારા અને ક્ષેત્રફળ $R_2$ એ $\int_b^1 (1-x)^2 \, dx$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,તેથી:
$\int_0^b (1-x)^2 \, dx - \int_b^1 (1-x)^2 \, dx = \frac{1}{4}$
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_0^b - \left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{-(1-b)^3}{3} - \frac{-(1-0)^3}{3} \right) - \left( \frac{-(1-1)^3}{3} - \frac{-(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{1 - (1-b)^3}{3} \right) - \left( \frac{(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(C) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો બીજી કોઈ હાર (અથવા સ્તંભ) ના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,શ્રેણિક $A$ માટે,$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0$ જ્યાં $i \neq k$ હોય.
આ પ્રશ્નમાં,આપણે $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ ની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ.
અહીં,ઘટકો પ્રથમ હાર $(i=1)$ ના છે અને સહઅવયવો બીજી હાર $(k=2)$ ના છે.
કારણ કે $i \neq k$,તેથી આ સરવાળો $0$ થશે.

(B) પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક $|A|$ જેટલો હોય છે.
$|A| = 3(4 \times 3 - 1 \times 6) - 2(1 \times 3 - 1 \times 2) + 4(1 \times 6 - 4 \times 2)$
$|A| = 3(12 - 6) - 2(3 - 2) + 4(6 - 8)$
$|A| = 3(6) - 2(1) + 4(-2)$
$|A| = 18 - 2 - 8 = 8$.
તેથી,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = 8$.

(B) પદાવલિ $a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}$ એ શ્રેણિક $A$ ના ત્રીજી હારના સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ દર્શાવે છે,જે $|A|$ ની બરાબર છે.
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(8 - 2) - 3(-4 - 2) + 3(-1 - 2)$
$|A| = 1(6) - 3(-6) + 3(-3)$
$|A| = 6 + 18 - 9 = 15$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2} = 8 \frac{d^2y}{dx^2}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2}\right]^2 = \left[8 \frac{d^2y}{dx^2}\right]^2$
$\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^5 = 64 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,આપણે બંને બાજુઓને $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત વડે વધારીએ છીએ:
$\left(\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^6$
$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y^2 = 2C(x + \sqrt{C}) \quad \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2C$
$\Rightarrow C = y \frac{dy}{dx} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ માંથી $C$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \left( y \frac{dy}{dx} \right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
ધારો કે $u = 1-y^2$,તેથી $du = -2y dy$,એટલે કે $y dy = -\frac{1}{2} du$.
સંકલનમાં આ કિંમત મૂકતા: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
આ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-C, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
$C$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-C, 0)$ એ $X$-અક્ષ પર બદલાય છે,જ્યારે ત્રિજ્યા $1$ એકમ નિશ્ચિત રહે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x dy = y dx$
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા ($x, y \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
આથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + C$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,અચળાંક $C$ ને $\ln|c|$ તરીકે લખી શકાય: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|y| = \ln|cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની શ્રેણી દર્શાવે છે.

(A) ન્યુટનના શીતલન નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 25^{\circ} C$ છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ મળે છે.
અહીં $T_0 = 100^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T(t) = 25 + 75e^{-kt}$.
$t = 10 \text{ મિનિટ}$ પર,$T = 80^{\circ} C$:
$80 = 25 + 75e^{-10k} \Rightarrow 55 = 75e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{55}{75} = \frac{11}{15}$.
$t = 20 \text{ મિનિટ}$ પર,$T = 25 + 75e^{-20k} = 25 + 75(e^{-10k})^2$.
કિંમત મૂકતા: $T = 25 + 75 \times (\frac{11}{15})^2 = 25 + 75 \times \frac{121}{225} = 25 + \frac{121}{3} = 25 + 40.33 = 65.33^{\circ} C$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y=c^2+\frac{c}{x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{c}{x^2} = -\frac{c}{x^2}$.
આના પરથી,આપણે અચળાંક $c$ ને $x$ અને $\frac{dy}{dx}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$c = -x^2\frac{dy}{dx}$.
હવે,$c$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-x^2\frac{dy}{dx})^2 + \frac{-x^2\frac{dy}{dx}}{x}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$y = x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx}$.
વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - x\frac{dy}{dx} - y = 0$.

(B) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અને $y$-યામનો ગુણાકાર $x$-યામ જેટલો છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} \cdot y = x$
ચલને અલગ કરતા:
$y \, dy = x \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$
વક્ર બિંદુ $(0, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. $x = 0$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$\frac{(-2)^2}{2} = \frac{0^2}{2} + C$
$\frac{4}{2} = 0 + C \Rightarrow C = 2$
$C = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + 2$
$2$ વડે ગુણતા:
$y^2 = x^2 + 4$
$y^2 - x^2 = 4$

(A) $x$-અંતઃખંડ $a$ અને $y$-અંતઃખંડ $b$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 0$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$0 + \frac{1}{b} \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$b \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin^3 x \frac{dx}{dy} = \sin y$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\int \sin^3 x \, dx = \int \sin y \, dy$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$\int \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \, dx = \int \sin y \, dy$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{3}{4} (-\cos x) - \frac{1}{4} (-\frac{\cos 3x}{3}) = -\cos y + C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $-\frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = -\cos y + C$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\cos y - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = C$ મળે છે.