MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) प्रतिबंधों $2x + y \geq 16$,$x \geq 6$,और $y \geq 1$ द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होते हैं:
$1$. $x = 6$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 1)$ है,लेकिन यह बिंदु $2x + y \geq 16$ प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है $(12 + 1 = 13 < 16)$।
$2$. $2x + y = 16$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन: $2x + 1 = 16 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$। अतः,बिंदु $E = (7.5, 1)$।
$3$. $2x + y = 16$ और $x = 6$ का प्रतिच्छेदन: $2(6) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4$। अतः,बिंदु $F = (6, 4)$।
चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है,हम कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की जांच करते हैं:
$Z(E) = Z(7.5, 1) = 6(7.5) + 2(1) = 45 + 2 = 47$।
$Z(F) = Z(6, 4) = 6(6) + 2(4) = 36 + 8 = 44$।
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $44$ है।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) बाधाओं $x + y \leq 3$,$4x + y \leq 6$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(1.5, 0)$,$B(1, 2)$ और $C(0, 3)$ हैं।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 8x + 3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0, 0)$ पर,$Z = 8(0) + 3(0) = 0$.
$2$. $A(1.5, 0)$ पर,$Z = 8(1.5) + 3(0) = 12$.
$3$. $B(1, 2)$ पर,$Z = 8(1) + 3(2) = 8 + 6 = 14$.
$4$. $C(0, 3)$ पर,$Z = 8(0) + 3(3) = 9$.
$Z$ का अधिकतम मान $14$ है,जो बिंदु $(1, 2)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,इष्टतम समाधान $x = 1, y = 2$ है।

(C) दी गई बाधाएँ $x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,और $y \geq 2$ हैं।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र $x + y = 5$,$x = 4$,और $y = 2$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करने के लिए:
$1$. $x + y = 5$ और $y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = 2$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$x = 3$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $P = (3, 2)$ है।
$2$. $x + y = 5$ और $x = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 4$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है। लेकिन शर्त $y \geq 2$ है।
ग्राफ के अनुसार,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $P(3, 2)$ और $D(4, 2)$ हैं।
अब,इन बिंदुओं पर $Z = 5x + 8y$ का मान ज्ञात करने पर:
$Z(P) = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
$Z(D) = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
अतः,न्यूनतम मान $31$ है।

(C) सुसंगत क्षेत्र $3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ बाधाओं द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0,0)$,$D(4,0)$,$Q(4,3)$,$P(2,6)$ और $C(0,6)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z=3x+5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$D(4,0)$ पर: $Z = 3(4) + 5(0) = 12$
$Q(4,3)$ पर: $Z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$P(2,6)$ पर: $Z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$C(0,6)$ पर: $Z = 3(0) + 5(6) = 30$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(2,6)$ पर $36$ है।

(C) दी गई सीमाएं $x \leq 3, y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके हम सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष निर्धारित करते हैं:
$1$. $x=0, y=0 \Rightarrow O(0,0)$
$2$. $x=3, y=0 \Rightarrow A(3,0)$
$3$. $x=3, x+y=5 \Rightarrow P(3,2)$
$4$. $x+y=5, y=3 \Rightarrow Q(2,3)$
$5$. $x=0, y=3 \Rightarrow D(0,3)$
अब,प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z=10x+25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
- $A(3,0)$ पर: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
- $P(3,2)$ पर: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
- $Q(2,3)$ पर: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
- $D(0,3)$ पर: $Z = 10(0) + 25(3) = 0 + 75 = 75$
$Z$ का अधिकतम मान $95$ है,जो बिंदु $(2,3)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1$) $x + y \leq 1$
$2$) $2x + 2y \geq 6 \implies x + y \geq 3$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
पहली बाधा से,क्षेत्र रेखा $x + y = 1$ के लिए मूल बिंदु की ओर है।
दूसरी बाधा से,क्षेत्र रेखा $x + y = 3$ के लिए मूल बिंदु से दूर है।
चूंकि कोई भी बिंदु $(x, y)$ ऐसा नहीं है जो $x + y \leq 1$ और $x + y \geq 3$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए कोई सामान्य सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
अतः,दी गई $L$.$P$.$P$. का कोई हल नहीं है।

