MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 4x}{\sin x} \, dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x \cos 2x}{\sin x} \, dx = 4 \int \cos x \cos 2x \, dx$.
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2x \cos x = \cos(2x+x) + \cos(2x-x) = \cos 3x + \cos x$.
આમ,$I = 2 \int (\cos 3x + \cos x) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$I = 2 \left( \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right) + C = \frac{2}{3} \sin 3x + 2 \sin x + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$.
છેદને $x(x^3+1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{2 x^3-1}{x(x^3+1)} \,d x$.
આંશિક અપૂર્ણાંક અથવા અવલોકનનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{2x^3-1}{x(x^3+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{3x^2}{x^3+1}$ લખી શકીએ.
બંને પદોનું સંકલન કરતા:
$I = \int \left( \frac{3x^2}{x^3+1} - \frac{1}{x} \right) \,d x$.
$I = \log|x^3+1| - \log|x| + C$.
$I = \log \left| \frac{x^3+1}{x} \right| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x \,dx}{(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x)^2}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x = \sin ^2 x(\sin ^3 x+\cos ^3 x) + \cos ^2 x(\sin ^3 x+\cos ^3 x) = (\sin ^2 x+\cos ^2 x)(\sin ^3 x+\cos ^3 x) = \sin ^3 x+\cos ^3 x$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x \,dx}{(\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2}$.
અંશ અને છેદને $\cos ^6 x$ વડે ભાગતા: $I = \int \frac{\tan ^2 x \sec ^2 x \,dx}{(\tan ^3 x+1)^2}$.
ધારો કે $u = \tan ^3 x+1$,તો $du = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x \,dx$,તેથી $\tan ^2 x \sec ^2 x \,dx = \frac{du}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-2} \,du = \frac{1}{3} \left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) + C = -\frac{1}{3u} + C$.
$u = \tan ^3 x+1$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{-1}{3(1+\tan ^3 x)}+C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{\left(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x\right)^2} d x$.
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x = \sin ^2 x(\sin ^3 x + \cos ^3 x) + \cos ^2 x(\sin ^3 x + \cos ^3 x) = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^3 x + \cos ^3 x) = (\sin ^3 x + \cos ^3 x)$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x + \cos ^3 x)^2} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos ^6 x$ વડે ભાગતા: $I = \int \frac{\tan ^2 x \cdot \sec ^2 x}{(\tan ^3 x + 1)^2} d x$.
ધારો કે $t = \tan ^3 x + 1$,તો $dt = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x d x$,તેથી $\tan ^2 x \sec ^2 x d x = \frac{dt}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-2} dt = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{3t} + C$.
$t = \tan ^3 x + 1$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે $I = \frac{-1}{3(1 + \tan ^3 x)} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{4 x^2 \cot ^{-1}\left(x^3\right)}{1+x^6} \,d x$.
$t = \cot ^{-1}\left(x^3\right)$ આદેશ લેતા.
તેથી,વિકલન $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{1+(x^3)^2} \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{1+x^6}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{x^2}{1+x^6} dx = -\frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 4 \int t \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{4}{3} \int t \,dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{4}{3} \cdot \frac{t^2}{2} + C = -\frac{2}{3} t^2 + C$.
$t = \cot ^{-1}\left(x^3\right)$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{2}{3} \left(\cot ^{-1} x^3\right)^2 + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$.
$2x-1 = t$ આદેશ લેતા,જેથી $x = \frac{t+1}{2}$ અને $dx = \frac{1}{2} dt$ મળે.
$I = \int \frac{\frac{t+1}{2} + 1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} \, dt$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{t+3}{2}}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{4} \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t}} \right) \, dt$
$I = \frac{1}{4} \int (t^{1/2} + 3t^{-1/2}) \, dt$
$I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} + 3 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C$
$I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} + 6 t^{1/2} \right) + C$
$I = \left( \frac{1}{6} t^{3/2} + \frac{3}{2} t^{1/2} \right) + C$
$I = \frac{1}{6} t^{1/2} (t + 9) + C$
$t = 2x-1$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x-1+9) + C$
$I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x+8) + C$
$I = \frac{1}{6} \cdot 2(x+4) \sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{3}(x+4) \sqrt{2x-1} + C$
$f(x) \sqrt{2x-1} + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{1}{3}(x+4)$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{d x}{3-2 \cos 2 x}$ છે.
નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{d x}{3-2 \left(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\right)} = \int \frac{1+\tan^2 x}{3(1+\tan^2 x) - 2(1-\tan^2 x)} \,d x$.
કારણ કે $1+\tan^2 x = \sec^2 x$,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{3+3\tan^2 x - 2 + 2\tan^2 x} \,d x = \int \frac{\sec^2 x}{5\tan^2 x + 1} \,d x$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x \,d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{5t^2 + 1} = \int \frac{dt}{(\sqrt{5}t)^2 + 1^2}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5}t) + C$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} \tan x) + C$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ ઉકેલવા માટે, આપણે છેદમાં રહેલા પદમાંથી $x^5$ સામાન્ય કાઢીશું:
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left[x^5\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)\right]^3} \,d x$
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{x^{15}\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
$I = \int \frac{\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}}{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
ધારો કે $t = 1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}$. તો $dt = \left(-\frac{2}{x^3}-\frac{5}{x^6}\right) dx$, જેનો અર્થ છે કે $-dt = \left(\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}\right) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{1}{2\left(\frac{x^5+x^3+1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{x^{10}}{2\left(x^5+x^3+1\right)^2} + C$

