MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जिसका अर्थ है $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$।
दी गई शर्त $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ में $a, b, c$ के मान रखने पर:
$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$।
इसे सरल करने पर $\cot A = \cot B = \cot C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$\cot A = \cot B = \cot C$ का अर्थ है $A = B = C$।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया है कि $\tan A, \tan B, \tan C$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$
$\frac{2 \cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C}$
ज्या नियम (sine rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$ है।
साथ ही,$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}, \cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}, \cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \left( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \right) \cdot \frac{2R}{b} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \cdot \frac{2R}{c}$
दोनों पक्षों को $\frac{abc}{2R}$ से गुणा करने पर:
$2(a^{2}+c^{2}-b^{2}) = (b^{2}+c^{2}-a^{2}) + (a^{2}+b^{2}-c^{2})$
$2a^{2} + 2c^{2} - 2b^{2} = 2b^{2}$
$2a^{2} + 2c^{2} = 4b^{2}$
$a^{2} + c^{2} = 2b^{2}$
अतः,$a^{2}, b^{2}, c^{2}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) दिया गया है $a=\sqrt{3}+1$,$b=\sqrt{3}-1$,$m \angle C=60^{\circ}$.
टैंजेंट नियम (नेपियर की सादृश्यता) का उपयोग करते हुए: $\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \Rightarrow A-B = 90^{\circ}$.

(B) हम ज्या नियम (Sine Rule) से जानते हैं कि $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$।
दिया गया है कि $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम के समीकरण को दिए गए समीकरण से विभाजित करने पर,हमें $\tan A = \tan B = \tan C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसका अर्थ है कि $A = B = C = 60^{\circ}$,अतः त्रिभुज समबाहु है।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = \sqrt{6}$ दिया गया है,अतः क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \cos C = \sin B \cdot \operatorname{cosec} A$
चूंकि $\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$,इसलिए $2 \cos C = \frac{\sin B}{\sin A}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a}$।
अतः,$2 \cos C = \frac{b}{a}$।
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करने पर,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{b}{a}$।
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = \frac{b}{a}$।
दोनों पक्षों को $ab$ से गुणा करने पर,$a^2 + b^2 - c^2 = b^2$ प्राप्त होता है।
$a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow a^2 = c^2$।
चूंकि $a$ और $c$ भुजाओं की लंबाई हैं,इसलिए $a = c$।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,हमारे पास $\sin C = \frac{c}{b} \sin B$ है।
$b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}-A$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \sin (A-B) = \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin^{2} A - \sin^{2} B} \sin (A-B)$.
चूंकि $B = 90^{\circ}-A$,$\sin B = \cos A$ और $\cos B = \sin A$.
अतः,$\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$.
और $\sin^{2} A - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \cos^{2} A = -\cos 2A$.
साथ ही,$\sin (A-B) = \sin (A - (90^{\circ}-A)) = \sin (2A - 90^{\circ}) = -\cos 2A$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{1}{-\cos 2A} \cdot (-\cos 2A) = 1$.

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
यहाँ $a=2, b=3, c=5$ दिया गया है,इसलिए $a^2+b^2+c^2 = 4+9+25 = 38$ और $2abc = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$.
अतः,$\frac{38}{60} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{38}{60} = \frac{2(k+7)}{60}$
$38 = 2k + 14$
$2k = 24 \Rightarrow k = 12$.

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ है।
अतः,$b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$ और $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$ है।
इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{c^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2 + c^2} = \frac{2bc \cos A}{2ac \cos B} = \frac{b \cos A}{a \cos B}$ प्राप्त होता है।
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,इसलिए $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ है।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{(2R \sin B) \cos A}{(2R \sin A) \cos B} = \frac{\sin B \cos A}{\sin A \cos B} = \frac{\tan B}{\tan A}$।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{3^{2}+c^{2}-4^{2}}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9+c^{2}-16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^{2}-7}{6c}$
$3c = c^{2}-7$
$c^{2}-3c-7 = 0$

(C) हमें व्यंजक $\frac{\cos A-\cos C}{a-c}+\frac{\cos B}{b}$ दिया गया है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{b(\cos A-\cos C) + (a-c)\cos B}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
अंश का विस्तार करने पर,$\frac{b \cos A - b \cos C + a \cos B - c \cos B}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{(a \cos B + b \cos A) - (b \cos C + c \cos B)}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप सूत्र $c = a \cos B + b \cos A$ और $a = b \cos C + c \cos B$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{c - a}{b(a-c)}$ बन जाता है।
चूंकि $c - a = -(a - c)$,इसलिए सरल करने पर $\frac{-(a - c)}{b(a - c)} = \frac{-1}{b}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,और $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
चूंकि $a+c = 20-b$,इसलिए $b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
अतः,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(A) दिया गया है $b \cos ^{2} \frac{C}{2}+c \cos ^{2} \frac{B}{2}=\frac{3 a}{2}$।
सर्वसमिका $\cos ^{2} \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$b \left( \frac{1+\cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1+\cos B}{2} \right) = \frac{3 a}{2}$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$b(1+\cos C) + c(1+\cos B) = 3a$।
$b + b \cos C + c + c \cos B = 3a$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(b \cos C + c \cos B) + b + c = 3a$।
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$,इसलिए:
$a + b + c = 3a$।
$b + c = 2a$।
यह दर्शाता है कि $b, a, c$ $A$.$P$. में हैं।

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$.
दी गई शर्त $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ का उपयोग करने पर:
$ab \sin^2 \frac{C}{2} = ab \cos^2 \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों को $ab \cos^2 \frac{C}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$.
चूंकि त्रिभुज में $\frac{C}{2}$ एक न्यूनकोण होना चाहिए,$\tan \frac{C}{2} = 1$ का अर्थ है कि $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$.
अतः,$C = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है.