(D) दी गई बाधाएं $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x + y = 5$ और $x = 4$ से $4 + y = 5 \implies y = 1$ प्राप्त होता है। बिंदु: $(4, 1)$।
$2$. $x + y = 5$ और $y = 2$ से $x + 2 = 5 \implies x = 3$ प्राप्त होता है। बिंदु: $(3, 2)$।
$3$. $x = 4$ और $y = 2$ से बिंदु $(4, 2)$ प्राप्त होता है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(4, 1)$,$(4, 2)$,और $(3, 2)$ हैं।
अब,इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $Z = 5x + 8y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(4, 1)$ पर: $Z = 5(4) + 8(1) = 20 + 8 = 28$।
- $(4, 2)$ पर: $Z = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$।
- $(3, 2)$ पर: $Z = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$।
न्यूनतम मान $28$ है,जो बिंदु $(4, 1)$ पर प्राप्त होता है।

(A) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(L.P.P.)$ में,उद्देश्य फलन एक रैखिक फलन होता है।
यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करेगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए $L.P.P.$ के अनंत समाधान होंगे।

(C) सबसे पहले,हम $A^{2}$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(7) \\ (-1)(1) + (7)(-1) & (-1)(0) + (7)(7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix}$
दिए गए समीकरण $A^{2} = 8A + kI$ में आव्यूहों का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ -8 & 56 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + k & 0 \\ -8 & 56 + k \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$8 + k = 1 \Rightarrow k = 1 - 8 = -7$
इसी प्रकार,$56 + k = 49 \Rightarrow k = 49 - 56 = -7$
अतः,$k$ का मान $-7$ है।

(C) $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज के सहखंडज का गुणधर्म $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & i \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 1) - 2(0 - 1) + i(1 - 1) = -1 + 2 + 0 = 1$.
अब,सूत्र में $n = 3$ और $|A| = 1$ रखने पर:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (1)^{3-2} A = (1)^1 A = A$.
अतः,$[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)]^{-1} = (A)^{-1} = A^{-1}$.

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$,यहाँ $a = 2, b = -3, c = 3, d = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -(-3) \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंड $(A_{21}, A_{22}, A_{23})$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(3(1) - 2(2)) = (-1)(3 - 4) = (-1)(-1) = 1$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - 5(2)) = (1)(1 - 10) = -9$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(1(2) - 5(3)) = (-1)(2 - 15) = (-1)(-13) = 13$.
सहखंडों का योग $A_{21} + A_{22} + A_{23} = 1 + (-9) + 13 = 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $C_{ij}$,$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ की उपसारणिक (minor) है।
प्रथम स्तंभ के लिए,हमें $C_{11}, C_{21},$ और $C_{31}$ ज्ञात करना है।
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2 - 2) = 0$.
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = (-1)(1) = -1$.
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = (1)(1) = 1$.
अतः,सहखंड $0, -1, 1$ हैं।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,अभिलक्षणिक समीकरण $A^{2} - 4A + 3I = 0$ का उपयोग करके,$A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A - 4I + 3A^{-1} = 0 \Rightarrow 3A^{-1} = 4I - A$.
$3A^{-1} = 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
आइए प्रत्येक आव्यूह के लिए सारणिक की गणना करें:
$1$. $A_{1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{1}| = (4 \times 1) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$. अतः,$A_{1}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$2$. $A_{2} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ के लिए,ध्यान दें कि तीसरी पंक्ति पहली पंक्ति का $-2$ गुना है $(R_{3} = -2R_{1})$। चूंकि दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं,$|A_{2}| = 0$. अतः,$A_{2}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$3$. $A_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{3}| = 1(2-2) - 0 + 0 = 0$. अतः,$A_{3}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$4$. $A_{4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{4}| = 1(2-6) - 0(0-3) + 1(0-2) = 1(-4) + 1(-2) = -4 - 2 = -6$.
चूंकि $|A_{4}| = -6 \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A_{4}$ व्युत्क्रमणीय है।

