अवकल समीकरण (1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है। $dx(x+x^{

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$x$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ प्राप्त होता है। $dx(x+x^{3})$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ मिलता है। अतः,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी $x \ge 1$ के लिए $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ है,तो $f(2) - f(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; जब $x = \frac{\pi}{2}$ तब $y = 2$।

यदि $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$ और $x(1) = 1$ है,तो $5x(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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