(B) दिया गया समीकरण $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = \sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta$,$2H = -2 \tan \theta$,और $B = \sin^{2} \theta$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ के लिए,ढालों का योग $m_{1} + m_{2} = -\frac{2H}{B}$ और ढालों का गुणनफल $m_{1}m_{2} = \frac{A}{B}$ होता है।
यहाँ,$m_{1} + m_{2} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$ है।
हम जानते हैं कि $|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{(m_{1} + m_{2})^{2} - 4m_{1}m_{2}}$ होता है।
मान रखने पर:
$|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}\right)^{2} - 4\left(\frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\right)}$
गणना करने पर,$|m_{1} - m_{2}| = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का समांतर माध्य ($A$.$M$.) $p$ है,इसलिए $\frac{\alpha+\beta}{2} = p$,जिसका अर्थ है $\alpha+\beta = 2p$।
दिया गया है कि मूलों का गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) $q$ है,इसलिए $\sqrt{\alpha\beta} = q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = q^{2}$।
द्विघात समीकरण का रूप $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - (2p)x + q^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^{2} - 2px + q^{2} = 0$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a$ और $b$ का समांतर माध्य $34$ है,इसलिए $\frac{a+b}{2} = 34$,जिसका अर्थ है $a+b = 68$।
दिया गया है कि $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $16$ है,इसलिए $\sqrt{ab} = 16$,जिसका अर्थ है $ab = 16^{2} = 256$।
मूल $a$ और $b$ वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 68x + 256 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = ax^{2} + bx + 2$।
$f(1) = 4$ के लिए:
$a(1)^{2} + b(1) + 2 = 4 \implies a + b = 2$ ... $(1)$
$f(3) = 38$ के लिए:
$a(3)^{2} + b(3) + 2 = 38 \implies 9a + 3b = 36 \implies 3a + b = 12$ ... $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(3a + b) - (a + b) = 12 - 2
2a = 10 \implies a = 5$
$(1)$ में $a = 5$ रखने पर:
$5 + b = 2 \implies b = -3$
अतः,$a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

(A) प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{5^{n} - 2^{n}}{2^{n}} = (\frac{5}{2})^{n} - 1$ दिया गया है।
$n$ वां पद $T_{n}$ सूत्र $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n > 1$ है।
$n = 4$ के लिए,$T_{4} = S_{4} - S_{3}$।
$S_{4} = (\frac{5}{2})^{4} - 1 = \frac{625}{16} - 1 = \frac{609}{16}$।
$S_{3} = (\frac{5}{2})^{3} - 1 = \frac{125}{8} - 1 = \frac{117}{8} = \frac{234}{16}$।
$T_{4} = \frac{609}{16} - \frac{234}{16} = \frac{375}{16}$।

(A) माना कि दी गई $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $9 \times a_9 = 13 \times a_{13}$ है।
पदों के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$9[a + (9-1)d] = 13[a + (13-1)d]$
$9[a + 8d] = 13[a + 12d]$
$9a + 72d = 13a + 156d$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$13a - 9a + 156d - 72d = 0$
$4a + 84d = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$a + 21d = 0$
चूंकि $22$ वां पद $a_{22} = a + (22-1)d = a + 21d$ है,
अतः,$a_{22} = 0$.

(C) प्रथम $n$ पदों का योग $s_{n} = 7(3^{n} - 1)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $n^{th}$ पद $t_{n} = s_{n} - s_{n-1}$ ($n > 1$ के लिए)।
$s_{n-1} = 7(3^{n-1} - 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 1) - 7(3^{n-1} - 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 1 - 3^{n-1} + 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 3^{n-1})$।
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1}(3 - 1)$।
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1} \cdot 2$।
$t_{n} = 14 \cdot 3^{n-1}$।

(C) माना कि $x = 1.\overline{41} = 1.414141...$ $(i)$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$100x = 141.414141...$ (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$100x - x = 141.414141... - 1.414141...$
$99x = 140$
$x = \frac{140}{99}$
अतः,परिमेय रूप $\frac{140}{99}$ है।

(C) माना $G.P.$ के प्रथम चार पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
दिया गया है,सार्व अनुपात $r = 3$ और प्रथम चार पदों का योग $S_4 = 160$ है।
प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $160 = \frac{a(3^4 - 1)}{3 - 1}$.
$160 = \frac{a(81 - 1)}{2} = \frac{a(80)}{2} = 40a$.
अतः,$a = \frac{160}{40} = 4$.
$4^{th}$ पद $T_4 = ar^3$ है।
$T_4 = 4 \times (3)^3 = 4 \times 27 = 108$.