(A) સંકલન $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$. તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $dx = 2t \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \cos(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \cos t \, dt$.
હવે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = t$ અને $dv = \cos t \, dt$. તેથી $du = dt$ અને $v = \sin t$.
$I = 2 [t \sin t - \int \sin t \, dt]$.
$I = 2 [t \sin t - (-\cos t)] + C$.
$I = 2 [t \sin t + \cos t] + C$.
$t = \sqrt{x}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = 2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x}} \, dx$.
અંશ અને છેદને $e^{\frac{x}{2}}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x} \cdot e^{\frac{x}{2}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{\frac{1}{e^x} \cdot e^x - e^x \cdot e^x}} \, dx$ (આ પદ્ધતિ કરતા નીચેની પદ્ધતિ સરળ છે).
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\frac{1-e^{2x}}{e^x}}} \, dx = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{e^x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \, dx$.
ધારો કે $t = e^x$,તેથી $dt = e^x \, dx$.
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C = \sin^{-1}(e^x) + C$.
$\sin^{-1}(f(x)) + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = e^x$ મળે છે.
તેથી,$f(2) = e^2$.

(A) ધારો કે $t = \log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x\right) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,$dt = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}} \,dx = \int t \,dt = \frac{t^2}{2} + C$.
આને આપેલ પદ $\frac{1}{2}(g(x))^2 + C$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2}(g(x))^2 = \frac{1}{2} \left(\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right)^2$.
તેથી,$g(x) = \log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} \,dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^4} \,dx = \int \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^3} \,dx$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $\frac{1}{x^2}-1 = t$. તેથી $-\frac{2}{x^3} \,dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x^3} \,dx = -\frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} \,dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} + c$.
હવે $t = \frac{1-x^2}{x^2}$ પાછા મૂકતા,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + c = -\frac{1}{3} \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{(x^2)^{3/2}} + c = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + c$.
આને $A(x)(\sqrt{1-x^2})^m + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ અને $m = 3$ મળે છે.
તેથી,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(A) સંકલન $\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+1)(x-2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $3x-2 = A(x-2)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x+1)$.
$x = -1$ લેતા: $3(-1)-2 = A(-1-2)^2 \implies -5 = 9A \implies A = -\frac{5}{9}$.
$x = 2$ લેતા: $3(2)-2 = C(2+1) \implies 4 = 3C \implies C = \frac{4}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + B \implies B = -A = \frac{5}{9}$.
આમ,$\int \left( \frac{-5/9}{x+1} + \frac{5/9}{x-2} + \frac{4/3}{(x-2)^2} \right) dx = -\frac{5}{9} \log |x+1| + \frac{5}{9} \log |x-2| - \frac{4}{3(x-2)} + C$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} \right) dx$ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}} dx$
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) dx$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) dx$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) dx$
$I = \int \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + C$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{1}{\log x} dx - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$.
પ્રથમ પદ $\int \frac{1}{\log x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{1}{\log x}$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ મુજબ:
$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} \right) dx$
$= \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$.
આ કિંમતને મૂળ પદ $I$ માં મૂકતા:
$I = \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = \frac{x}{\log x} + C$.