(A) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 3 \times 3) & (2 \times 0 + 3 \times 1) \\ (1 \times 1 + 2 \times 3) & (1 \times 0 + 2 \times 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
इसके बाद,सारणिक $|AB|$ ज्ञात करें:
$|AB| = (11 \times 2) - (3 \times 7) = 22 - 21 = 1$
अब,$AB$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
एक आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$
अंत में,$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं,जिसमें विकर्ण तत्वों को आपस में बदला जाता है और अन्य तत्वों के चिह्न बदल दिए जाते हैं:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
अंत में,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,गुणधर्म $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$ सत्य है।
चूंकि $(A^{-1})^{-1} = A$ और $(B^{-1})^{-1} = B$,इसलिए व्यंजक $AB$ में सरल हो जाता है।
अब,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (2)(2) + (3)(-1) & (2)(-3) + (3)(2) \\ (1)(2) + (2)(-1) & (1)(-3) + (2)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 4 - 3 & -6 + 6 \\ 2 - 2 & -3 + 4 \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $A^4 A^{-1} = A^{4-1} = A^3$ होता है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) है,इसलिए $A^n = \begin{bmatrix} a_{11}^n & 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^n & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^n \end{bmatrix}$ होता है।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ के लिए,हम $A^3$ की गणना करते हैं:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2^3 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^3 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^4 A^{-1} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया आव्यूह $M = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ है।
आव्यूह $A$,$M$ के अवयवों के व्युत्क्रम से बना है,अतः $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \\ \frac{1}{\omega^2} & 1 & \frac{1}{\omega}\end{array}\right]$ है।
गुणधर्म $\omega^3 = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
इस प्रकार,$A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega^2 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & 1 & \omega^2\end{array}\right]$ है।
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(\omega^3 - 1) - \omega^2(\omega^4 - \omega) + \omega(\omega^2 - \omega^2)$
$|A| = 1(1 - 1) - \omega^2(\omega - \omega) + \omega(0)$
$|A| = 0 - 0 + 0 = 0$.
चूंकि आव्यूह $A$ का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,और अतः $A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि उसका सारणिक $0$ के बराबर हो।
दिए गए आव्यूह के सारणिक को $0$ के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(5 \times 5 - 6 \times 3) - 2(4 \times 5 - 6 \times 2) + 3(4 \times 3 - 5 \times 2) = 0$
$x(25 - 18) - 2(20 - 12) + 3(12 - 10) = 0$
$x(7) - 2(8) + 3(2) = 0$
$7x - 16 + 6 = 0$
$7x - 10 = 0$
$7x = 10$
$x = \frac{10}{7}$

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 0(0) - 0(0) - 1(0 - 1) = -1(-1) = 1$ ज्ञात करते हैं।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
अब,हम $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करते हैं।
चूँकि $A^2 = I$,दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर हमें $A = A^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,आव्यूहों $A$ और $B$ का योग ज्ञात करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$(A+B)$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A+B| = (5 \times 3) - (2 \times 4) = 15 - 8 = 7$
अब,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $(A+B)$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A+B) = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अंत में,सूत्र $(A+B)^{-1} = \frac{1}{|A+B|} \text{adj}(A+B)$ का उपयोग करें:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$

(B) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(1)(0) & (1)(2)+(2)(1)+(1)(1) \\ (2)(1)+(1)(2)+(0)(0) & (2)(2)+(1)(1)+(0)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$
अब,सारणिक $|AB|$ ज्ञात करें:
$|AB| = (5)(5) - (5)(4) = 25 - 20 = 5$
इसके बाद,$AB$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अंत में,व्युत्क्रम आव्यूह $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB)$ ज्ञात करें:
$(AB)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \alpha & 6 & -5 \\ \beta & -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष के आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(2)(3) + (0)(\alpha) + (-1)(\beta) = 6 - \beta$
चूँकि परिणाम $I$ होना चाहिए,इसलिए $6 - \beta = 1$,जिससे $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
पंक्ति $2$,स्तंभ $1$: $(5)(3) + (1)(\alpha) + (0)(\beta) = 15 + \alpha$
चूँकि परिणाम $I$ होना चाहिए,इसलिए $15 + \alpha = 0$,जिससे $\alpha = -15$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -15$ और $\beta = 5$ है।