(C) हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में,पदों के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं।
मान लीजिए कि संबंधित $AP$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
दिया गया है $t_{7} = \frac{1}{10} \Rightarrow T_{7} = 10$,जहाँ $T_{n}$ $AP$ का $n$-वाँ पद है।
दिया गया है $t_{12} = \frac{1}{25} \Rightarrow T_{12} = 25$।
सूत्र $T_{n} = A + (n-1)D$ का उपयोग करने पर:
$A + 6D = 10$ (समीकरण $1$)
$A + 11D = 25$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $5D = 15 \Rightarrow D = 3$।
$D = 3$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $A + 6(3) = 10$ $\Rightarrow A + 18 = 10$ $\Rightarrow A = -8$।
अब,$AP$ का $20$-वाँ पद ज्ञात करें: $T_{20} = A + 19D = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$।
अतः,$HP$ का $20$-वाँ पद $t_{20} = \frac{1}{T_{20}} = \frac{1}{49}$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{4}, a, b, \frac{1}{19}$ एक $H.P.$ में हैं।
इसलिए,उनके व्युत्क्रम $4, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 19$ एक $A.P.$ में हैं।
माना $A.P.$ के पद $4, 4+d, 4+2d, 4+3d$ हैं।
यहाँ,$4+3d = 19 \implies 3d = 15 \implies d = 5$ है।
अतः,पद $4, 4+5, 4+10, 19$ यानी $4, 9, 14, 19$ हैं।
पदों की तुलना करने पर,$\frac{1}{a} = 9 \implies a = \frac{1}{9}$ और $\frac{1}{b} = 14 \implies b = \frac{1}{14}$ है।

(A) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_e = n(n+1)$ होता है।
प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_o = n^2$ होता है।
दिया गया अनुपात: $\frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{37}{36}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{n+1}{n} = \frac{37}{36}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: $36(n+1) = 37n$.
$36n + 36 = 37n$.
$37n - 36n = 36$.
अतः,$n = 36$.

(B) हमें $S = 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ का योग ज्ञात करना है।
इसे वर्गों के दो योगों के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$S = \sum_{k=1}^{20} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$n=20$ के लिए: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
$n=4$ के लिए: $\sum_{k=1}^{4} k^{2} = \frac{4(5)(9)}{6} = 2 \times 5 \times 3 = 30$.
अतः,$S = 2870 - 30 = 2840$.

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n+1}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)} = \frac{n(2n+1)}{6} = \frac{2n^2 + n}{6}$.
हमें पहले $8$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_8 = \sum_{n=1}^{8} T_n = \sum_{n=1}^{8} \frac{2n^2 + n}{6}$.
$S_8 = \frac{1}{6} \left[ 2 \sum_{n=1}^{8} n^2 + \sum_{n=1}^{8} n \right]$.
$\sum_{n=1}^{8} n^2 = \frac{8(9)(17)}{6} = 204$ और $\sum_{n=1}^{8} n = \frac{8(9)}{2} = 36$ का उपयोग करते हुए।
$S_8 = \frac{1}{6} [2(204) + 36] = \frac{1}{6} [408 + 36] = \frac{444}{6} = 74$.

(D) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n+1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (4n^3 + 4n^2 + n)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = 3025$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
अतः,$S_{10} = 4(3025) + 4(385) + 55 = 13695$.

(B) दिया गया है कि $n(X)=200, n(A)=90, n(B)=80$ और $n(A' \cap B')=40$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$।
अतः,$40 = 200 - n(A \cup B)$,जिसका अर्थ है कि $n(A \cup B) = 160$।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$।
$160 = 90 + 80 - n(A \cap B) \implies 160 = 170 - n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 10$।
अब,$n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 90 - 10 = 80$।

(C) $A \cap B = \{4\}$
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$
अतः,कार्तीय गुणनफल है:
$(A \cap B) \times (A \cup B) = \{4\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$= \{(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\}$

(C) समुच्चय $A$ में $0$ और $9$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं।
$A = \{2, 3, 5, 7\}$.
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।
$A$ के घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $2^{n(A)}$ द्वारा दी जाती है।
$2^{4} = 16$.

(A) संबंध $R$,$A$ से $B$ में $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$ के रूप में परिभाषित है।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए $y \in B$ की जाँच करने पर जहाँ $x > y$:
$x = 2$ के लिए,$y = 1$ $(2 > 1)$,अतः $(2, 1) \in R$।
$x = 3$ के लिए,$y = 1$ $(3 > 1)$,अतः $(3, 1) \in R$।
$x = 4$ के लिए,$y = 1$ $(4 > 1)$,अतः $(4, 1) \in R$।
$x = 5$ के लिए,$y = 1$ $(5 > 1)$ और $y = 4$ $(5 > 4)$,अतः $(5, 1) \in R$ और $(5, 4) \in R$।
$R$ में सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (5, 4)\}$ है।
परिसर $R$ के क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय है।
परिसर $R = \{1, 4\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{x, y, z\}$ और $B = \{1, 2\}$ हैं।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ अवयव होते हैं।
$A$ से $B$ में एक संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
इसलिए,$A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।

(D) दिए गए ध्रुवीय निर्देशांक $P(r, \theta) = \left(\frac{1}{2}, 120^{\circ}\right)$ हैं,जहाँ $r = \frac{1}{2}$ और $\theta = 120^{\circ}$ है।
हम रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करते हैं।
$x$ के लिए: $x = \frac{1}{2} \cos 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$।
$y$ के लिए: $y = \frac{1}{2} \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$।
अतः,कार्तीय निर्देशांक $\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ हैं।