(A) $\int \sin \sqrt{x} \,d x$ ની કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $\sqrt{x} = t$.
તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $d x = 2t \,d t$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \sin \sqrt{x} \,d x = \int \sin t (2t \,d t) = 2 \int t \sin t \,d t$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\int u \,dv = uv - \int v \,du$,ધારો કે $u = t$ અને $dv = \sin t \,d t$.
તેથી $du = d t$ અને $v = -\cos t$.
$2 \int t \sin t \,d t = 2 \left[ t(-\cos t) - \int (-\cos t) \,d t \right]$
$= 2 [-t \cos t + \int \cos t \,d t]$
$= 2 [-t \cos t + \sin t] + C$.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= 2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx$.
ધારો કે $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dt = (4 \cdot 2 \sin x \cos x - 9 \cdot 2 \cos x \sin x) \, dx$.
$dt = (4 \sin 2x - 9 \sin 2x) \, dx$.
$dt = -5 \sin 2x \, dx$.
તેથી,$\sin 2x \, dx = -\frac{1}{5} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{1}{5} dt}{t} = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt$.
$I = -\frac{1}{5} \log |t| + C$.
$t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{5} \log |4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x| + C$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
શરત $x \geq 0$ હોવાથી,$x = -1$ ને સ્વીકારી શકાય નહીં.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $x = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,આ ગણ એક સિંગલટન ગણ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \sin ^{-1} 0.8$. તેથી $\sin \theta = 0.8$ થાય.
આપણે $\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પહેલા આપણે $\cos \theta$ શોધીએ.
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sin(2\theta) = 2 \times 0.8 \times 0.6 = 0.96$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(x)$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{2 \pi}{3}$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \frac{\pi}{3}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1} = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$
ધારો કે $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \theta$. તો $\tan \theta = \sqrt{x^2+x}$.
આથી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x^2+x)}}$.
તેથી,$\cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$.
દલીલોની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} = \sqrt{x^2+x+1}$
$1 = x^2+x+1$
$x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -1$.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ ના પ્રદેશ માટે,$0 \le x^2+x+1 \le 1$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x^2+x \le 0$.
$x=0$ માટે,$x^2+x=0$ (માન્ય). $x=-1$ માટે,$x^2+x=0$ (માન્ય).
જોકે,$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}$ માટે $x^2+x \ge 0$ જરૂરી છે.
આમ,$x^2+x=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે,જે $x=0$ અથવા $x=-1$ આપે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
અહીં દલીલ $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ઋણ હોવાથી,આપણે ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \tan \theta$ અને $y = \tan \phi$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \sin ^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \frac{1}{2} \sin ^{-1} (\sin 2 \theta) = \frac{1}{2} (2 \theta) = \theta$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} (\cos 2 \phi) = \frac{1}{2} (2 \phi) = \phi$.
હવે,પદાવલિ $\tan (\theta + \phi)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x + y}{1 - xy}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,તેથી:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
નિત્યસમ $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \theta$,તેથી:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
આમ,$x = \frac{1}{5}$.

(D) ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $x \in (0, 1)$,તેથી $\theta \in (0, \frac{\pi}{4})$.
પ્રથમ,$A = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ લો.
સૂત્ર $\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A = 2(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$B = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ લો.
સૂત્ર $\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતે,$A - B = (\frac{\pi}{2} + 2\theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \times \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યો જાણીએ છીએ:
$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
છેદ સમાન કરતા $(12)$:
$\frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

(C) આપણને આપેલ સમીકરણ છે: $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$.
ત્રણ ઇન્વર્સ ટેન્જન્ટ વિધેયોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right)$.
આ સૂત્રને આપેલ સમીકરણમાં લાગુ પાડતા: $\tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$.
કારણ કે $\tan \pi = 0$ છે,તેથી: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $a+b+c-abc = 0$.
તેથી,$a+b+c = abc$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan ^{-1} x$.
સમીકરણમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)=\frac{1}{2} \theta$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right)=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}-\theta=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}=\frac{3 \theta}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{6}$
કારણ કે $x = \tan \theta$,તેથી $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) $\sin ^{-1} x$ નો મુખ્ય કિંમતનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y + \sin ^{-1} z = \frac{3 \pi}{2}$.
દરેક $\sin ^{-1}$ પદની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો દરેક પદ તેની મહત્તમ કિંમત જેટલું હોય.
તેથી,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને $x^{100} + y^{100} + z^{100}$ માં મૂકતા:
$1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x=1-6 x^2$
$6 x^2+5 x-1=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(6 x-1)(x+1)=0$
તેથી,$x=\frac{1}{6}$ અથવા $x=-1$.
કિંમતો તપાસતા: જો $x=-1$ લઈએ,તો $\tan ^{-1}(-2)+\tan ^{-1}(-3)$ ઋણ મળે,જે $\frac{\pi}{4}$ ન હોઈ શકે.
તેથી,$x=\frac{1}{6}$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
સૂત્ર $\cos ^{-1} A - \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB + \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left( x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \right) = \alpha$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$\frac{xy}{2} + \frac{\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)}}{2} = \cos \alpha$.
$\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)} = 2 \cos \alpha - xy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1-x^2)(4-y^2) = (2 \cos \alpha - xy)^2$.
$4 - y^2 - 4x^2 + x^2y^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha + x^2y^2$.
બંને બાજુથી $x^2y^2$ બાદ કરતા:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos ^2 \alpha$.
કારણ કે $1 - \cos ^2 \alpha = \sin ^2 \alpha$,તેથી:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin ^2 \alpha$.