(A) एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = a(0 \times 2 - 1 \times 1) - (-1)(-3 \times 2 - 1 \times (-1)) + 4(-3 \times 1 - 0 \times (-1)) = 0$
$|A| = a(0 - 1) + 1(-6 + 1) + 4(-3 - 0) = 0$
$|A| = a(-1) + 1(-5) + 4(-3) = 0$
$-a - 5 - 12 = 0$
$-a - 17 = 0$
$a = -17$।
अतः,आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है जब $a = -17$ हो।

(A) हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
सबसे पहले,हम $AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(3) & (2)(0) + (3)(1) \\ (1)(1) + (2)(3) & (1)(0) + (2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
अब,हम $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ ज्ञात करते हैं।
$|AB| = (11)(2) - (3)(7) = 22 - 21 = 1$.
$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.
अतः,$B^{-1} A^{-1} = (AB)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = \omega \cdot \omega - 0 \cdot 0 = \omega^{2}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,विकर्ण आव्यूह $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
इसलिए,$A^{-1} = \frac{1}{\omega^{2}} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\omega}{\omega^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\omega}{\omega^{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega} \end{bmatrix}$.
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
अब,विकल्पों की जांच करने पर:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A^{2}$.

(C) दिया गया लाक्षणिक समीकरण $A^{2}-5A-6I=0$ है।
दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^{2}-5A-6I) = A^{-1}(0)$
$A - 5I - 6A^{-1} = 0$
$6A^{-1} = A - 5I$
मैट्रिक्स के मान रखने पर:
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4-5 & 5-0 \\ 2-0 & 1-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(0 - 1) - (-3)(0 - (-2)) + 2(3 - 6)$
$|A| = 1(-1) + 3(2) + 2(-3) = -1 + 6 - 6 = -1$.
$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव $\frac{C_{13}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_{13}$,$A$ की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
$C_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc}-3 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right| = 1(3 - 6) = -3$.
अतः,$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव $\frac{-3}{-1} = 3$ है।

(B) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$.
इसके बाद,$A$ का सहखंडज आव्यूह ज्ञात करें: $\text{adj } A = \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
दिए गए समीकरण $A^{-1} = xA + yI$ में आव्यूहों का मान रखने पर:
$\frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1/11 & -2/11 \\ 5/11 & 1/11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x+y & 2x \\ -5x & x+y\end{array}\right]$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2x = -2/11$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = -1/11$.
साथ ही,$x+y = 1/11$. $x = -1/11$ रखने पर,$-1/11 + y = 1/11$,अतः $y = 2/11$.
इस प्रकार,$x = -1/11$ और $y = 2/11$ प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ ज्ञात करते हैं।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अब,$2A = 2 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$3A^{-1} = 3 \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अंत में,$2A - 3A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - (-21) & -6 - 9 \\ 10 - (-15) & -14 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & -15 \\ 25 & -20 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $AX = I$ है।
चूंकि $AX = I$,इसलिए $X = A^{-1}$ होगा।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$X = \begin{bmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} \\ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$।

(A) तीन पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
$5$ से कम योग निम्नलिखित परिणामों से प्राप्त होता है: $(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$।
$5$ से कम योग वाले परिणामों की संख्या $n(E') = 4$ है।
$5$ से कम योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(< 5) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।
कम से कम $5$ योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\geq 5) = 1 - P(< 5)$ है।
$P(\geq 5) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$।

(C) मान लीजिए $n = 5$ खरीदे गए लॉटरी टिकटों की संख्या है।
मान लीजिए $p$ एक टिकट पर इनाम जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{4}$।
मान लीजिए $q$ एक टिकट पर इनाम न जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
हमें कम से कम एक इनाम जीतने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 1)$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$।
$5$ प्रयासों में शून्य इनाम जीतने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^5 = 1 \times 1 \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{1024}$।
अतः,$P(X \ge 1) = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{1024 - 243}{1024} = \frac{781}{1024}$।