(C) शीर्ष $A(0,4,0)$,$B(0,0,3)$ और $C(0,4,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (3-3)^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-4)^2 + (3-0)^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = 5$.
अंतःकेंद्र $I(x, y, z)$ का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c} \right)$.
मान रखने पर:
$x = \frac{4(0) + 3(0) + 5(0)}{12} = 0$.
$y = \frac{4(4) + 3(0) + 5(4)}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
$z = \frac{4(0) + 3(3) + 5(3)}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
अतः,अंतःकेंद्र $(0,3,2)$ है।

(D) $A(2, p, -3)$,$B(q, -2, 5)$ और $C(-5, 1, r)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ केंद्रक है:
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2+q-5}{3} = 0$ $\Rightarrow q-3 = 0$ $\Rightarrow q = 3$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{p-2+1}{3} = 0$ $\Rightarrow p-1 = 0$ $\Rightarrow p = 1$.
$z$-निर्देशांक के लिए: $\frac{-3+5+r}{3} = 0$ $\Rightarrow r+2 = 0$ $\Rightarrow r = -2$.
अतः,$p=1, q=3, r=-2$.

(A) चूंकि बिंदु $A(5, k)$,$B(-3, 1)$ और $C(-7, -2)$ संरेख हैं,इसलिए $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AB$ की ढाल $= \frac{1 - k}{-3 - 5} = \frac{1 - k}{-8}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{-2 - 1}{-7 - (-3)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1 - k}{-8} = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों को $-8$ से गुणा करने पर: $1 - k = \frac{3}{4} \times (-8)$.
$1 - k = -6$.
$k = 1 + 6 = 7$.

(A) हम जानते हैं कि $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
चूंकि बिंदु $(-2, -2)$ $III$ चतुर्थांश में स्थित है,कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-2}{-2} = 1$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $III$ चतुर्थांश में है,$\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ $(2 \sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4})$ हैं।

(A) यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित रेखाखंडों के ढाल (slopes) की जांच कर सकते हैं।
$AB$ का ढाल $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$।
$BC$ का ढाल $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$।
चूंकि $AB$ का ढाल $BC$ के ढाल के बराबर है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,$CD$ का ढाल जांचें $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (जहाँ $a \neq 1, a \neq 0$)।
चूंकि $BC$ का ढाल $CD$ के ढाल के बराबर है,इसलिए बिंदु $B, C$ और $D$ भी संरेख हैं।
चूंकि सभी बिंदु $\frac{b}{a}$ ढाल वाली एक ही रेखा पर स्थित हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C$ और $D$ संरेख हैं।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 4)$ और $(x_2, y_2) = (-5, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - 1}{-5 - 1}$.
$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x - 1}{-6}$.
$2(y - 4) = x - 1$ $\Rightarrow 2y - 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 2y + 7 = 0$ ...$(1)$.
दूसरी रेखा का समीकरण: $4x + 3y - 5 = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ से,$x = 2y - 7$. इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$4(2y - 7) + 3y - 5 = 0$.
$8y - 28 + 3y - 5 = 0$.
$11y - 33 = 0 \Rightarrow y = 3$.
$y = 3$ का मान $x = 2y - 7$ में रखने पर: $x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$.
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(-1, 3)$ है।

(B) माना $A \equiv (a, 0)$ और $B \equiv (0, b)$ है।
माना $P \equiv (5, 6)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ को $3: 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$5 = \frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1}$ $\Rightarrow 5 = \frac{a}{4}$ $\Rightarrow a = 20$.
$6 = \frac{3 \times b + 1 \times 0}{3 + 1}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3b}{4}$ $\Rightarrow 3b = 24$ $\Rightarrow b = 8$.
अतः,$X$-अंतःखंड $20$ है और $Y$-अंतःखंड $8$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{20} + \frac{y}{8} = 1$ प्राप्त होता है।
$40$ से गुणा करने पर,$2x + 5y = 40$ प्राप्त होता है।

(C) माना $a$ और $b$ रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं।
हमें दिया गया है कि $a + b = 8$ और $ab = 15$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 8t + 15 = 0$ को हल करने पर,हमें $(t - 3)(t - 5) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(a, b) = (3, 5)$ या $(5, 3)$ है।
रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
स्थिति $1$: जब $a = 3$ और $b = 5$ है,तो समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो $5x + 3y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $2$: जब $a = 5$ और $b = 3$ है,तो समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $3x + 5y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $5x + 3y - 15 = 0$ और $3x + 5y - 15 = 0$ हैं।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: x - 2y + 8 = 0$ और $L_2: 3x - y + 4 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$L_2$ को $2$ से गुणा करें: $6x - 2y + 8 = 0$।
इसमें से $L_1$ घटाने पर: $5x = 0$,अतः $x = 0$।
$x = 0$ को $L_2$ में रखने पर: $y = 4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 4)$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ और $(0, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $x = 0$ है।

(B) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $(h, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, k)$ पर काटती है।
चूंकि $(a, -2a)$ रेखाखंड का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{h + 0}{2} = a \Rightarrow h = 2a$
$\frac{0 + k}{2} = -2a \Rightarrow k = -4a$
रेखा के अंतःखंड रूप के समीकरण $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{-4a} = 1$
$4a$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x - y = 4a$
अतः,रेखा का समीकरण $2x - y = 4a$ है।

(A) बिंदुओं $(2, 3)$ और $(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{-2-3}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{5}$ होगी।
बिंदु $(7, -4)$ का उपयोग करते हुए रेखा का समीकरण:
$y - (-4) = -\frac{1}{5}(x - 7)$
$5(y + 4) = -(x - 7)$
$5y + 20 = -x + 7$
$x + 5y + 13 = 0$.