(D) ધારો કે $\theta = \cot^{-1} x$,તો $\cot \theta = x$. $\cot \theta = \frac{x}{1}$ હોવાથી,આપણને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે છે.
આમ,$\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
હવે,ધારો કે $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)$,તો $\tan \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આપણે $\cos \phi$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec^2 \phi = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{x^2+1}$ મળે છે.
તેથી,$\cos^2 \phi = \frac{x^2+1}{x^2+2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \phi = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
ગુણધર્મ $\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\cos \left(\cos ^{-1} x+\frac{\pi}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
કારણ કે $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,તેથી:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x=\frac{1}{5}$ મૂકતા:
$= -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(A) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,પદોને જૂથમાં વહેંચો:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
પ્રથમ જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
બીજી જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
હવે પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) આપણે $|x| < 1$ માટે $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ ગણો.
હવે,$\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ ને $\tan ^{-1}$ માં ફેરવો. ધારો કે $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,તો $\cos \theta = \frac{3}{5}$. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$. તેથી,$\tan \theta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,એટલે કે $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.
પદાવલિ $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ બને છે.
$x > 0$ માટે $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(1/x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3/4}\right) = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,પદોને જૂથમાં વહેંચો:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
પ્રથમ જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
બીજી જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
હવે,પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) જ્યારે $xy > 1$ હોય ત્યારે આપણે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 2$ અને $y = 3$ છે. કારણ કે $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,આપણે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:
$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} (-1)$
કારણ કે $\tan ^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4}$,તેથી આપણને મળે છે:
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
તેથી,$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left[ \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan ^{-1} (1) \right]$ બને છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12} \times 1} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{17}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right)$.
અંતે,$\tan \left[ \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right) \right] = -\frac{7}{17}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$,કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાસેની બાજુ $4$ અને કર્ણ $5$ હોય,તો સામેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$

(B) $x = 4$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = [4^{-}] - [\frac{4^{-}}{4}] = 3 - 0 = 3$.
$x = 4$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = [4^{+}] - [\frac{4^{+}}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય: $f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4) = 3$,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x = 4$ આગળ સતત છે.

(C) સતત ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P \cdot e^{rt}$ છે,જ્યાં $P$ એ મુદ્દલ રકમ છે,$r$ એ વાર્ષિક વ્યાજ દર છે,અને $t$ એ વર્ષોમાં સમય છે.
આપેલ છે: $P = 10000$,$r = 4 \% = 0.04$,અને $t = 10$ વર્ષ.
કિંમતો મૂકતા: $A = 10000 \times e^{(0.04 \times 10)} = 10000 \times e^{0.4}$.
આપેલ કિંમત $e^{0.4} = 1.49182$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 10000 \times 1.49182 = 14918.2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,રકમ $Rs. 14918$ થાય છે.

(D) આપેલ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$x+y \leq 70$
$x+2y \leq 100$
$2x+y \leq 120$
$x \geq 0, y \geq 0$
અહીં,બધી અસમતાઓ $x+y \leq 70$,$x+2y \leq 100$,અને $2x+y \leq 120$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ દ્વારા સંતોષાય છે (કારણ કે $0+0 \leq 70$,$0+0 \leq 100$,અને $0+0 \leq 120$ એ સાચું છે),તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં ઉગમબિંદુ તરફ હોવો જોઈએ.
રેખાઓ અને શરતો $x \geq 0, y \geq 0$ નું વિશ્લેષણ કરતા,સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ જે આ તમામ શરતોને સંતોષે છે તે આકૃતિ $3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x+3y \leq 12$,$2x+y \leq 8$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(4, 0)$,$(3, 2)$ અને $(0, 4)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+5y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 0)$ પર: $z = 4(0) + 5(0) = 0$
$(4, 0)$ પર: $z = 4(4) + 5(0) = 16$
$(3, 2)$ પર: $z = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22$
$(0, 4)$ પર: $z = 4(0) + 5(4) = 20$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(3, 2)$ પર $22$ મળે છે.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 80)$,$(14, 33)$ અને $(80, 0)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 6y$ ની કિંમત મેળવતા:
$1$. $(0, 80)$ પર: $Z = 4(0) + 6(80) = 480$
$2$. $(14, 33)$ પર: $Z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$
$3$. $(80, 0)$ પર: $Z = 4(80) + 6(0) = 320$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $254$ છે,જે બિંદુ $(14, 33)$ પર મળે છે.