(A) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं और कुल $4$ रानियाँ होती हैं।
जब पहला पत्ता निकाला जाता है,तो रानी प्राप्त करने की प्रायिकता $P(Q_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए अब $51$ पत्ते बचे हैं और $3$ रानियाँ शेष हैं।
यदि पहला पत्ता रानी है,तो दूसरे पत्ते के रानी होने की प्रायिकता $P(Q_2|Q_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के रानी होने की प्रायिकता $P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_1) \times P(Q_2|Q_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ है।

(D) यहाँ $5$ प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $3$ विकल्प हैं जिनमें से एक सही है।
किसी भी प्रश्न के लिए सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
गलत उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें कम से कम एक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$P(\text{कम से कम एक सही}) = 1 - P(\text{कोई भी सही नहीं})$.
$5$ प्रश्नों में से किसी का भी उत्तर सही न होने की प्रायिकता $P(X=0) = {}^{5}C_{0} \times p^{0} \times q^{5}$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=0) = 1 \times 1 \times (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$.
अतः,$P(\text{कम से कम एक सही}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243 - 32}{243} = \frac{211}{243}$.

(B) लाल गेंदों की कुल संख्या $= 4$ है।
सफेद गेंदों की कुल संख्या $= 5$ है।
गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 = 9$ है।
मान लीजिए $R_1$ पहली गेंद के लाल होने की घटना है और $R_2$ दूसरी गेंद के लाल होने की घटना है।
पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_1) = \frac{4}{9}$ है।
चूंकि गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,यदि पहली गेंद लाल है,तो अब कुल $8$ गेंदों में से $3$ लाल गेंदें बची हैं।
पहली गेंद के लाल होने की स्थिति में दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_2|R_1) = \frac{3}{8}$ है।
दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ है।

(B) दिया गया है $P(A') = 0.6$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$ है।
हमें $P(B) = 0.8$ और $P(B/A) = 0.3$ दिया गया है।
गुणन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$ है।
हम जानते हैं कि $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
मान रखने पर,$P(A/B) = \frac{0.12}{0.8} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$।

(D) यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और सफलता की प्रायिकता $p = 0.2$ है।
विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$ है।
हमें ठीक $x = 4$ मरीजों के जीवित रहने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 4) = {}^{5}C_{4} (0.2)^{4} (0.8)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times (0.0016) \times (0.8)$.
$P(X = 4) = 5 \times 0.00128 = 0.0064$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^{\prime}$ और $B$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
मान रखने पर,$P(A^{\prime} \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{3}{5}$ और $P(B) = \frac{2}{3}$।
हमें $P(A' \cap B')$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')$।
सबसे पहले,$P(A')$ और $P(B')$ की गणना करते हैं:
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$।
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अब,इनका गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$P(A' \cap B') = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति पुरुष है,$W$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति महिला है,और $G$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति के बाल सफेद हैं।
चूंकि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है,इसलिए $P(M) = P(W) = \frac{1}{2}$ है।
पुरुष के बाल सफेद होने की प्रायिकता $P(G|M) = \frac{5}{100}$ है।
महिला के बाल सफेद होने की प्रायिकता $P(G|W) = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ है।
हमें $P(M|G)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|G) = \frac{P(M) \times P(G|M)}{P(M) \times P(G|M) + P(W) \times P(G|W)}$
$P(M|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{0.25}{100}}$
$P(M|G) = \frac{5}{5 + 0.25} = \frac{5}{5.25} = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$.

(A) दिया गया है $X \sim B(4, p)$,जहाँ $n=4$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
शर्त $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ दी गई है।
मान रखने पर: $2 \times ({}^{4}C_{3} p^{3} q^{1}) = 3 \times ({}^{4}C_{2} p^{2} q^{2})$.
संचय की गणना करने पर: $2 \times (4 p^{3} q) = 3 \times (6 p^{2} q^{2})$.
सरल करने पर: $8 p^{3} q = 18 p^{2} q^{2}$.
दोनों पक्षों को $2 p^{2} q$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए): $4 p = 9 q$.
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $4 p = 9(1 - p)$.
$4 p = 9 - 9 p$.
$13 p = 9$.
अतः,$p = \frac{9}{13}$.