(A) पहली रेखा का समीकरण $x \sin \theta - y \cos \theta = 5$ है। इसकी ढाल $m_1 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $x \sin \alpha - y \cos \alpha + 11 = 0$ है। इसकी ढाल $m_2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ है।
माना रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\beta$ है।
तब,$\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} \right|$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(\theta - \alpha) = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \beta = |\tan(\theta - \alpha)|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = |\theta - \alpha|$।

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x - 1$ और $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{7}{\sqrt{3}}$ हैं।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_{1} = \sqrt{3}$ और $m_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होते हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2/\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x$ और $y$ के गुणांकों को समान बनाते हैं।
प्रथम समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2(3x + 4y) = 2(9) \Rightarrow 6x + 8y = 18$.
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = -18$,और $c_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ इकाई।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right|$ है।
$A = b$,$B = a$,$C = -ab$,$x_{1} = a$,और $y_{1} = b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \left| \frac{b(a) + a(b) - ab}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \right| = \left| \frac{ab + ab - ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right| = \left| \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right|$ इकाई।

(B) माना $I = \int_{-2}^{1} [x+1] \, dx$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x+n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $[x+1] = [x] + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{-2}^{1} ([x] + 1) \, dx = \int_{-2}^{1} [x] \, dx + \int_{-2}^{1} 1 \, dx$.
दूसरे समाकलन का मान: $\int_{-2}^{1} 1 \, dx = [x]_{-2}^{1} = 1 - (-2) = 3$.
पहले समाकलन का मान: $\int_{-2}^{1} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx$.
$= -2[x]_{-2}^{-1} - 1[x]_{-1}^{0} + 0 = -2(-1 - (-2)) - 1(0 - (-1)) = -2(1) - 1(1) = -2 - 1 = -3$.
इसलिए,$I = -3 + 3 = 0$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करेंगे।
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{2} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 \right]$
$= \frac{\pi}{4}$

(D) यह समाकलन $\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx$ है। हम महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के उछाल के आधार पर अंतराल को विभाजित करते हैं:
$\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{2.24} 2 \, dx$
प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-2}^{-1} -2 \, dx = -2[-1 - (-2)] = -2(1) = -2$
$\int_{-1}^{0} -1 \, dx = -1[0 - (-1)] = -1(1) = -1$
$\int_{0}^{1} 0 \, dx = 0$
$\int_{1}^{2} 1 \, dx = 1[2 - 1] = 1$
$\int_{2}^{2.24} 2 \, dx = 2[2.24 - 2] = 2(0.24) = 0.48$
इन मानों का योग करने पर: $-2 - 1 + 0 + 1 + 0.48 = -2 + 0.48 = -1.52$.

(B) हमें निश्चित समाकल $\int_{0}^{4}|x-2| d x$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $|x-2|$ का मान $x=2$ पर बदलता है। विशेष रूप से,$x < 2$ के लिए $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ और $x \ge 2$ के लिए $|x-2| = x-2$ होता है।
अतः,हम समाकल को $x=2$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_{0}^{4}|x-2| d x = \int_{0}^{2}(2-x) d x + \int_{2}^{4}(x-2) d x$
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_{0}^{2}(2-x) d x = [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - (0 - 0) = 2$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_{2}^{4}(x-2) d x = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $2 + 2 = 4$.

(C) व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के मान के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(-5 - 9) - 0 + 2(6 - 0)$
$|A| = 1(-14) + 2(6) = -14 + 12 = -2$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = -2$.

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है,जहाँ $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$,और $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-1)(-4) - (0)(3)) - (-1)((2)(-4) - (0)(3)) + 1((2)(3) - (-1)(3))$
$|A| = 1(4) + 1(-8) + 1(6+3) = 4 - 8 + 9 = 5$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ का सहखंडज,$adj(A)$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त है:
$C_{11} = 4, C_{12} = 8, C_{13} = 9$
$C_{21} = -1, C_{22} = -7, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 2, C_{33} = 1$
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
अब,$X = A^{-1}B = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}4(1) - 1(1) + 1(2) \\ 8(1) - 7(1) + 2(2) \\ 9(1) - 6(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$.
इसलिए,$x=1, y=1, z=1$.
अंत में,$x+y+z = 1+1+1 = 3$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x + 3y + 3z = 12$
$y + z = 3$
$z = 1$
$z = 1$ का मान $y + z = 3$ में रखने पर $y + 1 = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 2$ है।
$y = 2$ और $z = 1$ का मान $x + 3y + 3z = 12$ में रखने पर:
$x + 3(2) + 3(1) = 12$
$x + 6 + 3 = 12$
$x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3$
अंत में,$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 9 + 4 + 1 = 14$।