(A) $Z = 5x + 2y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ (feasible region) નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $2x - y \geq 2$
$2$. $x + 2y \leq 8$
$3$. $x, y \geq 0$
સીમા રેખાઓ $2x - y = 2$ અને $x + 2y = 8$ છે.
- $2x - y = 2$ માટે,અંતઃખંડો $(1, 0)$ અને $(0, -2)$ છે.
- $x + 2y = 8$ માટે,અંતઃખંડો $(8, 0)$ અને $(0, 4)$ છે.
$2x - y = 2$ અને $x + 2y = 8$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે:
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 2y = 4$.
આને $x + 2y = 8$ માં ઉમેરતા,આપણને $5x = 12$ મળે છે,તેથી $x = 2.4$.
$x = 2.4$ ને $2x - y = 2$ માં મૂકતા: $2(2.4) - y = 2 \implies 4.8 - y = 2 \implies y = 2.8$.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$,$(8, 0)$,અને $(2.4, 2.8)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 5x + 2y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(1, 0)$ પર: $Z = 5(1) + 2(0) = 5$
- $(8, 0)$ પર: $Z = 5(8) + 2(0) = 40$
- $(2.4, 2.8)$ પર: $Z = 5(2.4) + 2(2.8) = 12 + 5.6 = 17.6$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $(8, 0)$ પર $40$ મળે છે.

(D) સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક શિરોબિંદુ (કોર્નર પોઈન્ટ) પર જ મળે છે. જો હેતુલક્ષી વિધેય બે શિરોબિંદુઓ પર સમાન ઇષ્ટતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ પણ ઇષ્ટતમ ઉકેલ મળે છે. તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય હંમેશા ઓછામાં ઓછા એક શિરોબિંદુ પર તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) $z=50x+15y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેયની કિંમત મેળવીશું.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(20, 0)$,$(10, 50)$ અને $(0, 60)$ છે.
દરેક બિંદુ પર $z$ ની કિંમત:
$1$. $(0, 0)$ પર: $z = 50(0) + 15(0) = 0$
$2$. $(20, 0)$ પર: $z = 50(20) + 15(0) = 1000$
$3$. $(10, 50)$ પર: $z = 50(10) + 15(50) = 500 + 750 = 1250$
$4$. $(0, 60)$ પર: $z = 50(0) + 15(60) = 900$
આમ,મહત્તમ કિંમત $1250$ છે,જે બિંદુ $(10, 50)$ પર મળે છે.

(D) છાયાંકિત પ્રદેશ માટે સુરેખ અવરોધો નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક સીમા રેખાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. રેખા $x+2y=6$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ છે (કારણ કે બિંદુ $(7, 6)$ એ $7+12=19 \geq 6$ નું પાલન કરે છે). તેથી,અવરોધ $x+2y \geq 6$ છે.
$2$. રેખા $5x+3y=15$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ છે (કારણ કે બિંદુ $(7, 6)$ એ $35+18=53 \geq 15$ નું પાલન કરે છે). તેથી,અવરોધ $5x+3y \geq 15$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x=7$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ તેની ડાબી બાજુએ છે,તેથી $x \leq 7$.
$4$. આડી રેખા $y=6$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ તેની નીચેની બાજુએ છે,તેથી $y \leq 6$.
$5$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x, y \geq 0$.
આ બધાને જોડતા,અવરોધો $x+2y \geq 6, 5x+3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ રેખાઓ $x+y=5$,$4x+3y=24$,$x=0$,અને $y=0$ દ્વારા સીમિત છે.
ખૂણાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x=0$ અને $4x+3y=24$ નું છેદબિંદુ $(0, 8)$ આપે છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=5$ નું છેદબિંદુ $(0, 5)$ આપે છે.
$3$. આલેખ જોતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 5)$,$(0, 8)$,$(6, 0)$ અને $(5, 0)$ છે.
ખૂણાના બિંદુઓ પર $Z=2x+y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 5)$ પર,$Z = 2(0) + 5 = 5$.
$(0, 8)$ પર,$Z = 2(0) + 8 = 8$.
$(5, 0)$ પર,$Z = 2(5) + 0 = 10$.
$(6, 0)$ પર,$Z = 2(6) + 0 = 12$.
મહત્તમ કિંમત $12$ છે જે $(6, 0)$ બિંદુએ મળે છે.