વિકલ સમીકરણ x^2+y^2-2xy frac{dy}{dx}=0 નો વ્ય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ પદોને ગોઠવતા: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ આ એક સમઘાત વિકલ

Vedclass · Accepted Answer

$x^2-y^2=Cx$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ પદોને ગોઠવતા: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$ $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$ ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$ બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$ ધારો કે $1-v^2 = t$,તો $-2v dv = dt$,તેથી $2v dv = -dt$. $-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$ $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$ $\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$ $v = y/x$ મૂકતા: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$ $\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$ ગોઠવતા $x^2-y^2 = Cx$ મળે છે (જ્યાં $C = 1/C_1$ એ સ્વૈર અચળાંક છે).

વિકલ સમીકરણ $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{4y^3+2yx^2}{3xy^2+x^3}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=1$ છે. જો કોઈ $n \in N$ માટે $y(2) \in [n-1, n)$ હોય,તો $n$ ની કિંમત $\dots\dots$ થાય.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,નો ઉકેલ છે,જે $y(1) = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ ની કિંમત $....$ છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+1}{x-3y+5} = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cos \left( \frac{y}{x} \right) (y dx + x dy) = y \sin \left( \frac{y}{x} \right) (x dy - y dx)$ માટે,(જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે) વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module