(C) अवकल समीकरण की घात (degree) उच्चतम कोटि के अवकलज की घात के रूप में परिभाषित होती है,बशर्ते समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} + (\frac{dy}{dx})^3 = x$ में,$e^{\frac{dy}{dx}}$ पद में अवकलज घातांक में है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{dy}{dx}$ के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}\right)^{3} = \left(7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यह सरल होकर $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 343 \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ हो जाता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{3/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(\frac{dy}{dx})^2$ से गुणा करने पर,$(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद,उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{\frac{5}{3}}=5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $3$ लेकर भिन्नात्मक घातांक को हटाते हैं:
$\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = (5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$\left[\frac{(\frac{dy}{dx})^{2}+1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$((\frac{dy}{dx})^{2}+1)^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3} (\frac{dy}{dx})^{10}$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ और घात $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y = px + \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y - px = \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - px)^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$y^{2} - 2pxy + p^{2}x^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + x^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = a^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + b^{2}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा। दोनों पक्षों की घात $3$ करने पर:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 7^{3}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(D) $x$-अंतःखंड $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,हमें $bx + ay = ab$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$b + a \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,चूंकि $-\frac{b}{a}$ एक स्थिरांक है,हमें $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $y^{2}=(2 x+c)^{5}$ ...$(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4} \times 2$
$y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4}$
इससे,हम $(2 x+c)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(2 x+c)^{4} = \frac{y}{5} \frac{dy}{dx}$
$(2 x+c) = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = \left[\left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}\right]^{5}$
$y^{2} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5/4}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(y^{2})^{4} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{5^{5}} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{5}$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y^{3} = \frac{1}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$3125 y^{3} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5} - 3125 y^{3} = 0$

(D) दिया गया है $y = e^{ax}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \log(e^{ax})$.
चूंकि $\log(e^{ax}) = ax$,इसलिए $\log y = ax$ ...$(1)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a$.
अब,अवकलज से प्राप्त $a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log y = \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) x$.
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें $y \log y = x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जो कि $x \frac{dy}{dx} = y \log y$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = c$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{1+x^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $\frac{x}{x-y} = \log a - \log(x-y)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\log(x-y) + \frac{x}{x-y} = \log a$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x-y} \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) + \frac{(x-y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x-y)^2} = 0$.
$(x-y)^2$ से गुणा करने पर:
$(x-y)(1 - \frac{dy}{dx}) + x - y - x + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - y - (x-y) \frac{dy}{dx} - y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - 2y + \frac{dy}{dx} (x - x + y) = 0$.
$x - 2y + y \frac{dy}{dx} = 0$.
$y \frac{dy}{dx} = 2y - x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$.