(D) माना $X$ चुने गए $20$ बल्बों में से खराब बल्बों की संख्या को दर्शाता है।
यह दिया गया है कि कुल बल्ब $100$ हैं और $10$ खराब हैं,इसलिए खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
परिणामस्वरूप,सही बल्ब चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
हम $n = 20$ बल्ब चुन रहे हैं। कोई भी बल्ब खराब न होने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{20}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20-0}$ है।
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20} = \left(\frac{9}{10}\right)^{20}$।

(C) एक निष्पक्ष सिक्के को $2$ बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
संबंधित प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = \frac{1}{4}$
लाभ $G(X) = X^{3}$ द्वारा दिया गया है।
अपेक्षित लाभ $E[G(X)]$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E[G(X)] = \sum P(X=x) \cdot G(x)$
$E[G(X)] = (P(X=0) \cdot 0^{3}) + (P(X=1) \cdot 1^{3}) + (P(X=2) \cdot 2^{3})$
$E[G(X)] = (\frac{1}{4} \cdot 0) + (\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{4} \cdot 8)$
$E[G(X)] = 0 + 0.5 + 2 = 2.5$
अतः,अपेक्षित लाभ $₹ 2.50$ है।

(C) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के के $8$ उछालों में चित की संख्या है। यहाँ,$n=8$,$p=\frac{1}{2}$,और $q=\frac{1}{2}$ है।
हमें चित की संख्या पट से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $X > 4$।
चूंकि कुल परिणाम $2^8 = 256$ हैं और वितरण सममित है,इसलिए $P(X < 4) = P(X > 4)$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{8} P(X=k) = 1$,इसलिए $P(X < 4) + P(X=4) + P(X > 4) = 1$।
अतः,$2P(X > 4) + P(X=4) = 1$,जिसका अर्थ है $P(X > 4) = \frac{1 - P(X=4)}{2}$।
$P(X=4) = {}^{8}C_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{70}{256}$ की गणना करने पर।
इसलिए,$P(X > 4) = \frac{1 - \frac{70}{256}}{2} = \frac{\frac{186}{256}}{2} = \frac{93}{256}$।

(B) लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
अतः,लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8 = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $n = 10$ बम गिराए जाते हैं और हमें ठीक $r = 2$ सफलताएँ चाहिए।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 2) = {}^{10}C_{2} \times (0.8)^{2} \times (0.2)^{8}$
$P(X = 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{8}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{5^{8}}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{5^{2} \times 5^{8}} = 45 \times \frac{16}{5^{10}}$
$P(X = 2) = (9 \times 5) \times \frac{16}{5^{10}} = \frac{9 \times 16}{5^{9}} = \frac{144}{5^{9}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि किसी व्यक्ति को सामान्य सर्दी होने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
अतः,किसी व्यक्ति को सामान्य सर्दी न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ है।
यहाँ हम $n = 5$ व्यक्तियों का चयन कर रहे हैं। मान लीजिए $X$ सामान्य सर्दी वाले व्यक्तियों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(5, 0.1)$ का पालन करता है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि अधिकतम एक व्यक्ति को सामान्य सर्दी हो,जो $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = 1 \times 1 \times \frac{59049}{100000} = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \frac{6561}{10000} = \frac{32805}{100000} = 0.32805$.
अतः,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,प्रायिकता $0.9185$ है।

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np$ और प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $E(X) = np = 4$ है।
दिया गया है कि $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.4$ है।
प्रसरण के समीकरण में $np = 4$ प्रतिस्थापित करने पर: $4q = 2.4$ प्राप्त होता है।
$q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{2.4}{4} = 0.6 = \frac{3}{5}$।
चूँकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
अब,माध्य के समीकरण में $p$ का मान रखने पर: $n \times \frac{2}{5} = 4$ प्राप्त होता है।
$n = 4 \times \frac{5}{2} = 10$।
अतः,$n$ का मान $10$ है।