(C) दिया गया समीकरण $y = mx + \frac{2}{m} \dots (1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = m$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $m = \frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{2}{\frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ है।
दोनों पक्षों में $\cos^{-1}$ लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \cos^{-1} a \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः $y = x \cos^{-1} a + c$ .... $(1)$।
दी गई प्रारंभिक शर्त $y(0) = 2$ के अनुसार,समीकरण $(1)$ में $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 0 \cdot \cos^{-1} a + c \Rightarrow c = 2$।
$c = 2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $y = x \cos^{-1} a + 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - 2 = x \cos^{-1} a$,जिसका अर्थ है कि $\frac{y - 2}{x} = \cos^{-1} a$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,हमें $\cos \left(\frac{y - 2}{x}\right) = a$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y=e^{x}(A \cos x+B \sin x)$ ... $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ ... $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)$
समीकरण $(2)$ से $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = \frac{dy}{dx} - y$ रखने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
चूँकि $e^{x}(A \cos x + B \sin x) = y$ है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(B) दिया गया फलन $y = a(x-a)^{2} \quad ...(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2a(x-a) \quad ...(2)$
समीकरण $(2)$ से,$a = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a}$. इस मान को $(1)$ में रखने पर:
$y = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a} (x-a)^2 = \frac{1}{2} (x-a) \frac{dy}{dx}$
अतः,$(x-a) = \frac{2y}{dy/dx}$.
इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2a \left( \frac{2y}{dy/dx} \right) \implies a = \frac{(dy/dx)^2}{4y}$.
अब,$a$ और $(x-a)$ के मान को $y = a(x-a)^2$ में रखने पर:
$y = \left( \frac{(dy/dx)^2}{4y} \right) \left( \frac{2y}{dy/dx} \right)^2$
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए $a$ का विलोपन करने पर,हमें $8y^3 = (y')^2 (2x - y')$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, 8)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 8$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-8)^{2} = 8^{2} = 64$ ... $(1)$ है।
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-8) \frac{d y}{d x} = 0$
$(x-h) = -(y-8) \frac{d y}{d x}$
$(x-h)$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$[-(y-8) \frac{d y}{d x}]^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} (\frac{d y}{d x})^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} [1 + (\frac{d y}{d x})^{2}] = 64$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: $x = a \sin t - b \cos t$ और $y = a \cos t + b \sin t$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = (a \sin t - b \cos t)^{2} + (a \cos t + b \sin t)^{2}$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t - 2ab \sin t \cos t + a^{2} \cos^{2} t + b^{2} \sin^{2} t + 2ab \sin t \cos t$
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(\sin^{2} t + \cos^{2} t) + b^{2}(\cos^{2} t + \sin^{2} t) = a^{2} + b^{2}$।
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies y \frac{dy}{dx} = -x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = -1$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ का मान रखने पर:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(-\frac{x}{y}\right)^{2} = -1$
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} = -1$।
$y^{2}$ से गुणा करने पर:
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} = -y^{2}$
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} + y^{2} = 0$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sec^{2} x \tan y \, dx = -\sec^{2} y \tan x \, dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$. इसी प्रकार,$v = \tan y$ लेने पर,$dv = \sec^{2} y \, dy$.
अतः,$\int \frac{1}{u} \, du = -\int \frac{1}{v} \, dv$
$\log |u| = -\log |v| + \log |c|$
$\log |\tan x| + \log |\tan y| = \log |c|$
$\log |\tan x \tan y| = \log |c|$
अतः,व्यापक हल $\tan x \tan y = c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + 2y dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x dy = -2y dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln|y| = -2 \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln|y| + 2 \ln|x| = C$,जो $\ln|y| + \ln|x^2| = C$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\ln|yx^2| = C$,जिसका अर्थ है $yx^2 = e^C = k$।
प्रारंभिक स्थिति $x = 2$ और $y = 1$ दी गई है,इन मानों को $x^2y = k$ में रखने पर:
$(2)^2(1) = k \Rightarrow 4(1) = k \Rightarrow k = 4$।
इसलिए,विशिष्ट हल $x^2y = 4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c$
अतः,हल है: $y = -\sin^{-1} x + c$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y + \sin^{-1} x = c$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 9x - 6y + 6$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{dy}{dx} = e^{9x - 6y + 6} = e^{9x+6} \cdot e^{-6y}$.
चरों को अलग करने पर: $e^{6y} dy = e^{9x+6} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{6y} dy = \int e^{9x+6} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + C$.
दिया गया है कि $x = 0$ पर $y = 1$: $\frac{e^{6}}{6} = \frac{e^{6}}{9} + C$.
$C$ का मान ज्ञात करने पर: $C = \frac{e^{6}}{6} - \frac{e^{6}}{9} = \frac{3e^{6} - 2e^{6}}{18} = \frac{e^{6}}{18}$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + \frac{e^{6}}{18}$.
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर: $3e^{6y} = 2e^{9x+6} + e^{6}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \log |u| = \log |\log x|$ हो जाता है।
अतः,$\log |\log x| = \log |y| + C$.
$x = e$ और $y = 1$ दिया गया है: $\log |\log e| = \log |1| + C \Rightarrow \log |1| = 0 + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\log |\log x| = \log |y|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log x = y$,जिसका अर्थ है $x = e^y$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})$
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x-e^{\tan ^{-1} y})}{1+y^{2}} = \frac{-x}{1+y^{2}} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c$.
माना $t = e^{\tan ^{-1} y}$,तो $dt = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} dy$ होगा।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int t dt + c = \frac{t^{2}}{2} + c$.
अतः,व्यापक हल $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \frac{(e^{\tan ^{-1} y})^{2}}{2} + c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y$
$\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$
मान लीजिए $x+y=t$ है। तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1+\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}-1$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx}-1=\sin t$
$\implies \frac{dt}{dx}=1+\sin t$
$\implies \int \frac{dt}{1+\sin t}=\int dx$
$\frac{1}{1+\sin t}$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $(1-\sin t)$ से गुणा करें:
$\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} dt = \int dx$
$\implies \int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} dt = x+c$
$\implies \int (\sec^2 t - \sec t \tan t) dt = x+c$
$\implies \tan t - \sec t = x+c$
$t=x+y$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = \tan (x+y) - \sec (x+y) + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ है।
$x^{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = ux$,तो $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = u^{2} + u$.
दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर: $x \frac{du}{dx} = u^{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{du}{u^{2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int u^{-2} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$-u^{-1} = \log |x| + c$.
चूंकि $u = \frac{y}{x}$,इसलिए $-\frac{x}{y} = \log |x| + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{y} + \log |x| = -c$,जिसे $\frac{x}{y} + \log |x| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $C = -c$)।

(D) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = ux$,तब $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$।
दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर:
$x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$।
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\tan^{-1}(u) = \log|x| + C$।
$u = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\tan^{-1}(0) = \log|1| + C$,जिससे $0 = 0 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$।
इस प्रकार,समीकरण $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x|$ है।

(B) दिया गया समीकरण $y=c^{2}+\frac{c}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{c}{x^{2}}$
इससे,हम $c$ को $x$ और $\frac{d y}{d x}$ के पदों में लिख सकते हैं:
$c = -x^{2} \frac{d y}{d x}$
अब,$c$ के इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (-x^{2} \frac{d y}{d x})^{2} + \frac{-x^{2} \frac{d y}{d x}}{x}$
$y = x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x}$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x} - y = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$
दोनों पक्षों को $dx \cdot x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)}$
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$. तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v} = -\operatorname{cosec} v$
चरों को अलग करने पर:
$\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log |x| + c$
$\cos v = \log |x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$.
$\sin^{2} y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ और $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ है।
हल: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$.
$x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$.
माना $t = -\cot y$,तो $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$.
$x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\cot y$ प्रतिस्थापित करने पर: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$.
$x = 0$ और $y = \frac{3\pi}{4}$ रखने पर: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$.
चूँकि $\cot(3\pi/4) = -1$,इसलिए $0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$.
अतः,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,जो सरल होकर $x = 1 + \cot y$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^3 - 3$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ है।
$P = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन गुणक $x$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $r dx + (x - r^2) dr = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$r dx = -(x - r^2) dr$ प्राप्त होता है।
$dr$ से भाग देने पर,$r \frac{dx}{dr} = r^2 - x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dr} + P(r)x = Q(r)$ में व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dr} + \frac{1}{r}x = r$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{r} dr} = e^{\log r} = r$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(r) \cdot (I.F.) dr + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \cdot r = \int r \cdot r dr + c$।
दाहिनी ओर का समाकलन करने पर,$xr = \int r^2 dr + c$।
अतः,$xr = \frac{r^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{2x} = \int (e^{-x} \cdot e^{2x}) dx + c$ प्राप्त होता है।
$y e^{2x} = \int e^{x} dx + c$.
$y e^{2x} = e^{x} + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$
मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त करने के लिए $(1-x^{2})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
यहाँ,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ और $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + c$ है।
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \times \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$
मान लीजिए $u = 1-x^{2}$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.
दोनों पक्षों को $(1-x^{2})$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$।
दोनों पक्षों को $(1+x^{2}) dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{\tan^{-1} x - t}{1+x^{2}}$
समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dt}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}}t = \frac{\tan^{-1} x}{1+x^{2}}$
यहाँ,$P(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y$.
दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y} - x$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} = \sec y - x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} - \sec y = -x$.
माना $v = \sec y$. तब $\frac{d v}{d x} = \sec y \tan y \frac{d y}{d x}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x} - v = -x$.
यह $\frac{d v}{d x} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है।
$dx(x+x^{3})$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ मिलता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\log x}{x}\right) y = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$.
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$.
अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
इसलिए,$I$.$F$. $= e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{\log x}{2}} = x^{\frac{\log x}{2}} = x^{\log (\sqrt{x})}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ है।
दोनों पक्षों को $y \log y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \log y} = \frac{\log y}{y \log y} = \frac{1}{y}$।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{y \log y}$ और $Q = \frac{1}{y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{y \log y} dy}$।
मान लीजिए $u = \log y$,तो $du = \frac{1}{y} dy$ होगा।
अतः,$\int \frac{1}{y \log y} dy = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log y)$।
इसलिए,$I$.$F$. $= e^{\log(\log y)} = \log y$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$.
इस समीकरण को मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में लाने के लिए $(x \log x)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{4 \log x}{x \log x} = \frac{4}{x}$.
यहाँ,$P = \frac{1}{x \log x}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) का सूत्र $e^{\int P dx}$ है:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$.
अतः,$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log x)$.
इसलिए,$I.F. = e^{\log(\log x)} = \log x$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$
माना $u = xy$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(u) \frac{du}{dx} = \cos x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \sin(u) du = \int \cos x dx$।
परिणामस्वरूप: $-\cos(u) = \sin x + C$।
$u = xy$ वापस रखने पर: $-\cos(xy) = \sin x + C$।
$x = 0$ पर,$\cos(0) = -\sin(0) - C$ होता है,जिसका अर्थ है $1 = 0 - C$,अतः $C = -1$।
इस प्रकार,$-\cos(xy) = \sin x - 1$,जिसे सरल करने पर $\sin x + \cos(xy) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा $5x + 2y + 7 = 0$ है।
इसका ढाल $m_1 = -\frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ होगा।
$\frac{2}{5}$ ढाल वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $y = \frac{2}{5}x + c$ है,जिसे $2x - 5y + 5c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $5c = k$,तो समीकरण $2x - 5y + k = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 - 5\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$dx$ से गुणा करने पर,हमें $2dx - 5dy = 0$ प्राप्त होता है,या $5dy - 2dx = 0$।

(C) वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
$\frac{dN}{dt} = kN \Rightarrow \frac{dN}{N} = k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln N = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$N = 1000$,इसलिए $C = \ln 1000$.
अतः,$\ln N = kt + \ln 1000 \Rightarrow \ln(\frac{N}{1000}) = kt \Rightarrow N = 1000 e^{kt}$.
दिया है कि $t = 1$ पर,$N = 2000$,इसलिए $2000 = 1000 e^k$,जिसका अर्थ है $e^k = 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,$N = 1000 \times (e^k)^t = 1000 \times 2^t$.
$t = 2 \frac{1}{2} = 2.5$ घंटे के लिए:
$N = 1000 \times 2^{2.5} = 1000 \times 2^2 \times 2^{0.5} = 1000 \times 4 \times \sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2} = 1.414$ दिया गया है,इसलिए $N = 1000 \times 4 \times 1.414 = 5656$.

(B) माना समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है। परिवेश का तापमान $\theta_s = 20^{\circ} C$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - \theta_s)$.
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 20) = -Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -Kt$.
$t = 20 \text{ मिनट}$ पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -K(20) \Rightarrow \ln(0.5) = -20K \Rightarrow K = \frac{-\ln(0.5)}{20}$.
हमें $t = 60 \text{ मिनट}$ (एक घंटा) पर $\theta$ ज्ञात करना है।
$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -\left(\frac{-\ln(0.5)}{20}\right)(60) = 3 \ln(0.5) = \ln(0.5^3) = \ln(0.125)$.
$\frac{\theta - 20}{80} = 0.125 = \frac{1}{8}$.
$\theta - 20 = 10 \Rightarrow \theta = 30^{\circ} C$.